专题08不等式及不等式组（原卷版）

主题二方程与不等式专题08不等式及不等式组目录一览知识目标（新课程标准提炼）中考解密（分析中考考察方向，厘清命题趋势，精准把握重难点）考点回归（梳理基础考点，清晰明了，便于识记）重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）►考向一不等式的性质►考向二不等式的解集►考向三在数轴上表示不等式的解集►考向四解一元一次不等式►考向五一元一次不等式的整数解►考向六一元一次不等式的应用►考向七解一元一次不等式组►考向八一元一次不等式组的整数解►考向九一元一次不等式组的应用最新真题荟萃（精选最新典型真题，强化知识运用，优化解题技巧）1.结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质；2.能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；3.会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集；4.能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题.本考点内容以考查依据题意列不等式并解决问题、不等式组表示取值范围为主，体现了不等式的工具性，年年考查,是广大考生的得分点，分值为610分左右。预计2024年各地中考还将继续考查这两个知识点，重要题型有解不等式（组）、不等式含参、不等式相关的应用题以及不等式的性质，为避免丢分，学生应扎实掌握。不等式一般地，用符号“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式．能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．不等式的基本性质1.不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：若a＞b，那么a±m＞b±m；2.不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞；3.不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜；在数轴上表示不等式的解集用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．一元一次不等式1.定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．2.概念解析：一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接．另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式．解一元一次不等式1.根据不等式的性质解一元一次不等式2.基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．一元一次不等式组一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组．一元一次不等式组的解集几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．解不等式组求不等式组的解集的过程叫解不等式组．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．几种常见的不等式组的解集设，，是常数，关于的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）：不等式组（其中）数轴表示解集口诀同大取大同小取小大小、小大中间找无解大大、小小取不了一元一次不等式（组）的应用1.由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．2.列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．列不等式（组）解应用题的基本步骤列不等式（组）解应用题的基本步骤如下：第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。第3步：列不等式(组)。根据题中各个量的关系列不等式(组)。第4步：解不等式(组)，找出满足题意的解(集)。第5步：检验并写出答案。►考向一不等式的性质解题技巧/易错易混/特别提醒1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．1．（2023•北京）已知a﹣1＞0，则下列结论正确的是（）A．﹣1＜﹣a＜a＜1 B．﹣a＜﹣1＜1＜a C．﹣a＜﹣1＜a＜1 D．﹣1＜﹣a＜1＜a2．（2022•杭州）已知a，b，c，d是实数，若a＞b，c＝d，则（）A．a+c＞b+d B．a+b＞c+d C．a+c＞b﹣d D．a+b＞c﹣d3．（2022•泰州）已知a＝2m2﹣mn，b＝mn﹣2n2，c＝m2﹣n2（m≠n），用“＜”表示a、b、c的大小关系为．►考向二不等式的解集解题技巧/易错易混/特别提醒不等式解集的验证方法：某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．4．（2021•包头）定义新运算“⨂”，规定：a⨂b＝a﹣2b．若关于x的不等式x⨂m＞3的解集为x＞﹣1，则m的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．25．（2020•株洲）下列哪个数是不等式2（x﹣1）+3＜0的一个解？（）A．﹣3 B．﹣ C． D．2►考向三在数轴上表示不等式的解集解题技巧/易错易混/特别提醒1.利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．2.已知解集（整数解）求字母的取值．一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．6．（2023•沈阳）不等式x≥1的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．7．（2022•梧州）不等式组的解集在数轴上表示为（）A． B． C． D．8．（2022•枣庄）在下面给出的三个不等式中，请你任选两个组成一个不等式组，解这个不等式组，并把解集表示在数轴上．①2x﹣1＜7；②5x﹣2＞3（x+1）；③x+3≥1﹣x．►考向四解一元一次不等式9．