人教版2024-2025学年九年级数学上册21.3根与系数的关系(压轴题专项讲练)(学生版+解析)

专题21.3根与系数的关系思想方法思想方法分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：1.不重（互斥性）不漏（完备性）；2.按同一标准划分（同一性）；3.逐级分类（逐级性）。知识点总结知识点总结一、一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是，那么，.注意：它的使用条件为a≠0，Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.典例分析典例分析【典例1】已知：关于x的一元二次方程kx2+2x+1−2k=0有两个实数根x（1）若x1+x（2）当k取哪些整数时，x1，x（3）当k取哪些有理数时，x1，x【思路点拨】（1）分两种情况：①若两根同号，②若两根异号；根据根与系数的关系结合根的判别式解答即可；（2）根据根与系数的关系可得若x1+x（3）显然，当k=−1时，符合题意；由两根之积可得k应该是整数的倒数，不妨设k=1m，则方程可变形为x2【解题过程】解：（1）∵Δ=∴不论k为何值，关于x的一元二次方程kx2+2x+1−2k=0都有两个实数根x∵关于x的一元二次方程kx2+2x+1−2k=0有两个实数根x∴x1分两种情况：①若两根同号，由x1+x2=2当x1+x2=2当x1+x2=−2②若两根异号，由x1+x即x1∴−2解得：k=1，综上，k的值为1或±2（2）∵关于x的一元二次方程kx2+2x+1−2k=0有两个实数根x∴x1若x1，x则x1∴整数k=±1,±2，当k=±2时，x1当k=1时，此时方程为x2当k=−1时，此时方程为−x2+2x+3=0综上，当k取−1时，x1，x（3）显然，当k=−1时，符合题意；当k为有理数时，由于x1∴k应该是整数的倒数，不妨设k=1m(m≠0)，则方程kx2+2x+1−2k=0配方得：x+m2即x=−m±m当m=2即k=12时，方程的两根为当m≠2时，m2−m+2=(m−综上，k=−1或12学霸必刷学霸必刷1．（22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生）设方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根x1和x2，且1<x1<2<A．12<x3<1 B．−4<x2．（22-23九年级下·安徽安庆·阶段练习）若方程x2+2px−3p−2=0的两个不相等的实数根x1、x2满足A．0 B．−34 C．−1 3．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）若关于x的一元二次方程x2−2x+a2+b2①m·n＞0；②m>0，n>0；③a2≥a；④关于x的一元二次方程x+12+aA．1 B．2 C．3 D．44．（22-23九年级上·浙江·自主招生）设a、b、c、d是4个两两不同的实数，若a、b是方程x2−8cx−9d=0的解，c、d是方程x2−8ax−9b=0的解，则5．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数a,b,c满足：a+b+c=2,abc=4．求a+b6．（22-23九年级上·四川成都·期末）将两个关于x的一元二次方程整理成ax+ℎ2+k＝0（a≠0，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）与方程x+12−2=0是“同源二次方程”，且方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根为x7．（23-24九年级上·山东济南·期末）已知xy+x+y=44，x2y+xy8．（2024九年级·全国·竞赛）记一元二次方程x2+3x−5=0的两根分别为（1）求1x（2）求3x9．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知关于x的方程x2（1）求n的取值范围；（2）若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的3倍，求m的值．10．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）若关于x的一元二次方程x2（1）若α和β分别是该方程的两个根，且αβ=−2，求m的值；（2）当m=1，2，3，⋅⋅⋅，2024时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，α2、β2，⋅⋅⋅，α202411．