数学教材梳理两角和与差的三角函数

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精疱丁巧解牛知识·巧学1.两角和与差的余弦在直角坐标系中，以Ox轴为始边分别作出了角α、β，其终边分别与单位圆交于点P1（cosα，sinα)、P2(cosβ,sinβ)，则∠P1OP2=α-β，由于余弦函数是以2π为周期的偶函数,所以,我们只考虑0≤α—β＜π的情况,当α-β在其他范围内时，我们可以通过诱导公式将其转化到[0,π)范围内.由已知向量=(cosα，sinα），=(cosβ,sinβ),则·=||｜｜cos（α-β）=cos（α-β）。而另一方面·=cosαcosβ+sinαsinβ，所以cos(α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，这就是两角差的余弦公式.在公式中用-β代替β就可以得到cos（α+β）=cosαcosβ—sinαsinβ，这就是两角和的余弦公式。在上面的两个公式中角α、β可以是任意的值,它们可以是具体的数，也可以是字母，甚至也可以是代数式。在应用公式解题时要注意公式的逆用和变形应用，也特别要注意解题过程中角的变换。应用两角和与差的余弦公式可以求值、化简和证明.记忆要诀对于两角和、差的余弦公式，可用一句话概括公式的右端：“余余，正正,符号异”，即公式的右端是两角的余弦之积、正弦之积，中间的符号与公式左端中间的符号相反。2.两角和与差的正弦公式由于sin(α+β）=cos［—(α+β)］=cos［(-α)-β］=cos（-α)cosβ+sin(—α）sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ，即sin（α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，这就是两角和的正弦公式。在两角和正弦公式中，用-β代替β就可以得到sin(α-β)=sinαcosβ—cosαsinβ,这就是两角差的正弦公式。在两角和与差的正弦公式中角α、β也可以是任意的值,它们可以是具体的数，也可以是字母，甚至也可以是代数式。在应用公式解题时也应注意公式的逆用和变形应用，也特别要注意解题过程中角的变换.它们也可应用于求值、化简和证明。记忆要诀对于两角和、差的正弦公式的右端可概括为:“正余，余正,符号同"，即公式的右端是两角的正余弦之积、余正弦之积，中间的符号与公式左端中间的符号相同。3.两角和与差的正切因为tan（α+β）==,当cosαcosβ≠0时，分子分母同时除以cosαcosβ得tan(α+β）=。以—β代β得tan（α—β)=.上面两个公式就是两角和（差）的正切公式。误区警示由于正切函数的定义域不是全体实数,所以在应用两角和与差的正切公式时要特别注意：必须在定义域范围内使用上述公式.即tanα,tanβ,tan(α±β）只要有一个不存在就不能使用这个公式,只能(也只需)用诱导公式来解。此外还要注意公式的结构，尤其是符号。例如在求75°的正切值时,就不能将75°表示为90°—15°,这是因为90°的正切值不存在.记忆要诀对于两角和、差的正切公式的右端可概括为：“正正,1积，符号同异”，即公式的右端分式的分子是两角的正切，分母是1和两角正切之积，中间的符号从分子到分母与公式左端中间的符号分别相同和相异。在应用两角和与差的正切公式时，要注意公式变形的应用，特别是下面两个变形：tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)；tanα-tanβ=tan（α-β)（1+tanαtanβ).联想发散由于在两角和与差的正切公式中有两个正切值的和与两个正切值的积，所以，它们经常与一元二次方程联系起来.辨析比较两角和与差的正弦、余弦公式中的α、β也可以是任意的值，它们可以是具体的数,也可以是字母，甚至也可以是代数式。而两角和与差的正切公式中的α、β、α±β必须是使公式有意义的角.4。运用两角和与差的三角公式应注意的问题(1)两角和与差的三角公式间的联系cos(α—β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α-β）=sinαcosβ-cosαsinβsin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ。利用两角和的正弦与余弦公式两式相除可得两角和的正切公式tan（α+β）=,tan（α+β）=tan(α—β)=.①掌握上表中公式的内在联系及其推导线索，能帮助理解和记忆公式，是学好这部分内容的关键.