专题08整式方程（3大考点5种题型）

专题08整式方程（3大考点+5种题型）思维导图核心考点与题型分类聚焦考点一：含有字母的一元一次方程考点二：含有字母系数的一元二次方程考点三：特殊的高次方程题型一：含有字母的一元一次方程题型二：含有字母系数的一元二次方程题型三：二项方程题型四：双二次方程题型五：特殊高次方程的解法考点一：含有字母的一元一次方程1、一元整式方程的概念方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式．解一元一次方程的方法方程中未知数系数都是数字，将未知数字母系数化成1；方程中含有字母参数时，确定未知数最高次数是否为零，从而进行分类讨论，方法如下：一元一次方程当时，方程有唯一解；当时，方程无解；当时，方程有无数解．考点二：含有字母系数的一元二次方程含有字母系数的一元二次方程的解法方程中未知数系数都是数字，用开平方法、配方法、因式分解法、公式法解方程；方程中含有字母参数时，确定未知数最高次数是否为零，从而进行分类讨论．考点三：特殊的高次方程1、二项方程的概念 二项方程：一边只含有未知数的一项和非零的常数项，另一边是0的一元次方程；2、二项方程的解法关于的一元次二项方程的一般形式：，是正整数)该方程的根的情况是：为奇数时，方程有且只有一个实数根；为偶数时，若，方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；若，那么方程没有实数根．3、双二次方程的概念双二次方程：只含有偶数次项的一元四次方程．4、双二次方程的解法换元法解关于x的双二次方程： 步骤：①换元，用新未知数代替方程中的，同时用代替，将原方程转化为关于y的一元二次方程：；解一元二次方程：；回代．5、特殊高次方程的解法 对于某些特殊的高次方程，先将方程化为一般式，可尝试将方程左边分解因式，转化为一元一次方程或者一元二次方程来解．题型一：含有字母的一元一次方程【例1】．（2022下·八年级单元测试）如果关于的方程无解，那么满足（

）.A． B． C． D．任意实数【答案】B【分析】根据ax=b中当a=0,b≠0方程无解可知当m1=0时关于的方程无解．【详解】解：由题意得当m1=0时关于的方程无解解得m=1，故选B．【点睛】本题考查了解一元一次方程无解的情况，根据题意得出关于m1=0是解题关键．【变式1】．（2023下·上海浦东新·八年级统考期末）关于x的方程的解是．【答案】【分析】由，在方程两边都除以即可得到方程的解.【详解】解：∵，∴，故答案为：【点睛】本题考查的是含参数的一元一次方程的解法，掌握解参数方程的方法是解题的关键.【变式2】．（2022下·上海奉贤·八年级校联考期中）解关于x的方程：【答案】【分析】方程两边都除以b，再移项即可得出答案．【详解】解：去括号，得bx3b=4，移项，得bx=3b+4，由题意知b≠0，∴方程两边同除以b得，，方程的解为．【点睛】本题考查了解一元一次方程，把b看作已知数是解题的关键．【变式3】．（上海松江·八年级校联考期中）解关于x的方程：【答案】当时，方程的根是；当，方程没有实数根.【分析】先解方程得到x用a表示出来，再分a=1，a≠1两种情况讨论即可.【详解】解：，，，当时，；当时，方程无实数解∴当时，方程的根是；当，方程没有实数根.【点睛】本题主要考查解方程，解此题的关键在于根据题意分情况进行讨论.【变式4】关于的方程，分别求为何值时，原方程： （1）有唯一解；（2）有无数多解；（3）无解．【答案】（1），n为任意数；（2）且；（3）且．【解析】方程整理成一般形式即为，由此进行分类讨论：当，即时，方程有唯一解；当且，即且时，方程有无数解；当且，即且时，方程无解．【总结】考查含有字母系数的一元一次方程，注意分类讨论．【变式5】已知无论k取何值，x=2总是关于x的方程的解，求a、b的值．【答案】，【解析】总是方程的解，即满足方程，代入可得，化作关于的方程可整理得，无论取何值，式子都成立，可视作这个关于的方程有无数解，由此可得且，得，．【总结】考查恒成立问题，可视作相应方程有无数解．【变式6】关于的方程：． 【解析】整理方程得，由题意可得，由此进行分类讨论：当时，必有，即时，方程无解；当，即且时，方程解为．【总结】考查含有字母系数的一元一次方程，注意分类讨论．【变式7】当a，b满足什么条件时，关于x、y的方程组，有唯一解?无数解?【答案】当时方程组有唯一解，且时方程组有无数解．【解析】=1\*GB3①=2\*GB3②，得，由此进行分类讨论：当，即时，有唯一解，则方程组有唯一解；当且，即且时，有无数解，即方程组有无数解．【总结】考查含有字母系数的二元一次方程组，化作一元一次方程进行分类讨论．题型二：含有字母系数的一元二次方程【例2】已知（是关于的一元二次方程，则的取值范围是（）． A． B． C．