人教版2024-2025学年八年级数学专题12.5全等三角形中辅助线的添法(三大模型)(压轴题专项讲练)专题特训(学生版+解析)

专题12.5全等三角形中辅助线的添法（三大模型）【模型一：倍长中线模型】1．（23-24八年级上·江苏·期末）如图，在△ABC中．AD是BC边上的中线，交BC于点D．（1）如下图，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．求证：△ACD≌△EBD．（2）如下图，若∠BAC=90°，试探究AD与BC有何数量关系，并说明理由．（3）如下图，若CE是边AB上的中线，且CE交AD于点O．请你猜想线段AO与OD之间的数量关系，并说明理由．

2．（23-24八年级上·广西北海·期末）八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=9，AC=5，求BC边上的中线AD的取值范围．小红在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小红的方法思考作答：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是______；A．SSS

B．SAS

C．AAS

D．HL（2）求得AD的取值范围是______；A．5<AD<9

B．5≤AD≤9

C．2<AD<7

D．2≤AD≤7（3）归纳总结：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．完成上题之后，小红善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答．如图2，在△ABC中，点E在BC上，且DE=DC，过E作EF∥AB，且EF=AC．求证：AD平分∠BAC3．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在△ABC中，若AB=6，AC=4，AD为BC边上的中线，求AD的取值范围；（2）如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，4．（23-24八年级上·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=6,AC=4，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．请根据小明的思路继续思考：（1）由已知和作图能证得△ADC≌△EDB，得到BE=AC，在△ABE中求得2AD的取值范围，从而求得AD的取值范围是______________．方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系；（2）如图2，AD是△ABC的中线，AB=AE,AC=AF,∠BAE+∠CAF=180°，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明；（3）如图3，在△ABC中，D,E是BC的三等分点．求证：AB+AC>AD+AE．5．（23-24七年级下·广东佛山·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，△ABC中，AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD请根据小明的方法思考：

（1）求得AD的取值范围是___________；【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题如图，已知∠BAC+∠CDE=180°，AB=AC，DC=DE，P为BE的中点．

（2）如图1，若A，C，D共线，求证：AP平分∠BAC；（3）如图2，若A，C，D不共线，求证：AP⊥DP；（4）如图3，若点C在BE上，记锐角∠BAC=x，且AB=AC=CD=DE，则∠PDC的度数是___________（用含x的代数式表示）．【模型二：旋转模型（截长补短）】6．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形ABCDE中，∠B=∠E=90°，∠CAD=12∠BAE，AB=AE，且CD=3，AE=4，则五边形ABCDEA．6 B．8 C．10 D．127．（23-24八年级上·上海·期中）如图所示，已知AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AB于点E，判断AB、AD与BE之间有怎样的等量关系，并证明．8．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】（1）如图1，ABCD是正方形，∠EAF=45°，当E在BC边上，F在CD边上时，请你探究BE、DF与EF之间的数量关系，并证明你的结论．【模型运用】（2）如图2，ABCD是正方形，∠EAF=45°，当E在BC的延长线上，F在CD的延长线上时，请你探究BE、DF与EF之间的数量关系，并证明你的结论．9．（23-24八年级上·湖北武汉·周测）（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=110．（23-24八年级上·贵州黔东南·期末）【初步探索】（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，∠BAD=120°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中BE、EF、FD之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明：△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=∠180°，∠BAD=120°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF=BE+FD，请判断∠EAF与∠DAB的数量关系．并证明你的结论．【模型三：“K子”型（一线三垂直）】11．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）已知，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m过点A，且BD⊥m于D，CE⊥m于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现DE=BD+CE．（1）当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：BD与DE、CE的关系如何？请予证明；（2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，BD、DE、CE存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明）12．（23-24八年级上·贵州铜仁·阶段练习）（1）如图1，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A,BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D,E．求证：DE=BD+CE．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．请写出DE,BD,CE三条线段的数量关系，并说明理由．13．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．（1）如图1．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）组员小明对图2进行了探究，若∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A．BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段DE、BD、CE之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段DE、BD、CE之间的数量关系，（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，若BH=3，CH=7，求AI的长．14．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：

