专题14解直角三角形（全章分层练习）（培优练）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.4解直角三角形（全章分层练习）（培优练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2023·浙江温州·统考一模）如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则的正弦值是（

）A． B． C． D．2．（2023下·浙江杭州·九年级杭州绿城育华学校校考阶段练习）小杰在一个高为的建筑物顶端，测得一根高出此建筑物的旗杆顶端的仰角为，旗杆与地面接触点的俯角为，那么该旗杆的高度是（

）A． B． C． D．3．（2023下·安徽·九年级专题练习）在中，，，点D是点B关于的对称点，连接，，E，F是，上两点，作，，垂足分别为M，N，若，，则的值是（）A． B．5 C． D．4．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在边AD、BC上，将正方形沿EF折叠，使点A落在处，点B落在处，交BC于G．下列结论错误的是（）A．当为CD中点时，则＝B．当时，则＝C．连接，则D．当（点不与C、D重合）在CD上移动时，周长随着位置变化而变化5．（2023·四川南充·统考一模）综合与实践课上，李老师让同学们以矩形纸片的折叠为主题开展数学活动．如图，将矩形纸片对折，折痕为，再把点A折叠在折痕上，其对应点为，折痕为，连接，若，，则的值为（

）A． B． C． D．6．（2023·广东广州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，点，点从出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动了秒，直线上有一动点，轴上有一动点，当的和最小时，点的坐标为（

）A． B． C． D．7．（2023上·吉林长春·九年级统考期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、、、均在格点上，与相交于点，则的余弦值为（

）

A． B． C． D．8．（2023·安徽·统考模拟预测）如图，为半圆O的直径，点O为圆心，点C是弧上的一点，沿为折痕折叠交于点M，连接，若点M为的黄金分割点（），则的值为（）

A． B． C． D．9．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）如图1，在平行四边形中，，已知点在边上，以1m/s的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点向点运动．若点，同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动．图2是的面积与点的运动时间之间的函数关系图象（点为图象的最高点），则平行四边形的面积为（

）

A． B． C． D．10．（2022·湖北咸宁·校考模拟预测）如图，菱形边在x轴的正半轴上，且点B的纵坐标为4，点P从点O开始向点A运动，至点A停止，过P点与x轴垂直的直线与菱形另一边交点为M，记，的面积为S，且S与x的函数关系图象如右图，则的值为（

）

A． B． C． D．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2023·广东深圳·深圳外国语学校校考模拟预测）用高为的测角仪器测得电线杆的顶点的仰角为，测角仪到电线杆的距离为，则电线杆的高度为．12．（2023·江苏泰州·统考二模）如图，将反比例函数的图像绕着坐标原点顺时针旋转，旋转后的图像与轴交于，若，则．

13．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）如图，一同学进行单摆运动实验，从A点出发，在右侧达到最高点B．实验过程中在O点正下方的P处有一个钉子．已知在O点测得起始位置A的俯角是，B点的俯角是，B点测得钉子P的仰角是，且长为4，则摆绳长为．14．（2023上·江苏南通·九年级海南中学校考阶段练习）如图，点为矩形的对角线上一动点，点为的中点，连接，，若，，则的最小值为．15．（2023上·上海宝山·九年级统考期中）如图，在正方形中，E是边的中点，将沿直线翻折后，点B落在点M处，连接并延长与边交于点N，那么的值为．16．（2023上·山东威海·九年级统考期中）如图，点A，B是第一象限内双曲线上的点（点B在点A的左侧），若B点的纵坐标为1，为等边三角形，则k的值是．17．（2023·广东东莞·统考一模）如图，正方形的对角线相交于点O，点E在边上，点F在的延长线上，，交于点G，，，则．