且 D．一切实数【答案】C 【解析】方程是一元二次方程，则必有，得且，故选C．【总结】考查一元二次方程的定义，二次项系数不能为0．【变式1】若关于的方程有两个实数根，求的取值范围．【答案】且．【解析】方程有两个实数根，方程为一元二次方程，则有二次项系数，且有方程根的判别式，即得且．【总结】考查一元二次方程根的判别式，注意二次项系数不能为0的前提条件．【变式2】已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值并解这个方程．【答案】，方程解为．【解析】方程有两个相等的实数根，方程为一元二次方程，则有二次项系数，且有方程根的判别式，即得，此时方程即为，整理得：，解得：．【总结】考查一元二次方程根的判别式的运用，注意二次项系数不能为0的前提条件．【变式3】若关于的方程有实数根，求的取值范围．【答案】．【解析】当，即时，方程为一元一次方程，必有实数根；当，即时，方程为一元二次方程，方程有实数根，则有，即，得且；综上所述，的取值范围为．【总结】考查含有字母系数的方程与一元二次方程根的判别式的结合应用，由于本题中并未说明是什么方程，因此要对二次项系数进行分类讨论．【变式4】求为什么实数时，方程①有实数根；②没有实数根．【答案】=1\*GB3①；=2\*GB3②．【解析】=1\*GB3①当，即时，方程为一元一次方程，必有实数根；当，即时，方程为一元二次方程，方程有实数根，则有，得且；综上，的取值范围为；=2\*GB3②方程没有实数根，则有，得．【总结】考查含有字母系数的方程与一元二次方程根的判别式的结合应用，由于本题中并未说明是什么方程，因此要对二次项系数进行分类讨论．【变式5】解关于的方程： （1）； （2）； （3）．【解析】（1）时，方程无解；时，得，得：，；直接开平方法得，解得：，；当，即时，必有，方程有无数解；当，即时，方程有唯一解．【总结】考查含有字母系数的一元二次方程根的求解，注意分类讨论．【变式6】解关于的方程：（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）当，即时，原方程即为，解得：；当，即时，方程为一元二次方程，分解因式得，解得：，；配方法得，即，由，得，则有，解得：，；整理方程得，由此可得，即时，方程无解；当，即时，则有，解得：，．【总结】考查含有字母系数的一元二次方程形式的方程与方程根的判别式的结合应用，注意对二次项系数进行分类讨论．【变式7】用适当的方法解关于的方程：．【答案】， ．【解析】对该方程用分解因式可得，则有或，由且，由此即可解得方程的根为：，．【总结】考查用适当的方法解一元二次方程，本题注意观察各项系数之间的关系，即可得分解因式进行求解．题型三：二项方程【例3】．（2022下·上海·八年级校考期中）下列方程中，二项方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】如果一元n（n是正整数）次方程的一边只含有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是0，这样的方程就叫做二项方程，根据定义判断即可．【详解】解：A．有三项，不符合二项方程定义，故选项不合题意；B．不是二项方程，故选项不符合题意；C．可变为，符合二项方程定义．故选项符合题意；D．是分式方程，故选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查二项方程的定义，掌握二项方程的定义是求解本题的关键．【变式1】．（2022下·上海普陀·八年级校考期中）在下列关于的方程中，不是二项方程的是()A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二项方程的定义逐个判断得结论．【详解】解：把各方程移项，使等号右边为，满足二项方程的是A、B、C，由于方程D移项后左边是三项，故选项D不是二项方程．故选：D．【点睛】本题考查了二项方程的定义，二项方程的左边只有两项，其中一项含未知数，这项的次数就是方程的次数；另一项是常数项；方程的右边是．【变式2】．（2023下·上海浦东新·八年级上海市进才中学北校校考阶段练习）关于方程，下列说法正确的是（

