2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第09讲拓展四：三角形中周长(定值最值取值范围)问题(精讲)(学生版+解析)

第09讲拓展四：三角形中周长（定值，最值，取值范围）问题目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基础知识 1第二部分：高频考点一遍过 2高频考点一：周长（边长）定值（求周长） 2高频考点二：周长（边长）定值（求边的代数和） 3高频考点三：周长（边长）最值（周长最值） 4高频考点四：周长（边长）最值（边的代数和最值） 6高频考点五：周长（边长）取值范围（周长取值范围） 7高频考点六：周长（边长）取值范围（边的代数和取值范围） 8频考点七：周长（边长）取值范围（锐角三角形中周长（边长）取值范围） 10第一部分：基础知识1、基本不等式核心技巧：利用基本不等式，在结合余弦定理求周长取值范围；2、利用正弦定理化角核心技巧：利用正弦定理，，代入周长（边长）公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.第二部分：高频考点一遍过高频考点一：周长（边长）定值（求周长）典型例题例题1．（2024·全国·模拟预测）在中，角所对的边分别为的外接圆半径为，且．(1)求的值；(2)若的面积为，求的周长．例题2．（2024·湖南常德·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且．(1)求角；(2)若，，成等差数列，且的面积为，求的周长．【答案】(1)(2)15练透核心考点1．（23-24高一下·天津静海·阶段练习）在中，角、、所对的边分别为、、，已知.(1)求角的大小；(2)若，且，求的周长.2．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）在中，角所对的边分别为，且．(1)求；(2)已知的面积为，设为的中点，且，求的周长．高频考点二：周长（边长）定值（求边的代数和）典型例题例题1．（2024·四川成都·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积．(1)求；(2)若，，求．例题2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，的面积为，且.(1)求角的大小；(2)若外接圆的半径为1，边上的高为，求的值.练透核心考点1．（2024·四川成都·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积．(1)求；(2)若,，求．2．（23-24高三上·广东湛江·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.(1)求角A；(2)作角A的平分线与交于点，且，求.高频考点三：周长（边长）最值（周长最值）典型例题例题1．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）中，D为BC边的中点，.(1)若的面积为，且，求的值；(2)若，求的周长的最大值.例题2．（2024高三·江苏·专题练习）如图，中，角、、的对边分别为、、.(1)若，求角的余弦值大小；(2)已知、，若为外接圆劣弧上一点，求周长的最大值.练透核心考点1．（23-24高三下·广东·阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，．(1)若，证明：；(2)若，求周长的最大值．2．（23-24高三上·江苏盐城·阶段练习）已知的内角的对边分别为，且的面积为(1)求；(2)求周长的最小值.高频考点四：周长（边长）最值（边的代数和最值）典型例题例题1．（23-24高三上·安徽·阶段练习）记的角的对边分别为，且．(1)求；(2)若，求的最小值．例题2．（23-24高三上·福建福州·期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设.(1)求A；(2)若AD为∠BAC的角平分线，且，求的最小值.练透核心考点1．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）已知的内角的对边分别为，，，且.(1)求角的大小；(2)若的中点为且，，请写出与的关系式，并求出的最大值.2．（22-23高一下·安徽六安·期末）从条件①；②中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.在中：内角的对边分别为，______.(1)求角的大小；(2)设为边的中点，求的最大值.高频考点五：周长（边长）取值范围（周长取值范围）典型例题例题1．（23-24高一下·河南商丘·阶段练习）设锐角三角形的内角的对边分别为，，，已知，且．(1)求的值；(2)若为的延长线上一点，且，求三角形周长的取值范围．例题2．（23-24高三上·河南新乡·阶段练习）的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量，，且.(1)求角C的大小；(2)若，求周长的取值范围.例题2．（23-24高一下·浙江宁波·阶段练习）在锐角中，已知.(1)求；(2)求的取值范围.例题3．（23-24高一上·浙江绍兴·期末）在中，内角对应的边分别为，，，若.(1)证明：；(2)求的取值范围.练透核心考点1．（23-24高一下·上海·假期作业）在中，已知，且.(1)试确定的形状；(2)求的值．2．（22-23高一下·江苏·阶段练习）在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)求角B的值；(2)若，求的取值范围．3．