专题273相似（全章分层练习）（提升练）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（人教版）

专题27.3相似（全章分层练习）（提升练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2023上·安徽合肥·九年级校考期中）若，则的值是（

）A． B． C． D．2．（2023上·安徽滁州·九年级统考期中）如图，，直线，与、、分别相交于、、和点、、．若，，则的长是（）A． B． C． D．3．（2023上·广东深圳·九年级校考期中）如图所示，点是线段的黄金分割点，下列结论中错误的是（

）．

A． B．C． D．4．（2023上·北京石景山·九年级校考期中）如图，在矩形中，E，F分别是，上的点，若，则一定有（

）．A． B． C． D．5．（2023上·陕西榆林·九年级校考期中）四边形是一张矩形纸片，将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则矩形的面积为（）A． B． C． D．6．（2023上·四川内江·九年级校考期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（）

A． B．C． D．7．（2023上·河北秦皇岛·九年级统考期中）如图矩形中，点E是边的中点，交对角线于点F，若的面积为2，则的面积等于（

）

A．8 B．4 C．2 D．18．（2023上·湖南岳阳·九年级岳阳市弘毅新华中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，若以原点O为位似中心，相似比为，把放大，则点A的对应点的坐标是（

）

A．B．或C． D．或9．（2021上·湖南株洲·九年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，，，点E在BC边上，，垂足为F．若，则线段EF的长为（

）．A．2 B．2.5 C．4 D．310．（2018·全国·九年级专题练习）如图，在中，点是和两个内角平分线的交点，过点作分别交，于点，，已知的周长为8，，的周长为，则表示与的函数图象大致是（

）A．B．C． D．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2022上·浙江温州·九年级统考期中）如图，若是与的比例中项，，求12．（2023上·四川成都·九年级双流中学校考期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，E为上一点，，若E为中点，且，则的长为．

13．（2023下·九年级课时练习）如图，不等长的两条对角线相交于点，且将四边形分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有．14．（2022上·九年级单元测试）如图，已知P是边长为5的正方形内一点，且，于，若在射线上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形一定与相似，则的值为．

15．（2023上·四川成都·九年级成都市树德实验中学校考期中）如图，在，，．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作圆弧，分别交边，于点，；②分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点；③作射线交边于点．若，则．16．（2023上·上海长宁·九年级上海市娄山中学校考期中）在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与相似的格点三角形中，最大的三角形面积是．

17．（2021·黑龙江·统考二模）如图，已知等腰三角形于点为边中线，相交于点．在从减小到的过程中，点经过的路径长为．18．（2020上·九年级课时练习）将两块全等的三角板如图放置，点O为AB中点，AB=A′B′=10，BC=B′C′=6，现将三角板A′B′C′绕点O旋转，B′C′、A′B′与边AC分别交于点M、N，当CM=时，△OMN与△BCO相似．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023上·湖南衡阳·九年级校联考期中）如图，中，，点、分别在的边、上，且．（1）求证：．（2）如果，，，求的长．20．（8分）（2023上·浙江金华·九年级校联考期中）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点，且，连接，交于点（1）求证：；（2）若，求的值；（3）若点P恰好落在以为直径的圆上，求的值．21．（10分）（2023上·湖南衡阳·九年级校联考期中）如图在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与x轴、y轴分别交于点C、点D，与相交于点E，线段、的长是一元二次方程的两根，，．

（1）求线段、的长；（2）求点E的坐标；（3）在x轴上是否存在点P，使点C、点E、点Р为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；如不存在，请说明理由．22．（10分）（2021·河南洛阳·统考二模）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝DE＝AB，连接DE．将△ADE绕点A顺时针方向旋转，记旋转角为θ．（1）[问题发现]①当θ＝0°时，＝；②当θ＝180°时，＝；（2）[拓展研究]试判断：当0°≤θ＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）[问题解决]在旋转过程中，BE的最大值为．23．（10分）（2023上·浙江宁波·九年级校联考期中）某校社会实践小组为了测量花丛中路灯的高度，在地面上处垂直于地面竖立了高度为的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，路灯的顶端点正好在同一直线上，测得，将标杆向后平移到达点处，这时地面上的点，标杆的顶端点，路灯的顶端点正好在同一直线上，这时测得，

