宁夏回族自治区长庆高级中学2025届高二数学第一学期期末质量跟踪监视试题含解析

宁夏回族自治区长庆高级中学2025届高二数学第一学期期末质量跟踪监视试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若x，y满足约束条件，则的最大值为（）A.2 B.3C.4 D.52．已知一质点的运动方程为，其中的单位为米，的单位为秒，则第1秒末的瞬时速度为（）A. B.C. D.3．已知椭圆的离心率，为椭圆上的一个动点，若定点，则的最大值为A. B.C. D.4．已知是函数的导函数，则（）A0 B.2C.4 D.65．已知空间向量，，且与互相垂直，则k的值是（）A.1 B.C. D.6．连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m，n，记，则下列说法正确的是（）A.事件“”的概率为 B.事件“t是奇数”与“”互为对立事件C.事件“”与“”互为互斥事件 D.事件“且”的概率为7．设椭圆C：的右焦点为F，过原点O的动直线l与椭圆C交于A，B两点，那么的周长的取值范围为（）A. B.C. D.8．设,,,则,,大小关系为A. B.C. D.9．双曲线的左、右焦点分别为、，过点且斜率为的直线与双曲线的左右两支分别交于P、Q两点，若，则双曲线C的离心率为（）A. B.C. D.10．与直线关于轴对称的直线的方程为（）A. B.C. D.11．已知条件，条件表示焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件12．在等差数列中，若的值是A.15 B.16C.17 D.18二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线的长度为____________.14．已知椭圆，A，B是椭圆C上的两个不同的点，设，若，则直线AB的方程为______15．已知，，且，则的值是_________.16．函数的单调递减区间是____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆C：的长轴长为4，离心率e是方程的一根（1）求椭圆C的方程；（2）已知O是坐标原点，斜率为k的直线l经过点，已知直线l与椭圆C相交于点A，B，求面积的最大值18．（12分）如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长19．（12分）已知命题p：直线与双曲线的右支有两个不同的交点，命题q：直线与直线平行.（1）若，判断命题“”的真假；（2）若命题“”为真命题，求实数k的取值范围.20．（12分）一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获得15分，出现三次“6点”获得120分，没有出现“6点”则扣除12分(即获得－12分)（Ⅰ）设每盘游戏中出现“6点”的次数为X，求X的分布列；（Ⅱ）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得15分概率；（Ⅲ）玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象21．（12分）已知几何体中，平面平面，是边长为4的菱形，，是直角梯形，，，且（1）求证：；（2）求平面与平面所成角的余弦值22．（10分）已知点是抛物线C：上的点，F为抛物线的焦点，且，直线l：与抛物线C相交于不同的两点A，B.（1）求抛物线C的方程；（2）若，求k的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析求解.【详解】解：作出不等式组对应的可行域为如图所示的阴影部分区域，由得，它表示斜率为纵截距为的直线系，当直线平移到点时，纵截距最大，最大.联立直线方程得得.所以.故选：C2、C【解析】求出即得解.【详解】解：由题意得，故质点在第1秒末的瞬时速度为.故选：C3、C【解析】首先求得椭圆方程，然后确定的最大值即可.【详解】由题意可得：，据此可得：，椭圆方程为，设椭圆上点的坐标为，则，故：，当时，.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查椭圆方程问题，椭圆中的最值问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4、D【解析】由导数运算法则求出导函数，再计算导数值【详解】由题意，，所以故选：D5、D【解析】由＝0可求解【详解】由题意，故选：D6、D【解析】计算出事件“t＝12”的概率可判断A；根据对立事件的概念，可判断B；根据互斥事件的概念，可判断C；计算出事件“t＞8且mn＜32”的概率可判断D；【详解】连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m，n，则共有个基本事件，记t＝m＋n，则事件“t＝12”必须两次都掷出6点，则事件“t＝12”的概率为，故A错误；事件“t是奇数”与“m＝n”为互斥不对立事件,如事件m=3,n=5，故B错误；事件“t＝2”与“t≠3”不是互斥事件，故C错误；事件“t＞8且mn＜32”有共9个基本事件，故事件“t＞8且mn＜32”的概率为，故D正确；故选：D7、A【解析】根据椭圆的对称性椭圆的定义可得，结合的范围求的周长的取值范围.【详解】的周长，又因为A，B两点为过原点O的动直线l与椭圆C的交点，所以A，B两点关于原点对称，椭圆C的左焦点为，则，所以，又因为三点不共线，所以，所以的周长的取值范围为，故选：A.8、C【解析】由,可得,,故选C.考点：指数函数性质9、C【解析】由，且，可得，再结合，可得，进而在△中，由余弦定理可得到齐次方程，求出即可.【详解】由题意，可得，因为，所以，又，所以，在△中，，即，由余弦定理，可得，整理得，则，即，解得，因为，所以.故选：C.【点睛】方法点睛：本题考查求双曲线的离心率，属于中档题.