数学（全解全析）17

20232024学年八年级数学下学期开学摸底考（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：北师大版8年级上学期。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．的平方根是（）A．3 B．±3 C． D．±【分析】先计算的值为3，再利用平方根的定义即可得到结果．【详解】解：∵=3，∴的平方根是±．故选：D．2．以下点在第二象限的是（

）A．（0，0） B．（3，﹣5） C．（﹣1，9） D．（﹣2，﹣1）【分析】根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断利用排除法求解．【详解】解：A、（0，0）是坐标原点，错误；B、（3，﹣5）在第四象限，错误；C、（﹣1，9）在第二象限，正确；D、（﹣2，﹣1）在第三象限，错误；故选：C．3．下列各式计算正确的是（）A．2+2＝4 B．2﹣＝2 C．÷＝3 D．＝±3【分析】根据二次根式的加减法则、除法法则及二次根式的性质逐一求解即可．【详解】解：A．2与2不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；B．2﹣＝，此选项错误，不符合题意；C．÷＝＝＝3，此选项计算正确，符合题意；D．＝|﹣3|＝3，此选项错误，不符合题意；故选：C．4．小华和爸爸一起玩“掷飞镖”游戏．游戏规则：站在米开外朝飞镖盘扔飞镖，若小华投中次得分，爸爸投中次得分．结果两人一共投中了次，经过计算发现爸爸的得分比小华的得分多分．设小华投中的次数为，爸爸投中的次数为，根据题意列出的方程组正确的是（）A． B． C． D．【分析】设小明投中次，爸爸投中次，根据题意结果两人一共投中次，利用“爸爸的得分比小华的得分多分”列出方程组即可．【详解】解：设小明投中次，爸爸投中次，根据题意可得：，故选：D．5．若，则下列各式中错误的是（

）A． B． C． D．【分析】根据不等式的基本性质依次分析各项即可得到结果．【详解】解：∵，∴，描述正确，故A选项不符合题意；∵，∴，原描述错误，故B选项符合题意；∵，∴，描述正确，故C选项不符合题意；∵，∴>，描述正确，故D选项不符合题意；故选B．6．在“经典诵读”比赛活动中，某校10名学生参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法正确的是（）A．众数是90分 B．中位数是95分 C．平均数是95分 D．方差是15【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义逐一进行求解即可作出判断.【详解】A．众数是90分，人数最多，故A选项正确；B．中位数是90分，故B选项错误；C．平均数是=91分，故C选项错误；D．方差是=19，故D选项错误，故选A．7．如图，数轴上表示的是某个不等式组的解集，则该不等式组可能是（

）A． B． C． D．【分析】根据数轴可得不等式组解集，分别解各选项中的不等式组即可得答案．【详解】解：∵，∴这个不等式组的解集为：，A、解不等式组得：，故本选项符合题意，B、解不等式组得：，故本选项不符合题意，C、不等式组无解，故本选项不符合题意，D、解不等式组得：，故本选项不符合题意．故选：A．8．若代数式在实数范围内有意义，则一次函数y＝（k﹣2）x﹣k+2的图象可能是（）A． B．C． D．【分析】根据代数式在实数范围内有意义和一次函数的定义，可以求得k的取值范围，然后即可得k﹣2和2﹣k的正负，从而可以一次函数y＝（k﹣2）x﹣k+2的图象经过的象限．【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义，∴2﹣k≥0，解得k≤2，∵一次函数y＝（k﹣2）x﹣k+2中，k﹣2≠0，∴k＜2，∴k﹣2＜0，2﹣k＞0，∴一次函数y＝（k﹣2）x﹣k+2的图象经过第一、二、四象限，故选：C．9．如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点A、B、C的坐标，，，经过原点O，且，垂足为点D，则的值为（

）．A．10 B．11 C．12 D．14【分析】根据的面积等于的面积与的面积之和即可得．【详解】解：，，，经过原点，的边上的高为1，的边上的高为2，，，且，，解得，故选：C．10．如图，A（1，0）、B（3，0）、M（4，3），动点P从点A出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向右移动，且过点P的直线y=x+b也随之平移，设移动时间为t秒，若直线与线段BM有公共点，则t的取值范围（