）A．它是二项方程 B．它的解是 C．它是高次方程 D．都是它的解【答案】C【分析】由于方程，所以方程的未知数是一个，次数是3次，由此即可确定选择项．【详解】解：A、二项方程应该是为正整数，故本选项不符合题意；B、方程，整理得，由于，所以它的解是，故本选项不符合题意；C、它是高次方程，故本选项符合题意；D、方程，整理得，由于，所以它的解是，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】此题主要考查了高次方程的定义，二项方程的定义，解高次方程，解题的关键是抓住高次方程是整式方程，同时要抓住未知数的个数和次数才能正确解决问题．【变式3】．（2023下·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考阶段练习）方程组的实数解的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】把代入原方程，再化简成，解方程即可求解．【详解】解：或或或或故选C【点睛】本题考查了因式分解解方程，解题关键是熟练掌握平方差公式和解方程．【变式4】．（2023下·上海闵行·八年级统考期末）方程的解是．（保留三位小数）．【答案】【分析】先求出，再利用计算器求出即可．【详解】解：，，，故答案为：．【点睛】本题考查了解高次方程和近似数和有效数字，能求出是解此题的关键．【变式5】．（2023下·上海浦东新·八年级上海市进才中学北校校考阶段练习）请你设计一个关于的二项方程，使其同时满足以下条件：①该方程为6次方程；②最高次项的系数为5；③在实数范围内有解，则这个方程可以是．（只需写出一个）【答案】（答案不唯一）【分析】根据题意，写出方程，即可求解．【详解】解：根据题意得：这个方程可以是．故答案为：（答案不唯一）【点睛】本题主要考查了二项方程，根据题意，写出方程是解题的关键．【变式6】解关于的方程： （1）； （2）； （3）； （4）．【答案】（1），；（2），；（3），；（4）．【解析】（1）开平方得，即可解得：，；（2）开平方得，则有，即可解得：，；（3）开平方得，则有，即可解得，；（4），即可得，解得．【总结】考查形如二项方程形式的高次方程的求解．题型四：双二次方程【例4】下列方程中，①；②；③；，是双二次方程的是____________．【答案】=1\*GB3① 【解析】根据定义，只含有偶次项的一元四次方程是双二次方程，可知=1\*GB3①是双二次方程，②中没有常数项，不是；=3\*GB3③是含有奇次项的二次方程，不是；=4\*GB3④是二次方程，不是．【总结】考查双二次方程的判断，根据定义把握相关要点．【变式1】解关于的方程： （1）； （2）．【答案】（1），；（2），，．【解析】（1）令，原方程即为，因式分解法解得，，由，即得，解得：，；（2）令，原方程即为，因式分解法解得：，，则有或，解得：，，．【总结】考查解高次方程中“换元”思想的应用．【变式2】解下列关于x的方程： （1）； （2）．【答案】（1），，，； （2），．【解析】（1）令，原方程即为，因式分解法解得，，即得或，解得：，，，；（2）令，原方程即为，因式分解法解得，，由，则有，解得：，．【总结】考查解高次方程中“换元”思想的应用．【变式3】已知实数满足，求代数式的值．【答案】6． 【解析】令，原方程即为，因式分解法解得，，但若，此时方程无实数根，应舍去，即得．【总结】考查解高次方程中“换元”思想的应用，注意相应的取值范围．题型五：特殊高次方程的解法【例5】解关于的方程： （1）； （2）．【答案】（1），，；（2），，．【解析】（1）移项分解因式得，解得：，，；（2）多项式展开即为，分解因式得，解得：，，．【总结】考查用因式分解法解简单的高次方程．【变式1】解关于的方程．【解析】移项整理得：，由此分类讨论：=1\*GB3①当且，即且时，方程有无数解；=2\*GB3②当且，即且时，方程无解；=3\*GB3③当时，则有，则当为奇数时，方程解为；=4\*GB3④当为偶数且时，方程解为，；=5\*GB3⑤当为偶数且时，方程无解．【总结】考查一般形式的高次方程的根，注意分类讨论思想的应用．【变式2】解方程：．【答案】，．【解析】第一个与第四个相乘，第二个与第三个相乘，则有，整理得，即为，得，解得:，．【总结】考查解较复杂高次方程中整体思想的应用，通过整式乘法构造相同的项，再利用换元法通过降次进行求解．一．选择题（共6小题）1．（2022秋•黄埔区校级期中）若、是有理数，关于的方程有至少两个不同的解，则另一个关于的方程的解的情况是A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解 C．只有一个解 D．无解【分析】首先解方程，可得：，再根据方程有两个解的条件可得到，的值，然后代入方程中即可知道其解的情况．【解答】解：解方程可得：有至少两个不同的解，，即，，把，代入中得：，方程无解．故选：．【点评】此题主要考查了解含字母系数的一元一次方程，关键是根据解的情况判断字母系数的值．2．（2022春•普陀区校级期中）在下列关于的方程中，不是二项方程的是A． B． C． D．【分析】根据二项方程的定义逐个判断得结论．【解答】解：把各方程移项，使等号右边为0，满足二项方程的是、、，由于方程移项后左边是三项，故选项不是二项方程．故选：．