吉林省榆树市一高2025届高二数学第一学期期末统考模拟试题含解析

吉林省榆树市一高2025届高二数学第一学期期末统考模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在平形六面体中，其中，，，，，则的长为（）A. B.C. D.2．在空间直角坐标系中，为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，且，则（）A. B.C. D.3．在数列中，，，，则（）A.2 B.C. D.14．函数直线与的图象相交于A、B两点，则的最小值为（）A.3 B.C. D.5．在中，内角的对边分别为，若，则角为A. B.C. D.6．若离散型随机变量的所有可能取值为1，2，3，…，n，且取每一个值的概率相同，若，则n的值为（）A.4 B.6C.9 D.107．已知数列满足，则满足的的最大取值为（）A.6 B.7C.8 D.98．已知函数满足，则曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.9．椭圆的左、右焦点分别为、，上存在两点、满足，，则的离心率为（）A. B.C. D.10．已知下列四个命题，其中正确的是（）A. B.C. D.11．已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（）A. B.C. D.12．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点，焦点，均在y轴上，椭圆C的面积为，且短轴长为，则椭圆C的标准方程为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知抛物线的顶点为O，焦点为F，动点B在C上，若点B，O，F构成一个斜三角形，则______14．过抛物线的焦点且斜率为的直线交抛物线于A，两点，，则的值为__________15．已知函数的单调递减区间是，则的值为______.16．已知抛物线上一横坐标为5的点到焦点的距离为6，且该抛物线的准线与双曲线：的两条渐近线所围成的三角形面积为，则双曲线的离心率为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆上的点到焦点的最大距离为3，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于不同两点，与轴交于点，且满足,若，求实数的取值范围.18．（12分）如图，在直三棱柱中，，是中点.（1）求点到平面的的距离；（2）求平面与平面夹角的余弦值；19．（12分）求下列不等式的解集：（1）；（2）.20．（12分）.在直角坐标系中，点，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于A，B两点（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若，求值21．（12分）已知函数.若函数有两个极值点，求实数的取值范围.22．（10分）在等差数列中，已知公差，且成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据空间向量基本定理、加法的运算法则，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】因为是平行六面体，所以，所以有：，因此有：，因为，，，，，所以，所以，故选：B2、B【解析】由已知条件得出，结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值.【详解】因为，则，解得.故选：B.3、A【解析】根据题中条件，逐项计算，即可得出结果.【详解】因为，，，所以，因此.故选：A.4、C【解析】先求出AB坐标，表示出，规定函数，其中，利用导数求最小值.【详解】联立解得可得点．联立解得可得点．由题意可得解得，令，其中，∴．∴函数单调递减；．因此，的最小值为故选：C【点睛】距离的最值求解：（1）几何法求最值；（2）代数法：表示出距离，利用函数求最值.5、A【解析】因为，那么结合，所以cosA==，所以A=，故答案为A考点：正弦定理与余弦定理点评：本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题.6、D【解析】根据分布列即可求出【详解】因为，所以故选：D7、B【解析】首先地推公式变形，得，，求得数列的通项公式后，再解不等式.【详解】因为，两边取倒数，得，整理为：，，所以数列是首项为1，公差为4的等差数列，，，因为，即，得，解得：，,所以的最大值是7.故选：B8、A【解析】求出函数的导数，利用导数的定义求解，然后求解切线的斜率即可【详解】解：函数，可得，，可得，即，所以，可得，解得，所以，所以曲线在点处的切线方程为故选：A9、A【解析】作点关于原点的对称点，连接、、、，推导出、、三点共线，利用椭圆的定义可求得、、、，推导出，利用勾股定理可得出关于、的齐次等式，即可求得该椭圆的离心率.