福建省三明市尤溪县普通高中2025届高二数学第一学期期末监测试题含解析

福建省三明市尤溪县普通高中2025届高二数学第一学期期末监测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．是椭圆的焦点，点在椭圆上，点到的距离为1，则到的距离为（）A.3 B.4C.5 D.62．已知圆，为圆外的任意一点，过点引圆的两条切线、，使得，其中、为切点．在点运动的过程中，线段所扫过图形的面积为（）A. B.C. D.3．由于受疫情的影响，学校停课，同学们通过三种方式在家自主学习，现学校想了解同学们对假期学习方式的满意程度，收集如图1所示的数据；教务处通过分层抽样的方法抽取4%的同学进行满意度调查，得到的数据如图2.下列说法错误的是（）A.样本容量为240B.若，则本次自主学习学生的满意度不低于四成C.总体中对方式二满意学生约为300人D.样本中对方式一满意的学生为24人4．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）种A.54 B.72C.96 D.1205．当圆的圆心到直线的距离最大时，（）A B.C. D.6．数列1，，，的一个通项公式可以是（）A. B.C. D.7．已知，，，则最小值是（）A.10 B.9C.8 D.78．在四面体中，设，若F为BC的中点，P为EF的中点，则＝（）A. B.C. D.9．俗话说“好货不便宜，便宜没好货”，依此判断，“不便宜”是“好货”的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10．两条平行直线与之间的距离为（）A. B.C. D.11．设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（）A. B.C. D.12．直线与圆的位置关系是（）A.相交 B.相切C.相离 D.都有可能二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，分别为的中点，连接，则点到平面的距离为__________.14．设是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小_____.15．如图，已知底面为正方形且各侧棱均相等的四棱锥可绕着任意旋转，平面，分别是的中点，，，点在平面上的射影为点，则当最大时，二面角的大小是________16．抛物线的准线方程为_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列是等差数列，为其前n项和，，（1）求的通项公式；（2）若，求证：为等比数列18．（12分）已知命题p：“，”为假命题，命题q：“实数满足”．若是真命题，是假命题，求的取值范围19．（12分）已知等差数列的前n项和为，若公差，且，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和.20．（12分）已知椭圆的离心率为，右焦点为,斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.（1）求椭圆的方程；（2）求的面积.21．（12分）已知抛物线的焦点为F，倾斜角为45°的直线m过点F，若此抛物线上存在3个不同的点到m的距离为，求此抛物线的准线方程22．（10分）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，记点的轨迹为.（1）求的方程；（2）已知，是经过圆上一点且与相切的两条直线，斜率分别为，，直线的斜率为，求证：为定值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】利用椭圆的定义直接求解【详解】由题意得，得，因为，，所以，故选：C2、D【解析】连接、、，分析可知四边形为正方形，求出点的轨迹方程，分析可知线段所扫过图形为是夹在圆和圆的圆环，利用圆的面积公式可求得结果.【详解】连接、、，由圆的几何性质可知，，又因为且，故四边形为正方形，圆心，半径为，则，故点的轨迹方程为，所以，线段扫过的图形是夹在圆和圆的圆环，故在点运动的过程中，线段所扫过图形的面积为.故选：D.3、B【解析】利用扇形统计图和条形统计图可求出结果【详解】选项A，样本容量为，该选项正确；选项B，根据题意得自主学习的满意率，错误；选项C，样本可以估计总体，但会有一定的误差，总体中对方式二满意人数约为，该选项正确；选项D，样本中对方式一满意人数为，该选项正确.故选：B【点睛】本题主要考查了命题真假的判断，考查扇形统计图和条形统计图等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题4、A【解析】根据题意，分2种情况讨论：①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案【详解】根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，分2种情况讨论：①甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，此时有种名次排列情况；②甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，此时有种名次排列情况；则一共有种不同的名次情况，故选：A5、C【解析】求出圆心坐标和直线过定点，当圆心和定点的连线与直线垂直时满足题意，再利用两直线垂直，斜率乘积为-1求解即可.【详解】解：因为圆的圆心为,半径，又因为直线过定点A(-1,1),故当与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，此时有，即，解得.