河南省周口市扶沟县包屯高中2025届数学高二上期末质量检测模拟试题含解析

河南省周口市扶沟县包屯高中2025届数学高二上期末质量检测模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，西方人称之为“中国剩余定理”．现有这样一个问题：将1到200中被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则=（）A.130 B.132C.140 D.1442．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A.2 B.6C.4 D.123．已知双曲线，且三个数1，，9成等比数列，则下列结论正确的是（）A.的焦距为 B.的渐近线方程为C.的离心率为 D.的虚轴长为4．若，都是实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件5．已知是直线的方向向量，为平面的法向量，若，则的值为（）A. B.C.4 D.6．在等差数列中，若，且前n项和有最大值，则使得的最大值n为（）A.15 B.16C.17． D.187．已知直线与圆相交于，两点，则的取值范围为（）A. B.C. D.8．如图，在三棱柱中，平面，，，分别是，中点，在线段上，则与平面的位置关系是（）A.垂直 B.平行C.相交但不垂直 D.要依点的位置而定9．已知椭圆的右焦点为，则正数的值是（）A.3 B.4C.9 D.2110．如图，我市某地一拱桥垂直轴截面是抛物线，已知水利人员在某个时刻测得水面宽，则此时刻拱桥的最高点到水面的距离为（）A. B.C. D.11．如图，在长方体中，，E，F分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.12．设双曲线（）的焦距为12，则（）A.1 B.2C.3 D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（建三江）函数在处取得极小值，则=___14．一个四面体有五条棱长均为2，则该四面体的体积最大值为_______15．已知平面和两条不同的直线，则下列判断中正确的序号是___________.①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；16．一个物体的运动方程为其中位移的单位是米，时间的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是__________米/秒三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名中学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：，，…，所得到如图所示的频率分布直图（1）求图中实数的值；（2）若该校高一年级共有640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在[40，50)与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.18．（12分）已知函数（1）若函数的图象在点处的切线与平行，求b的值；（2）在（1）的条件下证明：19．（12分）设分别为椭圆的左右焦点，过的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线的倾斜角为60度，到直线l的距离为（1）求椭圆C的焦距；（2）如果，求椭圆C的方程20．（12分）某企业搜集了某产品的投人成本x（单位：万元）与销售收入y（单位：万元）的六组数据，并将其绘制成如图所示的散点图.根据散点图可以看出，y与x之间是线性相关的.（1）试用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（2）若投入成本不高于10万元，则可以根据（1）中的回归方程估计产品销售收入；若投入成本高于10万元，投入成本x（单位：万元）与销售收入y（单位：万元）之间的关系式为.若该企业要追求更高的毛利率（毛利率），试问该企业对该产品的投入成本选择收人7万元更好，还是选择12万元更好？说明你的理由.参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.参考数据：.21．（12分）如图，已知椭圆的左顶点，过右焦点的直线与椭圆相交于两点，当直线轴时，.（1）求椭圆的方程；（2）记,的面积分别为，求的取值范围；（3）若的重心在圆上，求直线的斜率.22．（10分）已知函数，.（1）若在单调递增，求的取值范围；（2）若，求证：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】分析数列的特点，可知其是等差数列，写出其通项公式，进而求得结果,【详解】被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，这样的数构成首项为10，公差为12的等差数列，所以，故，故选:A2、C【解析】根据题设条件求出椭圆的长半轴，再借助椭圆定义即可作答.【详解】由椭圆＋y2＝1知，该椭圆的长半轴，A是椭圆一个焦点，设另一焦点为，而点在BC边上，点B，C又在椭圆上，由椭圆定义得，所以的周长故选：C3、D【解析】先求得的值，然后根据双曲线的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】方程表示双曲线，则，成等比数列，则，所以双曲线方程为，所以，故双曲线的焦距为，A选项错误.渐近线方程为，B选项错误.离心率，C选项错误.虚轴长，D选项正确.故选：D4、A【解析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可得正确选项.【详解】若，则，可得，所以，可得，故充分性成立，取，，满足，但，无意义得不出，故必要性不成立，所以是的充分不必要条件，故选：A.5、A【解析】由，可得，再计算即可求解.【详解】由题意可知，所以，即.故选：A6、A【解析】由题可得，则，可判断，，即可得出结果.【详解】前n项和有最大值，，，，，，，使得的最大值n为15.故选：A.【点睛】本题考查等差数列前n项和的有关判断，解题的关键是得出.7、C【解析】求得直线恒过的定点，找出弦长取得最值的状态，利用弦长公式求解即可.【详解】因直线方程为：，整理得，故该直线恒过定点，又，故点在圆内，又圆的圆心为则，此时直线过圆心；当直线与直线垂直时，取得最小值，此时.故的取值范围为.故选：.8、B【解析】构造三角形,先证∥平面,同理得∥平面,再证平面∥平面即可.【详解】连接，，.因为在直三棱柱中，M，N分别是，AB的中点，所以∥.因为平面内，平面，所以∥平面.同理可得AM∥平面.又因为，平面，平面，所以平面∥平面.又因为P点在线段上，所以∥平面.故选：B.9、A【解析】由直接可得.【详解】由题知，所以，因为，所以.故选：A10、D【解析】代入计算即可.【详解】设B点的坐标为，由抛物线方程得，则此时刻拱桥的最高点到水面的距离为2米.故选：D11、A【解析】利用平行线，将异面直线的夹角问题转化为共面直线的夹角问题，再解三角形.【详解】取BC中点H，BH中点I，连接AI、FI、，因为E为中点，在长方体中，，所以四边形是平行四边形，所以所以，又因为F为的中点，所以，所以，则即为异面直线与所成角(或其补角).设AB=BC=4，则，则,，根据勾股定理：，，，所以是等腰三角形，所以.故B，C，D错误.故选：A.12、B【解析】根据可得关于的方程，解方程即可得答案.【详解】因为可化为，所以，则.故选：B.【点睛】本题考查已知双曲线的焦距求参数的值，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由，令，解得或，且时，；时，；时，，所以当时，函数取得极小值考点：导数在函数中的应用；极值的条件14、1【解析】由已知中一个四面体有五条棱长都等于2，易得该四面体必然有两个面为等边三角形，根据棱锥的几何特征，分析出当这两个平面垂直时，该四面体的体积最大，将相关几何量代入棱锥体积公式，即可得到答案【详解】一个四面体有五条棱长都等于2，如下图：设除PC外的棱均为2，设P到平面ABC距离为h，则三棱锥的体积V＝，∵是定值，∴当P到平面ABC距离h最大时，三棱锥体积最大，故当平面PAB⊥平面ABC时，三棱锥体积最大，此时h为等边三角形PAB的AB边上的高，则h，故三棱锥体积的最大值为：故答案为：115、②④【解析】根据直线与直线，直线与平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.详解】若，则或，异面，或，相交，①错误；若，则，②正确；若，则或或与相交，③错误；若，则，④正确；故答案为：②④.16、5【解析】，三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）a=0.03；（2）544人；（3）.【解析】（1）根据图中所有小矩形的面积之和等于1求解.

