2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第15讲：拓展八：定义题(解答题)(学生版+解析)

第15讲：拓展八：定义题（解答题10大题）1．（23-24高二下·重庆·阶段练习）设函数在区间上可导，为函数的导函数．若是上的减函数，则称为上的“上凸函数”；反之，若为上的“上凸函数”，则是上的减函数．(1)判断函数在上是否为“上凸函数”，并说明理由；(2)若函数是其定义域上的“上凸函数”，求的取值范围；(3)已知函数是定义在上的“上凸函数”，为曲线上的任意一点，求证：除点外，曲线上的每一个点都在点处切线的下方．2．（23-24高二下·重庆·阶段练习）阅读知识卡片，结合所学知识完成以下问题：知识卡片1：一般地，如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式（其中为小区间长度），当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作即.这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积.知识卡片2：一般地；如果是区间上的连续函数，并且，那么.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式.(1)用定积分表示曲线及所围成的图形的面积，并确定取何值时，使所围图形的面积最小；(2)一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度（单位：）紧急刹车至停止.求：①求火车在刹车4秒时速度的瞬时变化率（即4秒时的瞬时加速度）；②紧急刹车后至停止火车运行的路程.3．（23-24高二下·河南洛阳·阶段练习）定义：若函数和的图象上分别存在点和关于轴对称，则称函数和具有关系．(1)判断函数和是否具有关系；(2)若函数和（）在区间上具有关系，求实数的取值范围．6．（23-24高三上·浙江宁波·期末）我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为，幂指函数在求导时可以将函数“指数化"再求导.例如，对于幂指函数，.(1)已知，求曲线在处的切线方程；(2)若且，.研究的单调性；(3)已知均大于0，且，讨论和大小关系.7．（2024·广东茂名·一模）若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”.(1)若，判断是否为上的“3类函数”；(2)若为上的“2类函数”，求实数的取值范围；(3)若为上的“2类函数”，且，证明：，，.8．（2024高三上·全国·专题练习）已知函数、，的图象在处的切线与轴平行．(1)求，的关系式并求的单调减区间；(2)证明：对任意实数，关于的方程：在,恒有实数解；(3)结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数是在闭区间,上连续不断的函数，且在区间内导数都存在，则在内至少存在一点，使得．如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件．试用拉格朗日中值定理证明：当时，（可不用证明函数的连续性和可导性）．9．（23-24高一上·云南昆明·期末）设区间为函数定义域的子集，对任意且，记，，，则：在上单调递增的充要条件是在区间上恒成立；在上单调递减的充要条件是在区间上恒成立.一般地，当时，称为函数在区间（时）或（时）上的平均变化率.设函数，请利用上述材料，解决以下问题：(1)分别求在区间、上的平均变化率；(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.10．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）已知函数．(1)若，求的单调区间；(2)若时恒成立，求实数a的取值范围．(3)定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”．①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有；②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由．第15讲：拓展八：定义题（解答题10大题）1．（23-24高二下·重庆·阶段练习）设函数在区间上可导，为函数的导函数．若是上的减函数，则称为上的“上凸函数”；反之，若为上的“上凸函数”，则是上的减函数．(1)判断函数在上是否为“上凸函数”，并说明理由；(2)若函数是其定义域上的“上凸函数”，求的取值范围；(3)已知函数是定义在上的“上凸函数”，为曲线上的任意一点，求证：除点外，曲线上的每一个点都在点处切线的下方．【答案】(1)函数在上是“上凸函数”，理由见解析(2)(3)证明过程见解析【分析】（1）求导得，令，只需判断在上是否恒成立即可；（2）由题意设，则恒成立，即当时，恒成立，从而分类讨论、分离参数即可求解；（3）构造函数，则，借助“上凸函数”的定义即可得证.【详解】（1）由题意，，令，则，当时，，即此时，所以即单调递减，从而由定义可知函数在上是“上凸函数”；（2）因为，所以，设，则，由题意函数是其定义域上的“上凸函数”，所以单调递减，从而当时，恒成立，即当时，恒成立，当时，不等式左边为，不等式成立，此时任意，当时，恒成立，而此时，所以此时，当时，恒成立，而此时，等号成立当且仅当，即此时，所以，综上所述，的取值范围为；（3）设为曲线上的任意一点，过点的切线方程为，令，则，函数是定义在上的“上凸函数”，则单调递减，所以当时，，此时单调递减，所以，，当时，，此时单调递增，所以，，综上所述，除点外，曲线上的每一个点都在点处切线的下方.