（1）求证：；（2）请你根据以上数据，计算花丛中路灯的高度．24．（12分）（2023上·吉林长春·九年级统考期中）【教材呈现】下面是华师版教材九年级上册52页的部分内容：我们可以发现，当两条直线与一组平行线相交时，所截得的线段存在一定的比例关系：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．（简称“平行线分线段成比例”）

【问题原型】如图①，在矩形中，点E为边的中点，，点P、Q分别在矩形的边上，连结交于点M．求证：．

【结论应用】如图②，在【问题原型】的基础上，点R在边上（不与点Q重合）（1）若，则线段的长为；（2）当点Q与点B重合，点R与点C重合时，如图③，，，连结，则周长最小值为．参考答案：1．C【分析】本题考查了分式的性质，代数式求值．熟练掌握：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变；是解题的关键．根据，计算求解即可．解：∵，∴，故选：C．2．A【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，根据三条平行线截两条直线所对应线段成比例，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理的应用．解：∵，∴，即，∴，∴，故选：．3．B【分析】本题考查了黄金分割，掌握黄金分割的定义是解题关键．解：设为整体，的长为，则，根据黄金分割定义，得，所以选项正确，不符合题意；∵，∴，所以选项错误，符合题意；∵，∴，整理，得，解得，（不符合题意，舍去），∴，所以选项正确，不符合题意；，所以选项正确，不符合题意；故选：．4．C【分析】先根据矩形的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，然后根据相似三角形的判定即可得出答案．解：四边形是矩形，，，，，，在和中，，，选项C正确；与、与、与都是只有一对相等的直角，所以都不是相似三角形，故选：C．【点拨】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．5．B【分析】先根据折叠的性质与矩形性质，求得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，求得，进而根据矩形的面积等于矩形的面积减去2个正方形的面积，即可求解．解：，由折叠可得：，，∵矩形，∴，∴，设的长为x，则，∵矩形，∴，∵矩形与原矩形相似，∴，即，解得：（负值不符合题意，舍去）∴，∴矩形的面积为故选：B．【点拨】本题考查矩形的折叠问题，相似多边形的性质，熟练掌握矩形的性质和相似多边形的性质是解题的关键．6．D【分析】本题主要考查了相似三角形的判定：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．先根据求出，再根据相似三角形的判定方法解答．解：∵，∴，A、添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意；B、添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意；C、添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项不符合题意；D、添加，不能判定，故本选项符合题意；故选：D．7．A【分析】根据矩形的性质得出，求出，求出，根据相似三角形的性质即可解决问题．本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，能推出△AFE∽△CFB是解此题的关键，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方．解：∵四边形是矩形，∴，∵点E是边的中点，∴，∵，∴，∴．∵的面积为2，∴的面积为8故选：A．8．D【分析】本题考查的是位似变换的性质，根据位似变换的性质计算即可．本题的关键是理解并能灵活运用位似变换的性质：“在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．”解：以原点O为位似中心，相似比为4：1，把放大，，点A的对应点的坐标是或，即或．故选：D．9．D【分析】证明△AFD∽△EBA，得到，求出AF，即可求出AE，从而可得EF．解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD=3，BC=AD=10，AD∥BC，∴∠AEB=∠DAF，∴△AFD∽△EBA，∴，∵DF=6，∴，∴，∴AE=5，∴EF=AFAE=85=3．故选：D．【点拨】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．10．A【分析】由三角形的角平分线的性质和平行线的性质证出BE=OE，CF=OF，得出△AEF的周长y与x的关系式为y=8x，求出0＜x＜4，即可得出答案．解：∵点是和两个内角平分线的交点，∴∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO，∴∠ABO=∠EOB，∠ACO=∠FOC，∴BE=OE，CF=OF，∴△AEF的周长y=AE+EF+AF=AE+OE+OF+AF=AB+AC，∵△ABC的周长为8，BC=x，∴AB+AC=8x，∴y=8x，∵AB+AC＞BC，∴y＞x，∴8x＞x，∴0＜x＜4，即y与x的函数关系式为y=8x（x＜4），故选：A．【点拨】本题考查了动点问题的函数图象、角平分线的有关证明、平行线的性质、等腰三角形的判定、三角形的周长等知识，求出y与x的关系式是解决问题的关键．11．/【分析】由，求得，是与的比例中项，解一元二次方程即可求得，解：∵，∴，∵是与的比例中项，∴，即，解得：，∴故答案为：【点拨】本题考查了比例中项和公式法解一元二次方程，熟练掌握比例中项是解决问题的关键12．【分析】由平行线分线段成比例易得出点F为中点，再由直角三角形斜边中线的性质得出，又可求出，即说明为等边三角形，得出，从而得出，最后根据三角形中位线的性质求解即可．解：∵，∴．∵在矩形中，对角线与相交于点O，∴点O为中点，∴点F为中点．∵四边形为矩形，∴，∴．∵，∴，∴为等边三角形，∴．∵E为中点，∴．∵点O为中点，点F为中点，∴．故答案为：．【点拨】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，直角三角形斜边中线的性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理．熟练掌握上述知识是解题关键．13．乙和丁解：．【易错点分析】容易误认为，条件中，是，是，不是两个三角形的对应边成比例，所以不能判定．14．3或【分析】由于，同时减去后可得到，若以点，，为顶点的三角形与相似，那么必有：或，可据此求得的值．解：四边形是正方形，；又，；若以点，，为顶点的三角形与相似，则：①如图1中，，即，解得；②如图2中，，即，解得．综上所述，满足条件的的值为3或．故答案为：3或．

