专题915矩形（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（苏科版）

专题9.15矩形（培优篇）（专项练习）一、单选题1．在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是（）A．AB＝AD B．OA＝OB C．AC＝BD D．DC⊥BC2．如图，在矩形ABCD中，点O为对角线BD的中点，过点O作线段EF交AD于F，交BC于E，OB＝EB，点G为BD上一点，满足EG⊥FG，若∠DBC＝30°，则∠OGE的度数为（）A．30° B．36° C．37.5° D．45°3．如图，在矩形中，是延长线上一点，，连接、，过点作于点，为上一点，连接，．若，，则的长为（

）A． B．8 C． D．4．如图，在矩形中，是边上的动点，于，于，如果，那么()A． B．C． D．5．把一张宽为1cm的长方形纸片ABCD折叠成如图所示的阴影图案，顶点A，D互相重合，中间空白部分是以E为直角顶点，腰长为2cm的等腰直角三角形，则纸片的长AD（单位：cm）为（

）A． B． C． D．6．如图，中，，，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接，，则线段的长等于（

）A． B． C． D．7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B，C，D，把一根长为2022个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点D处，并按D→A→B→C→D…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是（

）A．（1，0） B．（0，1） C． D．8．如图，矩形纸片中，，，点E、G分别在上，将、分别沿翻折，翻折后点C与点F重合，点B与点P重合．当A、P、F、E四点在同一直线上时，线段长为（

）A． B． C． D．9．如图．每个小正方形的边长为1，格点线段与交于点，与交于点，连接．有下列结论①；②；③；④；⑤；⑥的面积为0.75．其中正确的结论有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个10．如图，在中，，，斜边的两个端点分别在相互垂直的射线、上滑动，下列结论：①若、两点关于对称，则；②、两点距离的最大值为；③若平分，则；④四边形的面积为．其中正确结论的个数是（）A． B． C． D．二、填空题11．如图，已知矩形中，与相交于，平分交于，，则的度数为_______．12．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则S△ECF的值为____．13．如图，在矩形ABCD中，，对角线，BE平分∠ABC交AD于点E，Q是线段BE上的点，连接CQ，过点C作CP⊥CQ交AD的延长线于点P，当△PCQ为等腰三角形时，AP＝______．14．矩形ABCD与矩形CEFG如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝3，CD＝CE＝1，则GH＝_______．15．如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，F是CE的中点，若△BDF的面积为6平方厘米，则长方形ABCD的面积是_____平方厘米．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，将△ABD沿射线DB平移得到△A'B'D'，连接B′C，D′C，则B'C+D'C的最小值是_____．17．如图，在矩形中，，对角线，点，分别是线段，上的点，将沿直线折叠，点，分别落在点，处．当点落在折线上，且时，的长为______．18．在直角梯形中，AD∥BC，，，，那么________．三、解答题19．已知：矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，CE平分，交AB于点E，，求的度数．20．如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．(1)求证：BC＝DF；(2)连接CD、AF，当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形，请说明理由．21．