江苏省宿迁市泗洪县育才实验中学2024-2025学年上学期八年级数学期中1

第1页（共1页）江苏省宿迁市泗洪县育才实验中学2024-2025学年上学期八年级数学期中1一．选择题（共8小题）1．《国语•楚语》记载：“夫美也者，上下、内外、大小、远近皆无害焉，故曰美．”这一记载充分表明传统美的本质特征在于对称和谐．下列四个图案中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．如图，在AB、AC上各取一点E、D，使AE＝AD，连接BD、CE相交于点O，再连接AO、BC，若∠1＝∠2，则图中全等三角形共有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对3．下列各组数，是勾股数的是（）A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5 C．，2， D．7，24，254．按下列给出的各条件，能画出大小、形状固定的△ABC的是（）A．AB＝2，BC＝3，AC＝5 B．AB＝2，BC＝3 C．AB＝2，BC＝3，∠ABC＝50° D．∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°5．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙6．如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB的中点，则△CDE一定是（）A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形7．如图是三角形按常见关系进行分类的图，则关于P、Q区域的说法正确的是（）A．P是等边三角形，Q是等腰三角形 B．P是等腰三角形，Q是等边三角形 C．P是直角三角形，Q是锐角三角形 D．P是钝角三角形，Q是等腰三角形8．在3×3的正方形网格中，把3个小正方形涂上阴影．下列各图中，这三个小正方形组成的图案不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．二．填空题（共10小题）9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，连接DE．则∠ADE的度数是．10．如图，已知，AE∥BD，若要用“角边角”判定△AEC≌△DCE，则需添加的一组平行线是．11．已知△ABC≌△DEF，∠A＝53°，∠B＝57°，则∠F＝．12．已知等腰三角形的一边长为6cm，另一边长为7cm，则它的周长为．13．一直角边长为5，斜边长为13的直角三角形斜边上的高为．14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，CD＝3cm，则点D到AB的距离为cm．15．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，点D在AC上，且AD＝2，点E是AB上的动点，连结DE，点F，G分别是BC，DE的中点，连结AG，FG．当AG＝FG时，线段AG的长为．16．△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，AD⊥BC于D，则AD＝．17．如图，AD是△ABC的中线，E是AB的中点，连接DE．若△ABC的面积为24，则△BDE的面积为．18．如图，点D、E分别在AB、AC上，BE与CD相交于点O，连接AO，如果AB＝AC，AD＝AE，那么图中的全等三角形共有对．三．解答题（共10小题）19．在Rt△EBC中，∠EBC＝90°，点A在EB边上，且CA＝BE．以AC为斜边作Rt△DAC，使得B、D两点在直线AC的异侧，且∠DAC＝∠E，AD与EC交于点F．（1）求证：∠DCF＝∠ACB；（2）求证：CF＝AD；（3）过点A作AH⊥EC，垂足为H．求证：EH＝AF．20．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，如图所示，点A，B，O都在格点上，求∠AOB的度数．21．请按以下要求作图（不写作法，保留作图痕迹）．用直尺和圆规作△DEF，使得△DEF≌△ABC，并指出判定△DEF≌△ABC的依据（请在作图区内画图）．22．如图，点C是AE上一点，CD交EB于点F，CF＝DF，EA∥DB．求证：EF＝BF．23．（1）如图1，在△ABC中，D是BC边上的一点，以AD为直径作半圆O，半圆O经过点C．若△ABC的面积为10，请仅用无刻度的直尺作一个三角形，使所作三角形的面积等于5．（2）如图2，在△ABC中，DE∥BF，EF∥AB，若△ABC的面积为10，请仅用无刻度的直尺作一个三角形，使所作三角形的面积等于5．24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6．（1）作图：在AC边上找一点E，使得点E到A、B两点的距离相等．（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）的条件下，求EC的长．25．