高中数学高考冲刺分专题总复习

高中数学高考冲刺分专题总复习

专题1三角函数化简求值专题

一、复习目标

1.掌握三角函数恒等变形的一般思路与方法；

2.能利用恒等变形进行三角函数式的化简与求值.

二、基础训练

1.tanl50-cotl5°=()

A.2B.2+V3C.4D.-2V3

2.若&上。s2a总—则化简〃可得()

A。口ar.ex..ct

A.-cos—D.cos—C.-sin—U.sin—

2222

若a为锐角，且sin(<"])=[,则cosa=.

63一

A壮信.Jl-2疝10。曲0。=.

cos(-10°)-71-cos2170°

三、典型例题

1.(1)若tan6=」，则c°s2。等于()

2l+sin2。

A.-2B.--C.-3D.3

2

⑵若cosaj心呜,则cosa+—

I3

2.已知sin(a-?)=7^\cos2a=—,sintan(a+—)

3.化简:sin2cif-sin2/?+cos2a-cos2(3——cos24z-cos2/?・

4.--<x<0,sinx+cosx=—.

(I)求sinx-cosx的值;

3sin2--2sin—cos-4-cos2—

(H)求—2————^的值

tanx+cotx

四、课堂练习

对任意的锐角a，4，下列不等关系中正确的是()

A.sin(a+/?)>sina+sin/?B.sin(6r+/?)>cosa4-cosp

C.cos(a+，)vsina+sin£D.cos(tz+/^)<cosa+cosf3

已知a=—,j3=红，贝1(1+tana)・(1+tan/?)=_.

1616—

已知a为第二象限的角，sina=|,2为第一象限的角,

cos/7=—,求tan(2o-尸)的值.

五、巩固练习

1已知tan(a+/7)=2,tan(a+二)=」，那么tan(力一马=()

A.iB.1C.—

541822

|0jr

2.若sin(^--a)=二贝ijcos("^-+2a)=()

A.--B.」C.」D.-

9339

3.若a,月均是锐角，且sin2a=cos(a"),则2与例勺关系是()

A.a>pB.a</3C.a=BD.a+/7>]

4.函数/(x)=(3sinx-4cosx)cosx的最小正周期为_.

5.已知a为锐角，且sin2a—sinacosa—2cos2a=0,贝Itana=

sin(a-y)=

6.已知sin(a-?)=噜，且£<a<今,求tan(2a+?)的值.

7.化简：——迦汩——

-rrjr

2tan(——a)•sin2(—+a)

44

8.已知函数/(©=-氐山2x+sinx-cosx.

(I)求/'(筌马的值；

6

(II)设々£(0,乃)，/(3)=；一求sina的值.

专题2三角函数的图象与性质

一、复习目标

1.掌握正弦，余弦，正切函数的图象与性质；

2.能用图象与性质解决三角函数的综合性问题.

二、基础训练

1.函数y=sin（2x+：）的图象的一条对称轴方程是（）

A.x-――B.x=――C.X--D.x--

2484

2.下列区间中，函数y=3sin（x+马的递减区间是（）

6

A.B.[-肛0]C.D.]

223323

3.函数/（x）=sin（5+p）.cos（tux+0）（3>0）以2为最小正周期，

且能在x=2时取得最大值，则。的一个值是（）

A.—3万B.—工乃C.-71D.-

4442

4.要得到函数y=V5cosx的图象，只需将函数y=V^sin（2x+2）

4

的图象上所有的

点的（）

A.横坐标缩短到原来的,倍（纵坐标不变），再向左平行移

2

动g个单位长度

O

B.横坐标缩短到原来的工倍（纵坐标不变），再向右平行移

2

动多个单位长度

4

C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行

移动g个单位长度

4

D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行

移动！个单位长度

O

三、典型例题

1.(1)函数/(x)=Asin(£yx+e)(A>0,a>>0)___

的部分图象如图所示，则0______M/

/(1)+/(2)+/(3)+...+/(11)=_;

(2)为使方程cos2x-sinx+a=0在(0,1内有解，贝！］a的取值范

围是()

A.-1<«<1B.-1<«<1C.-l<tz<0D.a<--

4

2.求函数/(x)=sin，x+cos4x+stX•c"x的最小正周期,最大

2-sin2x

值和最小值.