将矩形置于平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为点，点在BC上，将矩形沿折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．当时，求点E的坐标；随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．22．如图，在矩形中，平分交于E，连接，．(1)如图1，若，，求的长；(2)如图2，若点F是边上的一点，若，连结交于G，①猜想的度数，并说明理由；②若，求的值．23．如图，在中，，，是边上的中线，点E，F分别在，边上运动（点E不与点A，C重合），且保持，连接，，．求证：；求四边形的面积；请直接写出三条线段，，之间的数量的关系：_______．24．如图1，在矩形中，，，点为边上一动点，连接，作点关于直线的对称点，连接，，，，与交于点．若DE=2，求证：AE//CF．如图2，连接AC，BD，若点F在矩形ABCD的对角线上，求所有满足条件的DE的长．如图3，连接BF，当点F到矩形ABCD一个顶点的距离等于2时，请直接写出△BCF的面积．参考答案1．A【分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A、AB＝AD，则▱ABCD是菱形，不能判定是矩形，故本选项错误；B、OA＝OB，根据平行四边形的对角线互相平分，AC＝BD，对角线相等的平行四边形是矩形可得▱ABCD是矩形，故本选项正确；C、AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项正确；D、DC⊥BC，则∠BCD＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得▱ABCD是矩形，故本选项正确．故选：A．【点拨】此题考察矩形的判定，熟记判定定理才可正确解答.2．C【分析】根据矩形和平行线的性质，得；根据等腰三角形和三角形内角和性质，得；根据全等三角形性质，通过证明，得；根据直角三角形斜边中线、等腰三角形、三角形内角和性质，推导得，再根据余角的性质计算，即可得到答案．解：∵矩形ABCD∴∴∵OB＝EB，∴∴∵点O为对角线BD的中点，∴和中∴∴∵EG⊥FG，即∴∴∴故选：C．【点拨】本题考查了矩形、平行线、全等三角形、等腰三角形、三角形内角和、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、全等三角形、等腰三角形、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．3．A【分析】先证得△CDE是等腰直角三角形，再进一步说明∠EBC=∠CGB得到CG=BC=EG=4,说明三角形BCG为等腰三角形，进而说明GH=BH、∠CHB=90°，再根据直角三角形的性质求得CH=BC=2，进而求得GH=BH=CH=2，最后根据EH=GH+GE求解即可．解：∵四边形ABCD是矩形∴∠CDA=90°，AD//BC∴∠CDE=90°，∠AEB=∠EBC=30°∵ED=CD∴△CDE是等腰直角三角形∴∠DCE=∠DEC=45°∴∠CEB=45°30°=15°∵EG=CG∴∠GCE=∠GEB=15°∴∠CGB=∠GCE+∠CEB=30°∴∠EBC=∠CGB∴CG=BC=4∴EG=4∵CH⊥BE∴GH=BH,∠CHB=90°∵∠EBC=30°∴CH=BC=2,GH=BH=CH=2∴EH=GH+EG=4+2．故选A．【点拨】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．4．A【分析】设AC、BD交于点O，连接OP，根据矩形的性质及勾股定理求出OA=OD=2.5，再求出△AOD的面积，根据面积关系即可求出答案.解：设AC、BD交于点O，连接OP，∵,∴BD=AC=5，∴OA=OD=2.5，∵，∴，∵于，于，∴，，∴，故选：A.【点拨】此题考查矩形的性质，勾股定理，根据矩形的性质求出△AOD的面积是解题的关键.5．D【分析】如图，过点M作MH⊥A'R于H，过点N作NJ⊥A'W于J．想办法求出AR，RM，MN，NW，WD即可解决问题．解：如图，过点M作MH⊥A'R于H，过点N作NJ⊥A'W于J．由题意△EMN是等腰直角三角形，EM=EN=2，MN=∵四边形EMHK是矩形，∴EK=A'K=MH=1，KH=EM=2，∵△RMH是等腰直角三角形，∴RH=MH=1，RM=，同法可证NW=，题意AR=RA'=A'W=WD=4，∴AD=AR+RM+MN+NW+DW=4++++4=.故答案为：D.【点拨】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形或特殊四边形解决问题．6．D【分析】延长交于点，作，垂足为．首先证明垂直平分线段，是直角三角形，求出的长，在中，利用勾股定理即可解决问题．解：如图，延长交于点，作，垂足为．在中，，，．为的中点，．，，解得．由翻折的性质可知，，，．