（此题需要写出括号内的定理理由，已知、已证、已作、等量代换、等式性质这五条理由不需要写）如图，已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，作AD⊥AB且AD＝AB，联结CD，过点B作CD的垂线（垂足为点E），与过点A作AC的垂线交于点F，联结CF．（1）求证：△ACF是等腰直角三角形；（2）联结AE，求证：AE平分∠DEF．26．在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）BF＝DE．27．已知：如图，点B，E，C，F有同一直线l，AB∥DE，且AB＝DE，BE＝CF，试判断线段AC与DF的数量关系以及位置关系．并证明．28．如图1，点C、D在直线AB上，∠ECF＝∠EDF，∠EDF+2∠EDA+2∠F＝180°．（1）求证：∠ACE＝∠BCF；（2）求证：DE＝DF；（3）如图2，延长EC、FD交于点G，在直线AB上取点H，连接GH、FH，若CF＝CD+CE，EG＝HD+HG，∠FHD＝∠CED，求∠CFH的值．

参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．《国语•楚语》记载：“夫美也者，上下、内外、大小、远近皆无害焉，故曰美．”这一记载充分表明传统美的本质特征在于对称和谐．下列四个图案中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】轴对称图形．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．如图，在AB、AC上各取一点E、D，使AE＝AD，连接BD、CE相交于点O，再连接AO、BC，若∠1＝∠2，则图中全等三角形共有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】认真观察图形，确定已知条件在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法，由易到难，仔细寻找即可．【解答】解：①在△AEO与△ADO中，，∴△AEO≌△ADO（SAS）；②∵△AEO≌△ADO，∴OE＝OD，∠AEO＝∠ADO，∴∠BEO＝∠CDO，在△BEO与△CDO中，，∴△BEO≌△CDO（ASA）；③∵△BEO≌△CDO，∴BE＝CD，BO＝CO，OE＝OD，∴CE＝BD，在△BEC与△CDB中，，∴△BEC≌△CDB（SSS）；④在△AEC与△ADB中，，∴△AEC≌△ADB（SAS）；⑤∵△AEC≌△ADB，∴AB＝AC，在△AOB与△AOC中，，∴△AOB≌△AOC（SAS），综上所述，图中全等三角形共5对，故选：D．【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定定理是解题的关键．3．下列各组数，是勾股数的是（）A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5 C．，2， D．7，24，25【考点】勾股数．【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：A、12+22≠53，所以不是勾股数，故不符合题意；B、0.3，0.4，0.5都不是正整数，所以不是勾股数，故不符合题意；C、，2，都不是正整数，所以不是勾股数，故不符合题意；D、72+242＝252，能构成直角三角形，所以是勾股数，故符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义．4．按下列给出的各条件，能画出大小、形状固定的△ABC的是（）A．AB＝2，BC＝3，AC＝5 B．AB＝2，BC＝3 C．AB＝2，BC＝3，∠ABC＝50° D．∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°【考点】全等三角形的判定．【分析】根据全等三角形的判定定理，三角形的三边关系进行分析即可．【解答】解：A、AB+BC＝2+3＝AC，不能构成三形，故A不符合题意；B、AB＝2，BC＝3，不符合三角形全等的条件，所以不能画出形状、大小确定的三角形，故B不符合题意；C、AB＝2，BC＝3，∠ABC＝50°，符合SAS，能画出形状、大小确定的三角形，故C符合题意；D、∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°，不符合三角形全等的条件，所以不能画出形状、大小确定的三角形，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是熟练全等三角形的判定定理．5．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙【考点】全等三角形的判定．【分析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等．【解答】解：乙和△ABC全等；理由如下：在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，所以乙和△ABC全等；在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，所以丙和△ABC全等；不能判定甲与△ABC全等；故选：B．