第19讲与角相关的三大计算类问题压轴复习（原卷版）

第19讲与角相关的三大计算类问题压轴复习类型一“钟面角”相关【知识点睛】钟表的表面特点：钟表的表面都是一个圆形，共有12个大格，每个大格间有5个小格．圆形的表面恰好对应着一个周角360°，每一大格=30°角，每一小格=6°角．表面一般有时针、分针、秒针三根指针．钟表时针、分针、秒针的转动情况：时针：每小时转1大格，每12分钟转1小格，每12个小时转1个圆周；分针：每5分钟转一大格，每1分钟转1小格，每小时转1个圆周；秒针：每5秒钟转1大格，每1秒钟转1小格，每1分钟转一个圆周．时针、分针、秒针的转速：时针的转速为：30°/小时或0.5°/分钟；分针的转速为：6°/分钟或0.1°/秒钟；秒针的转速为：6°/秒．【类题训练】时针/分针/秒针间的夹角分题1．如图所示，钟表上显示的时刻是10点10分，再过20分钟，时针与分针所成的角是（）A．75° B．120° C．135° D．150°2．12月21日16：15，我校七年级SuperSound英语趣配音比赛在学校千人报告厅举行．为了保证比赛准时开始，年级组长张老师组织同学16：00出发前往千人报告厅，此时时针与分针的夹角为（）A．37.5° B．75° C．120° D．135°3．北京时间21点30分，此时钟表的时针和分针构成的角度是°．4．小亮研究钟面角（时针与分针组成的角），2：15的钟面角为度．从某一时刻到另一时刻的角度问题1．时钟上的时针匀速旋转一周是12小时，从5时到6时，时针转动的度数为．2．钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，从8点到8点40分，时针转了度，分针转了度，8点40分时针与分针所成的角是度．3.圆形钟面上从2点整到4点整，时针和分针成60度角时的时间是．4．观察常用时钟，回答下列问题：（1）早晨7时整，时针和分针构成多少度的角？（2）时针多长时间转一圈？它转动的速度是每小时多少度？（3）从7：00到7：40，分针转动了多少度？由角度求对应时刻时间1．钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图，在钟面上，点O为钟面的圆心，图中的圆我们称之为钟面圆．为便于研究，我们规定：钟面圆的半径OA表示时针，半径OB表示分针，它们所成的钟面角为∠AOB；本题中所提到的角都不小于0°，且不大于180°；本题中所指的时刻都介于0点整到12点整之间．（1）时针每分钟转动的角度为°，分针每分钟转动的角度为°；（2）8点整，钟面角∠AOB＝°，钟面角与此相等的整点还有：点；（3）如图，设半径OC指向12点方向，在图中画出6点15分时半径OA、OB的大概位置，并求出此时∠AOB的度数．2．钟面角是指时钟的时针与分针所成的角，时针每走1分钟对应0.5°的角，分针每走1分钟对度6°的角．（1）如图1，时钟所表示的时间为2点30分，则钟面角为°；（2）若某个时刻的钟面角为60°，请写出一个相应的时刻：；（3）如图2，时钟所表示的时间为3点，此时钟角为90°，在4点前，经过多少分钟，钟角为35°？3．钟面上的数学基本概念钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图1，∠AOB即为某一时刻的钟面角，通常0°≤∠AOB≤180°．简单认识时针和分针在绕点O一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是30°，分针每小时转动一周，角度为360°．由此可知：（1）时针每分钟转动°，分针每分钟转动°；初步研究（2）已知某一时刻的钟面角的度数为α，在空格中写出一个与之对应的时刻：①当α＝90°时，；②当α＝180°时，；（3）如图2，钟面显示的时间是8点O4分，此时钟面角∠AOB＝°；深入思考A类：（4）在某一天的下午2点到3点之间（不包括2点整和3点整）．①时针恰好与分针重叠，则这一时刻是；②时针恰好与分针垂直，求此时对应的时刻．B类：（4）在某一天的下午2点到3点之间（不包括2点整和3点整）①若钟面角为30°，求此时对应的时刻；②记钟面上刻度为3的点为C，当钟面角的两条边OA、OB所在射线与射线OC中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，请直接写出此时对应的时刻．类型二与角有关的折叠问题【知识点睛】有折叠必有角度相等→折叠所形成的角与原角相等→折痕所在直线为角平分线；成一条直线的几个角组成平角——即和为180°；正方形、长方形的一个角均为90°；【类题训练】1．如图，把一长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D'落在∠BAC内部．若∠CAE＝2∠BAD'，且∠CAD'＝15°，则∠DAE的度数为（）A．12° B．