【点拨】此题主要考查的是相似三角形的判定和性质，应注意相似三角形的对应顶点不明确时，要分类讨论，不要漏解．15．【分析】先判断，再证明，再结合三角形的内角和定理可得，再根据含角的直角三角形的性质即可作答．解：由题意可得：，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∵在中，，∴，解得：，∴，故答案为：．【点拨】本题考查的是角平分线的作图，相似三角形的性质,含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟悉角平分线的作图步骤与相似三角形的对应角相等是解本题的关键．16．4【分析】本题考查相似三角形的性质．根据相似三角形的性质，相似三角形中，最大的三角形的长边等于，画出这个相似三角形即可解决问题．解：图中所有与相似的格点三角形中，最大的如图所示：

．故答案为：4．17．【分析】过点A作AEOB，且AE=OB，连接BE、CE，根据菱形的性质证明△APE∽△DPO，再得到DP=AD，根据D为定点，P随A运动而运动，从减小到的过程可知点P经过的路程为点A运动路程的，故可求解．解：过点A作AEOB，且AE=OB，连接BE、CE∵AEOB，AE=OB，∴四边形AOBE是平行四边形∵OA=OB∴四边形AOBE是菱形∴AB⊥OE，∴O、P、C、E四点共线，∵AEOB∴∠EAP=∠PDO，∠AEP=∠DOP∴△APE∽△DPO∴∵D点是OB中点∴OD=OB=AE∴=2∴DP=AD∵D为定点，P随A运动而运动，从减小到的过程∴点P经过的路程为点A运动路程的∵OA=6∴点A运动路程为∴点经过的路径长为故答案为：．【点拨】此题主要考查弧长公式的运用，解题的关键是根据题意找到点P的运动路径与点A的运动路径的关系．18．或【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出OC=AB=OA=OB=5，由勾股定理求出AC=8，由全等三角形的性质得出∠B=∠MON．△OMN与△BCO相似，分两种情况：①当OM=MN时，作OD⊥AC于D，CE⊥AB于E，则AD=CD=AC=4，由勾股定理求出OD，由三角形的面积求出CE，由相似三角形的性质得出比例式求出OM=MN=，由勾股定理求出DM，得出CM=CD﹣DM=4﹣；②当ON=MN时，由△OMN∽△BCO，得出=，求出OM，与勾股定理求出DM，即可得出CM的长．解：∵∠ACB=90°，点O为AB中点，AB=A′B′=10，BC=B′C′=6，∴OC=AB=OA=OB=5，AC==8，∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠B=∠MON．若△OMN与△BCO相似，分两种情况：①当OM=MN时，作OD⊥AC于D，CE⊥AB于E，如图所示：则AD=CD=AC=4，△ABC的面积=AB•CE=AC•BC，∴OD==3，CE=，∵△OMN∽△BOC，∴，即，∴OM=MN=，∴DM=，∴CM=CD﹣DM=4﹣；②当ON=MN时，∵△OMN∽△BCO，∴=，即，解得：OM=，∴DM=，∴CM=CD﹣DM=4﹣；综上所述：当CM=或时，△OMN与△BCO相似．