【点评】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．6．如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB的中点，则△CDE一定是（）A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形【考点】等腰三角形的判定；直角三角形斜边上的中线．【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DE＝AB，CE＝AB，可得DE＝CE，再根据等腰三角形的判定进行选择．【解答】解：∵AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB的中点，∴DE＝AB，CE＝AB，∴DE＝CE，∴△CDE一定是等腰三角形．故选：C．【点评】考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的判定，将AB作为纽带，得到DE＝CE是解题的关键．7．如图是三角形按常见关系进行分类的图，则关于P、Q区域的说法正确的是（）A．P是等边三角形，Q是等腰三角形 B．P是等腰三角形，Q是等边三角形 C．P是直角三角形，Q是锐角三角形 D．P是钝角三角形，Q是等腰三角形【考点】三角形．【分析】根据三角形的边或角进行分类．【解答】解：A、应该是Q是等边三角形，P是等腰三角形，原说法不正确；B、等边三角形是一种特殊的等腰三角形，所以P是等腰三角形，Q是等边三角形，原说法正确；C、P、Q应该是根据边的不同进行分类，另外直角三角形与锐角三角形是并列关系，原说法不正确；D、P、Q应该是根据边的不同进行分类，钝角三角形与等腰三角形分类标准不同，原说法不正确；故选：B．【点评】本题主要考查了三角形，按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．8．在3×3的正方形网格中，把3个小正方形涂上阴影．下列各图中，这三个小正方形组成的图案不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】利用轴对称设计图案．【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．【解答】解：A、是轴对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，符合题意；C、是轴对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是利用轴对称设计图案，轴对称图形的性质，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．二．填空题（共10小题）9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，连接DE．则∠ADE的度数是54°．【考点】等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到∠ABC＝∠C＝72°，然后利用BD平分∠ABC交AC于点D求得∠ADB的度数，利用三角形的内角和求得∠ADB的度数即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣36°）＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∴∠ABD＝∠A，∵点E为AB的中点，∴∠AED＝90°，∴∠ADE＝90°﹣∠A＝54°，故答案为：54°．【点评】考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解等腰三角形的等边对等角的性质，难度不大．10．如图，已知，AE∥BD，若要用“角边角”判定△AEC≌△DCE，则需添加的一组平行线是AC∥DE．【考点】全等三角形的判定．【分析】根据已知有∠AEC＝∠DCE，CE＝EC．若要用“角边角”判定△AEC≌△DCE，则需证明∠ACE＝∠DEC．此二角是内错角，所以需添加的一组平行线是AC∥DE．【解答】解：∵AE∥BD，∴∠AEC＝∠DCE．又CE＝EC，∴当∠ACE＝∠DEC时，△AEC≌△DCE．（ASA）此时有AC∥DE．故答案为AC∥DE．【点评】此题考查全等三角形的判定及平行线的判定，属基础题．11．已知△ABC≌△DEF，∠A＝53°，∠B＝57°，则∠F＝70°．【考点】全等三角形的性质．【分析】根据全等三角形的性质求出∠D＝∠A＝53°，∠E＝∠B＝57°，根据三角形的内角和定理求出即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝53°，∠B＝57°，∴∠D＝∠A＝53°，∠E＝∠B＝57°，∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠E＝70°，故答案为：70°．【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理的应用，能根据全等三角形的性质得出∠D＝∠A，∠E＝∠B是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．