专题4 比的认识（数与代数）-2023-2024学年六年级上册数学寒假专项提升（北师大版）

专题4比的生疏（数与代数）1、生疏比。（1）两个数相除，又叫作这两个数的比。在一个比里面，“：”叫比号，比号前面的数叫作比的前项，比号后面的数叫作比的后项，前项除以后项的结果叫作比值，比值是一个具体的数。（2）求比值的方法。用比的前项除以比的后项得到一个数，这个数就是比值。比值可以用分数表示，也可以用小数或整数表示，但是要留意比值是不带单位的。2、比与除法、分数之间的关系。（1）列表格表示比、除法、分数之间的关系。（2）用字母表示比、除法、分数三者之间的关系，可以表示为a：b=a÷b=(b≠0)。3、生疏化简比。（1）可以依据比与分数的关系，借助分数的基本性质化简比。（2）解答与比有关的简洁实际问题时，我们可以结合实际问题，把比进行化简。4、比的基本性质。（1）比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变。（2）比的基本性质与分数的基本性质，商不变的性质是一样的。（3）利用比的基本性质解答有关比的实际问题时，要留意比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，而不是增加或者削减相同的数。5、化简整数比、小数比、分数比的方法。（1）整数与整数的比的化简，可以先把比改写成分数的形式，再把这个分数进行约分；或者把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。（2）小数与小数的比的化简，可以先把小数比改写成小数的除法，再依据商不变的性质进行化简；也可以依据比的基本性质把小数与小数的比先转化成整数与整数的比，再化简。（3）分数与分数的比的化简，用比的前项除以比的后项，结果肯定是一个比；也可以把比的前项和后项同时乘它们分母的最小公倍数。6、解决依据肯定的比进行安排的实际问题。方法一：先求出总量一共被平均分成了几份，再接受平均分的方法求出每份的具体数量，最终求出各部分相应的具体数量。方法二：先求出总量一共被平均分成了几份，再用相应的分数来表示各部重量占总量的几分之几，最终用分数乘法来解答。方法三：依据比设一份量为x，列方程解答。7、按肯定的比进行安排的问题的应用。另一部重量=已知部重量÷已知部重量对应的份数×另一部重量对应的份数。总数量=已知部重量÷已知部重量对应的份数×总份数。一、选择题1．一个长方形花园，周长是98米，长和宽的比是4∶3，这个花园的面积是（

）平方米。A．528 B．558 C．578 D．5882．（2023上·山西运城·六班级校考期中）下面各情境中，能用“2∶3”表示的是（

）。A．混凝土中，水泥占，沙子占，水泥和沙子的比。B．某校学校部有2000人，中学部有3000人，中学部与学校部的人数的比。C．从学校动身前往书店，小华用4分钟，小芳用6分钟，小华和小芳的速度比。D．20g水中加入10g的盐，水和盐水的比。3．（2022上·广东佛山·六班级校联考期末）一个长方体的棱长总和为64厘米，长、宽、高的比为4∶3∶1，这个长方体的体积是（

）立方厘米。A．6144 B．768 C．600 D．964．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻（yáo）组成。爻分为阳爻“”和阴爻“”，右图就是一重卦。6个爻能组成种不同的“重卦”，在全部重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有2个阳爻的重卦数与总重卦数的比是（

）。A． B． C． D．5．（2023下·北京东城·六班级期末）“宫、商、角、徵、羽”是我国古代音乐的基本音阶。基本音阶“商”的发音管比基本音阶“徵”的发音管短，则“徵”和“商”的发音管长度比是（

）。A．3∶2 B．2∶3 C．4∶3 D．3∶46．（2023上·辽宁·六班级期中）一辆汽车从A城开往B城，已经行驶了全程的，还剩下144千米。A、B两城相距多少千米？下面列式正确的是（

