3.7 长方体、正方体体积公式的应用（学霸课堂笔记）-2023-2024学年数学五年级下册同步培优讲义（人教版）

3.7长方体、正方体体积公式的应用第一部分第一部分学问清单与平面接触的这个面叫做底面。长方体的长和宽相乘就是底面的面积。长方体或正方体底面的面积叫底面积。长方体或正方体的体积=底面积×高V=Sh其次部分其次部分典型例题例1：玲玲家有一个长方体鱼缸。从里面量，长是60厘米，宽是15厘米，里面盛有水，水里养有一条鱼，此时水面高度是20厘米，假如把这条鱼捞出来，水面将下降到18厘米。这条鱼的体积是（

）立方厘米。A．5400 B．1800 C．16200 D．18000答案：B分析：依据题意，下降部分水的体积就等于鱼的体积。长方体体积＝长×宽×高，由此列式解答。详解：60×15×（20－18）＝900×2＝1800（立方厘米）所以，这条鱼的体积是1800立方厘米。故答案为：B例2：一个正方体的棱长扩大到原来的2倍后，体积是64dm3，正方体原来的体积是（

）dm3。A．8 B．16 C．32 D．128答案：A分析：正方体体积＝棱长×棱长×棱长，正方体的棱长扩大到原来的2倍后，体积扩大到原来的（2×2×2）倍，已知一个数的几倍是多少，求这个数用除法，据此用现在的体积÷扩大到原来的倍数＝原来的体积。详解：64÷（2×2×2）＝64÷8＝8（dm3）正方体原来的体积是8dm3。故答案为：A例3：给一个棱长2厘米的正方体包装盒四周都贴上商标，贴商标的面积是()平方厘米，这个正方体的体积是()立方厘米。答案：168分析：正方体的特征：6个面都是完全一样的正方形。依据题意，假如在正方体包装盒四周都贴上商标，那么贴商标的面积等于正方体4个面的面积之和；依据正方形的面积公式S＝a2，求出一个面的面积，再乘4，即可求出贴商标的面积。依据正方体的体积公式V＝a3，即可求出这个正方体的体积。详解：2×2×4＝16（平方厘米）2×2×2＝8（立方厘米）贴商标的面积是16平方厘米，这个正方体的体积是8立方厘米。例4：一根长方体的木料长200厘米，横截面积是0.04平方厘米，它的体积是()立方厘米。答案：8分析：横截面积＝宽×高，依据长方体体积＝横截面×长，列式计算即可。详解：0.04×200＝8（立方厘米）它的体积是8立方厘米。：基础过关练一、选择题1．一个长方体水缸，长20厘米，宽15厘米，将一块石头投入水中（石头全部浸没）水面上升2厘米，这块石头体积的计算算式是（

）。A． B．C． D．2．一个长方体油箱，从里面量长5分米，宽4分米，高4分米。假如每升汽油的价格为6.2元，加满这个油箱一共要用（

）元。A．469 B．496 C．4983．把2瓶容量是2升的酱油倒入到500毫升的瓶子中，可以倒（

）瓶。A．10 B．4 C．84．有甲、乙、丙三个容器，把甲容器装满水倒入乙容器中，乙容器没有倒满，把丙容器的水倒入乙容器中，丙容器的水还有剩余，问最大的容器是（