（22-23九年级上·湖北武汉·期中）已知α、β是关于x的一元二次方程x2（1）直接写出m的取值范围（2）若满足1α+1（3）若α>2，求证：β>2；12．（22-23九年级·浙江·自主招生）已知方程x2+4x+1=0的两根是α、（1）求|α−β|的值；（2）求αβ（3）求作一个新的一元二次方程，使其两根分别等于α、β的倒数的立方．（参考公式：x313．（22-23九年级上·福建泉州·期末）已知关于x的方程mx（1）若方程的两根之和为整数，求m的值；（2）若方程的根为有理根，求整数m的值．14．（22-23九年级下·浙江·自主招生）设m为整数，关于x的方程m2（1）求m的值．（2）设△ABC的三边长a,b,c满足c=42,m15．（22-23九年级上·湖南常德·期中）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2材料2：已知一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，求解：∵一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，∴m+n=1，mn=−1，则m2根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：一元二次方程x2−3x−1=0的两个根为x1，x2，则（2）类比应用：已知一元二次方程x2−3x−1=0的两根分别为m、n，求（3）思维拓展：已知实数s、t满足s2−3s−1=0，t2−3t−1=0，且16．（23-24八年级上·北京海淀·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当mx+n=0或px+q=0时，多项式A=mx+npx+q=mpx2（1）已知多项式3x+1x−2（2）已知多项式B=x−1bx+c=a（3）小聪继续研究x−3x−1，xx−4及x−52x−32等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线x=217．（22-23九年级上·湖北黄石·期末）（1）x1，x2是关于x的一元二次方程x2（2）已知：α，βα>β是一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根，设s1=α+β，s2=α2+β根据以上信息，解答下列问题：①直接写出s1，s②经计算可得：s3=4，s4=7，s5=11，当n≥3时，请猜想18．（23-24九年级上·福建宁德·期中）已知关于x的方程x2−m+2x+4m=0有两个实数根（1）若m=−1，求x1（2）一次函数y=3x+1的图像上有两点Ax1,y1（3）边长为整数的直角三角形，其中两直角边的长度恰好为x1和x19．（22-23九年级上·全国·单元测试）如果方程x2+px+q=0有两个实数根x1，x2，那么（1）已知a，b是方程x2+15x+5=0（2）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知x=x1y=y1和x=x2y=y2是关于x，20．（22-23九年级上·四川资阳·期末）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个实数根，若x1<x2<0请阅读以上材料，回答下列问题：（1）判断一元二次方程x2（2）若关于x的一元二次方程2x2+k+7x+k2（3）若关于x的一元二次方程x2+1−m专题21.3根与系数的关系思想方法思想方法分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：1.不重（互斥性）不漏（完备性）；2.按同一标准划分（同一性）；3.逐级分类（逐级性）。知识点总结知识点总结一、一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是，那么，.注意：它的使用条件为a≠0，Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.