）。①144÷（8－5）×8

②144÷（1－）③解：设A、B两城相距千米。－＝144

④144÷（8－5）×5A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④二、填空题7．2020年8月21日，由县委、县政府主办的“走进苏州－陕西渭南文化旅游合阳招商引资推介会”在苏州进行，此次推介活动，合阳以“伊尹故里诗经合阳”为文化招牌，在电商农产品展销现场交易金额达6万元，线上交易金额达90万元。展销现场与线上交易金额的比是（），比值是（）。8．（2023上·山西运城·六班级校考期中）六（3）班有男生25人，女生20人。男、女生人数的最简整数比是（

）∶（

）；女生人数占全班人数的。9．（2023上·山西运城·六班级校考期中）蜂蜜和水按1∶9调制成蜂蜜水。现在有50mL蜂蜜，需兑（）mL的水才能配制成这种蜂蜜水；若要冲兑300mL蜂蜜水，需要蜂蜜（）mL。10．小明读一本书，第一天读了一部分，已读的和未读的页数比是1∶5，其次天读了30页，这时已读的和未读的页数比是5∶7，这本书有（）页。11．古代景德镇青花瓷随着海上丝绸之路的传播而为世界所瞩目。制造时，青花瓷外面的釉，所用的材料包括康纳瓦长石、石灰石和高岭土，其中康纳瓦长石和石灰石的比是。现有24吨康纳瓦长石，全部用来制造这种釉，需要（）吨石灰石。12．（2022上·广东惠州·六班级校考期中）赵伯伯在荒山上种了50棵树，其中有5棵没有成活。（1）这批树的成活率是（）%。（2）成活的树的棵数与种树总棵数的比是（），比值是（）。三、计算题13．（2021上·陕西西安·六班级校考期末）化简比。9∶21

3.2∶4

0.35∶0.56

∶14．（2023上·甘肃定西·六班级统考期末）化简下列比。36∶24

0.8∶0.12

45分∶1.5时四、作图题15．（2023上·山西运城·六班级校考期中）下面每个小方格都是代表边长1cm的正方形，请按要求画一画。（1）画一个周长是36cm的长方形，且长和宽的比是5∶4。（2）画一个面积是的长方形，把这个长方形涂上红色与黑色，且红色与黑色的面积比是1∶2。五、解答题16．（2023下·辽宁·六班级小升初模拟）为迎接2022年北京冬奥会的进行，某商场运进了880个“冰墩墩”吉利物玩偶，卖完这批玩偶用了3天。第一天卖了这批玩偶的，其次天和第三天卖的这批玩偶的数量之比是6∶5，该商场其次天比第三天多卖了多少个“冰墩墩”吉利物玩偶？17．（2023下·辽宁大连·六班级统考期末）看图回答问题。