）。A．甲容器 B．乙容器 C．丙容器 D．无法推断5．一个长方体长x厘米、宽y厘米、高z厘米，假如它的高增加3厘米，那么体积比原来增加（

）立方厘米。A．3xy B．3xz C．3yz D．3xyz二、填空题6．一个长方体玻璃鱼缸长4分米，宽25厘米，鱼缸内盛有38厘米深的水。将一块假山石完全没入鱼缸中，现在鱼缸内水深41厘米。这块假山石的体积是()立方厘米。7．将两块正方体积木拼在一起拼成一个长方体（如图），每块积木的棱长为5厘米，拼成的长方体的体积是()立方厘米。8．饺子取“更岁交子”的意思，我国北方有过春节吃饺子的习俗。一般煮一锅饺子大约需要4()水，吃饺子需用醋调料约10()。（填合适的容积单位）9．某品牌矿泉水瓶上标有“净含量毫升”的字样，表示这瓶矿泉水的标准净含量是()升，实际每瓶最多不超过()升，最少不少于()升。10．在一个长9分米、宽8分米，高5分米的长方体木块上截下一个体积最大的正方体木块，剩余部分的体积是()立方分米。三、推断题11．一个长方体的长、宽、高同时扩大2倍，则表面积和体积扩大8倍。()12．若两个长方体的底面积和高分别相等，则它们的体积也相等。()13．把3块棱长为2cm的正方体木块拼成一个长方体。这个长方体的表面积是56cm2，体积是24cm3。()14．一瓶可乐的容量是2升，雪雪和爸爸、妈妈、哥哥每人喝450毫升就把这瓶可乐喝完了。()15．一种矿泉水桶最多能装19L水，19L是指这矿泉水桶的体积。()：培优提升练四、解答题16．要在平地上挖一个长50米、宽30米、深50厘米的长方体土坑，一共要挖出多少方的土？

17．将一块长12分米，宽8分米的长方形铁皮四个角各剪下一个边长为2分米的正方形（如图），然后焊成一个无盖的长方体水槽。这个水槽用了多少铁皮？水槽盛水多少升？（不计铁皮的厚度）18．杭州亚运会跳水竞赛在杭州奥体中心游泳馆进行。杭州奥体中心游泳馆位于杭州市萧山区，与杭州奥体中心体育馆称“化蝶”双馆。在杭州亚运会上，中国跳水“梦之队”在这里包揽了全部十枚金牌。工作人员现在给一个长50米，宽30米的长方体游泳池注水，注水速度是每小时200立方米。要使水深达到1.8米。需要多长时间？19．一个注满水的长方体鱼缸，里面有一块体积为27立方分米的假山石。已知这个鱼缸的长为4.5分米，宽为2.5分米，高为8分米。若将鱼缸中的假山石取出，水位下降多少分米？20．“水立方”位于北京奥林匹克公园内，它与一墙之隔的“鸟巢”一起被称为2008年北京奥运会两大标志性建筑物。你知道吗？在水立方内有一个国际标准的长方体游泳池，它的长是50米，宽是25米，深是3米。（1）在内壁沿池底向上2米处画一条水位线。它的全长是多少米？（2）假如用瓷砖贴水池的四周和底面，贴瓷砖的面积是多少平方米？（3）假如池内水深2米，这个游泳池内的水有多少吨？（1立方米水重1吨）21．一个铁箱长60厘米，宽50厘米，高40厘米，当水深2分米时，铁箱内的水的容积是多少升？将6块完全相同的石块放入铁箱内，石块全部潜入水底后水深2.06分米。每块石块的体积是多少？22．一个长方体的空油箱，它的长、宽、高分别是5分米、4分米、3分米，向油箱中加入56升汽油，油箱加满了吗？假如每升汽油7.5元，则这次加油一共需要多少钱？23．一个长方体的容器（如图），里面的水深5厘米，把这个容器盖拧紧后竖放，使长10厘米、宽8厘米的面朝下，这时里面的水深是多少厘米？