（23-24高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知的内角的对边分别为，且.(1)求；(2)若为的内心，求的取值范围.频考点七：周长（边长）取值范围（锐角三角形中周长（边长）取值范围）典型例题例题1．（23-24高一下·河南洛阳·阶段练习）在中，角的对边分别为，且．(1)求角的大小；(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．例题2．（23-24高三下·黑龙江·阶段练习）已知在锐角三角形中，边，，对应角，向量，，且与垂直，．(1)求角；(2)求的取值范围．例题3．（2023·四川成都·一模）已知函数.在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足.(1)求A的值；(2)若，求的取值范围.练透核心考点1．（2023·全国·模拟预测）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)证明：；(2)求的取值范围.2．（23-24高三上·安徽·阶段练习）在锐角中，内角所对的边分别为，且.(1)证明：；(2)若，求的周长的取值范围.3．（22-23高三上·浙江丽水·期末）已知锐角内角的对边分别为.若.(1)求；(2)若，求的范围.第09讲拓展四：三角形中周长（定值，最值，取值范围）问题目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基础知识 1第二部分：高频考点一遍过 1高频考点一：周长（边长）定值（求周长） 1高频考点二：周长（边长）定值（求边的代数和） 5高频考点三：周长（边长）最值（周长最值） 8高频考点四：周长（边长）最值（边的代数和最值） 11高频考点五：周长（边长）取值范围（周长取值范围） 15高频考点六：周长（边长）取值范围（边的代数和取值范围） 20频考点七：周长（边长）取值范围（锐角三角形中周长（边长）取值范围） 27第一部分：基础知识1、基本不等式核心技巧：利用基本不等式，在结合余弦定理求周长取值范围；2、利用正弦定理化角核心技巧：利用正弦定理，，代入周长（边长）公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.第二部分：高频考点一遍过高频考点一：周长（边长）定值（求周长）典型例题例题1．（2024·全国·模拟预测）在中，角所对的边分别为的外接圆半径为，且．(1)求的值；(2)若的面积为，求的周长．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据辅助角公式结合已知即可得解；（2）由（1）求出，再根据正弦定理可得出的关系，再根据三角形的面积公式求出边长，即可得解.【详解】（1）由，结合正弦定理，得，化简得，因为，且不同时为钝角，则，所以，又，所以，因此；（2）由（1）知，则，由正弦定理得，令，则，则，解得，因此的周长为．例题2．（2024·湖南常德·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且．(1)求角；(2)若，，成等差数列，且的面积为，求的周长．【答案】(1)(2)15【分析】（1）先利用正弦定理角化边得出；再结合余弦定理得出即可求解.（2先根据，，成等差数列得出；再利用三角形的面积公式得出；最后结合(1)中的，求出，，即可解答.【详解】（1）因为，由正弦定理可得：.由余弦定理可得：.又因为，所以.（2）由,,成等差数列可得：①.因为三角形的面积为，，，即②.由(1)知：③由①②③解得：.，故三角形的周长为15.练透核心考点1．（23-24高一下·天津静海·阶段练习）在中，角、、所对的边分别为、、，已知.(1)求角的大小；(2)若，且，求的周长.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理及特殊角的三角函数值求解即可；（2）根据三角形面积公式和余弦定理求解，即可求解三角形的周长.【详解】（1）由正弦定理得，因为，则，所以，所以，因为，所以；（2）因为，且，所以，由余弦定理可得，所以，解得，因此周长为.2．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）在中，角所对的边分别为，且．(1)求；(2)已知的面积为，设为的中点，且，求的周长．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换化简即可得解；（2）由中线的向量表示平方后化简，由三角形面积公式可求出，再由余弦定理求出即可.【详解】（1）由题意知中，，由正弦定理边角关系得：，所以，因，所以，所以，所以，又，所以，即．（2）在中，为中线，，，，，，，，的周长为．高频考点二：周长（边长）定值（求边的代数和）典型例题例题1．（2024·四川成都·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积．(1)求；(2)若，，求．【答案】(1)；(2)20.【分析】（1）由三角形的面积公式和正弦定理求解即可.（2）由同角三角函数的基本关系求出，再由正弦定理求出，最后由余弦定理求解即可.【详解】（1）由题意可知，，由，得，由正弦定理可知，，由，得，即（或由正弦定理可知：，因为，所以.）（2）由，可知角为锐角，所以，得，，因为，由正弦定理得，所以，由余弦定理，得例题2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，的面积为，且.(1)求角的大小；(2)若外接圆的半径为1，边上的高为，求的值.【答案】(1)(2)3【分析】（1）利用三角形面积公式与余弦定理的边角变换即可得解；（2）利用正弦定理求得，再利用三角形面积公式求得，从而利用整体法，结合余弦定理即可得解.