3.已知函数/(x)=Asin(s+>),(A>0,or>0,|^|<y)的图象在P轴

上的截距为1,它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值

点分别为(%2)和(/+3万，-2).

(I)求函数“X)的解析式；(II)求函数g(X)="T)的单

调递增区间.

4.设函数/(%)=sin(2x+(p)(-7T<<p<G),y=/(x)图像的一条对称

轴是直线》=工.

8

(I)求0;

(II)若函数y=2/(x)+a,(a为常数acR)在元£史々里］上的最大

244

值和最小值之和为1,求a的值；

(III)回出函数丁=/(x)在区间［0,%］上的图像.

四、课堂练习

1.已知函

TT

/（X）满足/'（x）=/（乃—x）J（x）=/（—X）,且/"（X）在（0,5）上是增函数，则

函数/'（X）可能为（）

A.cosxB.sin|.r|C.sin2xD.|sinx|

2.函数广（x）二正三（）

cosx

A.在［0,£）,（彳㈤上递增，在［肛,）,（若,2幻上递减

2222

B.在［0,1）,［肛当上递增,在G㈤，（当,2句上递减

2222

C.在（1/］,（¥，2加上递增,在［0百,［汨营）上递减

2222

D.在［肛当,（当,2句上递增,在［0,"（］㈤上递减

2222

3.求函数y=sin4x+2\/3sinx-cosx-cos4x的最小正周期和最小值,

并写出该函数在［0,加上的单调区间.

五、巩固练习

1.下列命题中，正确的个数是（）

⑴存在实数a,使sinacosa=1；（2）存在实数夕，使

.3

sina+cosa=一;

2

（3）/（2吟一2X）是偶函数；⑷若a、。是第I象限角，且a

〉夕，则tana>tan4；

⑸在AABC中是sinA>sin5的充要条件.

A.1B.2C.3D.4

2.已知函数/（x）=Asin（s4-（p）9（A>0,0>0）在x=工处取得最小

4

值，则（）A./'（x+工）一定是偶函数B./（》+工）一定是奇

44

函数

C./（x-f）一定是偶函数D.八尤-？一定是奇函数

44

3.已知函数y=tang在（-2，王）内是减函数，贝』（）

22

A.0<。W1B.-1W刃<0C.。>1D.oW-1

4.函数f（x）=sinx+21sinx\,XG[0,2乃]的图象与直线y=左有且仅有

两个不同的交点，贝心的取值范围是

5.函数y=sinx+6cosx在区间［0&］上的最小值为二

_'2_

6.已知函数/(x)=-，sinx.

Vl+cos2x

(1)求函数/(X)的定义域，值域，最小正周期；(2)判断函数

/(X)奇偶性.

7.已知函数/(x)=Asin(s+°),(A>0,0>0,网<g的部分图象如

图所示.「

(I)求函数/a)的解析式；一^^下、

(II)函数g(x)=l+sin±的图象经过怎样的图X4换彳£到函：

23

数

y=/(x)的图象。

8.已知函数/(x)=a+/?sinx+ccosx,(xeR)的图像过点

A(O,1),8弓,1),且6>0/(x)的最大值为2夜-1.求函数/⑴的

解析式。

专题3向量与解三角形

一、复习目标

1.掌握解三角形的一般思路与方法，掌握向量的基本运算

及其运算；

2.能够解决向量与解三角形的综合问题.

二、基础训练

1.在AA皮中，/。=90°，通=々』),公=(2,3),则左的值是()

A.5B.-5C.-D.--

22

2在AA8B，点E,厂分别在边48,AC±,SAEAREF//

5

BC,若Q=a,就=6,贝！］而=()

A.b--aB.-a-bC.a--bD.-b—a

5555

3.在AA5c中，若NA=120°，AB=5,BC=7,则A45C的面积S=_.

三、典型例题

1.平面内有加+而+砺=0,且

丽.丽=丽.而=丽丽则APQA定是

()

A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三

角形

2.在AABC中，角A、B、C所对的边分别为〃、b、c,且

,1

cosA=—,

3

(I)求sin［殳＜+cos24的值；(II)若求be的最

2

大值.

设函数/㈤二a・b,其中向量(2cosx,l),b=(cosx,V3

sin2x),x£R.

(I)若广3二1一百且[—―,—],求x；(II)求f(x)

33

的单调区间。

4.已知AA8C中，三内角AB,C成等差数列，m=(l+cos2A,-2sinC),

n=(tanA,cosC).

