南省长沙市第一中学2024-2025学年高三上学期月考（二）数学试卷 含解析

长沙市一中2025届高三月考试卷（二）数学时量：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由对数单调性解集合中不等式，再求集合交集即可.【详解】由可得，故，又因为，所以.故选：D2.已知为虚数单位，，则的共轭复数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据除法运算可得，再根据共轭复数的概念分析判断.【详解】因，则，所以的共轭复数.故选：A.3.已知曲线在点处的切线与轴相交于点，则实数（）A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】先求出切线方程，再将点代入求解.【详解】解：因为，所以，则，所以在点处的切线方程为，又因为切线与轴相交于点，所以，解得，故选：A4已知向量，，且实数，若A，B，C三点共线．则（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】由三点共线转化为两个向量共线，即共线，由向量共线的坐标表示计算．【详解】，，因为A，B，C三点共线，所以，则，解得或，，.故选：D.5.已知过坐标原点的直线与焦点为的抛物线在第一象限交于点，与的准线交于点，若，则直线的斜率为（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】根据题意求出点坐标，然后代入斜率公式求解即得【详解】因为抛物线，所以抛物线的准线方程为，故点的横坐标为.因为，所以点的横坐标，所以点的纵坐标.又焦点的坐标为，所以直线的斜率为.故选：A.6.已知函数与直线在第一象限的交点横坐标从小到大依次分别为，则（）A. B.0 C.1 D.【答案】D【解析】【分析】先运用辅助角公式将函数化为，再通过解方程，解出，最后计算即可.【详解】，设，若，则，，即或，所以，因此，所以.故选：D.【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是辅助角公式的运用，二是换元思想的运用.7.定义：为实数x，y中较小的数，已知，其中a，b均为正实数，则h的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用基本不等式得到，比较与的大小即可求出h的最大值【详解】∵a，b均为正实数∴，当且仅当，即时，等号成立∵当即时，，故，当时，综上所述，的最大值为故选：C8.若不等式有且仅有三个整数解，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】设，作出的图象为，则结合图象，要不等式有且仅有三个整数解，取讨论它们的大小，即可得到的范围.【详解】设，，由，得，当x∈0,1时，f′x当时，f′x<0，当时，f′x>0，单调递增，且，作出的图象为，由，x∈0,+∞当x∈0,1时，，即，当x∈1,+∞时，，即，因为，，所以，而，即，则结合图象，要不等式有且仅有三个整数解，只需即，所以实数a的取值范围是.故选：A.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9.记等差数列的前项和为，公差为，若，，则（）A. B.的最小值为C. D.使的的最小值为11【答案】ABD【解析】【分析】利用等差数列通项公式即前项和公式列方程组，即可判断AC；求出，结合二次函数性质即可判断B；解，即可判断D.【详解】对于AC，由题意可得，解得，故A正确，C错误；对于B，，所以，当时，取到最小值，故B正确；对于D，令，即，解得或，因为，所以使的的最小值为11，故D正确.故选：ABD10.若随机变量，，则（）A. B.C. D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】利用正态分布的性质逐项判断即可.【详解】对于A，随机变量满足正态分布，且，故，故A正确；对于B，当时，此时，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故单调递增，故，即，解得，故D正确.故选：ACD11.如图，在锐二面角的半平面内有一个四边形，点在上，，，和的面积均为，点到平面的距离为，点到平面的距离为，则（）A.B.直线与所成的角为C.直线与平面所成的角为D.二面角的大小为【答案】ABD【解析】【分析】先根据已知条件确定四边形的几何特征，得出四边形是平行四边形，且、都与垂直，再利用面面平行的性质证明，利用为平行四边形证明，再利用线线角、线面角、二面角定义逐一判断B、C、D选项即可.【详解】在四边形中，设与相较于点，过向作垂线，垂足为，过向作垂线，垂足为因为和的面积均为，，所以，与中，，，，所以，所以，又因为，所以；在中，，，，在中，同理可证，又因为，所以、分别与、重合，所以四边形是平行四边形，且、都与垂直；延长交于，过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，连接、，，平面，平面，所以平面，又因为，同理可证平面，又，所以平面平面，又因为平面，又因为平面，所以；因为，，，所以，所以，又因为点到平面的距离为，点到平面的距离为，所以，因为，所以，因为，所以，所以,又，所以四边形为平行四边形，所以，即，且，，故A正确；根据题意，直线与所成的角为，在中，，，，所以，所以，故B正确；链接，根据题意有，直线与平面所成的角为，在中，，，所以，，所以C错误；因为平面，平面，所以，，平面，平面，，所以平面，平面，所以，又因为，且二面角为锐二面角，所以二面角的平面角为，在中，，，所以，所以，故D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题关键在于：①先根据已知条件确定四边形的几何特征，得出四边形是平行四边形，且、都与垂直；②利用面面平行的性质证明.三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.设双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为，若，则的离心率为_________．【答案】##【解析】【分析】根据的两个关系，再由，求解离心率.【详解】根据双曲线的两条渐近线的倾斜角为，则，又，所以，所以,故.故答案为：.13.已知正三棱柱中，，动点在侧面内，且．若点的轨迹长为，则该正三棱柱的体积为_________．【答案】【解析】【分析】本题涉及到正三棱柱的体积计算以及向量垂直的相关知识.首先需要根据向量垂直的条件求出点的轨迹，再根据轨迹长求出正三棱柱的棱长，最后根据棱柱体积公式计算体积.详解】过作yAC,以为原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.设，则.设，，.则，.