18．（2023上·江苏淮安·九年级校考期中）如图，正方形的边长为，对角线，交于点O，点E在边上，连接，F为上一点，若，，则的长为．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（辽宁省部分学校20222023学年九年级上学期期末数学试题）计算下列的三角函数值（写出计算过程，保留计算结果）：．20．（8分）（2022·湖北荆门·统考一模）在某海域内有三个港口A、D、C．港口C在港口A北偏东60°方向上，港口D在港口A北偏西60°方向上．一艘船以每小时25海里的速度沿北偏东30°的方向驶离A港口3小时后到达B点位置处，测得港口C在B处的南偏东75°方向上，此时发现船舱漏水，应立即向最近的港口停靠．（1）试判断此时哪个港口离B处最近？说明理由，并求出最近距离；（2）若海水以每小时48吨的速度渗入船内，当船舱渗入的海水超过75吨时，船将沉入海中．已知船上的抽水机每小时可将8吨的海水排出船外，问此船在B处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没？（计算结果保留根号）（10分）（2022·四川达州·四川省渠县中学校考一模）（1）（2）若关于x的分式方程有增根，试求代数式的值．22．（10分）（2022下·广东广州·九年级广州六中校考阶段练习）如图．△ABC中．AB=BC=．AC=4．D为AC的中点．E、F分别为AD、CD上的动点．过E作PE⊥AD．且DE+2PE=2．连接PF．（1）求sin∠C；（2）连接AP．①求证AP∥BC；②请直接写出PF+CF的最大值．23．（10分）（2021·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）点为该抛物线上一点（不与点重合），直线将的面积分成2：1两部分，求点的坐标；（3）点从点出发，以每秒1个单位的速度沿轴移动，运动时间为秒，当时，求的值．24．（12分）（2022上·湖南永州·九年级校考阶段练习）已知：中，，D为直线上一点．（1）如图1，于点H，若，求证：．（2）如图2，，点D在延长线上，点E在上且，若，，求的值．（3）如图3，D在延长线上，E为上一点，且满足：，，若，，求的长．参考答案：1．C【分析】利用勾股定理求出AB、AO、BO的长，再由S△ABO=AB•h=AO•BO•sin∠AOB可得答案．解：由题意可知，AB=2，AO=，BO=，∵S△ABO=AB•h=AO•BO•sin∠AOB，∴×2×2=×2×2×sin∠AOB，∴sin∠AOB=，故选：C．【点拨】本题考查了解直角三角形，掌握三角形的面积公式是解题的关键．2．C【分析】过A作于E，在中，已知了的长，可利用俯角的正切函数求出的值；进而在中，利用仰角的正切函数求出的长；从而可得答案．解：如图，过A作于E，则四边形是矩形，．∵在中，，，∴，∵在中，，∴，∴．即旗杆的高度为．故选C．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义解题，是中考常见题型，解题的关键是作出高线构造直角三角形．3．A【分析】作出相应的图形，由轴对称的性质可得，，，从而可求得，由勾股定理求得，再由平行线的性质可得，可判定，则有，，再由线段的比即可求解．解：如图，

∵点D是点B关于的对称点，，∴，，，∵，∴，即，解得：，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，，∴，，∴，，∵，∴，即，∴，∴，即．故选：A．【点拨】本题主要考查解直角三角形，轴对称的性质，平行线的性质，解题的关键是结合图形分析清楚各边的关系．4．D【分析】当为CD中点时，设则，由勾股定理列方程求解，进一步求得的值，进而可判断A的正误；当三边之比为3：4：5时，设，，，由可求a的值，进一步求得的值，进而可判断B的正误；过点E作EM⊥BC，垂足为M，连接交EM，EF于点N，Q，证明，进而可判断C的正误；D．过点A作，垂足为H，连接，AG，先证，可得，，再证，可得，由此证得周长＝16，进而可判断D的正误．解：∵为CD中点，正方形ABCD的边长为8，∴，由折叠的性质，设则，在中，由勾股定理得，即42+（8﹣x）2＝x2，解得x＝5，∴AE＝5，DE＝3，∴，故A正确；当三边之比为3：4：5时，设，，，则，∵，∴，解得：，∴，，故B正确；如图，过点E作EM⊥BC，垂足为M，连接交EM，EF于点N，Q，∴，∴，由翻折可知：EF垂直平分，∴，∴，∴，在和中，，，∴，故C正确；过点A作，垂足为H，连接，AG，则，由折叠的性质可知，∴∵∴，∵∴，∴在和中∴，∴，∵，∴，在与中，，∴，∴，∴周长∴当在CD上移动时，周长不变，故D错误．故选D．【点拨】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．5．A【分析】先证明，，，，，可得，，再利用正切的定义求解即可.解：∵矩形纸片对折，折痕为，，，∴，，，，由折叠可得：，∴，∴，∴.故选A【点拨】本题考查的是轴对称的性质,矩形的性质,勾股定理的应用,求解锐角的正切,熟记轴对称的性质是解本题的关键.6．B【分析】作点关于对称的点，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求，根据题意求得的坐标，进而得出的坐标，根据轴对称的性质求得点的坐标，待定系数法求解析式，进而即可求解．解：如图所示，作点关于对称的点，作点关于轴的对称点，当，在直线上时，的和最小时∵点，点从出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动了秒，∴∴∵∴的纵坐标为∴∴，∵点关于对称的点，∴即设直线的解析式为，∴解得：∴直线的解析式为当时，，∴点的坐标为．故选：B．【点拨】本题考查了轴对称求线段和最值问题，解直角三角形，求得点的坐标是解题的关键．7．C【分析】作于E，由可证，则可得，由此可求出的长，再在中根据面积法求出的长，再根据勾股定理求出的长，即可求出的余弦值，由于，因此可得的余弦值．解：

