上海市延安中学2025届高二数学第一学期期末质量检测模拟试题含解析

上海市延安中学2025届高二数学第一学期期末质量检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设拋物线的焦点为F，准线为l，P为拋物线上一点，，A为垂足．如果直线AF的斜率是，那么（）A B.C.16 D.82．将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A. B.C. D.3．椭圆的长轴长是（）A.3 B.4C.6 D.84．从编号为1~120的商品中利用系统抽样的方法抽8件进行质检，若所抽样本中含有编号66的商品，则下列编号一定被抽到的是（）A.111 B.52C.37 D.85．若平面的一个法向量为，点，，，，到平面的距离为（）A.1 B.2C.3 D.46．抛物线的焦点到其准线的距离是（）A.4 B.3C.2 D.17．命题：“x>0，都有x2－x+1≤0”的否定是（）A.x>0，使得x2－x+1≤0 B.x>0，使得x2－x+1>0C.x>0，都有x2－x+1>0 D.x≤0，都有x2－x+1>08．在等比数列中，若是函数的极值点，则的值是（）A. B.C. D.9．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与圆相切于点，交双曲线的右支于点，且点是线段的中点，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.10．为了调查全国人口的寿命，抽查了11个省（市）的2500名城镇居民，这2500名城镇居民的寿命的全体是（）A.总体 B.个体C.样本 D.样本容量11．点M在圆上，点N在直线上，则|MN|的最小值是（）A. B.C. D.112．已知抛物线C：，焦点为F，点到在抛物线上，则（）A.3 B.2C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知是椭圆的两个焦点，分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点在线段上，则的最小值为__________.14．已知点是抛物线的焦点，点分别是抛物线上位于第一、四象限的点，若，则的面积为__________.15．若满足约束条件，则的最小值为________.16．抛物线的准线方程是，则实数___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知直线过坐标原点，圆的方程为（1）当直线的斜率为时，求与圆相交所得的弦长；（2）设直线与圆交于两点，，且为的中点，求直线的方程18．（12分）某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了1000件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，若该工厂认定产品的质量指数不低于6为优良级产品，产品的质量指数在内时为优等品.（1）用统计有关知识判断甲、乙两条生产线所生产产品的质量哪一条更好，并说明理由（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）用分层抽样的方法从该工厂样品的优等品中抽取6件产品，在这6件产品中随机抽取2件，求抽取到的2件产品都是甲生产线生产的概率.19．（12分）写出下列命题的逆命题、否命题以及逆否命题：（1）若，则；（2）已知为实数，若，则20．（12分）已知抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线交于两点，其中点A在第一象限；（1）若直线的斜率为，求的值；（2）求线段的长度的最小值21．（12分）在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设的面积为S，已知_________.（1）求的值；（2）若，求值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22．（10分）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由题可得方程，进而可得点坐标及点坐标，利用抛物线定义即求【详解】∵抛物线方程为，∴焦点F(2,0)，准线l方程为x=−2，∵直线AF的斜率为,直线AF的方程为，由，可得，∵PA⊥l，A为垂足，∴P点纵坐标为，代入抛物线方程，得P点坐标为，∴.故选：D.2、A【解析】根据三角函数图象的变换，由逆向变换即可求解.【详解】由已知的函数逆向变换，第一步，向左平移个单位长度，得到的图象；第二步，图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，即的图象.故.故选：A3、D【解析】根据椭圆方程可得到a，从而求得长轴长.【详解】椭圆方程为，故，所以椭圆长轴长为，故选:D.4、A【解析】先求出等距抽样的组距，从而得到被抽到的是，从而求出答案.【详解】120件商品中抽8件，故，因为含有编号66的商品被抽到，故其他能被抽到的是，当时，，其他三个选项均不合要求，故选：A5、B【解析】求出，点A到平面的距离：，由此能求出结果【详解】解：，，，，∴为平面的一条斜线，且∴点到平面的距离：故选：B.6、C【解析】由抛物线焦点到准线的距离为求解即可.【详解】因为抛物线焦点到准线的距离为,故抛物线的焦点到其准线的距离是2.故选：C【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程中的几何意义,属于基础题型.7、B【解析】全称命题的否定是特称命题，把任意改为存在，把结论否定.【详解】“x>0，都有x2－x+1≤0”的否定是“x>0，使得x2－x+1>0”.故选：B8、B【解析】根据导数的性质求出函数的极值点，再根据等比数列的性质进行求解即可.