专题124一次函数与方程不等式之间的关系（举一反三）（沪科版）

专题12.4一次函数与方程、不等式之间的关系【十大题型】【沪科版】TOC\o"13"\h\u【题型1一次函数与一元一次方程的解】 1【题型2两个一次函数与一元一次方程】 3【题型3利用一次函数的变换求一元一次方程的解】 6【题型4一次函数与二元一次方程（组）的解】 8【题型5不解方程组判断方程组解的情况】 10【题型6一次函数与一元一次不等式的解集】 14【题型7两个一次函数与一元一次不等式】 16【题型8一次函数与一元一次不等式组的解集】 21【题型9一次函数与不等式组中的阴影区域问题】 24【题型10绝对值函数与不等式】 30【知识点1一次函数与一元一次方程、不等式的关系】1.任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时，即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．2.解一元一次不等式可以看作：当一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围.【题型1一次函数与一元一次方程的解】【例1】（2023春·天津·八年级统考期末）已知方程ax+b=0的解为x=-32，则一次函数y=ax+A．(3,0) B．(-23,0) C．(-2,0) D．(-32【答案】D【分析】关于x的一元一次方程ax+b=0的根是x=-32，即x=-32时，函数值为0，所以直线过点(【详解】解：方程ax+b=0的解为x=-32，则一次函数y=ax+故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0【变式11】（2023秋·河北张家口·八年级统考期末）已知函数y=kx+b的部分函数值如表所示，则关于x的方程x…--1…y…53-…【答案】-【分析】根据题意，将方程kx+b=3的解转化为一次函数中y【详解】当y=3时，在一次函数y即kx+此时根据表格可得x=故答案为：-1【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，解此题的关键是掌握一次函数和一元一次方程之间的联系．【变式12】（2023春·四川绵阳·八年级校联考期末）已知关于x的方程ax﹣b＝1的解为x＝﹣2，则一次函数y＝ax﹣b﹣1的图象与x轴交点的坐标为．【答案】（−2，0）【分析】当y＝0时，ax−b−1＝0，可得ax−b＝1，根据题意可得图象与x轴的交点坐标．【详解】解：当y＝0时，ax−b−1＝0，∴ax−b＝1，∵关于x的方程ax−b＝1的解为x＝−2，∴一次函数的图象与x轴的交点坐标为（−2，0），故答案为：（−2，0）．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．【变式13】（2023秋·福建宁德·八年级统考期末）如图，一次函数y=ax+b的图象经过点2,4，4,1，则方程【答案】x【分析】由一次函数y=ax+b的图象经过点2,4，可得当【详解】解：∵一次函数y=ax+当x=2时，ax∴方程ax+b=4故答案为：x=2【点睛】本题考查的是一次函数的图象上点的坐标特点，理解函数图象上点的坐标满足函数解析式是解本题的关键．【题型2两个一次函数与方程组、不等式组】方程组的解与相应函数的交点坐标是相对应的。找到函数的交点坐标，也就找到了对应方程组的解，反之一样。对于不等式组的解集也可以通过其对应的函数图象来解决。【题型2两个一次函数与一元一次方程】【例2】（2023春·青海西宁·八年级统考期末）如图，一次函数y1=k1x+b与y2=k

【答案】-【分析】由图形知，两直线交于点(-1,-2)，即x=-1【详解】解：由图象知，k1x+【点睛】本题考查一次函数与方程的联系，图象法解方程，理解数形结合的思想是解题的关键．【变式21】（2023春·江苏南通·八年级统考期中）若一次函数y=kx+b与y=mx的图象交于点2,4，则关于x的方程2【答案】1【分析】由一次函数y=kx+b与y=mx的图象交于点【详解】解：∵一次函数y=kx+b与∴当x=2时，kx+b∴2k由2k+b∵m∴x故答案为：1．【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，解题的关键是根据图象的交点得到2k【变式22】（2023春·湖南益阳·八年级统考期末）如图，已知直线y=-x与y=kx+b交于点P

