4.2对数（九大题型）（原卷版）

4．2对数课程标准学习目标1、了解对数的概念．2、会进行对数式与指数式的互化．3、掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程．4、通过对数的运算性质的探素及推导过程，培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识1、数学抽象：对数运算性质的符号表示2、逻辑推理：对数运算性质的推导、理解指数运算与对数运算之间的关系3、数学运算：对数运算性质的运用4、数学建模：能运用对数运算解决实际问题知识点01对数概念1、对数的概念如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数．知识点诠释：对数式中各字母的取值范围是：且，，．2、对数（ 且）具有下列性质：（1）0和负数没有对数，即；（2）1的对数为0，即；（3）底的对数等于1，即．3、两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为．4、对数式与指数式的关系由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化．【即学即练1】（2023·高一校考课时练习）在b＝log3a－1(3－2a)中，实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．知识点02对数的运算法则已知，（且，、）（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；推广：（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；知识点诠释：（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：，，．【即学即练2】＝（

）A．1 B．2C．－1 D．－5知识点03对数公式1、对数恒等式：2、换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有：（1）令，则有，，即，即，即：．（2），令，则有，则有即，即，即当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：．【即学即练3】化简求值：.题型一：对数的定义【典例11】（2024·高一·全国·随堂练习）对数中实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例12】（2024·高一·福建厦门·期末）已知，则（

）A．2 B． C．3 D．4【方法技巧与总结】对数式中各字母的取值范围是：且，，．【变式11】（2024·高一·全国·专题练习）在中，实数的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．【变式12】（2024·高一·全国·课后作业）有下列说法：①以10为底的对数叫作常用对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以e为底的对数叫作自然对数；④零和负数没有对数.其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式13】（2024·高一·全国·课后作业）在b＝log3a－1(3－2a)中，实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式14】（2024·高一·上海·课后作业）若，则x的取值范围是A． B．C． D．题型二：指数式与对数式互化及其应用【典例21】（多选题）（2024·高一·贵州毕节·期末）下列四个命题：①；②若，则；③；④．其中真命题是（

）A．① B．② C．③ D．④【典例22】（2024·高一·上海·随堂练习）将下列指数式与对数式互化．(1)；(2)；(3)；(4)．【方法技巧与总结】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.【变式21】（2024·高一·全国·随堂练习）将下列对数式改写为指数式：(1)；(2)；(3)；(4)．【变式22】（2024·高一·全国·随堂练习）将下列对数式改写为指数式：(1)；(2)；(3)；(4).【变式23】（2024·高一·全国·随堂练习）将下列指数式改写为对数式：(1)；(2)；(3)；(4).【变式24】（2024·高一·全国·专题练习）将下列指数式与对数式进行互化．(1)(2)(3).(4)；(5)；(6)；(7).【变式25】（2024·高一·全国·课后作业）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)；(2)；(3)；(4)．题型三：利用对数恒等式化简求值【典例31】（2024·上海市杨浦高级中学高一期中）化简的结果为（

）A． B． C． D．【典例32】（2024·全国·高一专题练习）计算(1)(2)【方法技巧与总结】对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.【变式31】（2024·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三阶段练习）化简：＝________．【变式32】（2024·贵州·遵义四中高一期末）______．题型四：积、商、幂的对数【典例41】（2024·高一·全国·课后作业）求值：（

）A．1 B． C．2 D．【典例42】（2024·高一·青海海东·期中）已知都是正数，且，则（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算．【变式41】（2024·高一·陕西西安·阶段练习）（

）A． B．1 C． D．【变式42】（多选题）（2024·高一·江苏无锡·阶段练习）以下运算正确的是（

）A． B．C． D．【变式43】（多选题）（2024·高一·江苏宿迁·期中）已知，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【变式44】（2024·高一·全国·随堂练习）.【变式45】（2024·高一·全国·单元测试）计算：的值是．题型五：一类与对数有关方程的求解问题【典例51】（2024·高一·江苏·假期作业）方程的根为（

