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文档简介

《函数的基本性质》知识拓展

知识要点

知识要点

知识要点问题1增(减)函数定义中的x1,x2有什么特征?提示

(1)任意性,即“任意取x1,x2”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般,如函数f(x)=x2,虽然f(2)>f(−1),但函数f(x)=x2在定义域上不是增函数;(2)有大小,通常规定x1<x2;(3)属于同一个单调区间.问题探究

问题探究问题探究问题3如何理解函数的单调性？提示函数的单调性可以从三个方面理解1.图形刻画

对于给定区间上的函数f(x),函数图象若从左向右连续上升,则称函数在该区间上单调递增,如图①;

函数图象若从左向右连续下降,则称函数在该区间上单调递减,如图②.问题探究问题3如何理解函数的单调性？2.定性刻画

对于给定区间上的函数f(x),如果函数值随自变量的增大而增大,那么就称函数在该区间上单调递增,如果函数值随自变量的增大而减小,那么就称函数在该区间上单调递减.3.定量刻画,即定义

上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径.问题探究

问题探究问题6函数的最值和值域有什么联系与区别？提示联系:函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质,针对的是整个定义域;区别:(1)函数的值域一定存在,而函数的最大(小)值不一定存在;(2)若函数的最值存在,则一定是值域中的元素,例如,函数f(x)=x2对任意的x∈R,都有f(x)≥−1,但是f(x)的最小值不是−1,因为−1不在f(x)的值域内;(3)若函数的值域是开区间,则函数无最值;若函数的值域是闭区间,则闭区间的端点值就是函数的最值.问题探究问题7函数f(x)≤1恒成立,则f(x)的最大值是1吗？提示f(x)≤1恒成立,但如果不存在x0使f(x0)=1,则f(x)的最大值不是1,比如f(x)=−x2的最大值为0,但f(x)=−x2≤1恒成立.问题8对于定义在R上的函数f(x),若f(−3)=f(3),则函数f(x)一定是偶函数吗？提示不一定,仅有f(−3)=f(3)不足以确定函数的奇偶性,不满足定义中的“∀x∈I”,故不一定是偶函数.“∀x∈I”实则强调的是函数的定义域要关于原点对称.换言之,若所给函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不具有奇偶性.例如,函数y=x2,要先看函数的定义域是否关于原点对称,再判断奇偶性.若偶函数在原点处有定义,则f(0)=0不一定成立;若奇函数在原点处有定义,则必有f(0)=0.问题探究问题9函数f(x)的奇偶性和单调性的关系是怎样的？提示(1)若f(x)是奇函数,且f(x)在[a,b]上单调,则f(x)在[−b,−a]上有相同的单调性.(2)若f(x)是偶函数,且f(x)在[a,b]上单调,则f(x)在[−b,−a]上有相反的单调性.问题10函数f(x)的奇偶性与函数f(x)的最值的关系是怎样的？提示偶

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