1．A分析：由于石头完全浸没在水中，所以石头的体积等于上升的水的体积，上升的水的体积等于长是20厘米，宽15厘米，高是2厘米的长方体的体积，依据长方体体积长×宽×高，计算即可。详解：20×15×2＝300×2＝600（立方厘米）这块石头体积的计算算式是20×15×2。故答案为：A2．B分析：依据长方体容积公式：容积＝长×宽×高，代入数据，求出这个长方体油箱的容积，1立方分米＝1升，把立方分米换算成升，再乘6.2，即可解答。详解：5×4×4＝20×4＝80（立方分米）80立方分米＝80升80×6.2＝496（元）一个长方体油箱，从里面量长5分米，宽4分米，高4分米。假如每升汽油的价格为6.2元，加满这个油箱一共要用496元。故答案为：B3．C分析：1升＝1000毫升，即4毫升＝4000毫升，用4000除以500即可得出答案。详解：4000÷500＝8（瓶）把2瓶容量是2升的酱油倒入到500毫升的瓶子中，可以倒（8）瓶。故答案为：C点睛：本题主要考查单位的换算，解答本题的关键在于知道二者之间的进率。4．C分析：把甲容器装满水倒入乙容器中，乙容器没有倒满可知，则甲容器的容量＜乙容器的容量；把丙容器的水倒入乙容器中，丙容器的水还有剩余，则丙容器的容量＞乙容器的容量，依此比较并选择即可。详解：依据分析可知，甲容器的容量＜乙容器的容量＜丙容器的容量，因此最大的容器是丙容器。故答案为：C点睛：娴熟把握对容积的生疏，是解答此题的关键。5．A分析：由题意可知，一个长方体长x厘米、宽y厘米、高z厘米，假如它的高增加3厘米，此时的高为（z＋3）厘米，再依据长方体的体积公式：V＝abh，据此分别求出变化前后长方体的体积，再求出它们的差即可。详解：x×y×（z＋3）－x×y×z＝xyz＋3xy－xyz＝3xy则体积比原来增加3xy立方厘米。故答案为：A点睛：本题考查长方体的体积，熟记公式是解题的关键。6．3000分析：依据题意，将一块假山石完全没入鱼缸中，鱼缸里的水面由38厘米上升到41厘米，则假山石的体积等于水上升部分的体积；水上升部分是一个长4分米、宽25厘米、高（41－38）厘米的长方体，先依据进率“1分米＝10厘米”统一单位，再依据长方体的体积＝长×宽×高，求出这块假山石的体积。详解：4分米＝40厘米40×25×（41－38）＝40×25×3＝1000×3＝3000（立方厘米）这块假山石的体积是3000立方厘米。7．250分析：依据题意可知，长方体的长为（5＋5）厘米，宽和高都是5厘米，结合长方体的体积公式：，代入数据计算即可。详解：长方体的长：5＋5＝10（厘米）长方体的体积：10×5×5＝50×5＝250（立方厘米）所以拼成的长方体的体积是250立方厘米。8．升/L毫升/mL分析：依据生活阅历以及对容积单位和数据大小的生疏可知，一般煮一锅饺子大约需要4升水，吃饺子需用醋调料约10毫升。详解：依据实际状况可知，一般煮一锅饺子大约需要4升水，吃饺子需用醋调料约10毫升。9．0.50.5050.495分析：小单位化大单位除以进率，依据题意可知最多是（500＋5）毫升，最少是（500－5）毫升，再把它们的单位换算成升即可。详解：（1）1升＝1000毫升，由于500÷1000＝0.5，所以500毫升＝0.5升；（2）500＋5＝505（毫升），由于505÷1000＝0.505，所以实际每瓶最多不超过0.505升；（3）500－5＝495（毫升），由于495÷1000＝0.495，所以实际每瓶最少不超过0.495升。10．235分析：依据题意，要截下一个体积最大的正方体木块，那么这个正方体的棱长等于长方体的高，再利用长方体和正方体的体积公式，分别求出长方体木块和正方体木块的体积，再用长方体木块的体积减去正方体木块的体积，即可得解。详解：9×8×5－5×5×5＝360－125＝235（立方分米）即剩余部分的体积是235立方分米。点睛：此题的解题关键是理解正方体的棱长与长方体的长宽高之间的关系，再利用长方体和正方体的体积公式，从而得解。11．×分析：设长方体的长是a，宽是b，高是h；扩大后长方体的长是2a，宽是2b，高是2h；依据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积公式：体积＝长×宽×高，分别求出原来长方体的表面积和体积；扩大后长方体的表面积和体积，再用扩大后长方形体的表面积÷原来长方体的表面积；扩大后长方体的体积除以原来长方体的体积，再进行比较，即可解答。详解：设原来长方体的长是a，宽是b，高是h；则扩大后长方体的长是2a，宽是2b，高是2h。