（2）根据频率分布直方图，得到成绩不低于60分的频率，再根据该校高一年级共有学生640人求解.

（3）由频率分布直方图得到成绩在[40，50)和[90，100]分数段内的人数，先列举出从数学成绩在[40，50)与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生的基本事件总数，再得到两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”的基本事件数，代入古典概型概率求解.【详解】（1）∵图中所有小矩形的面积之和等于1，∴10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1，解得a=0.03.

（2）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1−10×(0.005+0.01)=0.85，

∵该校高一年级共有学生640人，

∴由样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544人.

（3）成绩在[40，50)分数段内的人数为40×0.05=2人，分别记为A，B，

成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1=4人，分别记为C，D，E，F.

若从数学成绩在[40，50)与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，

则所有的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，

(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共15种.

如果两名学生的数学成绩都在[40，50)分数段内或都在[90，100]分数段内，

那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.

如果一个成绩在[40，50)分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，

那么这两名学生数学成绩之差的绝对值一定大于10.

记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，

则事件M包含的基本事件有：(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共7种.

∴所求概率为P(M)=.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用以及古典概型概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由题意可得，从而可求出，（2）先构造函数，利用导数可求得对任意恒成立，对任意恒成立，从而将问题转化为只需证对任意恒成立，再次构造函数，利用导数求出其最大值小于等于即可【详解】（1）解：∵函数的图象在点处的切线与平行，∴，解得；证明：（2）由（1）得即对任意恒成立，令，则，∵当时，，∴函数在上单调递增，∵，∴对任意恒成立，即对任意恒成立，∴只需证对任意恒成立即可，即只需证对任意恒成立，令，则，由单调递减，且知，函数在上单调递增，在上单调递减，∴，∴得证，故不等式对任意恒成立19、（1）（2）【解析】（1）求得直线的方程，利用点到直线的距离列方程，由此求得，进而求得焦距.（2）联立直线的方程和椭圆方程，化简写出根与系数关系，结合来求得，从而求得椭圆的方程.【小问1详解】依题意，直线的方程为，到的距离为，所以焦距.【小问2详解】由，消去并化简得，设，则，，，，，所以，，，，，，，，，所以，所以椭圆的方程为.20、（1）（2）该企业对该产品的投入成本选择收人12万元更好，理由见解析.【解析】（1）根据公式计算出和，求出线性回归方程；（2）分别求出投入成本7万和12万时的毛利率，比较出大小即可得到答案.【小问1详解】，，，所以y关于x的线性回归方程为；【小问2详解】该企业对该产品的投入成本选择收人12万元更好，理由如下：当时，，此时毛利率为×100％≈34％；当时，，此时毛利率为=40％，因为40％>34％，所以该企业对该产品的投入成本选择收人12万元更好.21、（1）（2）（3）【解析】（1）根据已知条件得到，，即可得到椭圆的方程.（2）首先设直线为，与椭圆联立得到，根据得到的范围，从而得到的范围.（3）设重心，根据重心性质得到，，再代入求解即可.小问1详解】因为左顶点，所以，根据，可得，解得，所以；【小问2详解】设直线为，则，则，，那么，根据解得，所以.【小问3详解】设重心，则：，，所以，所以，即所求直线的斜率为.22、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由函数在上单调递增，则在上恒成立，由求解.（2）由（1）的结论，取，