【答案】-【分析】先把点Pa,1代入y=-x，求出【详解】解：∵点Pa,1在直线∴-a∴a∴P由图象可知，方程kx+b=-x的解就是直线∴x故答案为：-1【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次方程的关系，掌握利用图象法解一元一次方程是解题关键．【变式23】（2023春·福建厦门·八年级厦门市松柏中学校考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1，l2分别是函数y=

（1）关于x的方程k1x+（2）若x=m，x=n分别为方程k1x+b1=3和【答案】x=-2【分析】（1）由函数y=k1x+（2）如图，画直线y=3，与直线l1，l2的交点分别为A，B，由图象可得：A的横坐标为x=m【详解】解：（1）∵函数y=k1x+∴关于x的方程k1x+故答案为：x=-2（2）如图，画直线y=3，与直线l1，l2的交点分别为A由图象可得：A的横坐标为x=m，B的横坐标为∴m<故答案为：m<【点睛】本题考查的是一次函数的图象与一元一次方程的联系，坐标与图形，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．【题型3利用一次函数的变换求一元一次方程的解】【例3】（2023春·安徽阜阳·八年级统考期末）若关于x的一次函数y=kx+b的图象经过点A-【答案】x【分析】将点A坐标代入一次函数，可求得k与b之间的关系，进而可化简方程kx【详解】∵一次函数y=kx+∴-k∴k化简方程kxk(根据题意，k≠0x+3=0解得：x=-3故答案为：x=-3【点睛】本题主要考查一次函数、一元一次方程，掌握一次函数图象上点的坐标特征，熟悉解一元一次方程的步骤是解题的关键．【变式31】（2023春·福建福州·八年级校联考期中）如图，一次函数y=ax+b的图象为直线l，则关于x的方程a【答案】x=2+3【分析】根据一次函数图象可得一次函数y=ax+b的图象经过2,0点，则函数y=【详解】解：∵一次函数y=ax+∴一次函数y=ax+b的图象向右平移3单位后，交∴关于x的方程ax-3故答案为：x=2+【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，一次函数图象与平移，关键是正确利用数形结合的方法解决问题．【变式32】（2023秋·江苏南京·八年级校考阶段练习）若一次函数y＝kx+b（k为常数且k≠0）的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程k（x﹣5）+b＝0的解为．【答案】x【分析】利用一次函数的性质求得b=2k，然后代入关于x的方程k(x﹣5)+b＝0，解方程即可．【详解】解：∵一次函数y＝kx+b（k为常数且k≠0）的图象经过点(﹣2，0)，∴-2∴b=2把b=2k代入方程k(x﹣5)+b＝得k(x﹣5)+2k＝0，解得x=故答案为：x【点睛】本题考查了一次函数的性质及一元一次方程的解法，解题的关键是利用一次函数的性质求得b=2【变式33】（2023秋•庐阳区校级期中）将直线y＝kx﹣2向下平移4个单位长度得直线y＝kx+m，已知方程kx+m＝0的解为x＝3，则k＝2，m＝﹣6．【分析】利用直线平移的规律得到m＝﹣6，然后把x＝3代入kx﹣6＝0可求出k的值．【解答】解：∵直线y＝kx﹣2向下平移4个单位长度得直线解析式为y＝kx﹣2﹣4，即y＝kx﹣6，∴m＝﹣6，∵程kx+m＝0的解为x＝3，∴3k﹣6＝0，解得k＝2．故答案为2，﹣6．【题型4一次函数与二元一次方程（组）的解】【例4】（2023春·江西宜春·八年级江西省宜丰中学校考期中）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知k为整数，若函数y=2x-1与y=A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】联立两函数表达式y=2x-1与y=kx+k，解方程组求x、【详解】解：解方程组y=2x-当k=-1，1，3，5时，x、y此时，两函数图象交点为整点，故选：C．【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，解二元一次方程组．关键是通过求交点坐标解方程组，根据x、y为整数确定k的取值．【变式41】（2023春·北京东城·八年级北京二中校考期中）用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（