24° C．39° D．45°2．如图，长方形ABCD沿直线EF、EG折叠后，点A和点D分别落在直线l上的点A′和点D′处，若∠1＝30°，则∠2的度数为（）A．30° B．60° C．50° D．55°3．如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点C落在点E处，连接BE交AD于F，再将三角形DEF沿DF折叠后，点E落在点G处，若DG刚好平分∠ADB，那么∠ADB的度数是（）A．18° B．20° C．36° D．45°4．如图，将长方形纸片翻折，若∠1＝52°，则∠2的度数为．5．如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠AED′＝68°，则∠AEF＝．6．如图，将书页的一角斜折过去，使角的顶点A落在A′处，BC为折痕，BD平分∠A′BE．（1）求∠CBD的度数．（2）若∠A′BE＝120°，求∠CBA的度数．类型三与角有关的旋转问题【知识点睛】图形的旋转也就是其中线段/射线的旋转，审题中先考虑“旋转三要素”——旋转中心、旋转方向、旋转角度；旋转角度=射线转动的速度×转动的时间；故常引入字母，用代数式表示角度；根据角度间的数量关系，多用方程思想解决动角问题；常见的角度间的数量关系表述：∠A=∠B，∠A=2∠B，∠A与∠B互余（或互补）等角的边的位置不确定时，需要分类讨论【类题训练】1．如图，∠AOB＝90°．∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．（1）求∠MON的度数；（2）若∠BOC＝60°，其他条件不变，则∠MON＝45°；（3）若∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数；（4）从上面的结果能看出什么规律？2．如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．（1）求∠AOC，∠BOC的度数；（2）作射线OM平分∠AOC，在∠BOC内作射线ON，使得∠CON：∠BON＝1：3，求∠MON的度数；（3）过点O作射线OD，若2∠AOD＝3∠BOD，求∠COD的度数．3．已知∠AOB与∠COD互补，射线OE平分∠COD，设∠AOC＝α，∠BOD＝β．（1）如图1，∠COD在∠AOB的内部，①当∠COD＝45°时，求α+β的值．②当α＝3β时，求∠BOE的度数．（2）如图2，∠COD在∠AOB的外部，∠BOE＝45°，求α与β满足的等量关系．4．将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O．（1）如图1，若∠AOD＝35°，求∠BOC的度数．（2）若三角板AOB保持不动，将三角板COD的边OD与边OA重合，然后将其绕点O旋转．试猜想在旋转过程中，∠AOC与∠BOD有何数量关系？请说明理由．5．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使得∠AOC＝120°，将一个有一个角为30°直角三角板的直角顶点放在点O处，使边ON在射线OA上，另一边OM在直线AB的下方，将图中的三角板绕点O按顺时针方向旋转180°．（1）三角板旋转的过程中，当ON⊥AB时，三角板旋转的角度为；（2）当ON所在的射线恰好平分∠BOC时，三角板旋转的角度为；（3）在旋转的过程中，∠AOM与∠CON的数量关系为；（请写出所有可能情况）（4）若三角板绕点O按每秒钟20°的速度顺时针旋转，同时射线OC绕点O按每秒钟5°的速度沿顺时针方向，向终边OB运动，当ON与射线OB重合时，同时停止运动，直接写出三角板的直角边所在射线恰好平分∠AOC时，三角板运动时间为．6．已知：如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒4°的速度旋转，如图2，设旋转时间为t（0秒≤t≤45秒）．（1）则∠MOA＝，∠NOB＝．（用含t的代数式表示）（2）在运动过程中，当∠AOB达到60°时，求t的值．（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，直接写出t的值；如果不存在，请说明理由．7．【阅读理解】射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠AOB，则我们称射线OC是射线OA的“友好线”．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC＝∠AOB，称射线OC是射线OA的友好线；同时，由于∠BOD＝∠AOB，称射线OD是射线OB的友好线．【知识运用】（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的友