）A．3≤t≤7 B．3≤t≤6 C．2≤t≤6 D．2≤t≤5【分析】分别求出直线经过点B、点M时的t值，即可得到t的取值范围．【详解】解：当直线y=x+b过点B（3，0）时，∴，当直线y=x+b过点M（4，3）时，3=4+b，解得：b=7，∴，当y=0时，，解得：x=7，∴，∴若直线与线段BM有公共点，t的取值范围是：2≤t≤6，故选：C．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．已知点与是关于y轴的对称点，则，．【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变列式计算即可．【详解】解：∵点与是关于y轴的对称点，∴，，∴，，故答案为：，3．12．等腰三角形周长为17，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长为．【分析】题目给出等腰三角形有一条边长为5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：当腰长为5时，底边长为17−2×5＝7，三角形的三边长为5，5，7，能构成三角形；当底边长为5时，腰长为（17−5）÷2＝6，三角形的三边长为6，6，5，能构成三角形；所以等腰三角形的底边为5或7．故答案为：5或7．13．如图，直线y=x−3与直线y=mx(m≠0)交于点P，则关于x，y的二元一次方程组的解为．【分析】一个一次函数解析式可以看作是一个二元一次方程，两个一次函数解析式可以组合成一个二元一次方程组，方程组的解就是两函数图象的交点坐标．【详解】解：∵直线y=x−3与直线y=mx相交于点（1，2），∴关于x，y的二元一次方程组的解为．故答案为：．14．如图，中，，，垂足为D．若，则图中阴影部分的面积为．【分析】先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据三角形的面积公式即可得．【详解】解：，，，，，，，即图中阴影部分的面积为6，故答案为：6．15．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝14，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝4，则OM＝．【分析】作PC⊥MN于C，根据等腰三角形的性质求出MC，根据直角三角形的性质求出OC，计算即可．【详解】解：过点P作PC⊥OB，垂足为C，∵PM＝PN，∴MC＝NC＝MN＝2，∵∠AOB＝60°，∴∠OPC＝30°，∴OC＝OP＝7，∴OM＝OC﹣MC＝5，故答案为：5．16．甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与乙出发的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，则下列结论正确的是．（填序号）①乙的速度为5米/秒；②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点60米；③甲、乙两人之间的距离为40米时，甲出发的时间为55秒和90秒；④乙到达终点时，甲距离终点还有80米．【分析】利用乙用80秒跑完400米求速度可判断①；利用甲先走3秒和12米求出甲速度，根据乙追甲相差12米求时间=12秒再求距起点的距离可判断②；分甲、乙第一次相遇后，乙到达终点前和乙到底终点后两种情况讨论求解即可判断③；根据乙到达终点时间，求甲距终点距离可判断④即可【详解】解：①∵乙用80秒跑完400米∴乙的速度为=5米/秒；故①正确；②∵乙出发时，甲先走12米，用3秒钟，∴甲的速度为米/秒，∴设乙追上甲所用时间为t秒，5t4t=12，∴t=12秒，∴12×5=60米，∴离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点60米；故②正确；③当甲、乙第一次相遇后，乙未到终点前时，甲乙距离为40米，由题意得，解得，即乙出发52秒时，甲乙距离为40米，∴甲出发55秒时，甲乙距离为40米；当甲、乙第一次相遇后，乙到终点后，甲乙距离为40米，由题意得，解得，即乙发出后第87秒，甲乙距离为40米，∴甲出发90秒，甲乙距离为40米，故③正确；④乙到达终点时，甲距终点距离为：400124×80=400332=68米，甲距离终点还有68米．故④错误；故答案为：①②③．三．解答题（共10小题，满分86分）17．（6分）计算：(1)÷－(π－1)0；(2)(＋2)2＋(＋1)(－1)【分析】（1）先算除法，化简零指数幂，然后再算减法；（2）先利用完全平方公式和平方差公式计算乘方和乘法，然后再算加减．【小题1】解：原式====3；【小题2】原式==18．（6分）解方程组：．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【详解】解：，由①+②得：，解得：③，把③代入①得：，解得：，∴原方程组的解为．19．（6分）如图，直线m∥n，∠1＝70°，∠2＝30°，求∠A的度数．【分析】先利用平行线的性质求出∠3，再利用三角形外角的性质求出∠A．【详解】解：∵m∥n，∴∠3=∠1=70°，∵∠3=∠2+∠A，∴∠A=∠3∠2=70°30°=40°．20．（8分）在△ABC中，D是BC中点，，，垂足分别是E，F，．求证：△ABC是等腰三角形．【分析】利用“”证明和全等，再根据全等三角形对应角相等可得，即可证明△ABC是等腰三角形．【详解】证明：是的中点，，，，和都是直角三角形，在和中，，，，是等腰三角形．21．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，点A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）(1)在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是；(2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为；(3)已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．【分析】（1）根据点的坐标，描点、连线即可得到△ABC，直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；（2）根据关于y轴对称的点的性质得出答案；（3）根据三角形的面积求出BP＝8，进而可得点P的坐标．【详解】（1）解：△ABC如图所示，△ABC的面积是：3×4−×1×2−×2×4−×2×3＝4，故答案为：4；（2）解：∵点D与点C（4，3）关于y轴对称，∴点D的坐标为：（−4，3）；故答案为：（−4，3）；（3）解：∵P为x轴上一点，△ABP的面积为4，∴，∴BP＝8，∴点P的横坐标为：2＋8＝10或2−8＝－6，故点P坐标为：（10，0）或（－6，0）．22．（8分）为了解我市八年级学生参加社会实践活动情况，随机抽查了某县部分八年级学生第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了两幅统计图，下面给出了两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)a＝________；请补全条形图．(2)在这次抽样调查中，众数是________天，中位数是________天；(3)如果该县共有八年级学生3000人，请你估计“活动时间不少于7天”的学生人数大约有多少人?