）A．x+y=2x-2y=1 B【答案】D【分析】先确定两个函数的交点坐标，再把交点坐标逐一代入方程组进行检验，从而可得答案．【详解】解：由函数图象可得交点坐标为：x=-1∴把x=-1y=1代入x把x=-1y=1代入x把x=-1y=1代入x把x=-1y=1代入x故选D．【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解与函数的交点坐标之间的联系，掌握函数交点的坐标就是对应的方程组的解是解本题的关键．【变式42】（2023•德城区二模）若以关于x、y的二元一次方程x+2y﹣b＝0的解为坐标的点（x，y）都在直线y=-12x+b﹣1上，则常数A．12 B．1 C．﹣1 D．【分析】直线解析式乘以2后和方程联立解答即可．【解答】解：因为以关于x、y的二元一次方程x+2y﹣b＝0的解为坐标的点（x，y）都在直线y=-12x+b﹣直线解析式乘以2得2y＝﹣x+2b﹣2，变形为：x+2y﹣2b+2＝0，所以b﹣2b+2＝0，解得：b＝2，故选：D．【变式43】（2023春·吉林长春·八年级统考期末）如图，已知直线y=ax+b和直线y=kx交于点P，若二元一次方程组y=kx【答案】3【分析】根据函数图像可知，两条直线的交点坐标为(1,2)，由此即可求解．【详解】解：∵直线y=ax+b和直线y=∴二元一次方程组y=kxy∴x+故答案为：3．【点睛】本题主要考查一次函数图像的性质，两条直线相交的交点的公共解，掌握一元函数图像的性质是解题的关键．【题型5不解方程组判断方程组解的情况】【例5】（2023春·山东济宁·八年级统考期末）【活动回顾】：八年级下册教材中我们曾探究过“以方程x+y=5的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．发现：以方程x

示例：如图1，我们在画方程x-y=0的图象时，可以取点A(-1,-1)和（1）请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组x-y=12x（2）观察图象，上述两条直线的交点坐标为________，由此得出这个二元一次方程组的解是________；【拓展延伸】：（3）已知二元一次方程ax+by=7的图象经过两点A(1,2)和（4）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=x+3图象l1和一次函数y=x-【答案】（1）见解析（2）（3，2），x=3y=2（3）4【分析】（1）首先写出每个二元一次方程的两组解，x为横坐标，y为纵坐标，两点确定一条直线，画出图像即可；（2）由图可知交点坐标，而交点横坐标即为方程组解中x的值，交点纵坐标即为方程组解中y的值；（3）将两点的坐标代入方程，列出关于a，b的二元一次方程组，即可求出a，b的值；（4）①将方程组的两个二元一次方程转化为两个一次函数，而这两个一次函数的k相等，所以两直线平行；②两直线没有交点，故方程组无解．【详解】（1）对于2x+3y即可根据(3,2),(6,0)画出2x对于x-y=1即可根据(1,0),(3,2)画出x-