（1）如图1，∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D．又∠ACB=∠AED=90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC=________，BC=AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；（2）如图2，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC,DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；（3）如图3，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，△AFD的面积为S1，△DCE的面积为S2，S115．（23-24七年级下·广东深圳·期末）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB；△DEF中，∠DEF=90°，∠EDF=30°），并提出了相应的问题．【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段DF上时，过点A作AM⊥DF，垂足为点M，过点C作CN⊥DF，垂足为点N，①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论；∵∠ABC=90°，∴∠ABM+∠CBN=90°，∵AM⊥DF，CN⊥DF，∴∠AMB=90°，∠CNB=90°，∴∠ABM+∠BAM=90∴∠BAM=∠CBN，∵∠BAM=∠CBN∠AMB=∠CNB=AB=BC，__________；②AM=2，CN=7，则MN=__________；【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段DE上且顶点A在线段EF上时，过点C作CP⊥DE，垂足为点P，猜想AE，PE，CP的数量关系，并说明理由；【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段DE上且顶点B在线段EF上时，若AE=5，BE=1，连接CE，则△ACE的面积为__________．专题12.5全等三角形中辅助线的添法（三大模型）【模型一：倍长中线模型】1．（23-24八年级上·江苏·期末）如图，在△ABC中．AD是BC边上的中线，交BC于点D．（1）如下图，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．求证：△ACD≌△EBD．（2）如下图，若∠BAC=90°，试探究AD与BC有何数量关系，并说明理由．（3）如下图，若CE是边AB上的中线，且CE交AD于点O．请你猜想线段AO与OD之间的数量关系，并说明理由．【思路点拨】（1）利用SAS可得△ACD≌△EBD；（2）延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，先根据△ACD≌△EBD证得∠C=∠CBE，AC=BE，进而得到AC∥EB，AD=1（3）延长OE到点M，使EM=OE，连接AM．延长OD到点N，使DN=OD，连接BM，BN，BO，证得△MOB≌△NBOASA可得MB=NO，进而得到AO=2OD本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【解题过程】（1）证明：在△ACD和△EBD中，DA=DE∴△ACD≌△EBDSAS（2）解：AD=1延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，如图由（1）得△ACD≌△EBD，∴∠C=∠CBE，AC=BE∴AC∥EB，∴∠BAC+∠ABE=180°，∵∠BAC=90°，∴∠ABE=90°，∴∠BAC=∠ABE在△ABC和△BAE中AC=BE∴△ABC≌△BAE∴BC=AE，∴AD=1（3）AO=2OD，理由如下：延长OE到点M，使EM=OE，连接AM．延长OD到点N，使DN=OD，连接BM，BN，BO，如图，由（1）得△AOE≌△BME，△ODC≌△NDB，∴∠AOE=∠BME，∠OCD=∠NBD，AO=BM，∴AO∥BM，∴∠MBO=∠BON，∠MOB=∠NBO在△MOB和△NBO中，∠MBO=∠BONOB=OB∴△MOB≌△NBO∴MB=NO，∴AO=2OD．2．（23-24八年级上·广西北海·期末）八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=9，AC=5，求BC边上的中线AD的取值范围．小红在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小红的方法思考作答：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是______；A．SSS