【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解决问题的关键．19．（1）见分析；（2）3【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．（1）根据两角对应相等两三角形相似即可证明．（2）利用相似三角形的性质解决问题即可．解：（1）证明：，，，∵∴，，∴；（2）解：由（1）得，，，，，，，．．20．（1）见分析；（2）；（3）2【分析】（1）根据等边三角形的性质求出，，求出，根据推出全等即可；（2）过点作交于，根据平行线分线段成比例定理得，则，即可得出；（3）由（1）知：，则，根据三角形外角的性质可得，，则，、、、四点共圆，由点恰好落在以为直径的圆上，可得，则点也落在以为直径的圆上，连接，则，，根据含角的直角三角形的性质可得，即可得．（1）解：证明：是等边三角形，，，，，在与中，，；（2）过点作交于，，，设，，，，，，，的值；（3）连接，由（1）知：，，，，，、、、四点共圆，点恰好落在以为直径的圆上，，点也落在以为直径的圆上，，，连接，则，，，，．【点拨】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，圆的有关性质．21．（1），；（2）；（3）和【分析】（1）首先解方程求得方程的根，即可求得线段、的长；（2）根据三角函数求得的坐标，作轴于点，根据，利用相似三角形的性质求得和的长，即可求得的坐标；（3）设的坐标是，则．分成和两种情况进行讨论即可求解．（1）解：即，则，，解得：或，又，，．（2）解：，，则的坐标是．．∴，作轴于点，如图，

则，，即，，则，则的坐标是．（3）解：设的坐标是，由，，∴，设直线的解析式是，则，解得：，则直线的解析式是；令，则，∴，∴，当时，如图，

则，即，解得：，则的坐标是；当时，如图，

，则，解得：，则的坐标是．总之，的坐标是和．【点拨】本题考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，正确求得点的坐标是解决本题的关键．22．（1）①；②；（2）当0°≤θ＜360°时，的大小没有变化；证明见分析；（3）4+2．【分析】（1）①利用等腰三角形的性质判断出∠A=∠B，∠A=∠AED，进而得出∠B=∠DEA，得出DE∥BC，即可得出结论；②同①的方法，即可得出结论；（2）利用两边成比例，夹角相等，判断出△ADC∽△AEB，即可得出结论；（3）判断出点E在BA的延长线上时，BE最大，再求出AE，即可得出结论．解：（1）①在Rt△ABC中，AC＝BC，∴AB＝AC，∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，∵AD＝DE，∴∠DEA＝∠A，∴∠DEA＝∠B，∴DE∥BC，∴，∴，故答案为：；②如图，当θ＝180°时，∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠DAE＝∠B，∵AD＝DE，∴∠DEA＝∠DAE，∴∠DEA＝∠