贵州省贵阳市2023届高三下学期适应性考试（一）数学（理）试题（解析版）

高考模拟试题PAGEPAGE1贵阳市2023年高三适应性考试（一）理科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，集合，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗解不等式可求得集合，由交集定义可得结果.〖详析〗由得：或，即，.故选：C.2.已知是虚数单位，复数的共轭复数的虚部为（）A. B. C.4 D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗利用复数乘方运算得到，从而得到的共轭复数及其虚部.〖详析〗，故复数的共轭复数为，故共轭复数的虚部为4.故选：C3.在一场跳水比赛中，7位裁判给某选手打分从低到高依次为，8.1，8.4，8.5，9.0，9.5，，若去掉一个最高分和一个最低分后的平均分与不去掉的平均分相同，那么最低分的值不可能是（）A.7.7 B.7.8 C.7.9 D.8.0〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根据所给条件可得出，再由的范围验证选项即可得解.〖详析〗因为去掉最高分与最低分后平均分为，所以，解得，由于得分按照从低到高的顺序排列的，故，，当时，，满足上述条件，故A错误；当时，，满足上述条件，故B错误；当时，，满足上述条件，故C错误；当时，，不满足上述条件，故D正确.故选：D4.等差数列中，，则数列的前9项之和为（）A.24 B.27 C.48 D.54〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根据等差数列下标和性质求出，再根据等差数列求和公式计算可得.〖详析〗解：在等差数列中，，则所以，又，所以，所以.故选：B5.香农-威纳指数（）是生态学中衡量群落中生物多样性的一个指数，其计算公式是，其中是该群落中生物的种数，为第个物种在群落中的比例，下表为某个只有甲､乙､丙三个种群的群落中各种群个体数量统计表，根据表中数据，该群落的香农-威纳指数值为（）物种甲乙丙合计个体数量A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根据已知公式和对数运算直接计算求解即可.〖详析〗由题意知：.

故选：A.6.如图，在中，，则（）A.9 B.18 C.6 D.12〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗由可得，则，代入化简即可得出〖答案〗.〖详析〗由可得：，所以，所以，，因为，所以.故选：D.7.棱锥的内切球半径，其中，分别为该棱锥的体积和表面积，如图为某三棱锥的三视图，若每个视图都是直角边长为的等腰直角形，则该三棱锥内切球半径为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗由三视图还原三棱锥，求得棱锥表面积和体积后，代入公式即可求得内切球半径.〖详析〗由三视图可还原三棱锥如下图所示，其中平面，，，，棱锥表面积，该棱锥的内切球半径.故选：C.8.“一笔画”游戏是指要求经过所有路线且节点可以多次经过，但连接节点间的路线不能重复画的游戏，下图是某一局“一笔画”游戏的图形，其中为节点，若研究发现本局游戏只能以为起点为终点或者以为起点为终点完成，那么完成该图“一笔画”的方法数为（）A.种 B.种 C.种 D.种〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗采用分步乘法可计算得到以为起点，为终点的方法数，再利用分类加法计数原理求得结果.〖详析〗以为起点时，三条路线依次连接即可到达点，共有种选择；自连接到时，在右侧可顺时针连接或逆时针连接，共有种选择，以为起点，为终点时，共有种方法；同理可知：以为起点，为终点时，共有种方法；完成该图“一笔画”的方法数为种.故选：C.9.以双曲线的实轴为直径的圆与该双曲线的渐近线分别交于A，B，C，D四点，若四边形的面积为，则该双曲线的离心率为（）A.或2 B.2或 C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗先由双曲线与圆的对称性得到，再将代入，从而得到，，进而结合得到关于的齐次方程，由此转化为关于双曲线离心率的方程即可得解.〖详析〗依题意，根据双曲线与圆的对称性，可得四边形为矩形，如图，不放设点位于第一象限，则，因为双曲线的渐近线方程为，则，以双曲线的实轴为直径的圆的方程为，则，将代入，得，则，即，所以，则，故，又，所以，则，则，所以，则，即，所以，即，解得或，因，所以或.故选：B10.函数的部分图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（）①的图象关于直线对称②的图象关于点对称③将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象④若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是A.