）A． B．C．或 D．或【典例52】（2024·高一·全国·课后作业）方程＝的解是（

）A．x＝ B．x＝C．x＝ D．x＝9【方法技巧与总结】直接利用定义法或者换元法【变式51】（2024·高一·上海·课后作业）方程解的个数是（

）．A．0个 B．1个 C．2个 D．无穷多个【变式52】（2024·高一·上海·期末）方程的解.【变式53】（2024·高一·上海闵行·期末）方程的解是.【变式54】（2024·高一·上海·专题练习）已知方程的两个实根分别为、，求的值.【变式55】（2024·高一·全国·课后作业）解关于的方程.（1）；（2）.题型六：对数运算法则的应用【典例61】（2024·高一·全国·课堂例题）计算下列各式的值：(1)；(2)；(3)．【典例62】（2024·高一·上海·课堂例题）求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4).【方法技巧与总结】（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来.【变式61】化简下列各式：(1)；(2)；(3)；(4)．【变式62】（2024·高一·山东临沂·阶段练习）化简求值（需要写出计算过程）(1).(2).【变式63】（2024·高二·湖南娄底·期末）计算下列各式的值：(1)；(2)．【变式64】求下列各式的值：(1)；(2)（a、b、c均为不等于1的正数）；(3)；(4).题型七：换底公式的运用【典例71】（2024·高一·江苏常州·期中）.【典例72】（2024·高一·上海浦东新·期中）已知，则.【方法技巧与总结】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．（3）解决这类问题要注意隐含条件“”的灵活运用．【变式71】（2024·高一·浙江宁波·期末）化简求值：.【变式72】（2024·高一·浙江·期中）化简.【变式73】（2024·高一·上海·开学考试）设都是非零常数，且满足，则.（结果用表示）【变式74】（2024·高一·上海虹口·期末）若实数和满足，则．题型八：由已知对数求解未知对数式【典例81】（2024·高一·全国·课堂例题）已知，，求（用a，b表示）．【典例82】（2024·高一·上海静安·期中）（1）已知，用a、b表示;（2）已知求b的值；（3）已知，试用表示；（4）已知，试用表示求.【方法技巧与总结】利用对数运算法则的应用进行转换.【变式81】（2024·高一·上海·专题练习）（1）设，试用含有的代数式表示；（2）设，，试用、表示；（3）设，，试用、表示.【变式82】（2024·高一·全国·专题练习）已知，，求.（用表示）【变式83】（2024·高一·上海静安·期中）若，用表示【变式84】（2024·高一·上海·课后作业）已知，试用a，b分别表示下列各式：（1）；（2）；（3）．【变式85】（2024·高一·全国·课后作业）（1）已知，用a，b表示；（2）已知，用a，b表示.题型九：证明常见的对数恒等式【典例91】（2024·高一·全国·课后作业）证明：（1）；（2）.【典例92】（2024·高一·上海·课后作业）已知在中，，角A，B，C所对应的三条边长分别为a，b，c．求证：．【方法技巧与总结】利用换底公式和作差法进行证明.【变式91】（2024·高一·全国·课堂例题）利用换底公式证明：(1)；(2)．【变式92】（2024·高一·浙江·开学考试）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550年﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707年﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系.对数的定义：一般地，若，则叫做以为底的对数，记作.比如指数式可以转化为，对数式可以转化为..我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：.理由如下：设，，所以，，所以，由对数的定义得:，又因为，所以解决以下问题：（1）将指数转化为对数式：.（2）仿照上面的材料，试证明：.（3）拓展运用：计算.1．（2024·高一·安徽·期末）“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率"都是，那么一年后是．一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（

）天“进步者”是“退步者"的2倍（参考数据：，）A．33 B．35 C．37 D．392．（2024·高一·重庆·期末）已知实数，且，则以下说法正确的是（

）A． B．的值为4或8 C． D．的值为3．（2024·高一·江苏扬州·期末）若，，则下列答案不正确的是（

）A． B． C． D．4．（2024·高三·北京大兴·期末）已知且，则下列结论中不正确的是（

）A． B．C． D．5．（2024·高一·广西·期中）已知，，，则的最小值是（

）A．4 B．10 C．12 D．166．（2024·高一·云南保山·阶段练习）若，则（

）A． B． C．2 D．7．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知，则（

）A． B．2 C． D．8．（2024·高一·江苏南京·阶段练习）已知，，，则的最小值是（

）．A．18 B．9 C． D．39．（多选题）（2024·高一·湖南·期末）下列各项不正确的是（

）A． B．C． D．10．（多选题）（2024·高一·河南新乡·期末）已知，且，则（

）A． B．C． D．11．（多选题）（2024·高一·安徽阜阳·期末）已知正实数x，y，z满足，则（

）A． B． C． D．12．