【详解】（1），即，即，所以，又，则.（2）由外接圆的半径为1，得，，边上的高为，所以，则，所以，，，即，故.练透核心考点1．（2024·四川成都·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积．(1)求；(2)若,，求．【答案】(1)(2)12【分析】（1）由三角形面积公式、正弦定理及同角三角函数基本关系得解；（2）根据三角恒等变换化简后由正余弦定理求解即可.【详解】（1）由题意可知，，由正弦定理可知：，因为，所以.（2）由，可知角为锐角，所以，得，，所以，由，又，得，由正弦定理得，所以，由余弦定理，得.2．（23-24高三上·广东湛江·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.(1)求角A；(2)作角A的平分线与交于点，且，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理边角互化，化简后利用正切值求角即得；（2）充分利用三角形的角平分线将三角形面积进行分割化简得，再运用余弦定理解方程即得.【详解】（1）因，由正弦定理可得：，即.因，故，则有，即，因，故.（2）因为为角平分线，所以，所以.因，，，则，即，所以.又由余弦定理可得：，把，分别代入化简得：，解得：或（舍去），所以.高频考点三：周长（边长）最值（周长最值）典型例题例题1．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）中，D为BC边的中点，.(1)若的面积为，且，求的值；(2)若，求的周长的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据三角形的面积之和等于的面积，求得，结合余弦定理求得，再由正弦定理即可求得；（2）根据，结合已知条件求得，再利用不等式即可求得三角形周长的最大值.【详解】（1）设，由，即，解得；在中，，由余弦定理得，，即，解得；由正弦定理得：，即，解得.（2）设，，则中，，中，，因为，，所以，即；由得，当且仅当时取得等号；所以，当且仅当时取得等号，即的周长的最大值为.例题2．（2024高三·江苏·专题练习）如图，中，角、、的对边分别为、、.(1)若，求角的余弦值大小；(2)已知、，若为外接圆劣弧上一点，求周长的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理化边为角，利用三角形内角和定理与和角的正弦公式化简即得；（2）由余弦定理得到的关系式，利用基本不等式求得，即得周长的最大值.【详解】（1）在中，由及正弦定理，得即，则，整理得，而，即.（2）在中，，由余弦定理得，即，于是，解得，当且仅当时取等号，所以当时，周长取得最大值.练透核心考点1．（23-24高三下·广东·阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，．(1)若，证明：；(2)若，求周长的最大值．【答案】(1)证明见解析(2)6【分析】（1）利用余弦定理结合题设可得，再利用正弦定理边化角，即可证明结论；（2）由可推出，利用基本不等式可推出，即可求得周长的最大值.【详解】（1）证明：由余弦定理知和，得，又，则，结合正弦定理得，；（2）由（1）知，又，故，即，，所以，则，故，当且仅当，即时取等号，故，即周长的最大值为6.2．（23-24高三上·江苏盐城·阶段练习）已知的内角的对边分别为，且的面积为(1)求；(2)求周长的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）已知条件结合余弦定理求出，得角；（2）由的面积求出，余弦定理得，由基本不等式求周长的最小值.【详解】（1）由，得，即，则，由，得.（2），得，由余弦定理，有，得，周长，当且仅当时取等号，所以周长的最小值为.高频考点四：周长（边长）最值（边的代数和最值）典型例题例题1．（23-24高三上·安徽·阶段练习）记的角的对边分别为，且．(1)求；(2)若，求的最小值．【答案】(1)(2)3【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；（2）先利用正弦定理求出，再根据二倍角公式和商数关系结合基本不等式即可得出答案.【详解】（1）因为，由正弦定理得：，即，由余弦定理得：，因为，所以；（2）由正弦定理：，，则，又因为代入得：，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为3．例题2．（23-24高三上·福建福州·期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设.(1)求A；(2)若AD为∠BAC的角平分线，且，求的最小值.【答案】(1)(2)9【分析】（1）首先根据正弦定理将角转化成边，然后再根据余弦定理求解即可；（2）首先根据已知条件结合等面积的关系求出，然后再根据均值定理进行求解即可.【详解】（1），即：，由正弦定理可得：，所以，又因为，所以.（2）为的角平分线，.由，得，又，所以，故，所以，当且仅当，即时，的最小值为9.练透核心考点1．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）已知的内角的对边分别为，，，且.(1)求角的大小；(2)若的中点为且，，请写出与的关系式，并求出的最大值.【答案】(1)(2)，【分析】（1）利用正弦定理及两角和得正弦公式即可求得，结合角的范围可知；（2）依题意在中由正弦定理可得，即可得，利用辅助角公式可知，结合角的范围及三角函数单调性可得的最大值为.【详解】（1）因为，由正弦定理得，即可得，所以，又，所以，所以，又，所以；（2）如下图所示：