，，．．根据折叠的性质有：，，，，又，，，为直角三角形．．故选：D．【点拨】本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．7．A【分析】先求出四边形ABCD的周长为10，得到2022÷10的余数为2，由此即可解决问题．解：∵A（1，1），B（1，1），C（1，2），D（1，2），∴AB∥x轴，CD∥x轴，AD∥y轴，BC∥y轴，∴AB⊥AD，AB⊥BC，CD⊥AB，CD⊥BC，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∴四边形ABCD是矩形，∵AB=1(1)=2，BC=1(2)=3，∴四边形ABCD的周长为：2（AB+BC）=10，∵2022÷10=202…2，且AD=3，∴细线另一端所在位置的点在D处上面2个单位的位置，坐标为（1，0）．故选：A．【点拨】本题主要考查了规律型：点的坐标，解决问题的关键是熟练掌握矩形的周长公式，运用除法得到的余数确定点的位置．8．B【分析】根据矩形的性质得到，，，根据折叠的性质得到，，，根据勾股定理得到，设，由勾股定理列方程得到，由折叠的性质得到，，，求得，设，则，根据勾股定理列方程即可得到结论．解：在矩形纸片中，，，∴，，，∵将沿翻折，翻折后点C与点F重合，∴，，，∴，设，∴，，∵，∴，解得：，∴，∵将沿翻折，翻折后点B与点P重合，∴，，，∴，设，则，∵，∴，∴，∴线段GP长为，故选：B．【点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，根据勾股定理列方程是解题的关键．9．B【分析】先证明，再逐个选项推理即可．解：如图，由图可得，，∴，∴∵，∴，∴，∴，故①正确；∵，∴∴∴，∴，∴，故②正确；∵中，∴，∴，故③错误；∵，，∴，故④错误；连接，∵∴，∵，∴，∵，∴∴，故⑤正确；∵矩形，∴，∵，∴，∴的面积为0.75，故⑥正确；综上所述，正确的有①②⑤⑥；故选：B．【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，矩形的性质，掌握这些性质是解决问题的关键．10．B解：在中，，，∴，，∴若、两点关于对称，如图，∴为的垂直平分线，∴，∴①正确；②如图，取的中点为，连接、．∵，∴．当经过点时，最大且、两点距离的最大值为，∴②正确；③如图，当，，∴四边形是矩形，∴与相互平分，但与的夹角为、，不垂直，∴③不正确；④如图，此时四边形的面积，，∴④不正确．综上所述：正确的有①②，个结论．故选．点睛：本题是三角形的综合题，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是解答本题的关键，难度适中．11．【分析】先求出∠ADB，再说明三角形ODC是等边三角形，推出CD=OC，CE=CD，求出CE=OC，求出∠COE=∠OEC和∠OCB=30°即可解答．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∠ADC=90°，OA=OC，OB=OD，AC=BD，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE=∠ADC=45°，∵∠BDE=15°，∴∠ADB=∠ADE∠BDE=30°，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=30°，∴OA=OD=OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=30°，∴∠DOC=∠OBC+∠OCB=60°，∵OD=OC，∴△ODC是等边三角形，∴DC=OC，∵AD∥BC，∴∠ADE=∠DEC∴∠ADE=∠CDE，∴∠DEC=∠CDE，∴CE=DC∴CE=OC，∴∠COE=∠OEC，∵∠OCB=30°，∴∠COE=（180°∠OCE）=75°．故答案为75°．【点拨】本题考查了矩形的性质、、等边三角形的性质和判定、三角形的内角和定理等知识点，灵活应用所学知识是解答本题的关键．12．【分析】连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC=90°，再根据勾股定理求出CF的长度，进而即可求出S△ECF．