典例分析典例分析【典例1】已知：关于x的一元二次方程kx2+2x+1−2k=0有两个实数根x（1）若x1+x（2）当k取哪些整数时，x1，x（3）当k取哪些有理数时，x1，x【思路点拨】（1）分两种情况：①若两根同号，②若两根异号；根据根与系数的关系结合根的判别式解答即可；（2）根据根与系数的关系可得若x1+x（3）显然，当k=−1时，符合题意；由两根之积可得k应该是整数的倒数，不妨设k=1m，则方程可变形为x2【解题过程】解：（1）∵Δ=∴不论k为何值，关于x的一元二次方程kx2+2x+1−2k=0都有两个实数根x∵关于x的一元二次方程kx2+2x+1−2k=0有两个实数根x∴x1分两种情况：①若两根同号，由x1+x2=2当x1+x2=2当x1+x2=−2②若两根异号，由x1+x即x1∴−2解得：k=1，综上，k的值为1或±2（2）∵关于x的一元二次方程kx2+2x+1−2k=0有两个实数根x∴x1若x1，x则x1∴整数k=±1,±2，当k=±2时，x1当k=1时，此时方程为x2当k=−1时，此时方程为−x2+2x+3=0综上，当k取−1时，x1，x（3）显然，当k=−1时，符合题意；当k为有理数时，由于x1∴k应该是整数的倒数，不妨设k=1m(m≠0)，则方程kx2+2x+1−2k=0配方得：x+m2即x=−m±m当m=2即k=12时，方程的两根为当m≠2时，m2−m+2=(m−综上，k=−1或12学霸必刷学霸必刷1．（22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生）设方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根x1和x2，且1<x1<2<A．12<x3<1 B．−4<x【思路点拨】由根与系数的关系得出x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca，再设方程cx2−bx+a=0的为m，n【解题过程】解：∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根x∴x1+设方程cx2−bx+a=0的两根为m则m+n=bc，∵m+n=bc=−∴m+n=−(x∴方程cx2−bx+a=0的两根为−∵1<x1<2∴12<1∴−1<−1x1∵−1∴方程cx2−bx+a=0的较小根x故选：D．2．（22-23九年级下·安徽安庆·阶段练习）若方程x2+2px−3p−2=0的两个不相等的实数根x1、x2满足A．0 B．−34 C．−1 【思路点拨】先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到x12+2px1−3p−2=0，x1+x2=−2p，进而推出x13【解题过程】解：∵x1、x∴x12+2p∴x1∴x1∴x1∴x1同理得x2∵x1∴x1∴3px∴3p+2x∴3p+2−2p∴−6p∴−6p∴−2p∴−2p4∴2p4∴2p4p+3解得p1∵Δ=∴p2∴p+1p+3∴p=−1不符合题意，∴p∴符合题意，故选B．3．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）若关于x的一元二次方程x2−2x+a2+b2①m·n＞0；②m>0，n>0；③a2≥a；④关于x的一元二次方程x+12+aA．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】根据根与系数的关系得x1x2=mn=a2+b2+ab，利用a+b=1消去b得到mn=a2−a+1=a−122+34>0，从而即可对①进行判断；由于x【解题过程】解：根据根与系数的关系得x1∵a+b=1，∴b=1−a，∴mn=a∵x1+x∴m>0，n>0，所以②正确；∵Δ≥0∴4−4a即4−4a∴a≥a∵a2∴方程x2−2x+a即x−12∵方程x+12+a∴x+2=m或x+2=n，解得x1=m−2，故选：C．4．（22-23九年级上·浙江·自主招生）设a、b、c、d是4个两两不同的实数，若a、b是方程x2−8cx−9d=0的解，c、d是方程x2−8ax−9b=0的解，则【思路点拨】由根与系数的关系得a+b，c+d的值，两式相加得的值，根据一元二次方程根的定义可得a2−8ac−9d=0，代入可得a2−72a+9c−8ac=0，同理可得c2【解题过程】解：由根与系数的关系得a+b=8c，c+d=8a，两式相加得a+b+c+d=8a+c．因为a是方程x2−8cx−9d=0的根，所以a2所以a2−72a+9c−8ac=0同理可得c2−72c+9a−8ac=0①-②得a−ca+c−81因为a≠c，所以a+c=81，所以a+b+c+d=8a+c故答案为648．5．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数a,b,c满足：a+b+c=2,abc=4．求a+b【思路点拨】用分类讨论的思想，解决问题即可．【解题过程】解：不妨设a是a，b，c中的最大者，即a≥b，a≥c，由题设知a>0，且b+c=2−a，bc=4于是b，c是一元二次方程x2∴Δ=2−a2所以a≥4．