（2）根据图象可知，两直线的交点坐标为(3,2)∴二元一次方程组的解为x=3故答案为：(3,2)，x=3（3）将点A(1,2)和点B(4,1)代入二元一次方程得a+2解方程组，得a=1∴a+（4）∵y=2x+2与y∴两直线平行，没有交点，∴方程组2x∴方程组x-【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程（组），方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标，解题关键是掌握两个一次函数求交点与二元一次方程组的关系．【变式51】（2023秋·广东清远·八年级统考期末）函数y=ax+b与函数yA．无数解 B．无解 C．唯一解 D．不能确定【答案】C【分析】函数所表示的直线的交点即为函数所组成的方程组的解，方程组有几个解就是要看有几个交点．【详解】解：∵直线的交点即方程组的解，∴函数y=ax+b与函数y故选C．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，理解直线的交点即方程组的解是解题的关键．【变式52】（2023秋•泰兴市校级期末）已知关于x，y的方程组y（1）当k，b为何值时，方程组有唯一一组解；（2）当k，b为何值时，方程组有无数组解；（3）当k，b为何值时，方程组无解．【分析】（1）利用两直线的位置关系得到当k≠3k﹣1时，直线y＝kx+b与y＝（3k﹣1）x+2只有一个交点，于是可得到k的取值范围；（2）利用两直线的位置关系得到当k＝3k﹣1，b＝2时，直线y＝kx+b与y＝（3k﹣1）x+2重合，于是可得到k、b的值；（3）利用两直线的位置关系得到当k＝3k﹣1，b≠2时，直线y＝kx+b与y＝（3k﹣1）x+2没有一个交点，于是可得到k的值和b的取值范围．【解答】解：（1）当k≠3k﹣1时，即k≠12，直线y＝kx+b与y＝（3k﹣1）所以当k≠12，（2）当k＝3k﹣1，b＝2时，即k=12，b＝2，直线y＝kx+b与y＝（3k﹣1）所以k=12，b＝（3）当k＝3k﹣1，b≠2时，即k=12，b≠2，直线y＝kx+b与y＝（3k﹣1）所以k=12，【变式53】（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，b)．（1）求b的值；（2）不解关于x，y的方程组y=（3）直线l3：y＝nx＋m是否也经过点P？请说明理由．（4）直接写出不等式x+1≥mx+n的解集．【答案】（1）b＝2；（2）x=1y=2；（3）经过，见解析；（4【分析】（1）把P（1，b）代入直线l1：y=x+1即可求出b的值；（2）方程组的解实际就是两个一次函数的交点坐标；（3）根据一次函数图象上点的坐标特征进行判断；（4）根据点P（1，b）即可得到结论．【详解】解：（1）把P(1，b)代入y＝x＋1中得b＝2．（2）方程组的解实际就是两个一次函数的交点P的坐标，即解为：x（3）∵l2：y＝mx＋n经过P(1，2)，∴m＋n＝2，把P(1，2)代入y＝nx＋m，得m＋n＝2，故y＝nx＋m也经过P点．（4）x+1≥mx+n的解集可理解为直线l1：y＝x＋1的图像在直线l2：y＝mx＋n的图像上方部分，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，2)观察图像可得：x≥1．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组和一次函数的关系，以及一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握方程组的解就是两函数图象的交点．【题型6一次函数与一元一次不等式的解集】【例6】（2023秋·安徽马鞍山·八年级校考期中）已知一次函数y=ax+b的图象经过一、二、三象限，且与x轴交于点(-2，【答案】x【分析】根据一次函数y=ax+b的图象经过一、二、三象限可得a＞0，且与x轴交于点(-2，0)，得出b=2a，求不等式【详解】解：∵一次函数y=ax+b的图象经过一、二、三象限，则函数∴a＞把点(-2，0)，代入即可得到：-2不等式ax>b的解集就是求函数当y=0时，ax∴ax-∵a≠0∴x-∴x=2故当x＞2时，不等式则不等式ax>b的解集为故答案为：x＞【点睛】本题主要考查一次函数与不等式的关系，一次函数的图象与性质，一次函数与坐标轴的交点等知识，熟练掌握一次函数与不等式的关系式解题的关键．【变式61】（2023春·山东德州·八年级统考期中）已知一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)，x与y的部分对应值如下表所示，那么不等式kx+b<0的解集是()x210123y321012A．x<0 B．x>0 C．x<1 D．x>1【答案】D【分析】由表格得到函数的增减性后，再得出y=0时，对应的x的值即可．【详解】解：当x=1时，y=0，根据表可以知道函数值y随x的增大而减小，∴不等式kx+b＜0的解集是x＞1．故选D．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式之间的内在联系．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．【变式62】（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）已知一次函数y=ax+b（a、b是常数，a≠0）函数图象经过(1，4)，(2，2)两点，下面说法中：（1）a=2，b=2；（2）函数图象经过(1，0)；（3）不等式ax+b＞0的解集是x＜1；（4）不等式ax+b＜0的解集是x＜1；正确的说法有．（请写出所有正确说法的序号）【答案】（2）（3）【详解】∵一次函数y=ax+b(a、b是常数，a≠0)函数图象经过(−1，4)，(2，−2)两点，∴-a解得a=−2，b=2，故（1）错误；∴一次函数的解析式为y=−2x+2，令y=0，则−2x+2=0，解得：x=1∴图象经过(1，0)点，故（2）正确；∵a=−2，图象经过(1，0)点，∴不等式−2x+b>0的解集为x<1，即不等式ax+b＞0的解集是x<1，故（3）正确；不等式−2x+b<0的解集为x>1，即不等式ax+b<0的解集是x>1，故（4）错误．综上可知正确说法为（2）（3）．故答案为：（2）（3）．【变式63】（2023秋·浙江嘉兴·八年级统考期末）如图，一次函数y=kx+b的图象经过点(-2,0)，则关于x的不等式【答案】x【分析】观察函数图象得到即可．【详解】解：由图象可得：当x>-2时，kx所以关于x的不等式kx+b>0所以关于x的不等式k(x-即：x>1故答案为x>1【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+【题型7两个一次函数与一元一次不等式】【例7】（2023春·河南信阳·八年级统考期末）一次函数y1=kx+b与y