12．已知等腰三角形的一边长为6cm，另一边长为7cm，则它的周长为19cm或20cm．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】分6cm是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断是否能够组成三角形，再利用三角形的周长的定义解答即可．【解答】解：若6cm是腰长，则三角形的三边分别为6cm、6cm、7cm，能够组成三角形，周长＝6+6+7＝19（cm），若6cm是底边长，则三角形的三边分别为6cm、7cm、7cm，能够组成三角形，周长＝6+7+7＝20（cm），综上所述，等腰三角形的周长为19cm或20cm．故答案为：19cm或20cm．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论．13．一直角边长为5，斜边长为13的直角三角形斜边上的高为．【考点】勾股定理的应用．【分析】利用勾股定理先求出直角三角形的另一条直角边的长，根据三角形面积的不同方法计算可以求得斜边的高的长度．【解答】解：直角三角形的另一条直角边长为：，∴斜边上的高线长＝，故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，根据面积法求斜边的高是解题的关键．14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，CD＝3cm，则点D到AB的距离为3cm．【考点】勾股定理；角平分线的性质．【分析】根据角平分线的性质定理得出CD＝DE，代入求出即可．【解答】解：如图，过D点作DE⊥AB于点E，则DE即为所求，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，∴CD＝DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），∵CD＝3cm，∴DE＝3cm．故答案为：3．【点评】本题主要考查了角平分线的性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．15．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，点D在AC上，且AD＝2，点E是AB上的动点，连结DE，点F，G分别是BC，DE的中点，连结AG，FG．当AG＝FG时，线段AG的长为．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】连接DF，AF，EF，证明△AFD≌△BFE，根据全等三角形的性质得到AD＝BE＝2，进而求出AE，根据勾股定理计算，求得AG，进而得到答案．【解答】解：连接DF，AF，EF，在△ABC中，AB＝AC＝5，∠CAB＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵点G是DE的中点，点F是BC的中点，∴AG＝DG＝EG，AF＝BF，AF⊥BC，∠DAF＝45°，∴∠DAF＝∠B＝45°，∵FG＝AG，∴FG＝DG＝EG，∴△DFE是直角三角形，且∠DFE＝90°，∵∠DFA+∠AFE＝∠BFE+∠AFE＝90°，∴∠DFA＝∠EFB，在△AFD和△BFE中，，∴△AFD≌△BFE（ASA），∴AD＝BE＝2，∴AE＝5﹣2＝3，在Rt△ADE中，DE＝＝＝，∴AG＝DE＝，故答案为：．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、掌握直角三角形的性质是解题的关键．16．△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，AD⊥BC于D，则AD＝6cm．【考点】等腰三角形的性质；勾股定理．【分析】根据等于三角形性质求出BD，根据勾股定理求出AD即可．【解答】解：∵AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，∴BD＝CD＝8cm，AD⊥BC，由勾股定理得：AD＝＝＝6cm，故答案为：6cm．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，关键是求出AD的长．17．如图，AD是△ABC的中线，E是AB的中点，连接DE．若△ABC的面积为24，则△BDE的面积为6．【考点】三角形的面积．【分析】由AD是△ABC的中线，E是AB的中点，得到S△ABD＝S△ABC，S△BED＝S△ABD，推出S△BED＝S△ABC，又△ABC的面积为24，即可求出△BDE的面积．【解答】解：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∴S△ABD＝S△ABC，∵E是AB的中点，∴S△BED＝S△ABD，∴S△BED＝S△ABC，∵△ABC的面积为24，∴△BDE的面积为×24＝6．故答案为：6．【点评】本题考查三角形的面积，关键是由三角形的面积公式得到S△BED＝S△ABC．18．如图，点D、E分别在AB、AC上，BE与CD相交于点O，连接AO，如果AB＝AC，AD＝AE，那么图中的全等三角形共有5对．