统考版2025届高考物理二轮复习提升指导与精练7万有引力定律及其应用含解析

PAGE8-万有引力定律及其应用1．此部分内容几乎每年必考，以选择题为主。近几年的出题主要集中在月球探测，嫦娥系列，以及万有引力定律在航空领域的应用。2．卫星运行规律 例1．(2024∙全国I卷∙15)火星的质量约为地球质量的eq\f(1,10)，半径约为地球半径的eq\f(1,2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为()A.0.2 B.0.4 C.2.0 D.2.5【答案】B【解析】依据F=Geq\f(Mm,R2)得，故选B。例1．(2024∙全国II卷∙15)若一匀称球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面旁边沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是()A．B．C．D．【答案】A【解析】卫星在星体表面旁边绕其做圆周运动，则Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r，M＝ρ·eq\f(4,3)πr3，知卫星该星体表面旁边沿圆轨道绕其运动的卫星的周期。例3．(2024∙全国III卷∙16)“嫦娥四号”探测器于2024年1月在月球背面胜利着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K倍。已知地球半径R是月球半径的P倍，地球质量是月球质量的Q倍，地球表面重力加速度大小为g。则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为()A．B．C．D．【答案】D【解析】假设在地球表面和月球表面上分别放置质量为m和m0的两个物体，则在地球和月球表面处，分别有Geq\f(Mm,R2)＝mg，，解得，设嫦娥四号卫星的质量为m1，依据万有引力供应向心力得，解得。提分训练提分训练1．如图所示，A、B为地球两个同轨道面的人造卫星，运行方向相同，A为同步卫星，A、B卫星的轨道半径之比为eq\f(rA,rB)＝k，地球自转周期为T。某时刻A、B两卫星位于地球同侧直线上，从该时刻起至少经过多长时间A、B间距离最远()A．eq\f(T,2（\r(k3)－1）)B．eq\f(T,\r(k3)－1)C．eq\f(T,2（\r(k3)＋1）)D．eq\f(T,\r(k3)＋1)【答案】A【解析】由开普勒第三定律得，设两卫星至少经过时间t距离最远，如图所示，eq\f(t,TB)－eq\f(t,TA)＝nB－nA＝eq\f(1,2)，又TA＝T，解得t＝eq\f(T,2（\r(k3)－1）)，选项A正确。2．位于贵州的“中国天眼”(FAST)是目前世界上口径最大的单天线射电望远镜，通过FAST可以测量地球与木星之间的距离。当FAST接收到来自木星的光线传播方向恰好与地球公转线速度方向相同时，测得地球与木星的距离是地球与太阳距离的k倍。若地球和木星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动且轨道共面，则可知木星的公转周期为()A．年B．年C．年D．年【答案】A【解析】该题中，太阳、地球、木星的位置关系如图，设地球的公转半径为R1，木星的公转半径为R2，测得地球与木星的距离是地球与太阳距离的k倍，则有R22＝R12＋(kR1)2＝(1＋k2)R12，由开普勒第三定律有eq\f(R\o\al(,13),T\o\al(,12))＝eq\f(R\o\al(,23),T\o\al(,22))，可得Teq\o\al(,22)＝eq\f(R\o\al(,23),R\o\al(,13))·Teq\o\al(,12)＝·Teq\o\al(,12)，由于地球公转周期T1＝1年，则有T2＝年，故A正确，B、C、D错误。3．假设地球可视为质量匀称分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G。地球的密度为()A．eq\f(3π（g0－g）,GT2g0)B．eq\f(3πg0,GT2（g0－g）)C．eq\f(3π,GT2)D．eq\f(3πg0,GT2g)【答案】B【解析】由万有引力定律可知Geq\f(Mm,R2)＝mg0，在地球的赤道上Geq\f(Mm,R2)－mg＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)R，地球的质量M＝eq\f(4,3)πR3ρ，联立三式可得ρ＝eq\f(3πg0,GT2（g0－g）)，选项B正确。4．2024年1月3日10时26分，“嫦娥四号”探测器胜利在月球背面着陆，标记着我国探月航天工程达到了一个新高度，图示为“嫦娥四号”到达月球背面的巡察器。已知地球和月球的半径之比约为4∶1，其表面重力加速度之比约为6∶1。则地球和月球相比较，下列说法中最接近实际的是()A．地球的密度与月球的密度比为3∶2B．地球的质量与月球的质量比为64∶1C．地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度比为8∶1D．