又当a=4，b=c=−1时，满足题意．故a，b，c中最大者的最小值为4．因为abc=4>0，所以a，b，c为全大于0或一正二负．①若a，b，c均大于0，a，b，c中的最大者不小于4，这与a+b+c=2矛盾．②若a，b，c为或一正二负，不妨设a>0，b<0，c<0，则a+∵a≥4，故2a−2≥6，当a=4，b=c=−1时，满足题设条件且使得不等式等号成立．故a+故答案为：6．6．（22-23九年级上·四川成都·期末）将两个关于x的一元二次方程整理成ax+ℎ2+k＝0（a≠0，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）与方程x+12−2=0是“同源二次方程”，且方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根为x【思路点拨】利用ax2+bx+c=0（a≠0）与方程x+12−2=0是“同源二次方程”得出b=2a，c=a−2，即可求出b−2c；利用一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=−2，x1x2=a−2a，进而得出【解题过程】解：根据新的定义可知，方程ax2+bx+c=0（a≠0∴ax+1展开，ax可得b=2a，c=a−2，∴b−2c=2a−2a−2∵x1+x∴ax∵方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根为x∴Δ=b2∴a>0，设a+1a=t（t>0∵方程a2∴Δ=解得t≥2，即a+1∴ax故答案为：4，-3．7．（23-24九年级上·山东济南·期末）已知xy+x+y=44，x2y+xy【思路点拨】本题主要考查了代数式求值、一元二次方程的根与系数的关系、因式分解的应用等知识点，综合应用所学知识成为解题的关键．设xy=m，x+y=n，等量代换后可得44=m+n、484=mn，则m、n为t2−44t+484=0的根，可解得m=n=22，然后再对x3【解题过程】解：设xy=m，x+y=n，∴44=xy+x+y=m+n，484=x∴m、n为t2∴m=n=22，∴x3==n==9196．8．（2024九年级·全国·竞赛）记一元二次方程x2+3x−5=0的两根分别为（1）求1x（2）求3x【思路点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解．在利用根与系数的关系x1⋅x2=ca，x（1）利用根与系数的关系求得求1x（2）由一元二次方程的解可得x1【解题过程】（1）∵x∴====5；（2）∵x1是一元二次方程x∴∴x又∵x∴3x9．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知关于x的方程x2（1）求n的取值范围；（2）若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的3倍，求m的值．【思路点拨】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当判别式Δ>0时方程有两个不相等的实数根，Δ=0时方程有两个相等的实数根，Δ<0时方程没有实数根，若方程的两个实数根为x1（1）根据方程x2−2mx+m（2）根据（1）中结果得出n值，利用一元二次方程根与系数的关系列方程求出m的值即可．【解题过程】（1）解：∵关于x的方程x2∴Δ=解得：n>0．（2）设方程的两个实数根为x1、x2，且∴x1+x由（1）可知：n>0，∵n为符合条件的最小整数，∴n=1，∵该方程的较大根是较小根的3倍，∴x1∴4x2=2m∴3×m解得：m1=−2，当m=2时，x2=1，则当m=−2时，x2=−1，则x1∴m=2．10．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）若关于x的一元二次方程x2（1）若α和β分别是该方程的两个根，且αβ=−2，求m的值；（2）当m=1，2，3，⋅⋅⋅，2024时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，α2、β2，⋅⋅⋅，α2024【思路点拨】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系进行求解即可；（2）根据一元二次方程的根与系数的关系x1+x2=−【解题过程】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+2x−m2−m=0∴αβ=−∵αβ=−2，∴−2=−∴m=1或m=−2；（2）解：设方程x2+2x−则x1∴1∴1α1+1…．．