双曲线离心率的求法：（1）由条件直接求出（或或），或者寻找（或或）所满足的关系，利用求解；（2）根据条件列出的齐次方程，利用转化为关于的方程，解方程即可，注意根据对所得解进行取舍.10、D【解析】点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此即可求解.【详解】设(x，y)是与直线关于轴对称的直线上任意一点，则(x，－y)在上，故，∴与直线关于轴对称的直线的方程为.故选：D.11、A【解析】根据条件，求得a的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案.【详解】因为条件表示焦点在x轴上的椭圆，所以，解得或，所以条件是条件q：或的充分不必要条件.故选：A12、C【解析】由已知直接利用等差数列的性质求解【详解】在等差数列{an}中，由a1+a2+a3=3，得3a2=3，即a2=1，又a5=9，∴a8=2a5-a2=18-1=17故选C【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，是基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】曲线的图形是：以原点为圆心，以2为半径的圆的左半圆，进而可求出结果.【详解】解：由得，所以曲线（）的图形是：以原点为圆心，以2为半径的圆的左半圆，∴曲线（）的长度是，故答案为：.14、【解析】由已知可得为的中点，再由点差法求所在直线的斜率，即可求得直线的方程【详解】由，可得为的中点，且在椭圆内，设，，，，则，，，则，即所在直线的斜率为直线的方程为，即故答案为：15、【解析】根据空间向量可得，结合计算即可.【详解】由题意知，，所以，解得.故答案：316、【解析】求导，根据可得答案.【详解】由题意，可得，令，即，解得，即函数的递减区间为.故答案为：.【点睛】本题考查运用导函数的符号，研究函数的单调性，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）待定系数法求椭圆的方程；（2）设直线的方程为，，，用“设而不求法”表示出三角形OAB的面积.令转化为关于t的函数，利用函数求最值.【详解】（1）依题意得：，∴.方程的根为或.∵椭圆的离心率，∴，∴∴∴椭圆方程为.（2）设直线的方程为，，由，得，则，点到直线的距离为，.令，则..∵在单调递增，∴时.有最小值3.此时有最大值.∴面积的最大值为.18、（1）证明见解析；（2）；（3）或【解析】本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.首先要建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，证明线面平行只需求出平面的法向量，计算直线对应的向量与法向量的数量积为0，求二面角只需求出两个半平面对应的法向量，借助法向量的夹角求二面角，利用向量的夹角公式，求出异面直线所成角的余弦值，利用已知条件，求出的值.试题解析：如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.（1）证明：=（0，2，0），=（2，0，）.设，为平面BDE的法向量，则，即.不妨设，可得.又=（1，2，），可得.因为平面BDE，所以MN//平面BDE.（2）解：易知为平面CEM的一个法向量.设为平面EMN的法向量，则，因为，，所以.不妨设，可得.因此有，于是.所以，二面角C—EM—N的正弦值为.（3）解：依题意，设AH=h（），则H（0，0，h），进而可得，.由已知，得，整理得，解得，或.所以，线段AH的长为或.【考点】直线与平面平行、二面角、异面直线所成角【名师点睛】空间向量是解决空间几何问题的锐利武器，不论是求空间角、空间距离还是证明线面关系利用空间向量都很方便，利用向量夹角公式求异面直线所成的角又快又准，特别是借助平面的法向量求线面角，二面角或点到平面的距离都很容易.19、（1）命题“”为真命题（2）【解析】（1）先判断命题p，命题q的真假，再利用复合命题的真假判断；（2）根据命题“”真命题，由p为真命题，q为假命题求解.【小问1详解】解：对于命题p，易知直线与双曲线的左、右支各有一个交点，∴命题p为假命题；对于命题q，时，有与，显然两条直线垂直，∴命题q为假命题.∴命题“”为真命题.【小问2详解】∵命题“”为真命题，∴p为真命题，q为假命题.对于命题p，由得，直线与双曲线的右支有两个不同的交点，即此方程有两个不同的正根，∴得.对于命题q，要使命题q为真，则，解得，∴命题q为假命题，即.∴实数k的取值范围为.20、（Ⅰ）分布列见解析（Ⅱ）（Ⅲ）见解析【解析】（Ⅰ）先得到可能的取值为，，，，根据每次抛掷骰子，出现“6点”的概率为，得到每种取值的概率，得到分布列；（Ⅱ）计算出每盘游戏没有获得15分的概率，从而得到两盘中至少有一盘获得15分的概率；（Ⅲ）设每盘游戏得分为，得到的分布列和数学期望，从而得到结论.【详解】解：（Ⅰ）可能的取值为，，，.每次抛掷骰子，出现“6点”的概率为.，，，，所以X的分布列为：0123（Ⅱ）设每盘游戏没有得到15分为事件，则.设“两盘游戏中至少有一次获得15分”为事件，则因此，玩两盘游戏至少有一次获得15分的概率为.（Ⅲ）设每盘游戏得分为.由（Ⅰ）知，的分布列为：Y-1215120P的数学期望为.这表明，获得分数的期望为负因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大【点睛】本题考查求随机变量的分布列和数学期望，求互斥事件的概率，属于中档题.21、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）根据菱形的性质，结合面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理和性质进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，根据空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）证明：连接，交于点，∵四边形是菱形，∴，∵平面平面，平面平面，，∴平面，∵平面，∴，又，、平面，∴平面，∵平面，∴（2）解：取的中点，连接，∵是边长为4的菱形，，∴，，以为原点