②熟悉并掌握cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ的推导过程，它是本节和下一节所有公式的根源.③诱导公式是两角和与差三角公式的特例，当α、β中有的整数倍角时直接利用诱导公式即可。(2)对于两角和与差三角公式的异同要进行对比和分析，便于理解、记忆和应用.①要明确角、函数和排列顺序及每一项的符号；②要牢记公式，并能熟练地进行左右两边互化；③两角和差公式是诱导公式的推广，诱导公式可以看作是两角和差公式的特例;④两角和差三角公式主要应用于化简、证明和求值中.典题·热题知识点1两角和与差的余弦公式例1计算(1）cos75°；（2)cos165°.思路分析:（1)(2)中两角拆成两个特殊角和差的形式.解:（1）cos75°=cos(30°+45°)=cos30°cos45°-sin30°sin45°=·-·=。(2）cos165°=—cos15°=—cos(60°—45°）=—(cos60°cos45°+sin60°sin45°）=—·-·=-.方法归纳两角和与差的余弦公式主要起到转化角的作用，在求值的过程中，特别要注意所要求的值的角与特殊角之间有什么关系，所给的式子中有无公式的影子.例2已知sinα=，cosβ=，求cos(α—β)的值.思路分析：观察两角差的余弦公式，在求值前需要求出cosα和sinβ的值，由于两角的范围未知,所以在求解的过程中要分类讨论。解：∵sinα=＞0，cosβ=＞0,∴α可能在一、二象限,β在一、四象限。若α、β均在第一象限,则cosα=，sinβ=，cos（α-β）=·+·=。若α在第一象限，β在第四象限,则cosα=，sinβ=-，cos（α—β)=·+·（—）=。若α在第二象限，β在第一象限,则cosα=—，sinβ=,cos(α—β）=(—)·+·=-。若α在第二象限，β在第四象限，则cosα=—，sinβ=—,cos（α—β）=（-）·+·(—)=—。方法归纳在解题过程中，可以灵活运用以前学过的公式，对角进行变形，或求角的其他三角函数，以达到应用两角和差余弦公式的目的.深化升华分类讨论的思想方法贯穿于数学的各个部分，当涉及到字母的取值时往往引起分类讨论。在本题中所给的数值虽然不是字母,但由于角的范围不确定，因此也需分类讨论。例3已知cos（α+β)=，cos（α—β)=-,＜α+β＜2π，＜α-β＜π，求cos2α，cos2β的值。思路分析：本题利用两角和与差的余弦公式和已知三角函数值求其他三角函数值的方法.2α=（α+β）+(α-β）；2β=(α+β）-（α-β).解:因为＜α+β＜2π，cos（α+β)=，所以sin（α+β)=—。因为＜α-β＜π，cos(α—β）=—，所以sin（α-β)=.所以cos2α=cos[(α+β)+(α-β)］=cos(α+β)cos(α—β)-sin（α+β）sin(α-β）=×（—)—(—)×=—。cos2β=cos[(α+β)—（α-β）］=cos（α+β)cos（α-β)+sin（α+β)sin（α-β)=×（-）+（—)×=-1。方法归纳在给值求值的题型中，要灵活处理已知与未知的关系，合理进行角的变换，使所求角能用已知角表示出来，所求角的三角函数值能用已知角的三角函数值表示出来。深化升华代换是数学中常见思想，特别是在三角函数中尤为突出。可以是角与角之间代换,也可以是数与函数值之间,函数值与函数值之间代换。常见的如:10°=30°-20°,1=sin2α+cos2α,=sin60°=cos30°,=cos60°=sin30°,1=tan45°等,在解题时要灵活应用。知识点2两角和与差的正弦例4不查表，求下列各式的值：（1)sin75°；(2）sin20°cos50°—sin70°cos40°。思路分析：（1）将75°拆成两个特殊角30°、45°和的形式；（2)逆用公式.（1）解：原式=sin（30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=·+·=.(2）解法一：原式=sin20°cos50°—cos20°sin50°=sin（20°-50°）=sin（-30°)=-.解法二：原式=cos70°cos50°—sin70°sin50°=cos（70°+50°）=cos120°=-。方法归纳与两角和与差的余弦相同，两角和与差的正弦公式主要起到转化角的作用，在求值的过程中，特别要注意所要求的值的角与特殊角之间有什么关系，所给的式子中有无公式的影子.然后利用这种关系，将一般角化为特殊角以达到求值的目的。例5已知sin（α+β）=,sin(α-β）=,求的值。思路分析:两角和与差的正弦公式很相似,只差一个符号，将sin(α+β)=和sin（α-β)=展开后，联立成方程组就可以求出sinαcosβ和cosαsinβ，这两者之比就是所要求的结果.