(I)若山，〃，判断A48Q勺形状；

(II)求机•〃取得最大值时，AABC三内角的大小.

四、课堂练习

在锐角三角形AA8C中，已知|福|=4,屈|=1,MBEJ面积为6则

ZBAC=_,行-^］值为_.

2.若向量通=(3,-1),〃=(2,1),且〃•前=7,那么〃•团=().

A.-2B.2C.-2或2D.0

3.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,"c,S是该三角形的面积，且

B

4cos5•sin2—+cos2B=0.

2

(I)求角8的度数；

(II)若a=4,S=5百,求人的值.

五、巩固练习

1.已知同=2五,际=3,.而勺夹角为.，若丽=5p+2q,*=p—3q,且。

为8C中点，则通的长度为().

A."B.运C.7D.8

22

2.K^BO^,~^^~AB~AC+~BA~BC+CACB,贝(JAABC是().

A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三

角形

3.在AQ4肿，⑸=。,而="0。是A3边上的高，若加=2而，则实数2等于

().

Aa(b-a)Ba・(a-b)Qa•(b-a)0a•(a-b)

\a-b\2.用.\a-b\.\a-b\

4.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a+c=10,NC=2NA,

3c

cosA=­，则一=•

4a~

5.若钝角三角形三内角的度数成等差数列，最大边长与最

小边长的比值为勿，则勿的范围是

6已知

R2、JI

a=(cos2a,sina),b=(l,2sina-l),aG(一,%),a•5=一，求cos(a+—)的值.

7.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,5是该三角形的面积，且

满足关系式S=2。仇1一cosC).

(I)求tanC的值；

2

(II)当5="时，求"的值.

17

8.在AABB，角AB,球对边分别为a,"c,已知庐+,2="2+儿.

(I)求角力的度数；

(II)若5亩8小1!1。=3,判断乙43a勺形状.

专题4三角函数的综合运用

一、复习目标

1.复习三角函数的最值以及与其它知识的综合运用；

2.培养学生灵活运用知识的能力，强化方程及等价转化思

想方法的训练.

二、基础训练

1.函数/(x)=cosx-gcos2x,(xeR)的最大值等于

2.函数/(幻=5抽工+/一,%€(0,%),则下列命题正确的是

sinx

()

A.f(x)是奇函数B./(x)>4

C./(x)的最小值是4D./(x)有最大值

3.在AABC中，“A>30。”是“sinA>「'的()

2

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

4.已知a=(sin%—cosc),5=(-cos/7,sin/7),且a+力=(—^-，―^),

62

则sin(a+0=_.

三、典型例题

1.(1)锐角三角形的内角A,8满足tanA------—=tanB,,贝！］

sin2A

有()

A.sin2A-cosB=0B.sin2A+cosB=0

C.sin2A-sinB=0D.sin2A+sinB=0

(2)定义在R上的函数Ax)既是偶函数又是周期函数,

若/(%)的最小正周期是万，且当xe[0,/时，/(%)=sinx,则/(牛)

的值为()

A.--B.-C.一2D.3

2222

2.已知向量“=(85围,5出良),。=905二-51112)，且X€[0,巴],

22222

求/(x)=a-Z>-2|«+ft|的最小值.

3.在A46c中，A,8,C为三角形的三个内角，

/(B)=4sinB-cos2(^--1)+cosIB.

(I)若/(B)=2,求角8的大小；

(H)若/(B)-根＜2恒成立，求实数机的取值范围.

已知向量

a=(2cos；,tan©+。)石=@sin(J+£)，tan(：-y)),4/(x)=a%.

2242424

求函数F(x)的最大值，最小正周期，并写出广(x)在［0,2

上的单调区间.

四、课堂练习

1.已知"〃为第二象限角，<7：sino>cosa,则夕是,成

立的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

2.函数/（x）=asinx+Z?,（a,A为常数）的最大值是1,最小值

是—7,则。与rx-a-cos2%的最大值是（）

A.5或4B.4或一5C.4或一3D.5或一3

3.已知向量tn-（cosa———,-1）,H=（sina,l）,而与万为共线向

量9且aG[——,0]9

求sina-cosa的值.