解：如图，连接BF，，∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=3，又∵AB=4，∴AE=，由折叠可知：BF⊥AE（对应点的连线必垂直于对称轴），∴BH=，∴BF=，∵EF=BE=CE，∴∠BFC=90°，根据勾股定理可得：CF=，S△ECF=S△BCF=×××=，故答案为：．【点拨】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理以及三角形的面积公式，掌握知识点是解题关键．13．5【分析】过点Q作于点H，由矩形的性质并结合勾股定理确定，再证明以及为等腰三角形，即可推导，，然后由计算AP的长即可．解：过点Q作于点H，如下图，∵四边形ABCD为矩形，∴，，，∵，，∴，∵，点P在AD的延长线上，∴，∵△PCQ为等腰三角形，CP⊥CQ，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵BE平分∠ABC，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴．故答案为：5．【点拨】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键．14．【分析】延长GH交AD于M点，由矩形的性质得出CD=CE=FG=1，BC=EF=CG=3，BE∥AD∥FG，推出DG=CGCD=2，∠HAM=∠HFG，由ASA证得△AMH≌△FGH，得出AM=FG=1，MH=GH，则MD=ADAM=2，在Rt△MDG中，根据勾股定理得到GM，即可得出结果．解：延长GH交AD于M点，如图所示：∵四边形ABCD与四边形CEFG都是矩形，∴CD=CE=FG=1，BC=EF=CG=3，BE∥AD∥FG，∴DG=CGCD=31=2，∠HAM=∠HFG，∵AF的中点H，∴AH=FH，在△AMH和△FGH中，，∴△AMH≌△FGH（ASA）．∴AM=FG=1，MH=GH，∴MD=ADAM=31=2，在Rt△MDG中，GM=，∴GH=GM=，故答案为：．【点拨】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．15．48【分析】如下图，设矩形ABCD的长为m，宽为n，过点F作BC、DC的垂线，利用m、n表示出△BFD的面积，从而得出mn的大小，进而得出矩形ABCD的面积．解：如下图，过点F作BC、CD的垂线，分别交于点Q、G，设矩形ABCD的长为m，宽为n∵点E是AD的中点，点F是EC的中点，AD=m，AB=n∴FQ=，FG==∴∴mn=48故答案为：48【点拨】本题考查三角形面积问题，解题关键是利用表示出△BFD的面积，从而推导出mn的大小．16．【分析】根据矩形的性质和勾股定理可得BD＝2，即为B′D′的长，作点C关于BD的对称点G，连接CG交BD于E，连接D′G，如图，则有CD′＝GD′，CE⊥BD，CG＝2CE，利用三角形的面积可求得CG＝，然后以B′D′，GD′为邻边作平行四边形B′D′GH，可得B′H＝D′G＝CD′，于是当C，B′，H在同一条直线上时，CB′+B′H最短，且B'C+D'C的最小值＝CH，再根据勾股定理即可求出结果．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝1，∠A＝90°，∴，∵将△ABD沿射线DB平移得到△A'B'D'，∴B′D′＝BD＝2，作点C关于BD的对称点G，连接CG交BD于E，连接D′G，如图，则CD′＝GD′，CE⊥BD，CG＝2CE，∵CE＝，∴CG＝，以B′D′，GD′为邻边作平行四边形B′D′GH，则B′H＝D′G＝CD′，∴当C，B′，H在同一条直线上时，CB′+B′H最短，则B'C+D'C的最小值＝CH，∵四边形B′D′GH是平行四边形，∴HG＝B′D′＝2，HG∥B′D′，∴HG⊥CG，∴CH＝．故答案为：．【点拨】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、平移的性质、平行四边形的性质和勾股定理等知识，具有一定的难度，利用轴对称和平移的思想把所求B'C+D'C的最小值转化为求CB′+B′H的最小值是解题的关键．17．2或【分析】分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解．解：，，，当点落在上时，将沿直线折叠，，，，；当点落在上时，如图2，连接，过点作于，，，，，，将沿直线折叠，，，，，综上所述：的长为2或．【点拨】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列出方程是解题的关键．