解：∵sin(α+β）=,∴sinαcosβ+cosαsinβ=.①又∵sin（α—β）=，∴sinαcosβ—cosαsinβ=.②①+②得sinαcosβ=。①—②得cosαsinβ=.所以===4。方法归纳在应用两角和与差的正弦公式解题时,一定要注意已知条件和所要求的结论之间的内在联系，以便在解题时选择适当的公式和解题方法.例6求的值.思路分析:观察被求式的函数名称的特点和角的特点,其中7°=15°—8°，15°=8°+7°，8°=15°-7°.无论采取哪种代换方式，都可减少角的个数。利用和角或差角公式展开，进行约分，化简求值.若用7°=15°-8°代换，分子、分母是二次齐次式；若用15°=8°+7°或8°=15°—7°代换,分子、分母将会出现三次式,显然选择前者更好,不妨比较一下.解法一：原式====tan15°=tan（45°—30°)===。解法二：原式=====tan15°=.深化升华三角函数式的结构一般由角、三角函数符号及运算符号三部分组成，解题的突破口应从这三个方面入手,无论是化简、求值，还是证明，其结果应遵循以下几个原则：（1）能求值的要求值;（2)三角函数的种类尽可能少；(3）角的种类尽可能少；（4)次数尽可能低;（5）尽可能不含根号和分母.例7已知3sinα=sin（α+2β），求证：tan（α+β）=2tanβ。思路分析：观察条件等式和结论等式中的角，条件中含有β、2α+β,结论中含有α+β、α，若从条件入手，可采用角的变换，α=（α+β)-β,2α+β=(α+β)+β，展开后转化成齐次整式，约分得出结论。证明:∵3sinα=3sin[（α+β)—β］=3sin（α+β)cosβ—3cos(α+β）sinβ,sin(α+2β）=sin［(α+β)+β］=sin（α+β）cosβ+cos(α+β)sinβ，又3sinα=sin(α+2β)，∴3sin（α+β）cosβ-3cos（α+β）sinβ=sin（α+β）cosβ+cos（α+β)sinβ。∴2sin(α+β）cosβ=4cos（α+β）sinβ。∴tan（α+β)=2tanβ。方法归纳对条件恒等式的证明，若条件复杂，可从化简条件入手得出结论;若结论复杂，可化简结论;若条件和结论都较为复杂，可同时化简它们,直到找到它们间的联系。深化升华三角恒等式的证明实质就是由一种结构形式转化为另一种结构形式.因此证明恒等式的基本思路是：证明等式时必须仔细观察等式两边结构上的差异，然后分析这些差异和联系，最后从解决差异入手，施行适当的变换,直至消除这些差异完成恒等式的证明。知识点3两角和与差的正切例8求下列各式的值:(1）；(2)tan27°+tan18°+tan27°tan18°。思路分析：利用两角和与差的正切公式，解题时注意1的变换，及公式变形的应用.解：（1）原式==tan(45°—75°)=tan(—30°）=-。(2）∵tan(27°+18°)=，∴tan27°+tan18°=tan(27°+18°）（1-tan27°tan18°）=1—tan27°tan18°。∴原式=1-tan27°tan18°+tan27°tan18°=1。方法归纳本题中的代数式均有公式的影子,在解此类题时要善于将其与公式对比，发现差异并通过恰当的变形实现与公式结构的统一,以利用公式.尤其在（2）中将公式变形后使用，使解题更具有灵活性。例9设α、β∈（0,)，tanα、tanβ是一元二次方程x2—+=0的两个根，求α+β.思路分析：利用根与系数的关系求出α+β的正切值，然后根据角的范围求角.解:由韦达定理，∴tan（α+β)===1.又由α、β∈(0，）,得α+β∈(0,π）。∴α+β=.方法归纳本题的实质是一个给值求角的问题，解决这类问题要注意根据问题给出的三角函数值和角的范围选择适当的三角函数,由已知三角函数值求出该角的三角函数值,此外还应判断角的范围。问题·探究交流讨论探究问题2004年8月2日晚8点，西班牙劲旅皇家马德里队与中国龙之队之间上演了一场“龙马"大战,上半场皇马球星菲哥在左边从我方禁区附近带球过人，将球沿直线向前推出,请你和你的同学讨论一下，菲哥射门的命中率与他射门的位置有关吗?如图3—图3-1探究过程：学生甲：直观感觉，菲哥射门的命中率与他射门的位置有关，只是理论是什么不怎么清楚.师：此题实质是一个函数最值问题，问题的关键是将命中角的三角函数用某个自变量表示出来，具体该选择哪个自变量，又怎样表示,请大家思考一下.学生乙：由于图中所给图形为直角三角形，则可选OC长度为自变量x,则∠OCA、∠OCB的正切值就是x的函数了，命中角的正切值也就可以用x表示出来了，具体步骤如下：设OC=x，则tan∠ACB=tan（∠OCA-∠OCB)==。这样