五、巩固练习

1.函数y=4sin（a+生）-05日-三）,（仍＞0）的图象与直线y=3在y

44

轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为见巴上,…，且

|^|=f,则仍等于（）

A.-B.1C.2D.4

2

2.已知一卫<x<—红，则下列四个式子中一定成立的是()

42

A.log^|x|>0B.sin(x+——)>cosx

74

C.2S^X<2C0SXD.cosx>sin2x

3.当0<x<七时，函数/(九)J+c0s2x+8sin2x的最小值为()

2sin2x

A.2B.2V3C.4D.4V3

4.已知函数y=/(x)是以5为最小正周期的奇函数，且

/(-3)=1,则对锐角a,当sina=］时，/(I6V2tana)

5.在数列｛a｝中，8,=sin4+”)-sin"-")，前〃项的和为

4444

S,则S最大值为

6.已知A48C的面积S满足百WSK3,且赤.瓦=6,而与记

的夹角为6.

(I)求8的取值范围；

(II)求函数/(<9)=sirT8+2sine-cose+3cos2。的最小值.

2

7.已知向量a=(cosa,sina),b=(cos(3,sin/3),\a-b\-->/5.

(I)求cos(a-0的值；

(II)若0<a(生，一工<P<0,且sin〃=——,求sina的值.

2213

专题16直线与圆的方程

一、复习目标

1.掌握求直线方程及圆的方程的求法；

2.熟练地进行有关直线与圆的各种关系的运算.

二、基础训练

1.直线2x-y-4=0绕着它与x轴的交点逆时针方向旋转工所

4

得的直线方程是（）

A.3x+y-6=0B,x-3y—2=0C.3x—y+6=0D.x—y—2=0

2.若直线过点八-3,-|）且被圆/+y2=25的弦长是8,则此直

线方程是（）

A.3x+4y+15=0B.x=-3^y=--C.x=—3D.

工=-3或3x+4y+15=0

3.若直线/：y=&x-6与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,

则直线/的倾斜角的取值范围是（）

A.&刍B.（需）C.邑刍D.&勺

o36232O2

x+2y-9<0,

4.已知满足<x-4y+3W0,则z=3x+y的最大值是―.

x>l,

三、典型例题

1.（1）.已知产（乂力为圆F=2+cosa（。为参数）上任意一点，则

y=sin。

上的最大值为（）

X

A.V3B.-如C.&D.-V3

33

（2）.若点尸@0，%）在圆C：炉+y2=厂2外,则直线/：x°x+y0y=/

与圆C的位置关系是（）

A.相切B.相交C.相离D.随点P的变化而变化

2.一个圆与圆V+y2—4x-8y+15=0相切于点（3,6）,且经过

点（5,6）,求圆的方程.

3.已知圆。的方程：Y+y2_2x+4y_4=0是否存在方向向量

"=（2,2）的直线/,使以/被圆。截得的弦48为直径的圆过原

点，若存在，求出/方程；若不存在，说明理由.

4.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要

考虑可能出现的亏损.

某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙项

目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏

损分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万

元，要求确保可能的资金亏损不超过L8万元.问投资人

对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最

大？

四、课堂练习

1.若方程》+左=71=7有且只有一个解，贝h的取值范围是

()

A.[-1,1)B.k=+42C.[-1,1]D.4=近或左6[一1,1)

2.已知P(x,y)为圆一+(匕1)2=1上任一点，欲使不等式

x+y+cNO恒成立，则c的取值范围是()

A.[―1—yf2,-j2—1]B.[5/2—l,+oo)C.(-℃,—1—V2]D.

(―1—V2,V2-1)

3.已知定点/(-1,0),B(1,0),动点〃满足布.前等

于点〃到点C(0,1)距离平方的4倍.求动点〃的轨迹

方程，并说明方程所表示的曲线，

五、巩固练习

1.若光线沿着直线ax+by-\-c=O（ahc0）照射到直线y=x上后

反射，则反射光线所在的直线方程是（）

A.ax+by—c=0B.hx+ay+c=0C.hx+ay-c=0D.