①④ B.②④ C.③④ D.②③〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根据图象求出函数的〖解析〗式，结合三角函数的性质，逐次判断各选项即可得到结论．〖详析〗解：由函数的图象可得，由，解得，又函数过点，所以，，又，得，所以函数，当时，，即的图象关于点对称，故②正确；当时，，故①错误；将函数的图象向左平移个单位长度得到，故③错误；当，则，令，解得，此时，即，令，解得，此时，即，所以在上单调递减，在上单调递增，因为方程在上有两个不相等的实数根，即与在上有两个交点，所以，故④正确；故选：B11.如图，在三棱锥中，平面平面，是边长为的等边三角形，，则该几何体外接球表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗设外心为，外心为，DB中点为E，过外心分别作平面，平面垂线，则垂线交点O为外接球球心.后利用正弦定理可得，外接圆半径，又注意到四边形为矩形，则外接球半径.〖详析〗设外心为，外心为，DB中点为E.因，平面，平面平面，平面平面，则平面，又平面，则.过，分别作平面，平面垂线，则垂线交点O为外接球球心，则四边形为矩形.外接圆半径.又因，，则.故外接圆半径.又.又平面，平面，则.故外接球半径，故外接球表面积.故选：A〖『点石成金』〗结论『点石成金』：本题涉及底面与侧面垂直的三棱锥的外接球.设底面与侧面外接圆半径为，底面与侧面公共棱长度为，则外接球半径.12.已知正实数，若，，则的大小关系为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根据已知关系式的特征可构造函数，利用导数可求得单调性，并确定的图象，根据，结合图象可确定的大小关系.〖详析〗令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，又，当时，恒成立，可得图象如下图所示，，，；，，；综上所述：.故选：D.〖『点石成金』〗关键点『点石成金』；本题考查构造函数比较函数值大小的问题，解题关键是能够根据已知关系式的结构特征，准确构造函数，将问题转化为函数值大小关系的比较问题，从而利用导数确定函数的单调性和图象来进行求解.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.函数在点处的切线方程为___________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗求出导函数，再求得，从而可求得其切线方程．〖详析〗由得，所以，又，即为切点，所以切线方程为，即.故〖答案〗为：．14.正实数满足，则的最小值为___________.〖答案〗##6.25〖解析〗〖祥解〗根据，利用基本不等式即可求得结果.〖详析〗，，，，（当且仅当时取等号），即的最小值为.故〖答案〗为：.15.赵爽是我国汉代数学家，他在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”被选为第24届国际数学家大会的会徽.如图所示，“赵爽弦”图中的大正方形是由4个全等的直角三角形和小正方形拼成，现连接，当正方形的边长为1且其面积与正方形的面积之比为1∶5时，___________.〖答案〗.〖解析〗〖祥解〗根据图形，由面积可得出直角三角的三边长，求出角的三角函数，利用求解.〖详析〗由题意得，，故直角三角形斜边为，设直角三角形中较短直角边长为，如图中，则较长直角边长为，如图中,则由勾股定理可得，解得，，，,.故〖答案〗为：.16.抛物线，圆，直线l过圆心M且与抛物线E交于A，B与圆M交于C，D.若，则___________.〖答案〗##〖解析〗〖祥解〗设直线的方程为，由题意可知圆的圆心为弦的中点，据此联立直线与抛物线方程，由根与系数的关系即可求出，再由弦长公式即可得解.〖详析〗由可得，故圆心，半径，因为直线l过圆心M且，所以，，即为的中点，显然，直线斜率为0时，不符合题意，设直线的方程为，联立，消元得，设，由，所以，由为的中点可知，，即，所以,所以.故〖答案〗为：三、解答题：第17至21题每题12分，第22、23题为选考题，各10分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知等比数列的前项和为，，且成等差数列.（1）证明数列是等比数列；（2）若，求数列前项和.〖答案〗（1）证明见〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）依题意得到关于、的方程组，求出、，再根据求和公式得到，再证明即可；（2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可.〖小问1详析〗∵是等比数列，且①，又、、成等差数列，∴，∴②，联立①②解得，∴，∴，∴，∴数列是公比为的等比数列．