因为，所以，即.配方得，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆.已知点的轨迹长为，因为轨迹是四分之一圆，半圆的弧长公式为（，为半径）.这里，，解得a=2.正三棱柱的体积公式为（为底面三角形面积，为高）.底面正三角形的边长，则，高.所以正三棱柱的体积.故答案为：.14.记不超过的最大整数为．若函数既有最大值也有最小值，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】根据题意取，则，将问题转化在区间上既有最大值也有最小值，然后分，，，四种情况讨论即可求出结果.详解】取，则，所以函数既有最大值也有最小值，即在区间上既有最大值也有最小值，当时，在区间上单调递增，只有最小值，无最大值，不合题意，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，又，则，此时只有最小值，没有最大值，不合题意，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，又，则，此时有最大值为，最小值为，当时，在区间上单调递减，只有最大值，无最小值，不合题意，综上所述，实数的取值范围是，故答案为：.【点睛】关键点点晴：通过令，得到，从而将问题转化成在区间上既有最大值也有最小值来解决.四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失．设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞分裂相互独立．设有一个初始的细胞，从第一个周期开始分裂．（1）当时，求个周期结束后细胞数量为个的概率；（2）设个周期结束后，细胞的数量为，求的分布列和数学期望．【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）个周期结束后细胞数量为个,分以下三种情况，第一个周期分裂为个细胞，后面两个周期均保持为个细胞，第二个周期分裂为个细胞，后面一个周期保持为个细胞，前两个周期都保持为个细胞，第三个周期分裂为个细胞，依次计算即可得出结果；（2）求出的取值及不同取值对应的概率，进而列出分布列，利用期望公式求出期望.【小问1详解】由题意可知，当时，个周期结束后细胞数量为个,则设第个周期分裂为个细胞，之后一直保持为个细胞，第一个周期分裂为个细胞，后面两个周期均保持为个细胞，故,第二个周期分裂为个细胞，后面一个周期保持为个细胞，故,前两个周期都保持为个细胞，第三个周期分裂为个细胞，故，综上可知，.【小问2详解】个周期结束后，的取值可能为,其中,，，，所以分布列为.16.如图，是半球的直径，是底面半圆弧上的两个三等分点，是半球面上一点，且．（1）证明：平面：（2）若点在底面圆内的射影恰在上，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，可证为的中点且，可得，又，由线面垂直的判定可证；（2）以点为坐标原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，用向量法可求解.【小问1详解】连接，因为是底面半圆弧上的两个三等分点，所以有，又因为，所以都为正三角形，所以，四边形是菱形，记与的交点为，为和的中点，因为，所以三角形为正三角形，所以，所以，因为是半球面上一点，是半球的直径，所以，因为，平面，所以平面．【小问2详解】因为点在底面圆内的射影恰在上，由（1）知为的中点，为正三角形，所以，所以底面，因为四边形是菱形，所以，即两两互相垂直，以点为坐标原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以，，，设平面的一个法向量为，则，所以，取，则，设直线与平面的所成角为，所以，故直线与平面所成角的正弦值为．17.已知函数．（1）当时，求的极值；（2）当时，，求的取值范围．【答案】（1）极小值为，无极大值.（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.（2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围.【小问1详解】当时，，故，因为在上为增函数，故在上为增函数，而，故当时，，当时，，故在处取极小值且极小值为，无极大值.【小问2详解】，设，则，当时，，故在上为增函数，故，即，所以在上为增函数，故.当时，当时，，故在上为减函数，故在上，即在上f′x<0即故在上，不合题意，舍.当，此时在0,+∞上恒成立，同理可得在0,+∞上恒成立，不合题意，舍；综上，.【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.18.已知双曲线的焦距为4，离心率为分别为的左､右焦点，两点都在上.（1）求的方程；（2）若，求直线的方程；（3）若且，求四个点所构成的四边形的面积的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由双曲线的性质结合题意可得结果；（2）设出直线的方程，直曲联立表示出韦达定理，再结合得到，解出，即可求出直线方程；（3）结合已知作出图象，设出直线和的方程，由弦长公式表示出弦长，再求出直线与间的距离进而求出，最后求导分析其单调性再求出取值范围即可；【小问1详解】由题意可得，解得，故曲线的方程为，【小问2详解】根据题意知直线的斜率不为零，设直线的方程为，得，都在右支上，由，消去可得，易知，其中恒成立，，代入，消元得，所以，解得，满足，所以直线的方程为，小问3详解】Ax1,y1,Bx2,y2，，则分别在两支上，且都在的上方或的下方，不妨设都在的上方，又，则在第二象限，在第一象限，如图所示，延长交双曲线与点，延迟交双曲线于点，由对称性可知四边形为平行四边形，且面积为四边形面积的2倍，由题设直线的方程为，直线的方程为，由第（2）问易得，因为，所以，两条直线与间的距离，所以，令，，所以，设，则，在上恒为减函数，所以在上恒为增函数，当时即，取得最小值为12，所以当且，则四个点所构成的四边形的面积的取值范围为.【点睛】方法点睛：（1）本题第二问给出向量关系让求直线方程时，常用直曲联立，表示出韦达定理，再根据向量关系求出参数即可；（2）本题第三问再求四边形面积的取值范围时，先由弦长公式表示出一条边，再由两平行线间距离公式表示出高，最后再求导分析.19.已知数列满足：，，，当时，．（1）求数列的通项公式；（2）当时，求证：；（3）求解方程：．【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）令，即可得到，结合等差数列的定义求出an的通项公式；（2）依题意等价于证明，利用二项式定理证明即可；（3）由（2）可知，先证明，，即可得到当时，从而得到时方程不成立，再列出，，，，时方程是否成立，即可得解.【小问1详解】