故选：C.6、A【解析】根据各项的分子和分母特征进行求解判断即可.【详解】因为，所以该数列的一个通项公式可以是；对于选项B：，所以本选项不符合要求；对于选项C：，所以本选项不符合要求；对于选项D：，所以本选项不符合要求，故选：A7、B【解析】利用题设中的等式，把的表达式转化成展开后，利用基本不等式求得的最小值【详解】∵，，，∴＝，当且仅当，即时等号成立故选：B8、A【解析】作出图示，根据空间向量的加法运算法则，即可得答案.【详解】如图示：连接OF,因为P为EF中点，，F为BC的中点，则，故选：A9、A【解析】将“好货”与“不便宜”进行相互推理即可求得答案.【详解】根据题意，“好货”一定“不便宜”，但是“不便宜”不一定是“好货”，所以“不便宜”是“好货”的必要不充分条件.故选：A.10、D【解析】由已知有，所以直线可化为，利用两平行直线距离公式有，选D.点睛：本题主要考查两平行直线间的距离公式，属于易错题．在用两平行直线距离公式时，两直线中的系数要相同，不然不能用此公式计算11、C【解析】设，由，根据两点间的距离公式表示出，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可【详解】设，由，因为，，所以，因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即；当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立故选：C【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值12、A【解析】求出圆心到直线的距离，然后与圆的半径进行大小比较即可求解.【详解】解：圆的圆心，，因为圆心到直线的距离，所以直线与圆的位置关系是相交，故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用转化法，根据线面平行的性质，结合三棱锥的体积等积性进行求解即可.【详解】设是的中点，连接，因为是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，因此点到平面的距离等于点到平面的距离，设为，因为平面，所以，，于是有，底面为矩形，所以有，，因为平面，所以，于是有：，由余弦定理可知：cos∠PEC=所以，因此，，因为，所以，故答案为：14、【解析】，，利用椭圆的定义、结合余弦定理、已知条件，可得，解得，从而可得结果【详解】椭圆，可得，设，，可得，化简可得：，，故答案为【点睛】本题主要考查椭圆的定义以及余弦定理的应用，属于中档题．对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.15、##【解析】先计算得到二面角的大小为60°，设二面角C-AB-O的大小为，则，计算得到答案.【详解】解：由题可得，，因为分别是的中点，所以，，又，所以平面因为，所以,所以二面角为，设二面角的大小为，即，则，在中，利用余弦定理得到：，故当时，取得最大值.故答案为：16、【解析】由抛物线的标准方程为x2=y，得抛物线是焦点在y轴正半轴的抛物线，2p=1，∴其准线方程是y=，故答案为三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析【解析】（1）由已知条件列出关于的方程组，解方程组求出，从而可求出的通项公式，（2）由（1）可得，然后利用等比数列的定义证明即可【小问1详解】设数列的公差为，则由，，得，解得，所以【小问2详解】证明：由（1）得，所以，（）所以数列是以9为公比，27为首项的等比数列18、或【解析】先假设命题、为真，分别求得实数的取值范围，再由命题、具体的真假，取实数的取值范围或其补集，最终确定实数的取值范围.【详解】若命题p为真，则“，”为假命题则，恒成立∴恒成立，即∴，∴.若命题q为真，则，即∴∴∵是真命题，是假命题∴命题、必为一真一假.①当p真q假时，∴；②当p假q真时，∴.综上所述：a的取值范围是或.19、（1）；（2）.【解析】（1）由等差数列的通项公式、前n项和公式结合等比数列的性质列方程可得数列首项与公差，即可得解；（2）由，结合裂项相消法即可得解.【详解】（1）因为数列为等差数列，，，，成等比数列，所以，所以，即，又因为，所以，所以；（2）因为，所以.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的综合应用及裂项相消法的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.20、（1）（2）【解析】（1）根据椭圆的简单几何性质知，又，写出椭圆的方程；（2）先斜截式设出直线，联立方程组，根据直线与圆锥曲线的位置关系，可得出中点为的坐标，再根据△为等腰三角形知，从而得的斜率为，求出，写出：，并计算，再根据点到直线距离公式求高，即可计算出面积【详解】（1）由已知得，，解得，又，所以椭圆的方程为（2）设直线的方程为，由得，①设、的坐标分别为，（），中点为，则，，因为是等腰△的底边，所以所以的斜率为，解得，此时方程①为解得，，所以，，所以，此时，点到直线：距离，所以△的面积考点：1、椭圆的简单几何性质；2、直线和椭圆的位置关系；3、椭圆的标准方程；4、点到直线的距离.【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离，属于难题．解决本类问题时，注意使用椭圆的几何性质，求得椭圆的标准方程；求三角形的面积需要求出底和高，在求解过程中要充分利用三角形是等腰三角形，进而知道定点与弦中点的连线垂直，这是解决问题的关键21、【解析】设出直线m的方程，利用方程组联立、一元二次方程根的判别式求出与直线m平行的抛物线的切线方程，结合平行