〖小问2详析〗由（1）知，所以，∴①，②，①②得，，整理得.18.2022年9月3日至2022年10月8日，因为疫情，贵阳市部分高中学生只能居家学习，为了监测居家学习效果，某校在恢复正常教学后举行了一次考试，在考试中，发现学生总体成绩相较疫情前成绩有明显下降，为了解学生成绩下降的原因，学校进行了问卷调查，从问卷中随机抽取了200份学生问卷，发现其中有96名学生成绩下降，在这些成绩下降的学生中有54名学生属于“长时间使用手机娱乐”（每天使用手机娱乐2个小时以上）的学生.（1）根据以上信息，完成下面的列联表，并判断能否有99.5%把握认为“成绩下降”与“长时间使用手机娱乐”有关？长时间使用手机娱乐非长时间使用手机娱乐合计成绩下降成绩未下降合计90200（2）在被抽取的200名学生中“长时间使用手机娱乐”且“成绩未下降”的女生有12人，现从“长时间使用手机娱乐”且“成绩未下降”的学生中按性别分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽取3人访该，记被抽取到的3名学生中女生人数为X，求X的分布列和数学期望.参考公式：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828〖答案〗（1）列联表见〖解析〗，有99.5%把握认为“学习成绩下降”与“长时间使用手机娱乐”有关（2）分布列见〖解析〗，1.〖解析〗〖祥解〗（1）由题意列出列联表，计算，即可得出结论；（2）女生被抽到得的人数X可取0，1，2，根据古典概型分别计算概率，列出分布列，求出期望.小问1详析〗列联表如下：长时间使用手机娱乐非长时间使用手机娱乐合计成绩下降544296成绩未下降3668104合计90110200，有99.5%把握认为“学习成绩下降”与“长时间使用手机娱乐”有关.〖小问2详析〗(2)在抽取的6人中，女生有人，男生有人，则这6人中随机抽取3人进一步访谈，女生被抽到得的人数X可取0，1，2，，，的分布列为：012.19.如图（1），在梯形中，，，，为中点，现沿将折起，如图（2），其中分别是的中点.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值.〖答案〗（1）证明见〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）取中点，易证得四边形为平行四边形，从而得到，利用等腰三角形三线合一性质可分别得到，结合平行关系和线面垂直的判定可证得结论；（2）根据长度关系可证得两两互相垂直，则以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.〖小问1详析〗取中点，连接，为中点，，，又，四边形为平行四边形，，，分别为中点，，，又为中点，，，，，四边形为平行四边形，；，为中点，，；，，，四边形为正方形，，，又，平面，平面.〖小问2详析〗由（1）知：，，又，；，为中点，，，，，，又，平面，平面，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的法向量，，令，解得：，；平面，平面的一个法向量为，，由图形知：二面角为钝二面角，二面角的余弦值为.20.已知，，三点中有两点在椭圆上，椭圆的右顶点为，过右焦点的直线与交于点，，当垂直于轴时.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与轴交于点，直线与轴交于点，在轴是否存在定点，使得，若存在，求出点，若不存在，说明理由.〖答案〗（1）（2）在轴上存在定点或，使得〖解析〗〖祥解〗（1）根据对称性可得点，在椭圆上，再由得到方程组，解得、，即可得解；（2）设存在定点，过右焦点的直线的方程为，且与曲线的交点分别为，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，设直线，求出点坐标，同理可得点坐标，根据求出的值，即可得解.〖小问1详析〗根据椭圆的对称性可知，点，在椭圆上，对于，令得，解得，所以，则，∴椭圆的方程为.〖小问2详析〗解：设存在定点，设过右焦点的直线的方程为，且与曲线的交点分别为，，联立，则由韦达定理有：，，由的标准方程得，设直线，当时，，同理，设直线，当时，，∴，，∴，解得，故在轴上存在定点或，使得.21.已知函数，.（1）当时，求函数的极值；（2）若任意且，都有成立，求实数的取值范围.〖答案〗（1）极小值为，无极大值（2）〖解析〗〖祥解〗（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；（2）不妨令，则问题等价于，令，只需证明在单调递增，问题等价于在时恒成立，参变分离得到，，再构造函数，利用导数求出的最大值，即可得解.〖小问1详析〗解：当时，，．则，令，解得或，又因为，所以．列表如下：x2单调递减极小值单调递增因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以有极小值，无极大值．〖小问2详析〗解：因为，，所以，，若对任意且恒成立不妨令，则，令，只需证明在单调递增，因为，则，所以在时恒成立，即，，令，，则，因为，所以令，解得，令，解得，从而在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时取到最大值，所以实数的取值范围是．〖『点石成