bx-ay+c=0

2.已知直线/："+y+i=o及/（1,3）,B（-4,2）,若直线

/与线段49相交，贝心的取值范围是（）

3333

A.[一"-,4]B.[-4,—]C.（-oo,-4]o[―,+oo）D.（-00,一~-]u[4,+oo）

4444

3.过原点的直线与圆，+/+4》+3=0相切，若切点在第二象

限，则该直线方程是（）

A.y=y/3xB.y=-y/3xC.y-D.y-~~^~x

4.过点"（2,4）向圆（X-I）2+（Y+3）2=I引切线，则切线方程

是

3x+4y-15>0,1

5.已知满足\x<4,'则Y+y?的最小值是，二v+的最

—x+1

、y<3,

大值是

6.某工厂生产甲，乙两种产品，生产一吨产品需要电力（度）

煤（吨），劳动力（人）和产值（千元）如下表所示

品种电力煤劳动力产值

甲2357

乙85210

已知这家工厂的劳动力满员是200人，根据限额每天用电

不得超过160度，用煤不得超过150吨，怎样安排这两种

生产数量，才能获得最大的产值.

7.如图，圆U与圆的半径都是1,0。二4,过动点P分

别作圆U、圆的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得

PM=8PN试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.

P.

M

N

8.已知直线y=or+b(a工份与圆J+y=i.

(1)当直线与圆有两个交点时，求a,b应满足的条件；

⑵设这两个交点为肌N宜0M,如与X轴正方向成a角,

夕角，

21

求证：cos(a+尸)=4---

a+1

专题17轨迹问题

复习目标

1.熟练地掌握用直接法求轨迹方程；

2.熟练地用中间量法求轨迹方程.

基础训练

1.已知a'是圆/+y=25的动弦，且I比1=6,则BC

的中点的轨迹方程是

()

A./+/=4B./+y=9

C./+/=16D.x+y=4

2..已知/(0,7)、B(0,-7)、C(12,2),以。为一个

焦点作过从月的椭圆，椭圆的另一个焦点厂的轨迹方程是

22

A./—二=1B./一二=1

4848

3.动圆与圆(x—1)2+/=1外切，与圆(x+1)2+

/=25内切，则动圆的圆心的轨迹方程是.

22

4.点户为双曲线上-汇=1上的任意点，是凡是两焦点，

169

则//】凡的重心的轨迹方程是.

典型例题

1.(1)已知动点尸(x,y)在圆/+/=1上运动，则点

Q(x+y,xy｝的轨迹是

A.圆B.椭圆C.抛物线D.直

线

(2)AA6C中，B(--,0),C(-,0)(«>0),且满足sin8-sinC=，sinA,

222

则动点A的轨迹方程是.

2.已知M(-1,O),N(1,O),且点P使加.痛V,PMPN,疝r赤成

公差小于0的等差数列，求点尸的轨迹.

3.自抛物线/=2x上任意一点P向其准线/引垂线，垂足

为Q,连结顶点。与〃的直线和连结焦点方与0的直线交

于7?点，求??点的轨迹方程

v2

4.点Q为椭圆7+>2=1上动点，过点Q作直线x+y=4的垂线,

垂足为N,求线段QN的中点P的轨迹方程.

四、课堂练习

1.已知动点夕（X,y）满足5/尤+1『+r+2-=|3x+4y|,则点

夕的轨迹是

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛

物线

22

2.倾斜角为£的直线交双曲线二-汇=1于A6两点，

443

则AB的中点P的轨迹方程是.

2、2

3.设44是椭圆会+方=13>8>0）长轴的左右端点，匕鸟是

垂直于4A2弦的端点，求A/与&舄交点P的轨迹方程.

五、巩固练习

1.已知4（一3,0）,8（3,0）,动点M满足\MA\—\

MB\=6,则点"的轨迹是（）

A.一条射线B.椭圆C.双曲线D.双

曲线的一支

2.动点P在直线》=1上移动，0为坐标原点，以0为直角

边，点。为直角顶点作等腰直角三角形加0,则点。的轨

迹是（）

A.圆B.两平行直线C.双曲线

D.一条射线

3.二次函数y=x?+2mx+m2—2m+1(/〃eR)的图象的顶点的轨迹

是()

A.直线B.线段C.抛物线D.圆

4.已知4(3,1),8(—1,3),,点。满足0C=a&+6办，其中a+Q=l,

则点C的轨迹方程是

5.一动圆被两直线x+2y=0,x—2y=0截得的弦长分别为8和

4,则动圆的圆心的轨迹方程是

6.求到定点尸(5,0)和定直线/:x=2的距离之比为(的点的轨

迹方程.

7.过抛物线/二4矛的焦点的直线/与抛物线交于/、歹两

点，。为坐标原点.求△/如的重心G的轨迹。的方程.