（1）幸福村种了132公顷黄瓜，种了多少公顷西红柿？（2）黄瓜、西红柿、辣椒三种蔬菜种植面积的比是多少？18．（2022上·广东湛江·六班级校考阶段练习）为加强海峡两岸沟通，共同实现宏大复兴的“中国梦”，我国提出修建连接大陆与台湾的台海通道设想。专家们经过探讨、猜测和论证，提出了北线、中线、南线的台海通道三方案，接受桥梁与隧道结合的方式，北线桥梁和隧道总长大约为125千米，南线总长大约为174千米。（1）假如将要修建的海底隧道的横截面是直径为8米的圆，那么这个横截面的面积是多少平方米？（2）假如北线桥梁和隧道的长度比是4∶21，那么北线隧道长约多少千米？（3）南线总长度比中线总长度长，中线总长度大约是多少千米？19．初代的“复兴号”载客车厢只有576个座位，为了满足人们对奇特生活的需求，我国又成功研制了加长版“复兴号”。某列加长版“复兴号”一共设置了1179个座位，其中商务座18个，其余的是一等座与二等座，数量比是1∶8，这列加长版“复兴号”设置的一等座和二等座各有多少个座位？可以用分数混合运算的方法，也可以用列方程的方法哟！20．（2023上·甘肃定西·六班级统考期末）学校购进一批图书，把其中的分给低班级，余下的按3∶5分别分给中班级和高班级，其中中班级分得90本。学校购进图书多少本？参考答案1．D【分析】依据长方形的周长＝（长＋宽）×2可知，长方形的长、宽之和＝周长÷2；又已知长和宽的比是4∶3，把长看作4份，宽看作3份，长、宽一共是（4＋3）份；用长、宽之和除以它们的份数和，即可求出一份数；再用一份数分别乘长、宽的份数，求出长、宽；最终依据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算求出这个长方形的面积。【详解】长、宽之和：98÷2＝49（米）一份数：49÷（4＋3）＝49÷7＝7（米）长：7×4＝28（米）宽：7×3＝21（米）面积：28×21＝588（平方米）这个花园的面积是588平方米。故答案为：D【点睛】本题考查比的应用，依据长方形的周长公式求出长、宽之和，然后把长与宽的比看作份数，求出一份数，进而求出长方形的长、宽是解题的关键。2．D【分析】先依据比的意义写出各情境中的比，再化简成最简洁的整数比，找出能用“2∶3”表示的情境即可。【详解】A．∶＝（×5）∶（×5）＝1∶3水泥和沙子的比是1∶3，不符合题意；B．3000∶2000＝（3000÷1000）∶（2000÷1000）＝3∶2中学部与学校部的人数的比是3∶2，不符合题意；C．∶＝（×12）∶（×12）＝3∶2小华和小芳的速度比是3∶2，不符合题意；D．20∶（20＋10）＝20∶30＝（20÷10）∶（30÷10）＝2∶3水和盐水的比是2∶3，符合题意。故答案为：D【点睛】本题考查比的意义以及比的化简，留意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数。3．D【分析】依据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，用长方体的棱长总和除以4，求出长、宽、高的长度之和，长、宽、高的比为4∶3∶1，再依据按比安排的方法，分别求出长方体的长、宽、高，利用长方体的体积＝长×宽×高，代入数据即可得解。【详解】64÷4＝16（厘米）16×＝16×＝8（厘米）16×＝16×＝6（厘米）16×＝16×＝2（厘米）8×6×2＝96（立方厘米）即这个长方体的体积是96立方厘米。故答案为：D【点睛】此题主要考查长方体的棱长总和、长方体的体积的计算方法以及按比例安排的应用题的解答方法，解题关键是依据已知条件用分数方法解答。4．C【分析】第一行为阳爻，另一个阳爻有5种不同的放法；其次行为阳爻，另一个阳爻有4种不同的放法；第三行为阳爻，另一个阳爻有3种不同的放法；第四行为阳爻，另一个阳爻有2种不同的放法；第五行为阳爻，只有1种放法和已经消灭的放法不同；利用加法求出一共有多少种不同的放法，从而和全部的重卦数64种做比。【详解】5＋4＋3＋2＋1＝15（种）所以，在全部重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有2个阳爻的重卦数与总重卦数的比是15∶64。故答案为：C5．