【分析】（1）根据各部分所占的百分比的和等于1列式计算即可求出a，再用被抽查的学生人数乘以8天所占百分比求出8天的人数，补全条形统计图即可；（2）用众数和中位数的定义解答；（3）用总人数乘以“活动时间不少于7天”的百分比，计算即可得解．【详解】（1）解：a=1（40%+20%+25%+5%）=190%=10%，被抽查的学生人数：240÷40%=600人，8天的人数：600×10%=60人，补全统计图如图所示：（2）参加社会实践活动5天的人数最多，所以，众数是5天，600人中，按照参加社会实践活动的天数从少到多排列，第300人和301人都是6天，所以，中位数是6天．故答案为：5，6；（3）3000×（25%+10%+5%）=3000×40%=1200（人）．故“活动时间不少于7天“的学生有1200人．23．（10分）阅读材料：我们已经知道，形如的无理数的化简要借助平方差公式：例如：．下面我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．问题提出：该如何化简？建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数，，使，，这样，，那么便有：，问题解决：化简：，解：首先把化为，这里，，由于，，即，．(1)模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：①；②；(2)模型应用2：在中，，，，那么边的长为多少？（结果化成最简）．【分析】（1）①根据完全平方公式变形即可得到答案；②根据完全平方公式变形即可得到答案；（2）根据勾股定理进行求解，再根据完全平方公式变形即可得到答案；【详解】（1）解：①∵，，由于，，即，，∴；②首先把化为，这里，，由于，，即，，∴；（2）解：在中，由勾股定理得，，∴∴．24．（10分）某纪念品店准备购进一批北京冬残奥运会纪念品．已知购进2件A纪念品和6件B纪念品共需180元，购进4件A纪念品和3件B纪念品共需135元．(1)求A、B两种纪念品每件的进价．(2)该店计划将2500元全部用于购进A，B两种纪念品，设购进A纪念品x件，B纪念品y件．该店进货时，厂家要求A纪念品的购进数量最多40件．已知A纪念品每件售价为20元，B纪念品每件售价为30元．设该店全部售出这两种纪念品可获利W元，应该如何进货才能使该店获利最大？最大利润是多少元？【分析】（1）设A种纪念品每件的进价为a元，B种纪念品每件的进价为b元，根据“购进2件A纪念品和6件B纪念品共需180元，购进4件A纪念品和3件B纪念品共需135元．”列出方程组，即可求解；（2）根据题意可得，再列出W关于x的函数关系式，然后根据一次函数的性质，即可求解．【详解】（1）解：设A种纪念品每件的进价为a元，B种纪念品每件的进价为b元，根据题意得：，解得：，答：A种纪念品每件的进价为15元，B种纪念品每件的进价为25元；（2）解：根据题意得：，∴，∴，∵，∴W随x的增大而增大，∵，∴当时，W最大，最大值为580，此时，答：当该商店购进A纪念品40件，B纪念品76件时，该店获利最大，最大利润是580元．25．（12分）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB=AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．(1)如图1，当α=90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是；(2)如图2，当0°＜α＜180°时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)拓展与应用：如图3，当α=120°时，点F为∠BAC平分线上的一点，且AB=AF，分别连接FB，FD，FE，FC，试判断△DEF的形状，并说明理由．【分析】（1）由∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°得到∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=90°，进而得到∠DBA=∠EAC，然后结合AB=AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE=BD+CE；（2）由∠BDA=∠BAC=∠AEC=α得到∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=180°α，进而得到∠DBA=∠EAC，然后结合AB=AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE=BD+CE；（3）先由α=120°和AF平分∠BAC得到∠BAF=∠CAF=60°，然后结合AB=AF=AC得到△ABF和△ACF是等边三角形，然后得到FA=FC、∠FCA=∠FAB=60°，然后结合△BDA≌△EAC得到∠BAD=∠ACE、AD=CE，从而得到∠FAD=∠FCE，故可证△FAD≌△FCE，从而得到DF=EF、∠DFA=∠EFC，最后得到∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠EFC+∠AFE=60°，即可得证△DEF是等边三角形．【详解】（1）DE=BD+CE，理由如下，∵∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°，∴∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=90°，∴∠DBA=∠EAC，∵AB=AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD+AE=BD+CE，故答案为：DE=BD+CE．（2）DE=BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA=∠BAC=∠AEC=α，∴∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=180°α，∴∠DBA=∠EAC，∵AB=AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD=AE，AD=CE，∴DE=AD+AE=BD+CE；（3）△DEF是等边三角形，由（2）知，△ADB≌△CEA，BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，∵当α=120°时，点F为∠BAC平分线上的一点∴∠BAF＝∠CAF＝60°，∵AB=AF=AC∴△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF＝∠CAF＝60°，BF＝AF∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，∴∠DBF＝∠FAE·10分在△DBF和△EAF中，∴△DBF≌△EAF（SAS），∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，∴△DEF为等边三角形.26．（12分）直线AB：y=－x＋6分别与x、y轴交于A、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且OB：OC=3：1．（1）求直线BC的解析式；（2）在直线BC上是否存在点D（点D不与点C重合），使得