8.已知。(2,0),圆O:，+y2=],动点M到圆。的切线长与

的比等于

常数皿〃Q0),求动点"的轨迹方程，并说明轨迹是什么？

专题18圆锥曲线

一、复习目标

1.理解椭圆，双曲线，抛物线的定义及其几何性质；

2.利用椭圆，双曲线，抛物线的定义及其几何性质解决有关

问题.

二、基础训练

1.设则二次曲线/cote-y2tan0=l的离心率的取值

范围是()

A.(og)B.g,*C.(i,V2)D.(V2,+oo)

2222

2.若双曲线三-5=1和椭圆二•+「•=\(a>0,m>b>0)的离心

a2b2m2b2

率互为倒数，那么

以加为边长的三角形是()

A.等腰三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直

角三角形

22

3.设厂为双曲线彳-彳=1的焦点，刀为双曲线上一点，则

a2b2

以评为直径的圆与圆/+/=/的位置关系是()

A.相切B.相交C.相离D.随P的移动而变化

22

4.设F],尸2是双曲线^--二=1（。＞0）的两个焦点，.点P在双

4。a

曲线上，且而.丽=0,

|西丽1=2,则4的值为

三、典型例题

1.（1）等轴双曲线x2—y2=i上一点〃与两焦点鸟、尸2的连

线互相垂直，则的面积为（）

A.1B.2C.4D.1

2

（2）已知M（4,2）*为抛物线》2=阶的焦点，若一为抛物线上

的点，则|如|+|尸产|的最小值是_.

2

2.已知双曲线/-21:1与点P（1,2）,过夕点作直线/与

2

双曲线交于/、8两点，若尸为中点.

（1）求直线48的方程；

2

3.已知双曲线％2一3=1的左右焦点分别是F],尸2,过户2的直

线交双曲线右支于

A,8两点且点/在x轴上方，证明：可为定值.

22

4.已知巧、尸2是椭圆三+「=1（八。＞0）的左右焦点，点/是

a2h2

椭圆的右顶点，直线尸x与椭圆交于氏。两点，（。在第一象

限），而1灰=0,1丽=10.

求椭圆方程；

若只。是椭圆上两点，且满足（豆+里

）.而=0,求证而与

\CP\\CQ

Q共线.

四、课堂练习

1.设双曲线16/_9）2=144的右焦点为尸2是双曲线上任意

一点，点A（9,2）,则

Md+1|“同的最小值为（）

A.—B.—C.—D.9

555

22

2.设〃是椭圆三+十=1上的任意一点，F],F2是椭圆的左

右焦点，则M闻的

最大值是一.

22

3.已知百，F2双曲线力-匚=13>02>0）的焦点，过尸2作垂

a-b2

直于X轴的直线交双曲线于点只且々/讨2=30。，求双曲线的

渐近线方程.

五、巩固练习

2222

1.已知椭圆二+二=1与双曲线j—4=l（m〉0,〃〉0）具有相

2516nz

同的焦点芯，F?

设两条曲线的一个交点为Q,NQFF2=90。，则此双曲线的离

心率为（）

A.述B.3c.2D.2

5432

22

2.已知〃是以用，尸2为焦点的椭圆—+彳=13>0力〉0）上的

a2b2

一个点，若西.%=0,tan/Pf]F2=g,则此椭圆的离心率为（）

A.-B.-C.-D.旦

2333

3.若抛物线的顶点为0,焦点为F,若尸为抛物线上一点,

对于"OF的形状有下列说法：①可能为等腰三角形；②可

能为等腰直角三角形；③可能为正三角形，其中正确的是

()

A.①B.②C.①②D.①②③

2

4.双曲线2--产=1（〃>]）的两焦点为耳，尸2,点4在双曲线上,

n

且满足

|西|+1丽|=27^+2,则"KF2的面积为

5.已知抛物线y2=2px（p>0）上点M到其焦点距离的最小值

为3,则夕的值为

6.设点P到点M（-l,0）,N（l,0）的距离之差为2租，到X轴,y轴的

距离之比为2,求加的取

值范围.

7.中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆，它的离心率为

母，与直线x+y—1=0相交于K4两点，若以批为直径的

圆经过坐标原点，求椭圆方程.