A．x>-1 B．x>2 C．x<-1 D【答案】C【分析】不等式kx+b-x+a>0【详解】解：由图象可知，不等式kx+b-故选：C．【点睛】本题考查了一次函数的图象与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线【变式71】（2023春·福建龙岩·八年级统考期末）直线y1=kx+2k+3和直线y2=-2x【答案】k【分析】根据y1<y2列出不等式kx+2k+3<-2【详解】解：∵当x<-2∴当x<-2整理得：kx+2xk∵当x<-2∴不等式xk+2<-2∴k+2>0解得：k>-2故答案为：k>-2【点睛】本题主要考查了一次函数和一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握一次函数的图形和性质，以及不等式的性质：不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．【变式72】（2023春·山东青岛·八年级统考期末）如图，直线y1=kx+b与x轴交于点A1,0，直线y2

(1)观察图象，直接写出不等式kx+b(2)若不等式3x+m>kx【答案】(1)x(2)-2,6【分析】（1）根据图象可直接得出答案；（2）由题意可得点C的横坐标为-2，把B-4,0代入y2=3【详解】（1）解：∵A1,0，y∴观察图象可知，不等式kx+b<0（2）解：由题意可得点C的横坐标为-2把B-4,0代入得：0=3x-解得m=12，∴y2把x=-2，代入y2解得y=6，∴点C的坐标为-2,6

【点睛】本题考查一次函数的性质，图象法解一元一次不等式，掌握一次函数的性质是解题的关键．【变式73】（2023春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y1=-12x+6分别与x轴、y轴交于点B、C

(1)求出点A的坐标；(2)根据图象，直接写出y2>y(3)若M是线段OA上的点，且△COM的面积为9，求直线CM【答案】(1)A(6，3)(2)x>6(3)直线CM解析式为y=-32【分析】（1）联立两直线解析式求出A的坐标即可；（2）由直线y2=1（3）根据M在直线OA．上，设出M坐标，表示出三角形COM面积，把已知面积代入求出x的值，确定出M坐标，利用待定系数法求出CM解析式即可；【详解】（1）解∶解方程组y=-得x=6∴A(6，3)（2）解：y2>y1时，即是直线l2∶y∵A(6，3)∴x>6

（3）解：y1=-12x∴OC=6，C设M(x，12∵△COM的面积为912×6×解得x=3∴12x=∴M(3，32设直线CM的函数表达式是y=把C(0，6)，M(3，6=k解得∶b=6∴直线CM解析式为y=-32【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及一次函数与坐标轴的交点、待定系数法确定一次函数解析式、一次函数图象的交点与不等式的关系及一次函数图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．【题型8一次函数与一元一次不等式组的解集】【例8】（2023春·山东东营·八年级统考期末）已知：同一个坐标系中分别作出了一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2的图象，分别与