【详解】，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，所以是函数的极值点，因为，且所以，故选：B9、D【解析】焦点三角形问题，可结合为三角形的中位线，判断：焦点三角形为直角三角形，并且有，，可由勾股定理得出关系，从而得到关系，从而求得渐近线方程.【详解】由题意知，，且点是线段的中点，点是线段的中点，为三角形的中位线故，故，由双曲线定义有由勾股定理有故则则，故故渐近线方程为：故选：D【点睛】双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、||PF1|-|PF2||＝2a，得到a，c的关系10、C【解析】由样本的概念即知.【详解】由题意可知，这2500名城镇居民的寿命的全体是样本.11、C【解析】根据题意可知圆心，又由于线外一点到已知直线的垂线段最短，结合点到直线的距离公式，即可求出结果.【详解】由题意可知，圆心，半径为，所以圆心到的距离为，所以的最小值为.故选：C.12、D【解析】利用抛物线的定义求解.【详解】因为点在抛物线上，，解得，利用抛物线的定义知故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题可设，则，然后利用数量积坐标表示及二次函数的性质即得.【详解】由题可得，，设，因为点P在线段AB上，所以，∴，∴当时，的最小值为.故答案为：.14、42【解析】由焦半径公式求得参数，得抛物线方程，从而可求得两点纵坐标，再求得直线与轴的交点坐标后可得面积【详解】因为，所以，抛物线的方程为，把代入方程，得（舍去），即.同理，直线方程为，即．所以直线与轴交于点，所以.故答案为：4215、5【解析】作出可行域，作直线，平移该直线可得最优解【详解】作出可行域，如图内部（含边界），作直线，直线中是直线的纵截距，代入得，即平移直线，当直线过点时取得最小值5故答案为：516、##【解析】将抛物线方程化为标准方程，根据其准线方程即可求得实数.【详解】抛物线化为标准方程：，其准线方程是，而所以，即，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）或【解析】（1）、由题意可知直线的方程为，圆的圆心为，半径为，求出圆心到直线的距离，根据勾股定理即可求出与圆相交所得的弦长；（2）、设，因为为的中点，所以，又因为，均在圆上，将，坐标代入圆方程，即可求出点坐标，即可求出直线的方程【小问1详解】由题意：直线过坐标原点，且直线的斜率为直线的方程为，圆的方程为圆的方程可化为：圆的圆心为，半径为圆的圆心到直线：的距离为，与圆相交所得的弦长为【小问2详解】设，为的中点，又，均在圆上，或直线方程或18、（1）甲更好，详细见解析（2）【解析】（1）根据频率分布直方图计算甲、乙两条生产线所生产产品的质量指数的平均数，比较大小即可得答案；（2）由题意可知，甲、乙生产线的样品中优等品件数，利用分层抽样可得从甲生产线的样品中抽取的优等品有件件，记为，从乙生产线的样品中抽取的优等品有件，记为；列出抽取到的2件产品的所有基本事件，根据古典概型计算即可.【小问1详解】解：甲生产线所生产产品的质量指数的平均数为：＝3×0.05×2+5×0.15×2+7×0.2×2+9×0.1×2＝6.4；乙生产线所生产产品的质量指数的平均数为：＝3×0.15×2+5×0.1×2+7×0.2×2+9×0.05×2＝5.6因为，所以甲生产线生产产品质量的平均水平高于乙生产线生产产品质量的平均水平，故甲生产线所生产产品的质量更好.【小问2详解】由题意可知，甲生产线的样品中优等品有件，乙生产线的样品中优等品有件，从甲生产线的样品中抽取的优等品有件件，记为，从乙生产线的样品中抽取的优等品有件，记为；从这6件产品中随机抽取2件的情况有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，E），（a，F），（b，c），（b，d），（b，E），（b，F），（c，d），（c，E），（c，F），（d，E），（d，F），（E，F），共15种；其中符合条件的情况有：（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共6种.故抽取到的2件产品都是甲生产线生产的概率为：19、（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】（1）（2）根据逆命题、否命题以及逆否命题的定义作答即可；【小问1详解】解：逆命题：若，则；否命题：若，则；逆否命题：若，则【小问2详解】解：逆命题：已知为实数，若，则；否命题：已知为实数，若或，则；逆否命题：已知实数，若，则或20、（1）3；（2）12.【解析】(1)联立直线l与抛物线C的方程，求出A和B的横坐标即可得AFBF(2)设直线l方程为，与抛物线C方程联立，求出线段AB长度求其最小值即可.【小问1详解】设，抛物线的焦点为，直线l经过点F且斜率，直线l的方程为，将直线l方程与抛物线消去y可得，点A是第一象限内的交点，解方程得，∴.【小问2详解】设，由题知直线l斜率不为0，故设直线l的方程为：，代入抛物线C的方程化简得，，∵＞0，∴，∴，当且仅当m＝0时取等号，∴AB长度最小值为12.21、条件选择见解析；（1）；（2）.【解析】（1）若选择①，先利用正弦定理进行边角互化，再结合正余弦的和差角公式化简可得，得出；若选择②，利用余弦定理及面积公式可得，得；（2）由（1）可知，由及得，，再根据余弦定理求解的值.【详解】解析：（1）选择条件①.，，得，选择条件②，由余弦定理及三角形的面积公式可得：，得.（2）由得，∵，，∴，解得.由余弦定理得：.【点睛】本题考查解三角形，难度一般.解答的关键在于根据题目中边角关系，运用正弦定理进行边角互化、再根据两角和与差的正弦公式进行化简是关键.一般地，当等式中含有a,b,c的关系式，且全为二次时，可利用余弦定理进行化简；当含有内角的正弦值及边的关系，且为一次式时，可考虑采用正弦定理进行边角互化.22、（1）证明见解析；（2）存在，.【解析】(1)建立空间直角坐