8.已知h、是过点P(一行，0)的两条互相垂直的直线，

且4、4与双曲线/—1=1各有两个交点，分别为4、3

和42、B1.

(1)求Z的斜率左的取值范围；

(2)若I48"=6I4氏I,求人、4的方程.

专题19直线与圆锥曲线

一、复习目标

1.理解直线与圆锥曲线的位置关系；

2.熟练地进行有关直线与圆锥曲线的计算.

二、基础训练

1.过抛物线/=4x的焦点作直线交抛物线于A（XQ）,a/，为）

两点，若同+=6,则目的值为（）

A.8B.10C.6D.4

2.过点（2,4）作直线与抛物线y2=8x有且只有一个公共点，则

这样的直线有（）

A.一条B.两条C.三条D.四条

22

3.已知（4,2）是直线/被椭圆*+-=1所截得的线段的中点,

369

则/的方程为（）

A.x-2y=0B.x+2y-4=0C.2x+3y+4=0D.x+2y-8=0

2

4.设直线/：2x+y-2=0与椭圆/+3=1的交点是4B,P为

椭圆上的动点，则使M钻的面积为;的点P的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

三、典型例题

1.(1)过抛物线』=2py(p>0)的焦点F作倾斜角为。的弦,

则弦长/等于.

22

(2)过点(0,4)的直线与双曲线？哈=1的右支交于48两

点，则直线AB的斜率攵的取值范围是()

A.(73,V7)B.(-V7,-V3)C.(V3,+^)U(-oo,-V3)

D.(-V7,-V3)U(V3,V7)

2.已知双曲线C:2/-V=2与点p(l,2).

(I)求过P(L2)的直线的斜率攵的取值范围，使/与C分别有

一个公共点，两个公共点，没有公共点；(II)是否存在过

点P的弦A8,使中点为P?

(III)若Q(U),试判断以。点为中点的弦是否存在.

3.已知直线广(a+l)x—1与曲线/二ax恰有一个公共点,

求实数a的值.

22

4.已知双曲线=-巳=1(4>0/>0)的右焦点为F,过点F作直

ab

线所垂直于该双曲线的一条渐近线4于pg,净.

(I)求该双曲线方程；

(II)过点/作直线交双曲线于M,N两点，如果|MN|=4,求

直线4方程.

四、课堂练习

1.直线/:"依-1与曲线。:三万，7有公共点，则直线/的

倾斜角a的取值范围是()

A"：,争B.(:苧C.[1,y]D.(py)

2.已知4F2是椭圆/+2/=2的焦点，过外作倾斜角为？的

4

弦AB,则AF2AB的面积为.

3.已知椭圆的中心在坐标原点。，焦点在坐标轴上，直线

尸x+1与椭圆相交于点〃和点Q,且0P10Q,I制上堂，

求椭圆方程.

五、巩固练习

22

1.直线y=^+l(左eR)与椭圆二+二=1恒有公共点，则加的取

5m

值范围是()

A.[1,5)u(5,+00)B.(0,5)C.[l,+oo)D.(1,5)

2.设抛物线V=2x与过其焦点的直线交于4夕两点，则

苏•瓦等于（）

c

A.3-B.-3-C.3D.-3

44

3.直线y=x+3与曲线片-四=1的交点个数是（）

94

A.0B.1C.2D.3

4.过抛物线厂芯3>0）的焦点/作一直线交抛物线于P,Q两

点，若线段PF与尸。的长度分别是p,q,则L+'的值等于.

pq~

5.抛物线y=p/（p>0）的动弦4?长为a（心2p）,则弦AB中点M

到x轴的最短距离是.

6.直线y=Ax+l与双曲线/-丁=］的左交于/,8两点，直线

/经过点（-2,0）和AB的中点，求直线/在y轴上的截距人的取值

范围.

7.椭圆的对称轴为坐标轴，与直线x+y=l交于两点AB,又

|蝴=2五，

AB中点于椭圆中心连线的斜率为孝，求椭圆方程.

8.已知双曲线C中心在原点，右焦点(2,0)右顶点(a,0).

(I)求双曲线C的方程；

(II)若直线/:y=与双曲线C恒有两个不同的交点

A,B,且苏.丽＞2

求2的取值范围.

专题20解析几何的综合应用

一、复习目标

1.熟练掌握圆锥曲线的定义，几何性质，利用它们解决有关

范围问题；

2.通过数与形的结合，学会圆锥曲线知识的内在联系和综

合应用.