【点评】本题考查了二项方程的定义，二项方程的左边只有两项，其中一项含未知数，这项的次数就是方程的次数；另一项是常数项；方程的右边是0．3．（2022春•青浦区校级期中）在实数范围内，方程的实数根的个数是A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先移项得出，再根据四次方根的定义求出方程的解即可．【解答】解：，，，即方程的实数根的个数是2，故选：．【点评】本题考查了解高次方程，能求出是解此题的关键．4．（2022春•杨浦区校级期中）下列方程中，是二项方程的是A． B． C． D．【分析】根据二项方程的定义判断即可．【解答】解：方程的右边不是零，该方程不是二项方程．不合题意．的左边没有非零常数项，该方程不是二项方程．不合题意．方程的左边没有非零的常数项，该方程不是二项方程，不合题意．方程的右边为零，左边含有非零常数项，是二项方程．符合题意．故选：．【点评】本题考查二项方程的定义，掌握二项方程的特征是求解本题的关键．5．（2022春•徐汇区校级期中）对于二项方程，当为偶数时，已知方程有两个实数根，那么一定A． B． C． D．【分析】根据偶数次方的非负性求解．【解答】解：，，为偶数时，已知方程有两个实数根，，．故选．【点评】本题考查高次方程的解，注意偶数次方的非负性是求解本题的关键．6．（2022秋•道里区期末）下列选项中，是方程的解是A． B． C． D．【分析】根据方程的解，将各选项依次代入计算即可判断．【解答】解：、将代入，得：左边，故不是方程的解，不合题意；、将代入，得：左边，故不是方程的解，不合题意；、将代入，得：左边，故不是方程的解，不合题意；、将代入，得：左边，故是方程的解，符合题意；故选：．【点评】本题考查了方程的解，解题的关键是理解方程的解意义，代入验根．二．填空题（共9小题）7．（2022春•闵行区校级期中）关于的方程：是二项方程，0．【分析】根据二项方程的定义求．【解答】解：二项方程的左边只有两项，其中一项含未知数，另一项是常数项，方程的右边是0．．故答案为：0．【点评】本题考查了二项方程，掌握二项方程的定义是解决本题的关键．8．（2022春•徐汇区校级期中）方程的根是．【分析】把方程变形为形为，利用立方根求解即可．【解答】解：（法方程可变形为，因为，所以方程的解为．故答案为：（法方程可变形为，所以．故答案为：【点评】本题考查了立方根的意义，解决本题可利用立方的办法．9．（2022春•浦东新区校级期末）方程的根是或．【分析】运用直接开方法进行解答便可．【解答】解：，，，或，故答案为：或．【点评】本题主要考查了高次方程的解法，掌握直接开方法是解题的关键．10．如果是方程的一个解，那么．【分析】依据方程的解概念，将方程的解代入方程进行计算，即可得到的值．【解答】解：把方程的解代入方程，可得，，解得，故答案为：．【点评】本题考查了二元一次方程的解，方程的解就是满足方程的未知数的值，把解代入方程即可．11．（2022春•静安区校级期中）方程的根是，．．【分析】利用直接开方法解方程．【解答】解：，，，，．故答案为：，．【点评】本题考查了高次方程的解，类似于解一元二次方程的直接开平方法．12．（2022春•杨浦区校级期中）方程的解为，．【分析】先方程两边都除以2，再根据四次方根的定义求出方程的解即可．【解答】解：，，，即方程的解为，，故答案为：，．【点评】本题考查了解高次方程，能根据四次方根的定义得出是解此题的关键．13．（2022春•闵行区校级期末）方程的根是．【分析】方程的左边因式分解可得，由此即可解决问题．【解答】解：，，，方程的根是，故答案为．【点评】本题考查高次方程的解，解题的关键是学会应用因式分解法解方程，把高次方程转化为一次方程，属于中考常考题型．14．（2022春•嘉定区校级期中）方程的根是，，．【分析】先把方程的左边分解因式，即可得出三个一元一次方程，再求出方程的解即可．【解答】解：，，，或或，解得：，，，故答案为：，，．【点评】本题考查了解高次方程，能把高次方程转化成一元二次方程或一元一次方程是解此题的关键．15．（2023秋•湖北期末）“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程，它的解是0或或2．【分析】利用因式分解求解即可．【解答】解：，，，或或，，，．故答案为：0或或2．【点评】本题主要考查了解高次方程，熟练掌握整式的因式分解是解题的关键．三．解答题（共5小题）16．求下列字母、的值：已知关于的方程有无限多个解．【分析】方程去括号，移项合并整理后，根据解有无限多个解确定出与的值即可．【解答】解：方程去括号得：，移项合并得：，由方程有无限多个解，得到，解得：．【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数