依题意，则在中，由知，又，利用正弦定理得，所以，，又，所以，，所以，因为，所以，根据三角函数单调性可知，所以，即的最大值为.2．（22-23高一下·安徽六安·期末）从条件①；②中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.在中：内角的对边分别为，______.(1)求角的大小；(2)设为边的中点，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）若选①，利用正弦定理边化角，结合辅助角公式可整理得到，由角的范围可求得；若选②，利用二倍角和辅助角公式可化简求得，由角的范围可求得；（2）由，平方后可用表示出，结合基本不等式可求得最大值.【详解】（1）若选条件①：由正弦定理得：，，，，，即，，又，，，解得：；若选条件②：，，，，，，解得：.（2），，即，（当且仅当时取等号），的最大值为.高频考点五：周长（边长）取值范围（周长取值范围）典型例题例题1．（23-24高一下·河南商丘·阶段练习）设锐角三角形的内角的对边分别为，，，已知，且．(1)求的值；(2)若为的延长线上一点，且，求三角形周长的取值范围．【答案】(1)1(2)【分析】（1）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得，即可得结果；（2）在中，可得，，在中，利用正弦定理结合三角函数可得，进而可得结果.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，则，整理得，由正弦定理可得，即，且，所以.（2）在中，由题意可知：，，可知，由余弦定理可得，即，在中，由正弦定理，可得，因为且为锐角三角形，则，解得，则，可得，所以，且三角形周长为，所以三角形周长的取值范围为.例题2．（23-24高三上·河南新乡·阶段练习）的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量，，且.(1)求角C的大小；(2)若，求周长的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量平行的坐标形式，得到边和角之间的等式关系，根据正弦定理将角化为边，解得边之间关系，再根据余弦定理即可求解；（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求周长为：，由，利用正弦函数的性质即可求解.【详解】（1）由题知向量，，且.所以，由正弦定理可得，所以，所以，因为，所以；（2）因为，，，所以，，所以.因为，所以，所以，所以，所以，即周长的取值范围为.练透核心考点1．（22-23高二上·湖南岳阳·期末）在①，②，③三个条件中任选一个补充在下列问题中，并解决该问题.在中，角所对的边分别为，__________，且.求：(1)；(2)周长的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）选①由三角恒等变换可得求出角，选②由三角形面积公式及数量积公式化简得出即可求解，选③转化为正弦函数，利用正弦定理、余弦定理求出得解；（2）由正弦定理及三角恒等变换可得，利用正弦函数的值域求范围即可得解.【详解】（1）若选①，由正弦定理得：，，，，，.若选②，，，，.若选③，，由正弦定理得：，由余弦定理得：，，.（2）,，，，，，即，所以△ABC周长的取值范围.2．（22-23高一下·江苏苏州·阶段练习）在中，内角的对边分别为，若的角平分线交于点D．