（2023•攀枝花）下列各数是不等式x﹣1≥0的解的是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．110．（2023•宜昌）解不等式＞x﹣1，下列在数轴上表示的解集正确的是（）A． B． C． D．11．（2022•温州）（1）计算：+（﹣3）2+3﹣2﹣|﹣|．解不等式9x﹣2≤7x+3，并把解集表示在数轴上．►考向五一元一次不等式的整数解解题技巧/易错易混/特别提醒1.一元一次不等式的整数解:解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．2.一元一次不等式（组）的解法及其解集表示的考查形式如下：（1）一元一次不等式（组）的解法及其解集在数轴上的表示；（2）利用一次函数图象解一元一次不等式；（3）求一元一次不等式组的最小整数解；（4）求一元一次不等式组的所有整数解的和．12．（2023•宿迁）不等式x﹣2≤1的最大整数解是．13．（2022•陕西）求不等式﹣1＜的正整数解．►考向六一元一次不等式的应用解题技巧/易错易混/特别提醒列不等式（组）解决实际问题常与一元一次方程、一次函数等综合考查，涉及的题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等．列不等式时，要抓住关键词，如不大于、不超过、至多用“≤”连接，不少于、不低于、至少用“≥”连接．14．（2023•西宁）象征吉祥富贵的丁香花是西宁市市花．为美化丁香大道，园林局准备购买某种规格的丁香花，若每棵6元，总费用不超过5000元，则最多可以购买棵．15．（2023•广东）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最多可打折．16．（2023•湖北）创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶．若购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元．（1）求两种型号垃圾桶的单价；（2）若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15000元，至少需购买A型垃圾桶多少个？►考向七解一元一次不等式组17．（2023•广州）不等式组的解集在数轴上表示为（）A． B． C． D．18．（2023•湖州）解一元一次不等式组．（2023•甘孜州）（1）计算：；解不等式组：．►考向八一元一次不等式组的整数解20．（2023•宜宾）若关于x的不等式组所有整数解的和为14，则整数a的值为．21．（2023•凉山州）不等式组的所有整数解的和是．22．（2023•大庆）若关于x的不等式组有三个整数解，则实数a的取值范围为►考向九一元一次不等式组的应用23．（2023•怀化）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满．（1）求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？（2）若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？（3）在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？24．（2022•泸州）某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．（1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？（2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？1．（2023•德阳）如果a＞b，那么下列运算正确的是（）A．a﹣3＜b﹣3 B．a+3＜b+3 C．3a＜3b D．＜2．（2022•包头）若m＞n，则下列不等式中正确的是（）A．m﹣2＜n﹣2 B．﹣m＞﹣n C．n﹣m＞0 D．1﹣2m＜1﹣2n3．（2023•内江）在函数y＝中，自变量x的取值范围在数轴上表示为（）A． B． C． D．4．（2023•内蒙古）关于x的一元一次不等式x﹣1≤m的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值为（）A．3 B．2 C．1 D．05．（2023•台州）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示为（）A． B． C． D．6．（2023•娄底）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．7．（2023•眉山）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（）A．﹣5≤m＜﹣4 B．﹣5＜m≤﹣4 C．﹣4≤m＜﹣3 D．﹣4＜m≤﹣38．（2023•黄石）若实数a使关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜4，则实数a的取值范围为．9．（2023•乐山）不等式x﹣1＞0的解集是．10．（2023•聊城）若不等式组的解集为x≥m，则m的取值范围是．11．（2023•黑龙江）关于x的不等式组有3个整数解，则实数m的取值范围是．12．（2022•宜昌）解不等式≥+1，并在数轴上表示解集．13．（2022•河北）整式3（﹣m）的值为P．（1）当m＝2时，求P的值；（2）若P的取值范围如图所示，求m的负整数值．14．（2023•淄博）某古镇为发展旅游产业，吸引更多的游客前往游览，助力乡村振兴，决定在“五一”期间对团队*旅游实行门票特价优惠活动，价格如下表：购票人数m（人）10≤m≤5051≤m≤100m＞100每人门票价（元）605040*题中的团队人数均不少于10人．现有甲、乙两个团队共102人，计划利用“五一”假期到该古镇旅游，其中甲团队不足50人，乙团队多于50人．（1）如果两个团队分别购票，一共应付5580元，问甲、乙团队各有多少人？（2）如果两个团队联合起来作为一个“大团队”购票，比两个团队各自购票节省的费用不少于1200元，问甲团队最少多少人？15．（2023•眉山）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元；（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？16．（2023•哈尔滨）佳衣服装厂给某中学用同样的布料生产A，B两种不同款式的服装，每套A款服装所用布料的米数相同，每套B款服装所用布料的米数相同．若1套A款服装和2套B款服装需用布料5米，3套A款服