B．SAS

C．AAS

D．HL（2）求得AD的取值范围是______；A．5<AD<9

B．5≤AD≤9

C．2<AD<7

D．2≤AD≤7（3）归纳总结：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．完成上题之后，小红善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答．如图2，在△ABC中，点E在BC上，且DE=DC，过E作EF∥AB，且EF=AC．求证：AD平分∠BAC【思路点拨】本题是三角形综合题，考查了倍长中线法解题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握倍长中线法，灵活进行三角形全等的证明，是解题的关键．（1）根据三角形全等的判定定理去选择即可；（2）根据三角形全等的性质和三角形三边关系定理计算即可；（3）由“SAS”可证△EFD≌△CMD，可得EF=DM，∠EFD=∠M，由平行线的性质和等腰三角形的性质可证∠M=∠BAD=∠CAM，可得AD平分∠BAC．【解题过程】（1）解：延长AD到点E，使DE=AD，∵BD=CD，在△ADC和△EDB中，CD=BD∠ADC=∠BDE∴△ADC≌△EDB(SAS故选：B．（2）解：∵△ADC≌△EDB，∴AC=EB，∵AB=9，AC=5，AB−BE<AE<AB+BE，∴4<2AD<14，∴2<AD<7，故选：C；（3）证明：如图，延长AD至M，使DM=DF，连接CM，∵DE=DC，∠EDF=∠CDM，DF=DM，∴△EFD≌△CMD(SAS∴EF=DM，∠EFD=∠M，∴EF∥CM，∵EF∥AB，∴CM∥AB，∴∠BAD=∠M，∵EF=AC，∴EF=DM=AC，∴∠CAM=∠M，∴∠BAD=∠CAM，∴AD平分∠BAC．3．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在△ABC中，若AB=6，AC=4，AD为BC边上的中线，求AD的取值范围；（2）如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，【思路点拨】（1）由已知得出AB−BE<AE<AB+BE，即6−4<AE<6+4，AD为（2）延长FD至点M，使DM=DF，连接BM，EM，可得△BMD≌△CFD，得出BM=CF，由线段垂直平分线的性质得出EM=EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出（3）延长AE，DF交于点G，根据平行和角平分线可证AF=FG，也可证得△ABE≌△GCE，从而可得【解题过程】解：（1）如图①，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，∵D是BC的中点，∴BD=CD，∵∠ADC=∠BDE，∴△ACD≌△EBDSAS∴BE=AC=4，在△ABE中，AB−BE<AE<AB+BE，∴6−4<AE<6+4，∴2<AE<10，∴1<AD<5，故答案为：1<AD<5；（2）BE+CF>EF，理由如下：延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，如图②所示．同（1）得：△BMD≌△CFDSAS∴BM=CF，∵DE⊥DF，∴EM=EF，在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM>EM，∴BE+CF>EF；（3）AF+CF=AB，理由如下：如图③，延长AE，DF交于点∵AB∥CD，∴∠BAG=∠G，在△ABE和△GCE中，CE=BE，∴△ABE≌△GECAAS∴CG=AB，∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG=∠GAF∴∠FAG=∠G，∴AF=GF，∵FG+CF=CG，∴AF+CF=AB．4．（23-24八年级上·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=6,AC=4，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．请根据小明的思路继续思考：（1）由已知和作图能证得△ADC≌△EDB，得到BE=AC，在△ABE中求得2AD的取值范围，从而求得AD的取值范围是______________．方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系；（2）如图2，AD是△ABC的中线，AB=AE,AC=AF,∠BAE+∠CAF=180°，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明；（3）如图3，在△ABC中，D,E是BC的三等分点．求证：AB+AC>AD+AE．【思路点拨】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键．（1）延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，根据题意证明△MDB≌△ADC，可知BM=AC，在△ABM中，根据AB−BM<AM<AB+BM，即可；（2）延长AD到M，使得DM=AD，连接BM，由（1）的结论以及已知条件证明△ABM≌△EAF，进而可得AM=2AD，由AM=EF，即可求得AD与EF的数量关系；（3），取DE中点H，连接AH并延长至Q点，使得AH=QH，连接QE和QC，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到AB=CQ，AD=EQ,然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论．【解题过程】（1）解：如图1所示，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，在△MDB和△ADC中，BD=CD∠BDM=∠CDA∴△MDB≌△ADC(SAS∴BM=AC=4，在△ABM中，AB−BM<AM<AB+BM，∴6−4<AM<6+4，即2<AM<10，∴1<AD<5，故答案为：1<AD<5．（2）EF=2AD，理由：如图2，延长AD到M，使得DM=AD，连接BM，由（1）知，△BDM≌△CDA(SAS∴BM=AC，∠M=∠MAC∵AC=AF，∴BM=AF，∵∠MBA+∠M+∠BAM=180°，即∠MBA+∠BAC=180°，又∵∠BAE+∠CAF=180°，∴∠EAF+∠BAC=180°，∴∠EAF=∠MBA，又∵AB=EA，∴△ABM≌△EAF(SAS∴AM=EF，∵AD=DM，∴AM=2AD，∵AM=EF，∴EF=2AD．（3）证明：如图所示，取DE中点H，连接AH并延长至Q点，使得AH=QH，连接QE和QC，∵H为DE中点，D、E为BC三等分点，∴DH=EH,BD=DE=CE，∴DH=CH，在△ABH和△QCH中，BH=CH∠BHA=∠CHQ∴△ABH≌△QCH(SAS同理可得:△ADH≌△QEH,∴AB=CQ,AD=EQ，此时,延长AE交CQ于K点，∵AC+CQ=AC+CK+QK,AC+CK>AK，∴AC+CQ>AK+QK，∵AK+QK=AE+EK+QK>QE,EK+QK>QE，∴AK+QK>AE+QE，∴AC+CQ>AK+QK>AE+QE，∵AB=CQ,AD=EQ，∴AB+AC>AD+AE．5．（23-24七年级下·广东佛山·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，△ABC中，AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD请根据小明的方法思考：