(1)若，求的长度；(2)若为锐角三角形，且的角平分线交于点E，且与交于点O，求周长的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由关系，结合面积公式列方程求解；（2）由正弦定理化边为角，结合三角恒等变换化简求，结合正弦定理利用角表示，结合正弦型函数的性质求的范围，由此可得结论.【详解】（1）因为为的角平分线，，所以，因为所以，

所以.（2）在中，由正弦定理得，，所以，

又，则，又，所以，又，则.

在，由正弦定理得，，所以，

因为是锐角三角形，所以，于是，则，所以，所以，从而，

所以三角形周长的取值范围为.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是首先是求出，再利用正弦定理和三角恒等变换得到，再利用三角函数的性质得到其值域，则得到周长的范围.高频考点六：周长（边长）取值范围（边的代数和取值范围）典型例题例题1．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，且.(1)求的大小；(2)设的中点为，且，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式得到，即可得到，再由辅助角公式计算可得；（2）设，则，则，利用正弦定理表示出、，从而转化为关于的三角函数，利用三角恒等变换公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，所以，即，则.因为，所以，即，所以，又，所以，所以，解得.（2）设，则，则，根据正弦定理可得，所以，，所以，由，得，所以，故的取值范围为.例题2．（23-24高一下·浙江宁波·阶段练习）在锐角中，已知.(1)求；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理边化角，再借助三角函数和差角公式化简可解；（2）利用正弦定理边化角，再借助辅助角公式化简求范围.【详解】（1）由题意，根据正弦定理可得，则，展开可得，.（2）由正弦定理，则，其中，是锐角三角形，，.，，显然，当时，，.例题3．（23-24高一上·浙江绍兴·期末）在中，内角对应的边分别为，，，若.(1)证明：；(2)求的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用正弦定理，以及余弦定理将条件变形整理可得结论；（2）由已知变形可得，然后利用换元法求的取值范围.【详解】（1）解法1：，即证.解法2：要证，只要证，即证只要证，因为，所以成立，故；（2），设.练透核心考点1．（23-24高一下·上海·假期作业）在中，已知，且.(1)试确定的形状；(2)求的值．【答案】(1)直角三角形；(2)【分析】（1）根据正弦定理角化边化简已知等式可得，结合两角和差的余弦公式以及正弦定理化简可得，即可推出，从而可判断三角形形状；（2）由（1）可得，运算即可得解.【详解】（1）在中，设其外接圆半径为R，根据正弦定理得，，代入，得，所以①，因为，所以，所以，由正弦定理，得，所以②，把②代入①得，，即，所以是直角三角形；（2）由（1）知，即，所以，又，所以，所以.2．（22-23高一下·江苏·阶段练习）在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)求角B的值；(2)若，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理边化角后整理化简即可；（2）利用正弦定理得到，则，利用三角公式变形整理，利用三角函数的性质求最值.【详解】（1）因为，由正弦定理边化角可得，所以，又，所以，又为锐角，则；（2）由正弦定理，则，所以，，因为在锐角三角形中，得，所以，则，所以的取值范围为.3．（23-24高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知的内角的对边分别为，且.(1)求；(2)若为的内心，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理与正余弦两角和差公式得，从而求解.（2）结合（1）及的内心作出图像，求得，并利用正弦定理得，从而求解.【详解】（1）由及正弦定理，得：即：，所以：，又：，所以：，又：，所以：，所以：.（2）因为，所以，如图，连接，因为为的内心，所以：，所以：，设，则.在中，由正弦定理得:，所以：，所以：，其中：，因为，所以不妨取，又，所以，其中，当时，取得最大值.因为，所以，又，所以，综上，的取值范围是.

频考点七：周长（边长）取值范围（锐角三角形中周长（边长）取值范围）典型例题例题1．（23-24高一下·河南洛阳·阶段练习）在中，角的对边分别为，且．(1)求角的大小；(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理进行角化边，然后根据余弦定理求解出的值，即可求出角；（2）法一：根据正弦定理可得，根据三角恒等变换化简可得，再根据的范围求解即可；