【点睛】关键点点睛：关键是得到当时，恒成立，由此即可顺利得解.2．（23-24高二下·重庆·阶段练习）阅读知识卡片，结合所学知识完成以下问题：知识卡片1：一般地，如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式（其中为小区间长度），当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作即.这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积.知识卡片2：一般地；如果是区间上的连续函数，并且，那么.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式.(1)用定积分表示曲线及所围成的图形的面积，并确定取何值时，使所围图形的面积最小；(2)一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度（单位：）紧急刹车至停止.求：①求火车在刹车4秒时速度的瞬时变化率（即4秒时的瞬时加速度）；②紧急刹车后至停止火车运行的路程.【答案】(1)，(2)①；②【分析】（1）先利用定积分的定义表示出所围图形的面积，然后根据牛顿莱布尼茨公式进行积分运算，最后利用配方法即可得解（2）①求导得瞬时速度；②令，解得的值即为从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间，紧急刹车后火车运行的路程是从0到10对函数的定积分．【详解】（1），当时，由曲线围成的图形面积最小．（2）①，则，故火车在刹车4秒时速度的瞬时变化率为；②当火车的速度时火车完全停止，即，，解得或（舍去）；即从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间为．根据定积分的物理意义，紧急刹车后火车运行的路程就是从0到10对应函数的定积分，，即紧急刹车后火车运行的路程为．【点睛】关键点点睛：本题考查新定义问题，解决问题关键是熟记导数运算公式得到积分表达式.3．（23-24高二下·河南洛阳·阶段练习）定义：若函数和的图象上分别存在点和关于轴对称，则称函数和具有关系．(1)判断函数和是否具有关系；(2)若函数和（）在区间上具有关系，求实数的取值范围．【答案】(1)与具有关系；(2)．【分析】（1）依据给定的新定义结合导数判断即可.（2）令，得出所以在上存在零点且．在上单调递增，推出，后结合给定定义求解参数范围即可.【详解】（1）与具有关系．理由如下：根据定义，若在与的定义域的交集上存在，使得，则与具有关系．令，，则，所以单调递增，又，，所以，使得，即，即与具有关系．（2）令，则，因为与在上具有关系，所以在上存在零点．，若，当时，因为，，所以，即在上单调递增，则，此时在上不存在零点，不满足题意．若，当时，，，当时，设，则，所以在上单调递增，又，，故在上存在唯一零点，设零点为，则，所以当时，；当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增，在上存在唯一极小值，因为，所以，又，所以在上存在唯一零点，所以函数与在上具有关系．综上所述，，即实数的取值范围是．【点睛】关键点点睛：本题考查导数新定义，解题关键是得出所以在上存在零点且．在上单调递增，推出，然后利用给定定义得到所要求的参数范围即可．4．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数图象的对称中心.(1)若函数，求函数图象的对称中心；(2)已知函数，其中.（ⅰ）求的拐点；（ⅱ）若，求证：.【答案】(1)(2)（i）；（ii）证明见解析【分析】（1）根据“拐点”的定义，对函数求导即可得结果，（2）（ⅰ）根据“拐点”的定义，对函数求导，构造函数，利用导数得出结果；（ⅱ）由（ⅰ）可知，求出函数在上单调递增且，从而得证.【详解】（1）因为，所以，所以.令，解得，又，所以函数的“拐点”为，所以函数图象的对称中心为.（2）（ⅰ）因为，，所以，，且，令，则在上恒成立，所以在上单调递增，又，由零点存在性定理知，有唯一的零点，所，且，当时，，所以的拐点为.（ⅱ）证明：由（i）可知，在上单调递增，，∴当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，又，∴在上恒成立，∴在上单调递增，又，，所以.【点睛】思路点睛：根据“拐点”的定义求出函数对称中心，利用二次求导得出函数的单调性即可得证.5．（23-24高三下·上海浦东新·阶段练习）设函数的定义域为开区间，若存在，使得在处的切线与的图像只有唯一的公共点，则称为“函数”，切线为一条“切线”．(1)判断是否是函数的一条“切线”，并说明理由；(2)设，求证：存在无穷多条“切线”；(3)设，求证：对任意实数和正数都是“函数”【答案】(1)是，理由见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）记，设切点为，利用导数的几何意义求出，再证明直线与的图象只有唯一的公共点，将与函数联立，得，记，利用导数说明函数的单调性，即可得到方程的解．（2）将点处的切线的方程与联立得，记，利用导数说明函数存在唯一零点，即可得证；（3）类似第（2）问的思路得到在上有且仅有一解，则或，再分、两种情况说明即可.【详解】（1）记，则，设切点为，由切线方程为知，则，解得．所以切点为，下面证明直线与的图象只有唯一的公共点，将与函数联立，得．