二、基础训练

2

1.设大，鸟为椭圆亍+)2=1的焦点，〃在椭圆上，当△开"的面

积为1时，西•丽的值为()

A.oB.1C.2D.!

2

2.已知6(-0,0),6(夜,0),动点P满足|尸耳|-IPg1=2,1所|的最小

值是()

A.V2-1B.1C.V2+1D.2

3.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点尸作直线交抛物线于/、B

两点，以/月为直径作圆，则圆与抛物线的准线的位置关系

()

A.相交B.相切C.相离D.位置不定

4.如果方程三+"二2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数左

的取值范围是.

三、典型例题

22

1.(1)设e为双曲线工-汇=1的离心率，且ee(l,2),则实数〃?

2m

的取值范围是()

A.(-6,0)B.(0,6)C.(-4,-1)D.(-6,-1)

(2)以下四个关于圆锥曲线的命题中

①设/、夕为两定点，左为非零常数，若|乐1而|=左，则动

点夕的轨迹为双曲线；

②方程2x2-5/2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心

率；

222

③双曲线aa=1与椭圆争产1有相同的焦点;

④过定圆C上一定点A作圆的动弦AB,0为原点，若

而《画+两，则动点〃的轨迹为椭圆；

其中真命题的序号为.

2.若椭圆ax+by-\与直线x+y=l交于/、8两点，M为AB

的中点，直线切/(。为原点)的斜率为①，且以_L如，求

2

椭圆的方程.

3.若抛物线y=♦-1上存在关于直线x+y=0对称的两点，求

实数〃的取值范围.

4设抛物线/二2O不（）＞0）的焦点为E经过点尸的直线交

抛物线于48两点，点。在抛物线的准线上，且况〃x轴.

证明直线力。经过原点〃

四、课堂练习

1.设右、£为椭圆的两个焦点，以£为圆心作圆£,已知

圆£经过椭圆的中心，且与椭圆相交于加点，若直线姐恰

与圆£相切，则该椭圆的离心率e为

A.V3-1B.2-V3C.旦D.在

22

2.过双曲a线b=l(a>0,/»0)的右焦点且垂直于x轴的直线

与双曲线相交于〃4两点，以腑为直径的圆恰好过双曲线

的左顶点，则双曲线的离心率等于.

3如图，0为坐标原点，直线/在x轴和y轴上的截距分别

是a和8(a>0,6/0),且交抛物线/=2px(4>0)于必(为，

必)，N(X2,先)两点.

(1)写出直线/的截距式方程；

(2)证明：±+±=1；

必为b

(3)当年20时，求/欣W的大小.

b,

五、巩固练习

2

1.已知4月分别是椭圆无2+5=1的左、右顶点，〃是椭圆

上第一象限的任一点，若NE48=a,/PBA=A则必有（）

A.2tana+cot=0B.2tana-cotyS=0C.tana+2cot=0

D.tan«-2cot/?=0

22

2.已知K，居是双曲线3-%=13>0力>0）的两焦点，以线段"2

为边作正三角形孙巴，若边〃片的中点在双曲线上，则双曲

线的离心率是（）

A.4+26B.V3-iC.当把D.6+1

22

3.已知双曲线-7-3=1（4>0,。>0）的右焦点为尸，右准线与一

arbI

条渐近线交于点4AOA尸的面积为则两条渐近线的夹

角为（）

A.30°B.90°C.60°D.45°

22

4.设〃为椭圆a+?=1上一点，后,名为焦点，且直线M6与

直线加入的夹角为60。，则AM4鸟的面积是

22

5.设〃是椭圆?+3=1上的点，片,是椭圆的两个焦点，

则COSNRPE的最小值是

*

6.设椭圆中心在原点，长轴在x轴上，离心率e=母，已知

点P(0,|)到这个椭圆上的点的最远距离是将，求椭圆方程,

并求椭圆上到定点夕的距离等于旧的点的坐标.

7.设椭圆方程为一+号=1,过点"(0,1)的直线/交椭圆

于比打两点，。是坐标原点，点P满足。户《画+的，'的

坐标为另，当/绕点〃旋转时，求：(1)动点尸的轨迹方

程；(2)求|行|的最大值与最小值.

8.过定点A(〃?,0)(加<0)作一直线/交抛物线V=2px(p>0)于