作于E，，，，，．中，．，，解得，．，．故选：C【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、用面积法求直角三角形斜边上的高、勾股定理及余弦的定义．熟练掌握以上知识并且正确的作出辅助线是解题的关键．8．A【分析】过点M作，垂足为D，延长交半于点，连接，，根据折叠的性质可得：，，从而可得，再根据黄金分割的定义可得，然后利用直径所对的圆周角是直角可得，从而证明A字模型相似三角形，进而利用相似三角形的性质可得，最后根据圆内接四边形对角互补以及平角定义定义可得：，从而可得，再在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．解：过点M作，垂足为D，延长交半于点，连接，，

由折叠得：，，∴，∵点M为的黄金分割点（），∴，∵为半圆O的直径，∴，∴，∵，∴，∴，∵四边形是半的内接四边形，∴，∵，，∴，∴，在中，．故选：A．【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，黄金分割，解直角三角形，翻折变换（折叠问题），圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．9．C【分析】根据题意可得：，，设，则，作交的延长线于点，作交的延长线于点，则可得，，从而得到，根据的最大值为3，求出的值，从而得到，最后由平行四边形的面积公式进行计算即可得到答案．解：根据题意可得：，，设，则，作交的延长线于点，作交的延长线于点，

，，，，，，由图象可得的最大值为3，，解得：或（舍去），，，平行四边形的面积为：，故选：C．【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质、解直角三角形、二次函数的图象与性质，熟练掌握平行四边形的性质、二次函数的图象与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形，是解题的关键．10．A【分析】根据题意得，，，，，在中，，，，利用勾股定理求得，据此求解即可．解：作于点D，作于点E，

根据题意得，，，，，∴，，在中，，，，∴，解得，即，，∴，故选：A．【点拨】本题考查了二次函数的性质，菱形的性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．11．【分析】过点作于点，则，，再由锐角三角函数定义求出，即可得出答案．解：如下图：过点作于点，则，，在中，，∴，∴，即电线杆的高度为，故答案为：．【点拨】本题主要考查了直角三角形的应用，解题关键是由锐角三角函数定义正确求出．12．【分析】作出点A旋转前的对应点B，根据旋转的性质可得，，过点B作轴于点C，根据得出，根据勾股定理求出，即可得出点B的坐标，再用待定系数法求解即可．解：设点A旋转前的对应点为点B，则，∵，∴，∴，过点B作轴于点C，∵，∴，则，根据勾股定理可得：，则，解得：，负值舍去，∴，∴，把代入得：，故答案为：．

【点拨】本题主要考查了旋转的性质，解直角三角形，求反比例函数解析式，解题的关键是掌握旋转前后对应点到旋转中心连线相等，所成的夹角等于旋转角，勾股定理，以及用待定系数法求解函数表达式的方法．13．【分析】如图，过作于，过作与，由题意知，，，，，，解得，，根据，即，求解的值，根据求解的值，进而可得的值．解：如图，过作于，过作与，由题意知，，，，∴，，∴，，∵，∴，解得，∴，∴，故答案为：．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用．解题的关键在于明确线段之间的数量关系．14．【分析】作点关于的对称点，交于点，连接交于点，则的最小值为的长度；然后求出和的长度，再利用勾股定理即可求出答案．解：作点关于的对称点，交于点，连接交于点，则的最小值为的长度，∵是矩形的对角线，∴，，在直角中，，，∴，∴，由对称的性质，得，，∴，∴∵，，∴是等边三角形，∴，∴是直角三角形，∴，∴的最小值为，故答案为：．【点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点使得有最小值．15．【分析】连接，正方形和翻折的性质，得到，，设，等边对等角结合三角形的内角和定理，求出，得到，进而得到，得到四边形为平行四边形，得到，求出，勾股定理求出的长，根据同角的余角相等，得到，结合勾股定理求出的长，进而得到的长，即可得出结果．解：∵四边形为正方形，为的中点，∴，，，，连接，如图，∵翻折，∴，∴，∴，∵，∴，即：，∴，∴，∵，∴四边形为平行四边形，∴，设，则：，，∴，在中，；∵，∴，∴，即：，∴，∵，∴，∴，∴；故答案为：．【点拨】本题考查正方形中的折叠问题，勾股定理，解直角三角形，平行四边形的判定和性质．本题的综合性强，难度较大，属于压轴题．根据题意，正确的画出图形，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．16．/【分析】作，交的延长线于N，作轴于H，轴于Q，设，通过证得三角形相似求得N的坐标，进一步得到A的坐标，代入双曲线，得到关于a的方程，解方程即可求得a的值，从而求得k的值．解：作，交的延长线于N，作轴于H，轴于Q，设，∴，∵为等边三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴∴，∵，∴，∴A是的中点，∴，∵点A、B是第一象限内双曲线上的点（点B在点A的左侧），∴解得或，∵，∴，故答案为：．【点拨】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，三角形相似的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，表示出A的坐标是解题的关键．17．【分析】过点E作于点H，则是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的三边关系及，可求得；又，可得出各个边的长度；证明，得到，再证明，则，所以是等腰直角三角形，即可得出结果．解：如图，过点E作于点H，则是等腰直角三角形，