A【分析】将“徵”的发音管长度看作单位“1”，依据“商”的发音管长度比“徵”的发音管长度短，即可理解为当“徵”的发音管长度为3份时，“商”的发音管长度比“徵”的发音管长度少1份，即“商”的发音管长度是2份，据此得解。【详解】由分析可知，将“徵”的发音管长度看作单位“1”，则“商”的发音管长度是“徵”的发音管长度的，此时“徵”和“商”的发音管长度比为3：2。故答案为：A6．B【分析】①已知行驶了全程的，可以把已行的路程看作5份，则全程是8份，还剩下（8－5）份；用还剩下的路程除以（8－5）份，即可求出一份数，再用一份数乘全程的份数，求出全程。②把全程看作单位“1”，已经行驶了全程的，则还剩下全程的（1－），单位“1”未知，用还剩下的路程除以（1－），即可求出全程。③等量关系：全程－已经行驶的路程＝还剩下的路程，据此列出方程。④已知行驶了全程的，可以把已行的路程看作5份，则全程是8份，还剩下（8－5）份；那么144÷（8－5）是求一份数，用一份数乘5，求的是已行的路程。【详解】①144÷（8－5）×8，求的是A、B两城之间的距离，列式正确；②144÷（1－），求的是A、B两城之间的距离，列式正确；③解：设A、B两城相距千米。－＝144，求的是A、B两城之间的距离，列式正确；④144÷（8－5）×5，求的是已行的路程，列式错误。综上所述，列式正确的有①②③。故答案为：B【点睛】本题考查用不同的方法解决问题：①把分数转化成比，依据比的应用的解题方法，求出一份数，进而求出全程；②找出单位“1”，单位“1”未知，依据分数除法的意义解答；③列方程解决问题，从题目中找到等量关系，依据等量关系列方程。7．1∶15【分析】两个数相除，就是两个数的比。展销现场与线上交易金额的比是6∶90，再化简比；最终用比的前项除以后项，得到的数就是比值，比值可以是整数，分数，小数等形式。【详解】展销现场与线上交易金额的比是：6∶90＝（6÷6）∶（90÷6）＝1∶156∶90＝6÷90＝比值是。【点睛】把握比的概念及比值的求法是解答的关键。8．5；4；【分析】要求最简整数比，依据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘或除以同一个数（0除外），比值不变；女生人数占全班人数的几分之几，用女生人数除以全班人数，结果用分数表示；据此解答。【详解】男生人数∶女生人数＝25∶2025∶20＝（25÷5）∶（20÷5）＝5∶4全班人数：25＋20＝45（人）因此男、女生人数的最简整数比是5∶4，女生人数占全班人数的。【点睛】解答本题的关键是要把握和理解比的基本性质。9．45030【分析】依据“蜂蜜和水按1∶9调制成蜂蜜水”，把蜂蜜的体积看作1份，水的体积是9份，所以，现在有50mL蜂蜜，需兑（50×9）mL的水才能配制成这种蜂蜜水；若要冲兑300mL蜂蜜水，需要蜂蜜（300×）mL；据此解题即可。【详解】50×9＝450（mL）300×＝300×＝30（mL）所以，蜂蜜和水按1∶9调制成蜂蜜水。现在有50mL蜂蜜，需兑450mL的水才能配制成这种蜂蜜水；若要冲兑300mL蜂蜜水，需要蜂蜜30mL。【点睛】此题主要考查按比例安排应用题的特点：已两个数的比，两个数的和，求这两个数或其中一个数，用按比例安排解答。10．120【分析】把这本书的总页数看作单位“1”，第一天读了一部分，已读的和未读的页数比是1∶5，即已读的页数占总页数的；其次天读了30页，这时已读的和未读的页数比是5∶7，即已读的页数占总页数的；那么其次天读的30页占总页数的（－），单位“1”未知，用其次天读的页数除以（－），即可求出这本书的总页数。【详解】30÷（－）＝30÷（－）＝30÷（－）＝30÷＝30×4＝120（页）这本书有120页。11．16【分析】依据题意，康纳瓦长石和石灰石的比是3∶2，则石灰石是康纳瓦长石的，已知康纳瓦长石24吨，求需要石灰石的重量，把康纳瓦长石的总量看作单位“1”，依据求一个数的几分之几是多少的计算方法，用康纳瓦长石的重量×，即可求出需要石灰石的重量。【详解】24×＝16（吨）古代景德镇青花瓷随着海上丝绸之路的传播而为世界所瞩目。制造时，青花瓷外面的釉，所用的材料包括康纳瓦长石、石灰石和高岭土，其中康纳瓦长石和石灰石的比是。现有24吨康纳瓦长石，全部用来制造这种釉，需要16吨石灰石。12．