（1）求得AD的取值范围是___________；【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题如图，已知∠BAC+∠CDE=180°，AB=AC，DC=DE，P为BE的中点．

（2）如图1，若A，C，D共线，求证：AP平分∠BAC；（3）如图2，若A，C，D不共线，求证：AP⊥DP；（4）如图3，若点C在BE上，记锐角∠BAC=x，且AB=AC=CD=DE，则∠PDC的度数是___________（用含x的代数式表示）．【思路点拨】（1）根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可进行解答；（2）延长DP交AB延长线于点F，证△APF≌△APD即可；（3）延长DP至点F，使得PF=PD，连接BF、AF、AD，证△APF≌△APD即可；（4）过点C作CM⊥BC交AP于点M，由（3）可得∠APD=90°，证△ACM≌△DCP，用含x的代数式表示出∠PDC即可．【解题过程】（1）∵AD为BC边上的中线，∴BD=CD，在△ADC和△EDB中

BD=CD∴△ADC≌△EDBSAS∴BE=AC=6，∵AB=8，∴8−6<AE<8+6，即2<AE<14，∵DE=AD，∴AD=1∴1<AD<7，故答案为：1<AD<7（2）如下图，DP交AB延长线于点F

∠BAC+∠CDE=180°，∴AF∥∴∠PFB=∠PDE，∠PBF=∠PED，∵P为BE的中点∴BP=PE，∴△BPF≌△EPDAAS∴BF=DE=DC，PD=PF，又∵AB∴AB+BF=AC+DC，即AF=AD，在△APF和△APD中PF=PD∴△APF≌△APD(SSS∴∠PAF=∠PAD（全等三角形的对应角相等），即AP平分∠BAC（3）延长DP至点F，使得PF=PD，连接BF、AF、AD

由（1）同理易知△DPE≌△∴BF=DE=CD，∠E=∠FBP，∵∠BAC+∠CDE=180°，且∠BAC+∠CAD+∠ADC+∠CDE+∠E=360°，∠CAD+∠C+∠ADC=180°，∴∠ABF=∠ACD，AB=AC，∴△ABF≌△ACD(SAS∴AF=AD，∴△APF≌△APD(SSS∴∠APD=∠APF=180°÷2=90°，∴AP⊥DP（4）过点C作CM⊥BC交AP于点M，由（3）可得∠APD=90°，∠BAC=x，∠BAC+∠CDE=180°，AB=AC=CD=DE，

