广东省九校2025届高三上学期9月联合教学质量检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页广东省九校2025届高三上学期9月联合教学质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=xx2−1≥0，集合B=xA.xx≥1 B.x−1<x<1 C.x−1<x≤12.已知平面向量m,n满足：m=n=2，且m在n上的投影向量为12n，则向量A.30∘ B.60∘ C.120∘3.已知相互啮合的两个齿轮，大轮有45齿，小轮有30齿.如果大轮的转速为180r/min(转/分)，小轮的半径为10cm，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是(    )cm．A.5400π B.90π C.180π D.40π4.为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教(每所学校至少安排一名教师).受某些因素影响，甲乙教师不被安排在同一所学校，丙教师不去往希望中学，则不同的分配方法有(    )种．A.144 B.260 C.320 D.5405.已知数列an满足an+1=23an+4A.an=12−23n−1 B.an6.如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1C1A.12a−12b+c 7.已知Sn是数列bn的前n项和，若1−2x2025=a0+a1x+aA.3−3⋅21012 B.−2−3⋅21012 C.8.已知函数f(x)=lnx−mx2+x，若不等式f(x)>0的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数A.2+ln28,3+ln39 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为eix=cosx+isinx，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”(e为自然对数的底数，iA.复数eiπ2为纯虚数 B.复数ei3对应的点位于第二象限

C.复数eiπ3的共轭复数为10.已知a，b为正实数，且a>1，b>1，ab−a−b=0，则(

)A.ab的最大值为4 B.2a+b的最小值为3+22

C.1a−1+1b−1的最小值为11.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，准线交x轴于点D，直线l经过F且与C交于A,B两点，其中点A在第一象限，线段AF的中点M在y轴上的射影为点N.若MN=A.l的斜率为3 B.▵ABD是锐角三角形

C.四边形MNDF的面积是3p三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知数列an的首项为1，an+1=n+2nan+cos13.已知直线l与双曲线x24−y23=1交于A、B两点，且弦AB的中点为M14.一段路上有100个路灯L1,L2,⋯,L100一开始它们都是关着的，有100名行人先后经过这段路，对每个k∈1,2,3,⋯,100，当第k名行人经过时，他将所有下标为k的倍数的路灯Lk四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)记▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2(1)求A；(2)若b=4，sinB+cosB=16.(本小题12分)足球比赛积分规则为：球队胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．常州龙城足球队2024年10月将迎来主场与A队和客场与B队的两场比赛．根据前期比赛成绩，常州龙城队主场与A队比赛：胜的概率为23，平的概率为16，负的概率为16；客场与B队比赛：胜的概率为13，平的概率为(1)求常州龙城队10月主场与A队比赛获得积分超过客场与B队比赛获得积分的概率；(2)用X表示常州龙城队10月与A队和B队比赛获得积分之和，求X的分布列与期望．17.(本小题12分)如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB//CD，PQ//CD，AD=CD=DP=2PQ=2AB=2，点E，F，M(1)求证：EF//平面CPM(2)求平面QPM与平面CPM夹角的大小；(3)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为π6，求N到平面CPM的距离．18.(本小题12分)已知点P1t+1,t在抛物线C:x2=4y上，按照如下方法依次构造点Pnn=2,3,4⋯，过点Pn−1作斜率为−1的直线与抛物线C交于另一点Qn−1，令P(1)求t的值；(2)求证：数列xn是等差数列，并求x(3)求▵Pn19.(本小题12分)已知fx是定义在区间−1,1上的奇函数，且f1=1，若m、n∈−1,1，(1)证明函数fx在−1,1(2)解不等式flo(3)若12fx1−fx2≤t2−2at+1参考答案1.B

2.C

3.B

4.B

5.C

6.D

7.A

8.C

9.ABD

10.BC

11.ABD

12.2023⋅213.3x−2y−6=0

14.10

15.解：(1)在▵ABC中，由正弦定理得sinC因为c2b2+化简得b2在▵ABC中，由余弦定理得cosA=又因为0<A<π，所以A=π(2)由sinB+cosB=又B∈0,π，所以B+π4所以C=π−A−B=5πsin=sinAcos由正弦定理得asinA=解得a=26，故▵ABC的周长为6+2

16.解：(1)设事件A1=“常州龙城队主场与A队比赛获得积分为事件A2=“常州龙城队主场与A队比赛获得积分为事件A3=“常州龙城队主场与A队比赛获得积分为事件B1=“常州龙城队客场与B队比赛获得积分为事件B2=“常州龙城队客场与B队比赛获得积分为事件B3=“常州龙城队客场与B队比赛获得积分为事件C=“常州龙城队七月主场与A队比赛获得积分超过客场与B队比赛获得积分”，P(AP(AP(A则P(C)=P(A∴常州龙城队七月主场与A队比赛获得积分超过客场与B队比赛获得积分的概率为1936(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,6，P(X=0)=1P(X=1)=1P(X=2)=1P(X=3)=2P(X=4)=2P(X=6)=2∴X的分布列为：X012346P111712∴E(X)=0×1

17.(1)证明：连接EM，因为

AB//CD

，

PQ//CD

，所以又因为

AB=PQ

，所以四边形PABQ为平行四边形，因为点E和M分别为AP和BQ的中点，所以

EM//AB

且

EM=AB因为

AB//CD

，

CD=2AB

，F为CD的中点，所以

CF//AB

且可得

EM//CF

且

EM=CF

，即四边形所以

EF//MC

，又

EF⊄

平面MPC，

CM⊂

所以

EF//

平面MPC(2)因为

PD⊥

平面ABCD，

AD⊥CD

，故以D为原点，

分别以DA，DC，DP所在的直线为x轴，y依题意可得

D(0,0,0)

，

A(2,0,0)

，

B(2,1,0)

，

C(0,2,0)

，

P(0,0,2)

，

Q(0,1,2)

，

M(1,1,1)

，PM=(1,1,−1)

，

PQ=(0,1,0)

，

CM=(1,−1,1)

设

n=(x,y,z)

为平面PQM则

n⋅PM=x+y−z=0n⋅PQ=y=0

，不妨设

设

m=(a,b,c)

为平面PMC则

m⋅PC=2b−2c=0m⋅CM=a−b+c=0

，不妨设

所以

cosm,设平面PQM与平面PMC夹角为

θ

，所以

sinθ=1−即平面PQM与平面PMC夹角为60°

．(3)设

QN=λQC(0≤λ≤1)

，即

则

N(0,λ+1,2−2λ)

，从而

DN=(0,λ+1,2−2λ)

由(2)知平面PMQ的法向量为

n=(1,0,1)

而直线DN与平面PMQ所成的角为

π6

所以

sinπ6即

12=整理得

3λ2−10λ+3=0

，解得

λ=13

因为

0≤λ≤1

，所以

λ=13

，所以

N0,43,4由(2)知：

m=(0,1,1)

为平面

CPM

故点N到平面CPM的距离为

d=NC·

18.解：(1)解：因为点P1t+1,t在抛物线C:x2=4y(2)证明：由(1)知：P12,1，即方法一：因为点Pnxn,yn在抛物线过Pn−1xn−1,x联立方程组y−xn−1解得x=xn−1或x=−xn−1−4所以数列xn是以首项为2，公差为4所以xn=2+4n−1方法二：因为点Pn−1xn−1所以xn−12所以：kPn−1Q所以数列xn是以首项为2，公差为4所以xn=2+4n−1(3)解：由(2)知：Pn可得梯形TnP=即STnP又由梯形TnP=1即STnPS△

19.解：(1)∀x1,则fx因为−1≤x1<由