记，则，当时，当时，故在上单调递增，在上单调递减，，故函数只有一个零点，故是一条“切线”；（2）因为，所以，则点处的切线方程为，将点处的切线的方程与联立得，记，则直线为“切线”函数有且仅有一个零点（此时，一个对应一条“切线”），显然是的零点，故只要没其它零点，此时，当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，故此时为唯一的极小值点（也是最小值点），而，故无其他零点，故直线为“切线”，因为的任意性，故函数存在无穷多条“切线”，（3）因为，则，设点在函数的图象上，则点的切线为，与联立得：，由题意得直线为“切线”，故方程在上有且仅有一解，则或，若，则是方程的唯一解（此时有无数条“切线”，切点横坐标为上的任意值）．若，则（此时只有一条“切线”，切点的横坐标为）或（此时有无数条“切线”，切点横坐标为上的任意值），综上，，即证．【点睛】关键点睛：对于新定义问题的关键是理解定义，将问题转化为方程有唯一解问题.6．（23-24高三上·浙江宁波·期末）我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为，幂指函数在求导时可以将函数“指数化"再求导.例如，对于幂指函数，.(1)已知，求曲线在处的切线方程；(2)若且，.研究的单调性；(3)已知均大于0，且，讨论和大小关系.【答案】(1)(2)答案见解析(3)答案见解析【分析】（1）利用“指数化"，即可结合复合函数的求导法则即可求解，（2）利用“指数化"，即可结合复合函数的求导法则求导，构造函数，即可求解，（3）根据的单调性，即可令求解.【详解】（1），则，所以，又因为，所以切线方程为.（2），，，令，令，，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以在上单调递增.（3）由（2）知，令，得，由（2）知在上单调递增.所以在上单调递增，当时，，即.当时，【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤(1)作差或变形；(2)构造新的函数；(3)利用导数研究单调性或最值；(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．7．（2024·广东茂名·一模）若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”.(1)若，判断是否为上的“3类函数”；(2)若为上的“2类函数”，求实数的取值范围；(3)若为上的“2类函数”，且，证明：，，.【答案】(1)是上的“3类函数”，理由见详解.(2)(3)证明过程见详解.【分析】（1）由新定义可知，利用作差及不等式的性质证明即可；（2）由已知条件转化为对于任意，都有，，只需且，利用导函数研究函数的单调性和最值即可.（3）分和两种情况进行证明，，用放缩法进行证明即可.【详解】（1）对于任意不同的，有，，所以，，所以是上的“3类函数”.（2）因为，由题意知，对于任意不同的，都有，不妨设，则，故且，故为上的增函数，为上的减函数，故任意，都有，由可转化为，令，只需，令，在单调递减，所以，，故在单调递减，，由可转化为，令，只需，令，在单调递减，且，，所以使，即，即，当时，，，故在单调递增，当时，，，故在单调递减，，故.（3）因为为上的“2类函数”，所以，不妨设，当时，；当时，因为，，综上所述，，，.【点睛】不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立或恒成立；②数形结合（的图象在上方即可）；③讨论最值或恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.8．（2024高三上·全国·专题练习）已知函数、，的图象在处的切线与轴平行．(1)求，的关系式并求的单调减区间；(2)证明：对任意实数，关于的方程：在,恒有实数解；(3)结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数是在闭区间,上连续不断的函数，且在区间内导数都存在，则在内至少存在一点，使得．如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件．试用拉格朗日中值定理证明：当时，（可不用证明函数的连续性和可导性）．【答案】(1)，减区间见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）由得，则，结合即可求解；（2）将原方程转化为，得，结合零点的存在性定理即可证明；（3）令，由拉格朗日中值定理可知存在使，结合列不等式，即可证明.【详解】（1）因为，由已知有，所以即，即，由知．当时，由得，则的减区间为，当时，由得或，的减区间为和，综上所述：当时，的减区间为；当时，的减区间为和；（2），可化为，令，则，，即，又，所以，，即，由零点的存在性定理知方程在区间,内必有解，即关于的方程在,恒有实数解（3）令，，则符合拉格朗日中值定理的条件，即存在，使，所以在时恒成立，对于函数，，设任意且，则，因为且，所以，，则，所以，即在上恒成立，所以在区间上单调递增，同理可证在上单调递减，所以当时，所以.【点睛】关键点睛：第二问的关键是参变分离得到在时恒成立，结合所给定义证明函数，的单调性.10．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）已知函数．(1)若，求的单调区间；(2)若时恒成立，求实数a的取值范围．(3)定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”．①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有；②已知