(1)关于x的方程k1x+b1=0的解是_______；关于(2)请直接写出关于x的不等式k1(3)请直接写出关于x的不等式组k1(4)求△ABC【答案】(1)x=-(2)x(3)-(4)9【分析】（1）利用直线与x轴交点即为y=0时，对应x（2）利用两直线交点坐标，结合图象得出答案；（3）根据函数图像分别解不等式，再取公共部分即可；（4）利用三角形面积公式求解即可．【详解】（1）∵一次函数y=k1x+b1和y∴关于x的方程k1x+关于x的方程k2x+（2）∵一次函数y=k1x∴根据图象可以得到：关于x的不等式k1x+（3）根据图象可以得到：关于x的不等式k1x+关于x的不等式k2x∴关于x的不等式组k1x+（4）∵A-1,0，∴AB∴△ABC的面积=【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式，一次函数与不等式组，正确利用数形结合解题是解题关键．【变式81】（2023秋·浙江·八年级期末）如图，直线y=kx+b(k≠0)经过A(-1,-2)和【答案】-【分析】用待定系数法求出k、b的值，然后将它们代入不等式组中进行求解即可．【详解】解：将A(−1，2)和B(−3，0)代入y=kx+b中得：-解得：k=-1∴y=x3，则x+1<x3<0，解得：−3<x<−2，故答案为：−3<x<−2【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及不等式的解法，难度不大．【变式82】（2023秋·四川成都·八年级校联考期末）已知直线y1=kx+1(k<0)与直线【答案】1【分析】由mx-2<(m-2)x+1，即可得到x<3【详解】解：把(12,12解得k=∴y令y3当y3<y解得x<当kx+1<mx时，解得x>∴不等式组mx-2<kx【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+【变式83】（2023春·广东深圳·八年级统考期末）如图，一次函数y=﹣x﹣2与y=2x+m的图象相交于点P（n，﹣4），则关于x的不等式组{2x+【答案】﹣2＜x＜2【分析】先将点P（n，﹣4）代入y=﹣x﹣2，求出n的值，再找出直线y=2x+m落在y=﹣x﹣2的下方且都在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围即可．【详解】∵一次函数y=﹣x﹣2的图象过点P（n，﹣4），∴﹣4=﹣n﹣2，解得n=2，∴P（2，﹣4），又∵y=﹣x﹣2与x轴的交点是（﹣2，0），∴关于x的不等式组2x+故答案为-【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确确定出n的值，是解答本题的关键．【题型9一次函数与不等式组中的阴影区域问题】【例9】（2023春·全国·八年级专题练习）阅读，我们知道，在数轴上，x=1表示一个点，而在平面坐标系中，x=1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程2xy+1=0的所有解为坐标的点组成的图形，就是一次函数y=2x+1的图象，它也是一条直线，如图1，可以得出，直线x=1与直线y=2x+1的交点P的坐标（1，3）就是方程组x=1,2在直角坐标系中，x≤1表示一个平面区域，即直线x=1以及它的左侧的部分，如图2；y≤2x+1，也表示一个平面区域，即直线y=2x+1以及它下方的部分，如图3．回答下列问题：（1）在直角坐标系（如图4）中，用作图的方法求方程组x=-2,（2）用阴影表示x≥-2,【答案】（1）P的坐标（2，6））；（1）见解析【分析】（1）两条直线的交点就是两个一元二次方程的解，画出图形求交点解可；（2）在图中取不等式的等号时画出图形，即可得出阴影部分的图形．【详解】（1）在直角坐标系中，用作图的方法求方程组x=-2,y

图1

（图1中点P的坐标（2，6））；（2）：x≥-2,y≤-2

图2【点睛】求方程组的解可以用待定系数法，同样也可以用图解法，此题给了这种方法，可以简单明了的求出方程组的解．【变式91】（2023•黄冈中学自主招生）如图，表示阴影区域的不等式组为（）A．2x+y≥53