【详解】作点关于原点的对称点，连接、、、，则为、的中点，故四边形为平行四边形，故且，则，所以，，故、、三点共线，由椭圆定义，，有，所以，则，再由椭圆定义，有，因为，所以，在中，即，所以，离心率故选：A.10、B【解析】根据基本初等函数的求导公式和求导法则即可求解判断.【详解】，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误.故选：B.11、B【解析】首先由点的坐标满足圆的方程来确定点在圆上，然后求出过点的圆的切线方程，最后由两直线的垂直关系转化为斜率关系求解.【详解】由题知，圆的圆心，半径.因为，所以点在圆上，所以过点的圆的切线与直线垂直，设切线的斜率，则有，即，解得.因为直线与切线垂直，所以，解得.故选：B.12、C【解析】设出椭圆的标准方程，根据已知条件，求得，即可求得结果.【详解】因为椭圆的焦点在轴上，故可设其方程为，根据题意可得，，故可得，故所求椭圆方程为：.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】画出简单示意图，令，根据抛物线定义可得，应用数形结合及B在C上，求目标式的值.【详解】如下图，令，直线为抛物线准线，轴，由抛物线定义知：，又且，所以，故，又，故.故答案为：2.【点睛】关键点点睛：应用抛物线的定义将转化为，再由三角函数的定义及点在抛物线上求值.14、2【解析】求出直线的方程，与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系可，，由抛物线的定义可知，，，即可得到【详解】解：抛物线的焦点，，准线方程为，设，，，，则直线的方程为，代入可得，，，由抛物线的定义可知，，，，解得故答案为：215、【解析】先求出，由题设易知是的解集，利用根与系数关系求m、n，进而求的值.【详解】由题设，，由单调递减区间是，∴的解集为，则是的解集，∴，可得，故.故答案为：16、3【解析】由题意求得抛物线的准线方程为，进而得到准线与双曲线C的渐近线围成的三角形面积，求得，再结合和离心率的定义，即可求解.【详解】由题意，抛物线上一横坐标为5的点到焦点的距离为6，根据抛物线定义，可得，即，所以抛物线的准线方程为，又由双曲线C的两条渐近线方程为，则抛物线的准线与双曲线C的两条渐近线围成的三角形面积为，解得，又由，可得，所以双曲线C离心率.故答案为：3.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)，或【解析】（1）由椭圆的性质可知：，解得a和c的值，即可求得椭圆C的标准方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理求得：，，λ，根据向量的坐标坐标，（x1+1，y1）＝λ（x2+1，y2），求得，由，代入即可求得实数m的取值范围【详解】(1)由已知，解得，所以，所以椭圆的标准方程为.（2）由已知,设，联立方程组，消得，由韦达定理得①②因为，所以，所以③，将③代入①②，，消去得，所以.因为，所以，即，解得，所以，或.【点睛】本题考查椭圆的标准方程及简单性质，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量的坐标表示，不等式的解法，考查计算能力，属于中档题18、（1）（2）【解析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，再利用公式计算即可；（2）易得平面的法向量为，设平面与平面的夹角为，再利用计算即可小问1详解】解：（1）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系所以因为，设平面的法向量为，则有，得，令则，所以可以取，设点到平面的距离为，则，所以点到平面的的距离的距离为；【小问2详解】（2）因为平面，取平面的法向量为设平面与平面的夹角为，所以平面与平面夹角的余弦值19、（1）（2）【解析】（1）根据一元二次不等式的解法求得不等式的解集.（2）根据分式不等式的解法求得不等式的解集.【小问1详解】不等式等价于，解得.∴不等式的解集为.【小问2详解】不等式等价于，解得或.∴不等式的解集为.20、（1）曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为；（2）.【解析】（1）根据极坐标与直角坐标互化公式，结合加法消元法进行求解即可；（2）利用直线参数方程的意义，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.小问1详解】由；；【小问2详解】把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中，得，，因为在直线上，所以，或而，所以.21、.【解析】求得，根据其在上有两个零点，结合零点存在性定理，对参数进行分类讨论，即可求得参数的取值范围.【详解】因为，所以，令，由题意可知在上有两个不同零点.又，若，则，故在上为增函数，这与在上有两个不同零点矛盾，故.当时，，为增函数，当时，，为减函数，故，因为在上有两个不同零点，故，即，即，取，，故在有一个零点，取，，令，，则，故在为减函数，因为，故，故，故在有一个零点，故在上有两个零点，故实数的取值范围为.【点睛】本题考察利用