1∴1=2×=2×=11．（22-23九年级上·湖北武汉·期中）已知α、β是关于x的一元二次方程x2（1）直接写出m的取值范围（2）若满足1α+1（3）若α>2，求证：β>2；【思路点拨】（1）根据一元二次方程x2+2m+3（2）结合一元二次方程根与系数的关系，得α+β=−2m+3和αβ=m2，因为1α+1β=−1，所以（3）因为α−2β−2=αβ−2α+β+4，结合α+β=−2m+3和αβ=m2，得m【解题过程】（1）解：∵一元二次方程x2∴Δ=即m>−3（2）解：∵1α+1β∴2m+3整理得m2解得：m1=3∵由（1）知m>−3∴m=3检验：当m=3时，m2≠0，即（3）证明：因为α−2β−2把α+β=−2m+3和αβ=得m2∵m+22∴m+2∴α−2∵α>2，∴α−2>0，∴β−2>0，即β>2．12．（22-23九年级·浙江·自主招生）已知方程x2+4x+1=0的两根是α、（1）求|α−β|的值；（2）求αβ（3）求作一个新的一元二次方程，使其两根分别等于α、β的倒数的立方．（参考公式：x3【思路点拨】（1）利用一元二次方程根与系数的关系可得α+β=−4,αβ=1，再求得α−β2的值，进而求得|α−β|（2）先根据二次根式的性质将αβ+βα化为αβ（3）由题意可得新一元二次方程的两个根为1α3和1β3，然后求得【解题过程】（1）解：∵方程x2+4x+1=0的两根是α∴α+β=−4,αβ=1∴α−β∴|α−β|=23（2）解：由（1）可知：α<0，β<0，∵====16，∴αβ（3）解：由题意可得新一元二次方程的两个根为1α3则1=(====−521所以新的一元二次方程x213．（22-23九年级上·福建泉州·期末）已知关于x的方程mx（1）若方程的两根之和为整数，求m的值；（2）若方程的根为有理根，求整数m的值．【思路点拨】（1）根据关于x的方程mx2−m−1x+2=0有两个根，且为实数根，先利用一元二次方程的根的判别式确定m的取值范围，再根据一元二次方程的根与系数的关系，可知x（2）分两种情况讨论：当m=0时，此时关于x的方程为x+2=0，求解可得x=−2，符合题意；当m≠0时，对于关于x的方程mx2−m−1x+2=0可有x=【解题过程】（1）解：∵关于x的方程mx∴m≠0，且Δ=根据一元二次方程的根与系数的关系，可知x1若方程的两根之和为整数，即m−1m∵m−1m∴1m∴m=±1，当m=1时，Δ=1−10+1=−8<0当m=−1时，Δ=1+10+1=12>0，m−1∴m的值为−1；（2）当m=0时，此时关于x的方程为x+2=0，解得x=−2；当m≠0时，对于关于x的方程mx2−若方程的根为有理根，且m为整数，则Δ=设m2−10m+1=k则：m=10±∵m为整数，设24+k2=∴k+nn−k∴k+n=12n−k=2或k+n=6n−k=4或k+n=8n−k=3解得：k=5n=7或k=1n=5或k=5∴m2−10m+1=1当m2−10m+1=1时，解得m=10或当m2−10m+1=25时，解得m=−2或综上所述，若方程的根为有理根，则整数m的值为0或10或−2或12．14．（22-23九年级下·浙江·自主招生）设m为整数，关于x的方程m2（1）求m的值．（2）设△ABC的三边长a,b,c满足c=42,m【思路点拨】（1）设原方程的两个解分别为x1,x（2）由（1）得出的m的值，然后代入将m2+a2m−12a=0，m2+b2【解题过程】（1）解：∵m2∴m≠−2或m=1，∵方程有两个实数根，∴Δ=设原方程的两个解分别为x∴x1∴mm2+m−2=1，解得：m2+m−2=2，解得：m2+m−2=3，解得：m2+m−2=4，解得：m=−3m2+m−2=6，解得：m2+m−2=12，解得：当m=−3时，7m+2m当m=2时，7m+2m综上所述，m=2；（2）把m=2代入两等式，化简得a2−6a+2=0，当a=b时，a=b=3±7当a≠b时，a、b是方程x2−6x+2=0的两根，而根据根与系数的关系可得，a+b=6>0，ab=2>0，则a>0、b>0，①a≠b，c=42时，由于a故△ABC为直角三角形，且∠C=90°，SΔ②a=b=3−7，c=42时，因故不能构成三角形，不合题意，舍去；；③a=b=3+7，c=42时，因SΔ综上，△ABC的面积为1或44+315．