【考点】全等三角形的判定．【分析】先根据“SAS”证明△ABE≌△ACD，则BE＝CD，∠ABE＝∠ACD，所以BD＝CE，再根据“AAS”证明△BOD≌△COE，然后根据“SSS”证明△BCD≌△CBE，同样方法可得△AOD≌△AOE，△AOB≌△AOC，从而可判断图中的全等三角形共有5对．【解答】解：在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD，∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，在△BOD和△COE中，，∴△BOD≌△COE（AAS），在△BCD和△CBE中，，∴△BCD≌△CBE（SSS），同理可得△AOD≌△AOE，△AOB≌△AOC，综上所述，图中的全等三角形共有5对．故答案为：5．【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．三．解答题（共10小题）19．在Rt△EBC中，∠EBC＝90°，点A在EB边上，且CA＝BE．以AC为斜边作Rt△DAC，使得B、D两点在直线AC的异侧，且∠DAC＝∠E，AD与EC交于点F．（1）求证：∠DCF＝∠ACB；（2）求证：CF＝AD；（3）过点A作AH⊥EC，垂足为H．求证：EH＝AF．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据∠EBC＝90°，∠ADC＝90°得∠DAC+∠DCA＝90°，∠E+∠ECB＝90°，由于∠DAC＝∠E，则∠DCA＝∠ECB，由此可得出结论；（2）先证△ACF和△ECA相似得CF：CA＝CA：CE①，再证△ACD和△ECB相似得CA：CE＝AD：BE②，由①②得：CF：CA＝AD：BE，然后根据CA＝BE可得出结论；（3）作△ABC的外接圆⊙O，交CE于H，连接AH，BH，则AC为⊙O的直径，由此得AH⊥EC，∠EBH＝∠ACH，由此可依据“ASA”判定△EBH和△ACF全等，由全等三角形的性质可得出结论．【解答】证明：（1）∵Rt△DAC是以AC为斜边的直角三角形，∴∠ADC＝∠EBC＝90°，∴∠DAC+∠DCA＝90°，∠E+∠ECB＝90°，∵∠DAC＝∠E，∴∠DCA＝∠ECB，即∠DCF+∠ECA＝∠ACB+∠ECA，∴∠DCF＝∠ACB；（2）∵∠DAC＝∠E，∠ACF＝∠ECA，∴△ACF∽△ECA，∴CF：CA＝CA：CE①，∵在Rt△DAC中，AC为斜边，∴∠D＝90°，∴∠D＝∠EBC＝90°，又∵∠DAC＝∠E，∴△ACD∽△ECB，∴CA：CE＝AD：BE②，由①，②得：CF：CA＝AD：BE，∵CA＝BE，∴CF＝AD；（3）作△ABC的外接圆⊙O，交CE于H，连接AH，BH，如图所示：∵∠EBC＝90°，∴AC为⊙O的直径，∴∠AHC＝90°，即AH⊥EC，∵点B，H都在⊙O上，∵∠EBH＝∠ACH，在△EBH和△ACF中，∠EBH＝∠ACH，CA＝BE，∠DAC＝∠E，∴△EBH≌△ACF（ASA），∴EH＝AF．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．20．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，如图所示，点A，B，O都在格点上，求∠AOB的度数．【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【分析】根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论．【解答】解：连接AB，∵AO＝AB＝＝，OB＝＝2，∴AO2+AB2＝OB2，∴∠OAB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°．【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形判定和性质，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．21．请按以下要求作图（不写作法，保留作图痕迹）．用直尺和圆规作△DEF，使得△DEF≌△ABC，并指出判定△DEF≌△ABC的依据（请在作图区内画图）．【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定．【分析】利用尺规作DE＝BC，DF＝BA，EF＝CA，根据SSS即可判定△DEF≌△ABC．【解答】解：作图如下：△DEF就是所求，判断依据是三边对应相等的两个三角形全等．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定方法．22．如图，点C是AE上一点，CD交EB于点F，CF＝DF，EA∥DB．求证：EF＝BF．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】由平行线的性质得∠CEF＝∠DBF，结合对顶角相等，利用AAS即可判定△CEF≌△DBF，即有EF＝BF．【解答】证明：∵EA∥DB，∴∠CEF＝∠DBF，在△CEF与△DBF中，，∴△CEF≌△DBF（AAS），∴EF＝BF．