18．或##或【分析】该题根据题意分为两种情况，首先正确画出图形，根据已知易得的直角边和斜边的长，然后利用直角三角形斜边中线等于斜边一半得到等边三角形，进而即可求解．解：∠C存在两种情况：①当为锐角时，如图，过作，垂足为，取的中点，连接，，，，，四边形是矩形，，，，∵，，∴，∴，∴；②当为钝角时，如图，过作，垂足为，取的中点，连接，同理①可得，又∵，．∴综上，或，故答案为或．【点拨】该题重点考查了直角三角形的性质和等边三角形判定和性质，解决该题的关键一是：能根据题意画出两种情况，二是：把该题转化为直角三角形问题，从而即可求解.19．75°【分析】根据矩形的性质及CE平分得到∠BEC=∠BCE=∠DCE=45°，得到BE=BC，利用由此得到∠BAC=30°，根据矩形的性质证得△OBC是等边三角形，得到BC=OB=BE，由∠EBO=∠BAC=30°求出答案.解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=90°，OA=OB=OC=OD，CD∥AB，∵CE平分，∴∠BCE=∠DCE=45°，∵CD∥AB，∴∠BEC=∠BCE=∠DCE=45°，∴BC=BE，∵,∴∠BAC=30°，∴∠ACB=60°，∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC=OB=BE，∵∠EBO=∠BAC=30°，∴∠BEO=,故答案为：75°.【点拨】此题考查矩形的性质，等边三角形的判定及性质，等腰三角形等边对等角的性质，角平分线的性质，题中证得BE=OB是解题的关键.20．(1)见分析 (2)当BC＝AC时，四边形ADCF是矩形，理由见分析．【分析】（1）用平行四边形的定义判定；（2）当BC＝AC时，四边形ADCF是矩形．用DE是三角形中位线证明BD=AD，用四边形DBCF是平行四边形得到CF∥BD，CF=BD，得到AD=CF，推出四边形ADCF是平行四边形，根据AC=BC，BC=DF，得到AC=DF，从而平行四边形ADCF是矩形．解：（1）∵DE是△ABC的中位线，∴2DE＝BC，DE∥BC，∵CF∥AB，∴四边形DBCF是平行四边形，∴BC=DF；（2）当BC＝AC时，四边形ADCF是矩形，理由如下：∵DE是△ABC的中位线，∴DB＝AD，∵四边形DBCF是平行四边形，∴DB＝CF，∴AD＝CF，∵AB∥CF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵BC＝AC，BC=CF，∴AC=DF，∴平行四边形ADCF是矩形．【点拨】本题主要考查了三角形中位线，平行四边形，熟练掌上三角形中位线性质，平行四边形的判定和性质，是解决此类问题的关键．21．(1)． (2)点E能恰好落在x轴上．

【分析】（1）根据点A、点D、点C的坐标和矩形的性质可以得到点B和点E的坐标；（2）由折叠的性质求得线段和的长，然后利用勾股定理得到有关m的方程，求得m的值即可．解：（1）当时，点B的坐标为，∴，∴是等腰直角三角形，∴，则，∴，则E在y轴上，且，∴，则点E的坐标为．（2）点E能恰好落在x轴上．理由如下：∵四边形为矩形，∴，，由折叠的性质可得：，．假设点E恰好落在x轴上，则，即，则．在中，即，即，解得．【点拨】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理是解题的关键．22．(1) (2)①，理由见分析；②【分析】（1）由矩形的性质得，，，由角平分线的性质得出，则是等腰直角三角形，得出，推出，由勾股定理得出；（2）①连接，由（1）得，，由证得，得出，，证明是等腰直角三角形，即可得出结论；②根据矩形的性质得到，求得，过D作于M，根据余角的性质得到，得到，过A作于N，根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．（1）解：∵四边形是矩形，∴，，，∵平分，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴；（2）①，理由：连接EF，如图所示：由（1）得：，，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴；②∵四边形是矩形，∴，∴，过D作于M，∴，∴，∴，∵，∴，由①知，，∵，∴，∴，∴，过A作于N，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，由①知，，∴，，∴．【点拨】本题考查了四边形的综合题，矩形的性质、全等三角形的判定