（2a×2b＋2a×2h＋2b×2h）×2÷[（a×b＋a×h＋b×h）×2]＝（4ab＋4ah＋4bh）÷（ab＋ah＋bh）＝4×（ab＋ah＋bh）÷（ab＋ah＋bh）＝4（2a×2b×2h）÷（a×b×h）＝（4ab×2h）÷（abh）＝8abh÷abh＝8一个长方体的长、宽、高同时扩大2倍，则表面积扩大到原来的4倍，体积扩大到原来的8倍。原题干说法错误。故答案为：×12．√分析：底面积和高分别相等的长方体，依据长方体的体积公式可知：V＝Sh，可得出它们的体积也是相等的，据此解答。详解：依据分析可得，若两个长方体的底面积和高分别相等，由于它们的体积都是用底面积×高求得，所以它们的体积也是相等的，原题说法正确。故答案为：√点睛：本题考查了长方体体积公式，长方体的体积是由底面积和高的乘积共同打算的。13．√分析：把3块棱长为2cm的正方体木块拼成一个长方体，则该长方体的长为2×3＝6cm，宽和高都为2cm，然后依据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，长方体的体积公式：V＝abh，据此进行计算并推断即可。详解：2×3＝6（cm）长方体的表面积：（6×2＋6×2＋2×2）×2＝（12＋12＋4）×2＝28×2＝56（cm2）长方体体积：6×2×2＝12×2＝24（cm3）则这个长方体的表面积是56cm2，体积是24cm3。题干说法正确。故答案为：√14．×分析：雪雪和爸爸、妈妈、哥哥每人喝450毫升，喝了4个450毫升，用乘法可求出喝的毫升数，把2升乘进率1000化成2000毫升，再作比较，即可确定是否喝完了，据此解答。详解：450×4＝1800（毫升）2升＝2000毫升1800毫升＜2000毫升所以：一瓶可乐的容量是2升，雪雪和爸爸、妈妈、哥哥每人喝450毫升没把这瓶可乐喝完；原题说法错误。故答案为：×点睛：本题解答的关键应明确升与毫升之间的进率是1000。15．×分析：依据容积的意义，某容器所能容纳别的物体的体积，叫做容器的容积；据此解答即可。详解：一种矿泉水桶最多能装19L水，19L是指这矿泉水桶的容积。所以原题说法错误。故答案为：×点睛：本题考查的目的是理解并把握容积的意义及应用。16．750方分析：先依据进率“1米＝100厘米”把50厘米换算成0.5米；然后依据长方体的体积＝长×宽×高，以及进率“1立方米＝1米”，即可求出要挖出土的体积。详解：50厘米＝0.5米50×30×0.5＝1500×0.5＝750（立方米）750立方米＝750方答：一共要挖出750方的土。17．80平方分米；64升分析：观看图形可知，这个无盖的长方体的长为12－2×2＝8分米，宽是8－2×2＝4分米，高是2分米，求铁皮的面积就是求长方体五个面的面积（除去上面），五个面的面积＝（长×高＋宽×高）×2＋长×高，据此进行计算求出铁皮的面积；再依据长方体的容积公式：V＝abh，据此计算即可。详解：12－2×2＝12－4＝8（分米）8－2×2＝8－4＝4（分米）（8×2＋4×2）×2＋8×4＝（16＋8）×2＋32＝24×2＋32＝48＋32＝80（平方分米）8×4×2＝32×2＝64（立方分米）64立方分米＝64升答：这个水槽用了80平方分米的铁皮，水槽盛水64升。18．13.5小时分析：依据长方体的体积＝长×宽×高，用50×30×1.8即可求出水深达到1.8米时水的体积，再除以200即可求出到达1.8米时需要的时间。详解：50×30×1.8＝2700（立方米）

2700÷200＝13.5（小时）答：需要13.5小时。19．2.4分米分析：水位下降的体积就是假山石的体积，假山石的体积÷底面积＝水位下降的高度，据此列式解答。详解：27÷（4.5×2.5）＝27÷11.25＝2.4（分米）答：水位下降2.4分米。20．（1）150米（2）1700平方米（3）2500吨分析：（1）水位线的全长就是长方体底面周长，依据长方形周长＝（长＋宽）×2，列式解答即可；（2）贴瓷砖的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，据此列式解答；（3）依据长方体体积＝长×宽×高，求出水的体积，水的体积×1立方米水的吨数＝游泳池内水的吨数，列式解答即可。详解：（1）（米）答：它的全长是150米。（2）（平方米）答：贴瓷砖的面积是1700平方米。（3）（吨）答：这个游泳池内的水有2500吨。21．60升；0.3立方分米分析：（1）先依据进率：1分米＝10厘米，将铁箱的长60厘米、宽50厘米分别换算成6分米、5分米；已知铁箱内水深为2分米，求水的容积，依据长方体的体积