设，则，，在中，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，∴，，，，，是等腰直角三角形，．故答案为：．【点拨】本题主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，三角函数的定义等内容，证得的正切值及是等腰直角三角形是解题的关键．18．【分析】在中，根据，可得出，又根据正方形的边长为6，可得出，即可求得，，再根据，可得出，从而证得，进而得出，代入数值进行即可求解．解：设与相交于点H，如图所示：四边形为正方形，，，在中，，，，，，根据勾股定理可得：，，又，，，，，即，，故答案为：．【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，以及正方形的性质，解题的关键是能证明三角形的相似从而得出对应线段成比例进而解决问题．19．【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解．解：【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．20．（1）港口C离B点位置最近，最近距离为海里，理由见分析；（2）每小时海里【分析】（1）作辅助线连接AC、AD、BC、BD，过B作BH⊥AC于点H，将实际问题转化为几何问题，分别求得BA、BC、BD的长，比较得出最近的港口；（2）根据题意“（每小时渗入船内的海水总量每小时排出的海水总量）×船航行的时间≤75”列出不等关系式，然后再解不等式即可求得结果．（1）解：如图所示，连接BD，过B作BH⊥AC于点H．由已知得∠BAD=90°，∠BAC=30°，∠ABC=105°，AB=3×25=75．在Rt△ABH中，∵∠BAH=30°，∴BH=．∵∠ABH=60°，∴∠CBH=45°．在等腰Rt△CBH中，BC=，∴AB＞BC．又∵△BAD是直角三角形，∴BD＞AB．

综上可得，BD＞AB＞BC．∴港口C离B点位置最近，最近距离为海里．（2）解：此船应立即转向南偏东75°方向上直接驶向港口C．设由B驶向港口C船的速度为每小时x海里，则依题意得：，解得：．答：此船应转向沿南偏东75°的方向向港口C航行，且航行速度至少为每小时海里，才能保证船在抵达港口前不会沉没．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用即方向角问题，根据题意准确画出示意图是解这类题的前提和保障，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，使问题解决．21．（1）；（2）0【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂、分母有理化和特殊角的三角函数值计算即可；（1）由分式方程有增根，得到x2=0或x+2=0，即x=2或x=2，分别代入整式方程计算即可求出m的值；再对分式先化简，再把合适的m值代入化简后的式子进行计算即可解答．解：（1）=++1+=+1+1+=；（2）分式方程去分母得：x+2+mx=x2，由分式方程有增根，得到x2=0或x+2=0，即x=2或x=2，把x=2代入整式方程得：m=2；把x=2代入整式方程得：m=2；，∵m0，m1，m2，∴当m=2时，原式=．【点拨】本题考查了二次根式的运算，特殊角的三角函数值，分式方程的增根，分式的化简求值．注意：增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．22．（1）；（2）①见详解；②【分析】（1）连接BD，由三线合一得到，由勾股定理求出，进而利用锐角三角函数的定义求解；（2）①根据，设，得到，结合（1）得到，进而得到，利锐角三角函数的定义得到，易得，最后利用平行线的判定求解；②先用勾股定理求出，再利用E、F分别为AD、CD上的动点，使为中点得到，，进而求出，，即可求解它的最大值．（1）解：连接BD，如下图，∵，∴是等腰三角形．∵D为AC的中点，∴．∵，∴，∴，∴；（2）解：①∵，设，则，∴．∵由（1）得，，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴；②由①，，PE⊥AD，∴．∵E、F分别为AD、CD上的动点，使为中点，则，，∴．∵，且，x不能小于0，∴，解得，∴，∴当时，有最大值，最大值是．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，平行线的判定和一次函数最大值的求法．理解锐角三角函数的定义是解答关键．23．（1）；（2）点（6，8）；（3）当点从点出发，以每秒1个单位的速度沿轴正方向移动时，秒；沿CO方向在轴移动时，秒．【分析】（1）根据待定系数法