（22-23九年级上·湖南常德·期中）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2材料2：已知一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，求解：∵一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，∴m+n=1，mn=−1，则m2根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：一元二次方程x2−3x−1=0的两个根为x1，x2，则（2）类比应用：已知一元二次方程x2−3x−1=0的两根分别为m、n，求（3）思维拓展：已知实数s、t满足s2−3s−1=0，t2−3t−1=0，且【思路点拨】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出m+n=−ba=3，mn=（3）由题意可将s、t可以看作方程x2−3x−1=0的两个根，即得出s+t=−ba=3，s⋅t=ca【解题过程】（1）解：∵一元二次方程x2−3x−1=0的两个根为x1∴x1+x故答案为：3，−1；（2）∵一元二次方程x2−3x−1=0的两根分别为m、∴m+n=−ba=3∴n===−11；（3）∵实数s、t满足s2−3s−1=0，∴s、t可以看作方程x2∴s+t=−ba=3∵t−s==13∴t−s=13或t−s=−当t−s=131s当t−s=−131s综上分析可知，1s−1t的值为16．（23-24八年级上·北京海淀·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当mx+n=0或px+q=0时，多项式A=mx+npx+q=mpx2（1）已知多项式3x+1x−2（2）已知多项式B=x−1bx+c=a（3）小聪继续研究x−3x−1，xx−4及x−52x−32等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线x=2【思路点拨】（1）根据多项式的零点的定义即可求解；（2）根据多项式的零点的定义将x=1代入ax2−（3）令cx−5c=0，求得M的一个零点为5，根据“2系多项式”的定义求得方程bx2−4cx−2a−4=0的两个根为x【解题过程】（1）解：令3x+1x−2∴3x+1=0或x−2=0，∴x=−13或则此多项式的零点为−1故答案为：−1（2）解：∵多项式B=x−1∴将x=1代入ax2−解得a=2，∴B=2x令2x+1=0，解得x=−1∴多项式B的另一个零点为−1（3）解：∵M=2ax+b令cx−5c=0，解得x=5，即M的一个零点为5，∴设M的另一个零点为y，则y+52=2，解得即2ax+b=0时，x=−1，则−2a+b=0①，令M=bx根据题意，方程bx2−4cx−2a−4=0的两个根为x∴x1+x∴c=b②，5b−2a−4=0③，解①②③得c=b=1，a=1∴a=12，17．（22-23九年级上·湖北黄石·期末）（1）x1，x2是关于x的一元二次方程x2（2）已知：α，βα>β是一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根，设s1=α+β，s2=α2+β根据以上信息，解答下列问题：①直接写出s1，s②经计算可得：s3=4，s4=7，s5=11，当n≥3时，请猜想【思路点拨】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可得出x1+x2=2k+1，（2）①根据一元二次方程根与系数的关系可得出α+β=−ba=1，αβ=ca=−1，进而可求出s1=α+β=1，s2=α2+β2【解题过程】解：（1）∵x1，x2是关于∴x1+x∴x1整理，得：k2解得：k1=−3，当k=−3时，Δ=∴此时原方程没有实数根，∴k=−3不符合题意；当k=1时，Δ=∴此时原方程有两个不相等的实数根，∴k=1符合题意，∴k的值为1；（2）①∵x2∴a=1，∵α，βα>β是一元二次方程x∴α+β=−ba=1∴s1=α+β=1，②猜想：sn证明：根据一元二次方程根的定义可得出α2−α−1=0，两边都乘以αn−2同理可得：βn由①+②，得：αn∵sn=αn+∴sn−s18．（23-24九年级上·福建宁德·期中）已知关于x的方程x2−m+2x+4m=0有两个实数根（1）若m=−1，求x1（2）一次函数y=3x+1的图像上有两点Ax1,y1（3）边长为整数的直角三角形，其中两直角边的长度恰好为x1和x【思路点拨】该题主要考查了一元二次方程的根判别式“Δ=b2−4ac（1）将m=−1代入方程得出方程，再根据根与系数关系得到x1+x（2）根据点Ax1,y1,Bx（3）根据直角三角形两直角边x1,x2为整数，得出Δ=b2−4ac=m2【解题过程】（1）当m=−1时，方程为x2Δ=b∴x即x1（2）将Ax1,y1又Δ=m+2故x1A=10x即10x1−x1m+22m−62m1（3）∵直角三角形两直角边x1∴Δ=b不妨令m2−12m+4=km−62m+k−6m−k−6m+k−6>m−k−6，当①∴m+k−6=32,