（1）90（2）9∶10【分析】（1）成活率＝成活的棵数÷总棵数×100%，据此求解即可；（2）用成活棵数比总棵数，依据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个数（0除外），比值不变，化简即可；用比的前项除以后项，即可求得比值。【详解】（1）（50－5）÷50×100%＝45÷50×100%＝0.9×100%＝90%即这批树的成活率是90%。（2）（50－5）∶50＝45∶50＝（45÷5）∶（50÷5）＝9∶109÷10＝即成活的树的棵数与种树总棵数的比是9∶10，比值是。【点睛】本题考查成活率、比的化简和求比值，牢记成活率的公式，以及比的基本性质是解答此题的关键。13．3∶7；4∶5；5∶8；1∶10【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。利用“比的基本性质”把比化简成最简洁的整数比。【详解】（1）9∶21＝（9÷3）∶（21÷3）＝3∶7（2）3.2∶4＝（3.2×10）∶（4×10）＝32∶40＝（32÷8）∶（40÷8）＝4∶5（3）0.35∶0.56＝（0.35×100）∶（0.56×100）＝35∶56＝（35÷7）∶（56÷7）＝5∶8（4）∶＝（×15）∶（×15）＝4∶40＝（4÷4）∶（40÷4）＝1∶1014．3∶2；4∶1；20∶3；1∶2【分析】依据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值不变，据此化简比即可。【详解】36∶24＝（36÷12）∶（24÷12）＝3∶2＝（1.5×8）∶（）＝12∶3＝（12÷3）∶（3÷3）＝4∶10.8∶0.12＝（0.8×100）∶（0.12×100）＝80∶12＝（80÷4）∶（12÷4）＝20∶345分∶1.5时＝45分∶90分＝（45÷45）∶（90÷45）＝1∶215．（1）（2）见详解【分析】（1）依据长方形的周长＝（长＋宽）×2，由周长计算出（长＋宽）之和，再依据长和宽的比是5∶4，用（长＋宽）乘（）计算出长，用（长＋宽）乘（）计算出宽；（2）用30乘（）计算出红色的面积，用30乘（）计算出黑色的面积，再依据长方形的面积＝长×宽，确定红色长方形和黑色长方形对应的长和宽。【详解】（1）长＋宽之和：36÷2＝18（cm）长：（cm）宽：（cm）具体作图如下：（2）红色面积：（cm2）黑色面积：（cm2）因此面积是的长方形的长可以是6cm，宽可以是5cm，宽保持不变，把长方形的长分为4cm和2cm两个部分，其中将面积为10cm2的长方形涂成红色，将面积为20cm2的长方形涂成黑色，具体作图如下（画图不唯一，满足条件即可）：【点睛】解答本题的关键是熟记长方形周长和面积的计算公式，依据周长和面积计算出图形相应的长和宽，再作图即可解答。16．60个【分析】先把该商场运进的“冰墩墩”总数看作单位“1”，依据分数乘法的意义，用总个数乘就是其次天、第三天卖的个数，再把其次天、第三天卖的个数看作单位“1”，其中其次天卖的个数占，第三天卖的个数占，依据分数乘法的意义，用其次天、第三天卖的个数乘两天卖的个数所占的分率之和就是其次天比第三天多卖的个数。【详解】（个）答：商场其次天比第三天多卖了60个“冰墩墩”吉利物玩偶。【点睛】依据分数乘法的意义，求出其次天、第三天卖的个数后，再把比转化成分数，进而求出两天卖的个数所占的分率之和，再依据分数乘法的意义解答。17．（1）12公顷（2）11∶1∶8【分析】（1）扇形统计图可以清楚的看出部分占总体的百分比，所以这里把“黄瓜、西红柿、辣椒三种蔬菜种植总面积”看成单位“1”，单位“1”＝对应量÷对应分率，据此可算出黄瓜、西红柿、辣椒三种蔬菜种植总面积，再乘种植西红柿占总面积的分率5%，即可得到种植西红柿的面积；（2）直接求黄瓜、西红柿、辣椒三种蔬菜种植面积占总面积的百分率的比，然后依据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值的大小不变，将结果化简成最简整数比即可。【详解】（1）132÷55%×5%＝240×0.05＝12（公顷）答：种了12公顷西红柿。（2）55%∶5%∶40%＝（55%×100）∶（5%×100）∶（40%×1