∴∠ACB=180°−x∴∠DCE=90°−∠CDE∴∠ACB和∠DCE互余，∠ACD=∠MCP=∠APD=90°，∴∠ACM=∠DCP=x2∴△ACM≌△DCP(ASA)，∴MC=PC，∴∠BPA=45°，又∵∠ACB=90°−x∴∠PDC=∠PAC=∠ACB−∠APB=45°−x故答案为：45°−【模型二：旋转模型（截长补短）】6．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形ABCDE中，∠B=∠E=90°，∠CAD=12∠BAE，AB=AE，且CD=3，AE=4，则五边形ABCDEA．6 B．8 C．10 D．12【思路点拨】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化．将△ABC绕点A逆时针旋转至△AEF，首先证明点D，E，F三点共线，证明△ACD≌△AFD(SAS)，得到CD=DF=3，S△ACD【解题过程】解：如图，将△ABC绕点A逆时针旋转至△AEF，∵AB=AE，则AF=AC，∠B=∠AED=∠AEF=90°，∴∠DEF=180°，即点D，E，∵∠CAD=1∠BAC+∠DAE=∠DAE+∠EAF=∠CAD，即∠FAD=∠CAD，在△ACD和△AFD中AC=AF∠CAD=∠FAD∴△ACD≌△AFD(∴CD=DF，S∵CD=3，∴DF=3，五边形ABCDE的面积为：S=S=2×1=2×=12．故选：D．7．（23-24八年级上·上海·期中）如图所示，已知AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AB于点E，判断AB、AD与BE之间有怎样的等量关系，并证明．【思路点拨】在AB上截取EF，使EF=BE，联结CF．证明△BCE≌△ECF(SAS)，得到∠B=∠BFC，又证明△AFC≌△ADC，得到AF=AD，最后结论可证了．【解题过程】证明：在AB上截取EF，使EF=BE，联结CF．

∵CE⊥AB∴∠BEC=∠FEC=90°在△BCE和△ECF

{

∴△BCE≌△ECF(SAS)

∴∠B=∠BFC

∵∠B+∠D=180°又∵∠BFC+∠AFC=180°∴∠D=∠AFC∵AC平分∠BAD∴∠FAC=∠DAC在△AFC和△ADC中{∴△AFC≌△ADC(AAS)∴AF=AD∵AB=AF+BE+EF∴AB=AD+2BE8．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】（1）如图1，ABCD是正方形，∠EAF=45°，当E在BC边上，F在CD边上时，请你探究BE、DF与EF之间的数量关系，并证明你的结论．【模型运用】（2）如图2，ABCD是正方形，∠EAF=45°，当E在BC的延长线上，F在CD的延长线上时，请你探究BE、DF与EF之间的数量关系，并证明你的结论．【思路点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形．（1）结论：EF=BE+DF．将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF'，然后求出∠EAF'=∠EAF=45°，利用“边角边”证明△AEF（2）结论：EF=BE−DF，证明方法同法（1）．【解题过程】解：（1）结论：EF=BE+DF．理由：如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF

则：∠F'AB=∠DAF,∠ABF'∴∠ABF'+∠ABC=180°∵∠EAF=45°，∴∠DAF+∠BAE=90°−∠EAF=45°，∴∠BAF∴∠EAF在△AEF和△AEFAF=AF∴△AEF≌△EAF(SAS∴EF=EF又EF∴EF=BE+DF．（2）结论：EF=BE−DF．理由：如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF

则：BF同法（1）可得：△AEF≌△AEF∴EF=EF又EF∴EF=BE−DF．9．（23-24八年级上·湖北武汉·周测）（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=1【思路点拨】（1）延长CB至M，使BM＝DF，连接AM．先证明△ABM≌△ADF，得到AF＝AM，∠2＝∠3，再证明△AME≌△AFE，得到EF＝ME，进行线段代换，问题得证；（2）在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．先证明△ABG≌△ADF，得到AG＝AF，再证明△AEG≌△AEF，得到EG＝EF，进行线段代换即可证明EF＝BE﹣FD．【解题过程】解：（1）证明：如图，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM．∵∠ABC+∠D＝180°，∠1+∠ABC＝180°，∴∠1＝∠D，在△ABM与△ADF中，AB=AD∠1=∠D∴△ABM≌△ADF（SAS）．∴AF＝AM，∠2＝∠3．∵∠EAF=12∠∴∠2+∠4=12∠BAD＝∠∴∠3+∠4＝∠EAF，即∠MAE＝∠EAF．在△AME与△AFE中，AM=AF∠MAE=∠EAF∴△AME≌△AFE（SAS）．∴EF＝ME，即EF＝BE+BM，∴EF＝BE+DF；（2）结论EF＝BE+FD不成立，应当是EF＝BE﹣FD．证明：如图，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵在△ABG与△ADF中，AB=AD∠ABG=∠ADF∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF=12∠∴∠GAE＝∠EAF．在△AGE与△AFE中，AG=AF∠GAE=∠EAF∴△AEG≌△AEF，∴EG＝EF，∵EG＝BE﹣BG，∴EF＝BE﹣FD．10．（23-24八年级上·贵州黔东南·期末）【初步探索】（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，∠BAD=120°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中BE、EF、FD之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明：△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=∠180°，∠BAD=120°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF=BE+FD，请判断∠EAF与∠DAB的数量关系．并证明你的结论．【思路点拨】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．（1）根据SAS可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再根据SAS判定△AEF≌△AGF，可得出EF=GF=DG+DF=BE+DF，据此得出结论；（2）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先根据SAS判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再根据SAS判定△AEF≌△AGF，可得出EF=GF=DG+DF=BE+DF；（3）在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，先根据SAS判定△ADG≌△ABE，再根据SAS判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE=∠FAG，最后根据∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，推导得到2∠FAE+∠DAB=360°，即可得出结论．【解题过程】解：（1）BE+FD=EF．理由如下：如图1，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，∵∠ADC=90°，∴∠ADG=180°−∠ADC=90°，又∵∠B=90°，∴∠B=∠ADG，在△ABE与△ADG中，AB=AD∠B=∠ADG∴△ABE≌△ADG(SAS∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∵∠BAD=120°，∠EAF=60°，∴∠BAE+∠DAF=∠BAD−∠EAF=60°，∴∠DAG+∠DAF=60°，即∠GAF=60°，∴∠GAF=∠EAF；在△AEF与△AGF中，AE=AG∠EAF=∠GAF∴△AEF≌△AGF(SAS∴EF=GF，∵GF=DG+DF，∴EF=BE+DF，故答案为：BE+FD=EF；（2）（1）中的结论仍成立，理由如下：如图2，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°，∴∠B=∠ADG，又∵AB=AD，∴△ABE≌△ADG(SAS∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∵∠BAD=120°120°，∠EAF=60°，∴∠BAE+∠DAF=60°，∴∠DAG+∠DAF=60°，∴∠GAF=∠EAF=60°，又∵AF=AF，∴△AEF≌△AGF(SAS∴EF=FG=DG+DF=BE+DF；（3）∠EAF=180°−1证明：如图3，延长DC到点G，使DG=BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，∴∠ADC=∠ABE，在△ABE与△ADG中，AB=AD∠B=∠ADG∴△ADG≌△ABE(SAS∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，∵EF=BE+FD，∴EF=DG+FD，∴EF=GF，在△AEF与△AGF中，AE=AGEF=GF∴△AEF≌△AGF(SSS∴∠FAE=∠FAG，∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，∴2∠FAE+(∠GAB+∠BAE)=360°，∴2∠FAE+(∠GAB+∠DAG)=360°，即2∠FAE+∠DAB=360°，∴∠EAF=180°−1【模型三：“K子”型（一线三垂直）】11．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）已知，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m过点A，且BD⊥m于D，CE⊥m于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现DE=BD+CE．（1）当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：BD与DE、CE的关系如何？