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质并灵活运用．23．（1）如图1，在△ABC中，D是BC边上的一点，以AD为直径作半圆O，半圆O经过点C．若△ABC的面积为10，请仅用无刻度的直尺作一个三角形，使所作三角形的面积等于5．（2）如图2，在△ABC中，DE∥BF，EF∥AB，若△ABC的面积为10，请仅用无刻度的直尺作一个三角形，使所作三角形的面积等于5．【考点】作图—复杂作图．【分析】（1）连接OC，OB，△OBC即为所求作．（2）连接DF，BE交于点O，连接AO，OC，△AOC即为所求作．【解答】解：（1）如图，△BOC即为所求作．（2）如图，△AOC即为所求作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6．（1）作图：在AC边上找一点E，使得点E到A、B两点的距离相等．（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）的条件下，求EC的长．【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；勾股定理．【分析】（1）作出AB的垂直平分线交AC于点E；（2）连接BE，根据线段垂直平分线的性质得到∠EFB＝90°，EA＝BE，根据勾股定理求出AC，设EC＝x，则EB＝8﹣x，根据勾股定理得x2+62＝（8﹣x）2，解x即可【解答】解：（1）如图所示，点E即为所求；（2）连接EC，∵EF是BC的垂直平分线，∴∠EFB＝90°，EA＝BE，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6．∴AC＝＝＝8，设EC＝x，则EB＝8﹣x，在Rt△BCE中，根据勾股定理得x2+62＝（8﹣x）2，解得x＝，∴EC＝．【点评】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．25．（此题需要写出括号内的定理理由，已知、已证、已作、等量代换、等式性质这五条理由不需要写）如图，已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，作AD⊥AB且AD＝AB，联结CD，过点B作CD的垂线（垂足为点E），与过点A作AC的垂线交于点F，联结CF．（1）求证：△ACF是等腰直角三角形；（2）联结AE，求证：AE平分∠DEF．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】（1）由AD⊥AB于点A，AF⊥AC，得∠BAD＝∠CAF＝90°，则∠DAC＝∠BAF＝90°+∠BAC，由BF⊥CD于点E，得∠BED＝90°，可根据“等角的余角相等”推导出∠D＝∠ABF，而AD＝AB，即可证明△ADC≌△ABF，得AC＝AF，所以△ACF是等腰直角三角形；（2）作AI⊥CD于点I，AH⊥FB于点H，由△ADC≌△ABF，得CD＝FB，由S△ADC＝S△ABF得CD•AI＝FB•AH，则AI＝AH，再证明Rt△AIE≌Rt△AHE，得∠AEI＝∠AEH，所以AE平分∠DEF．【解答】证明：（1）∵AD⊥AB于点A，AF⊥AC，∴∠BAD＝∠CAF＝90°（垂直定义），∴∠DAC＝∠BAF＝90°+∠BAC，∵BF⊥CD于点E，∴∠BED＝90°（垂直定义），∴∠D+∠AGD＝180°，∠ABF+∠EGB＝180°（直角三角形的两个锐角互余），∵BF交CD于点G，∴∠AGD＝∠EGB（对顶角相等），∴∠D＝∠ABF（等角的余角相等），在△ADC和△ABF中，，∴△ADC≌△ABF（ASA），∴AC＝AF，∴△ACF是等腰直角三角形．（2）作AI⊥CD于点I，AH⊥FB于点H，∴∠AIE＝∠AHE＝90°（垂直定义），∵△ADC≌△ABF，∴CD＝FB（全等三角形的对应边相等），∵S△ADC＝S△ABF（全等三角形的面积相等），∴CD•AI＝FB•AH（三角形的面积公式），∴AI＝AH，在Rt△AIE和Rt△AHE中，，∴Rt△AIE≌Rt△AHE（HL），∴∠AEI＝∠AEH（全等三角形的对应角相等），∴AE平分∠DEF（角平分线定义）．【点评】此题重点考查等角的余角相等、全等三角形的判定与性质、根据面积等式证明线段相等、角平分线的定义等知识，证明△ADC≌△ABF是解题的关键．26．在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）BF＝DE．【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．【分析】（1）由AAS证明△ABE≌△CDF即可；（2）由全等三角形的性质得BE＝DF，进而得出结论．【解答】证明：（1）∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）由（1）可知，△ABE≌△CDF，∴BE＝DF，∴BE﹣EF＝DF﹣EF，即BF＝DE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．27．已知：如图，点B，E，C，F有同一直线l，AB∥DE，且AB＝DE，BE＝CF，试判断线段AC与DF的数量关系以及位置关系．并证明．【考点】全等三角形的判定与性质．【分