《数学分析III》课程教学大纲

《数学分析Ⅲ》教学大纲课程编号：122233A课程类型：eq\o\ac(□,√)通识教育必修课□通识教育选修课□学科基础课□专业核心课□专业提升课□专业拓展课总学时：48讲课学时：48实验（上机）学时：0学分：3考试类型：eq\o\ac(□,√)考试□考查适用对象：数学与应用数学（金融方向）、统计学eq\o\ac(□,√)是□否适合作为其他专业学生的个性化选修课先修课程：数学分析Ⅰ、Ⅱ一、教学目标《数学分析》是高等院校数学专业、统计学专业和其它对数学要求较高专业的极为重要的数学基础课之一，是几乎所有数学和统计后继课程的必备基础，对培养学生的数学素养至关重要。《数学分析Ⅲ》是其第三部分。目标1：通过本课程的学习，使学生掌握《数学分析Ⅲ》的基本理论和方法。目标2：培养学生严谨的逻辑思维和推理论证能力。目标3：提高学生运用数学工具来观察问题、思考问题、分析问题和解决问题的能力，为进一步学习现代数学科学和应用科学打下扎实的数学基础。目标4：培育有坚定理想信念、深厚爱国主义情怀、高尚道德情操，具有扎实数学和统计专业学识，坚韧奋斗进取品格的社会主义新青年。二、教学内容及其与毕业要求的对应关系（一）教学内容及要求《数学分析Ⅲ》主要教学内容包括曲线积分、曲面积分、含参量积分、傅里叶级数、向量函数微分学等。在教学过程中要细讲基本概念、基本性质及相关理论，使学生建立基本的知识框架，提高数学思维能力。在讲授曲面积分时，注意与几何学和多元函数重积分进行对比教学，使学生理解积分论从欧式空间推广到子流形。在讲课中，注意引入一些实际问题，激发学生的学习兴趣，逐步提高学生的知识运用能力和应用创新能力。（二）教学方法和教学手段在课堂教学中，以启发式教学为主进行课堂讲授，板书教学和多媒体教学结合。课堂上加强与学生的互动，引导学生探索讨论，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习主动性，提高课堂学习效率。本课程的实践教学环节以习题评析、实例讨论和应用研究为主，使学生能够理论联系实际，学以致用，从而逐步提高学生的知识运用能力和应用创新能力。（三）学习要求学生需要做好课前预习、课堂学习、课后复习、完成作业等学习环节，以掌握本课程所学内容。（四）该课程与毕业要求的对应关系该课程是专业知识结构中极为重要的根基，可以使学生掌握数学分析的基本理论和方法，为后续课程的学习打下基础。同时，本课程可以培养学生严谨的逻辑思维和推理论证能力，提高学生运用数学工具解决实际问题的能力。三、各教学环节学时分配教学课时分配序号章节内容讲课实验其他合计1第二十章曲线积分第一节第一型曲线积分第二节第二型曲线积分第二十一章第三节格林公式、曲线积分与线路的无关性882第二十二章曲面积分第一节第一型曲面积分第二节第二型曲面积分第三节高斯公式和斯托克斯公式第四节场论初步12123第十九章含参量积分第一节含参量正常积分第二节含参量反常积分第三节欧拉积分884第十五章傅里叶级数第一节傅里叶级数第二节以2l为周期的函数的展开式第三节收敛定理的证明12125第二十二章向量函数微分学n维欧式空间与向量函数向量函数的微分反函数定理和隐函数定理666课程总结22合计4848四、教学内容第二十章曲线积分第一节第一型曲线积分1.第一型曲线积分的定义2.第一型曲线积分的计算第二节第二型曲线积分1.第二型曲线积分的定义2.第二型曲线积分的计算第二十一章第三节格林公式、曲线积分与线路的无关性1.格林公式2.曲线积分与路线的无关性教学重点、难点：两类曲线积分的计算，格林公式课程的考核要求：掌握两类曲线积分与曲面积分的概念、性质及计算；了解两类曲线积分的意义、两类曲线积分的关系。掌握格林公式及其应用。了解曲线积分与路线无关的条件复习思考题：1.如何计算第一型曲线积分？2.如何计算第二型曲线积分？3.