请予证明；（2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，BD、DE、CE存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明）【思路点拨】（1）利用条件证明△ABD≌（2）根据图，可得BD、DE、CE存在3种不同的数量关系；【解题过程】（1）证明：如图2，∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠BDA=∠CEA=90°，∴∠ABD+∠DAB=90°．∵∠BAC=90°，∴∠DAB+∠CAE=90°，∴∠ABD=∠CAE．在△ABD和△CAE中，∠BDA=∠CBA∠ABD=∠CAB∴△ABD≌∴AD=CE，BD=AE∵DE=AE−AD，∴DE=BD−CE．（2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，BD、DE、CE存在3种不同的数量关系：DE=BD+CE，DE=BD−CE，DE=CE−BD．如图1时，DE=BD+CE，如图2时，DE=BD−CE，如图3时，DE=CE−BD，（证明同理）12．（23-24八年级上·贵州铜仁·阶段练习）（1）如图1，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A,BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D,E．求证：DE=BD+CE．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．请写出DE,BD,CE三条线段的数量关系，并说明理由．【思路点拨】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE；（2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE；【解题过程】（1）DE=BD+CE．理由如下：∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠BDA=∠AEC=90°又∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD在△ABD和△CAE中，∠ABD＝∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD=AE，AD=CE，∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD；（2）DE=BD+CE，理由如下：∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，∠ABD＝∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴BD+CE=AE+AD=DE．13．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．（1）如图1．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）组员小明对图2进行了探究，若∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A．BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段DE、BD、CE之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段DE、BD、CE之间的数量关系，（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，若BH=3，CH=7，求AI的长．【思路点拨】（1）根据BD⊥直线l，CE⊥直线l，∠BAC=90°，可得∠CAE=∠ABD，利用AAS可证明△ADB≌△CEA，根据DE=AE+AD即可得到DE=BD+CE；（2）同（1）利用AAS可证明△ADB≌△CEA，根据DE=AE−AD即可得到DE=BD−CE；（3）过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N，可构造两组一线三直角全等模型，即：△ABH≌△EAM，△AHC≌△GNA，从而可以得到EM=GN，MN=4，再根据△EMI≌△CNI可得MI=NI=2，即可确定AI的长度；【解题过程】（1）证明：∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，∠ABD=∠CAE∠BDA=∠CEA∴△ADB≌△CEA∴BD=AE，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE；（2）∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，∠ABD=∠CAE∠BDA=∠CEA∴△ADB≌△CEA∴BD=AE，AD=CE，∴DE=AE−AD=BD−CE；（3）如图，过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N，∴∠EMI=∠GNI=90°∵∠BAH+∠EAM=90°，∠BAH+∠ABH=90°，∴∠EAM=∠ABH在△ABH和△EAM中，∠AHB=∠EMA∠ABH=∠EAM∴△ABH≌△EAM(∴BH=AM=3，AH=EM，同理可得：△AHC≌△GNA∴CH=AN=7，AH=GN，即：EM=GN，MN=AN−AM=7−3=4，在△EMI和△CNI中，∠EMI=∠CNI∠EIM=∠CIN∴△EMI≌△CNI(AAS∴MI=NI=1∴AI=AM+MI=3+2=5．14．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：

（1）如图1，∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D．又∠ACB=∠AED=90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC=________，BC=AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；（2）如图2，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC,DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；（3）如图3，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，△AFD的面积为S1，△DCE的面积为S2，S1【思路点拨】（1）由△ABC≌△DAE即可求解；（2）作DM⊥AF,EN⊥AF，利用“K字模型”的结论可得△ABF≌△DAM,△ACF≌△EAN，故可推出DM=EN，再证△DMG≌△ENG即可；（3）作PQ⊥CE,AM⊥PQ,FN⊥PQ，利用“K字模型”的结论可得△ADM≌△DCP,△DFN≌△EDP，进一步可证△AMQ≌△FNQ，即可求解．【解题过程】（