如何利用格林公式计算第二型线积分？第二十二章曲面积分第一节第一型曲面积分1.第一型曲面积分的定义2.第一型曲面积分的计算第二节第二型曲面积分1.曲面的侧2.第二型曲面积分的概念3.第二型曲面积分的计算4.两类曲面积分的联系第三节高斯公式和斯托克斯公式1.高斯公式2.斯托克斯公式第四节场论初步教学重点、难点：两类曲面积分的计算，高斯公式、斯托克斯公式及其应用课程的考核要求：掌握两类曲面积分的概念、性质及计算；了解两类曲面积分的关系；掌握高斯公式、斯托克斯公式及其应用；了解场论的初步知识。课程思政切入点：曲面积分可以用于计算大坝水流量，举例三峡工程建设，激发民族责任感。复习思考题：1.总结第一型曲面积分和第二型曲面积分的概念、性质及计算。2.利用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面积分与曲线积分的方法。第十九章含参量积分第一节含参量正常积分第二节含参量反常积分1.一致收敛性及其判别法2.含参量反常积分的性质第三节欧拉积分1.gamma函数2.beta函数3.gamma函数与beta函数之间的关系教学重点、难点：含参量正常积分的概念与性质，含参量反常积分一致收敛及其判别法，一致收敛的含参量反常积分的性质。课程的考核要求：掌握含参量正常积分的概念、性质；掌握含参量反常积分一致收敛及其判别法、一致收敛的含参量反常积分的性质；了解gamma函数、beta函数、gamma函数与beta函数之间的关系。课程思政切入点：gamma函数和beta函数的重要应用是数理统计学，学习不仅要学各门课的知识，还要学习各门课的联系。复习思考题：1.含参量正常积分的概念的提出及其导数的求法。2.含参量反常积分一致收敛的判别方法。3.gamma函数和beta函数在概率论中的应用。第十五章傅里叶级数第一节傅里叶级数1.三角级数，正交函数系2.以2π为周期的函数的傅里叶级数3.收敛定理第二节以2l为周期的函数的展开式1.以2l为周期的函数的傅里叶级数2.偶函数与奇函数的傅里叶级数第三节收敛定理的证明教学重点、难点：傅里叶级数的收敛定理，函数的傅里叶级数展开方法。课程的考核要求：理解三角函数系的正交性与函数的傅里叶级数的概念和收敛定理；掌握将以2π（2l）为周期的函数展开成傅里叶级数的方法；了解收敛定理的证明。课程思政切入点：结合数学史，傅里叶分析在中国引入到蓬勃发展，增强民族自信心。复习思考题：1.傅里叶级数的收敛定理及其应用。2.将以2π（2l）为周期的函数展开成傅里叶级数的方法。3.思考傅里叶级数中几种收敛性的联系。第二十三章向量函数微分学第一节n维欧氏空间与向量函数1.n维欧氏空间2.向量函数3.向量函数的极限与连续第二节向量函数的微分1.可微性与可微条件2.可微函数的性质3.黑塞矩阵与极值第三节反函数定理和隐函数定理1.反函数定理2.隐函数定理3.拉格朗日乘数法教学重点、难点：微分中值不等式，反函数定理和隐函数定理的证明。课程的考核要求：掌握欧式空间的定义；掌握向量函数的极限与连续性，可微性与可微条件；了解微分中值不等式，黑塞矩阵和极值的充分、必要条件；应用反函数定理，隐函数定理，和拉格朗日乘数法。复习思考题：1.微分中值不等式与微分中值定理的区别与联系。2.反函数定理和隐函数定理举例。五、考核方式、成绩评定本课程采用闭卷考试的方式进行考核。考核成绩包括平时成绩与期末考试成绩，其中平时成绩（包括作业、考勤、课堂表现及期中考试）占40%，期末考试成绩占60%。六、主要参考书及其他内容教材华东师范大学数学系编著.数学分析(第五版)下册.北京:高等教育出版社.2019年。教学参考书[1]WalterRudin著，赵慈庚，蒋铎译.《数学分析原理》（原书第三版）.北京：机械工业出版社.2005年1月.[2]Γ.Μ.菲赫金哥尔茨著.《微积分学教程》(共三卷第八版）.北京：高等教育出版社.2006年