苹果在地球表面受到的引力与它在月球表面受到的引力比为60∶1【答案】A【解析】设星球的密度为ρ，由Geq\f(mM,R2)＝mg，得M＝eq\f(gR2,G)，ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(3g,4πGR)，已知地球的半径约为月球半径4倍；地球表面重力加速度约为月球表面重力加速度的6倍，所以地球和月球的密度之比约为3∶2，地球的质量与月球的质量比为96∶1，故A正确，B错误；依据Geq\f(mM,R2)＝mg＝meq\f(v2,R)可得v=eq\r(gR)，则地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度比为2eq\r(6)∶1，选项C错误；依据F＝mg可知，苹果在地球表面受到的引力与它在月球表面受到的引力比为6∶1，选项D错误。5．(多选)使物体成为卫星的最小放射速度称为第一宇宙速度v1，而使物体脱离星球引力所须要的最小放射速度称为其次宇宙速度v2，v2与v1的关系是v2＝eq\r(2)v1。已知某星球半径是地球半径R的eq\f(1,3)，其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的eq\f(1,6)，地球的平均密度为ρ，不计其他星球的影响，则()A．该星球上的第一宇宙速度为eq\f(\r(3gR),3)B．该星球上的其次宇宙速度为eq\f(\r(gR),3)C．该星球的平均密度为eq\f(ρ,2)D．该星球的质量为eq\f(8πR3ρ,81)【答案】BC【解析】星球的半径R′＝eq\f(R,3)，星球上的重力加速度g′＝eq\f(g,6)，该星球上的第一宇宙速度v1＝eq\r(g′R′)＝eq\r(\f(g,6)·\f(R,3))＝eq\f(\r(2gR),6)，选项A错误；该星球上的其次宇宙速度为v2＝eq\r(2)v1＝eq\r(2)eq\f(\r(2gR),6)＝eq\f(\r(gR),3)，选项B正确；由g′＝eq\f(GM′,R′2)，g＝eq\f(GM,R2)，M＝ρV，V＝eq\f(4,3)πR3，联立解得该星球的质量为M′＝eq\f(2πR3ρ,81)，选项D错误；该星球体积V′＝eq\f(4,3)πR′3，该星球的平均密度为ρ′＝eq\f(M′,V′)，R′＝eq\f(R,3)，联立解得ρ′＝eq\f(ρ,2)，选项C正确。6．“嫦娥五号”作为我国登月安排中第三期工程的“主打星”，登月后又从月球起飞，并以“跳动式返回技术”胜利返回地面，完成探月第三期工程的重大跨越带回月球样品。“跳动式返回技术”是指航天器在关闭发动机后进入大气层，依靠大气升力再次冲出大气层，降低速度后进入大气层。如图所示，虚线为大气层的边界，已知地球半径为R，d点与地心距离为r，地球表面重力加速度为g。下列说法正确的是()A．“嫦娥五号”在b点处于完全失重状态B．“嫦娥五号”在d点的向心加速度大小等于eq\f(gr2,R2)C．“嫦娥五号”在a点和c点的速率相等D．“嫦娥五号”在c点和e点的速率相等【答案】D【解析】由“嫦娥五号”运动轨迹可知，其在b点的加速度方向与所受万有引力方向相反，处于超重状态，选项A错误；由万有引力定律和牛顿其次定律得Geq\f(Mm,r2)＝ma，其在d点的向心加速度a＝eq\f(GM,r2)，在地表处，有mg＝Geq\f(Mm,R2)，解得a＝eq\f(gR2,r2)，选项B错误；从a点到c点过程中，万有引力做功为零，但大气阻力做负功，由动能定理可知，动能改变量不为零，故在a、c两点时速率不相等，选项C错误；从c点到e点过程中，所经空间无大气，万有引力做功为零，所以在c、e两点时速率相等，选项D正确。7．我国先后放射了量子科学试验卫星、“天宫二号”、“风云四号A”、全球二氧化碳监测科学试验卫星等卫星或航天器，如图所示，其中量子科学试验卫星运行在距地面500千米的极地轨道，“天宫二号”运行在距地面393千米的轨道，“风云四号A”是中国新一代静止气象卫星，运行在地球同步轨道上，全球二氧化碳监测科学试验卫星运行在距地面700千米的极地轨道上，这些卫星或航天器对我国及国际的科学探讨做出了重大贡献。下列关于这些卫星或航天器的说法正确的是()A．量子科学试验卫星的轨道在赤道上空B．“天宫二号”的运行速度最小C．“风云四号A”的运行轨道距地面的高度最大D．全球二氧化碳监测科学试验卫星运行周期为24小时【答案】C【解析】量子科学试验卫星运行在距地面500千米的极地轨道，轨道不在赤道上空，选项A错误；依据万有引力供应向心力可知Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(\f(GM,r))，轨道半径越大，速度越小，依据题意可知，“风云四号A”的轨道半径最大，则其速度最小，距地面的高度最大，选项B错误，C正确；依据万有引力供应向心力得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2r,T2)，解得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，地球同步卫星的周期为24h，轨道半径越大，周期越大，而全球二氧化碳监测科学试验卫星的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，则周期小于24h，选项D错误。8．2024年8月12日，美国“帕克”太阳探测器在佛罗里达州卡纳维拉尔角放射升空，这是人类首个将穿越日冕“触摸”太阳的探测器。已知海王星距太阳的距离约为450400万千米，“帕克”太阳探测器距太阳的距离约为4273万千米。若海王星与“帕克”太阳探测器围绕太阳的运动均视为匀速圆周运动，则()A．海王星的运行周期肯定比“帕克”太阳探测器的运行周期小B．在相同时间内，海王星转过的弧长肯定比“帕克”太阳探测器转过的弧长长C．海王星运行时的向心加速度肯定比“帕克”太阳探测器运行时的向心加速度小D．海王星的角速度肯定比“帕克”太阳探测器的角速度大【答案】C【解析】由公式T＝2πeq\r(\f(r3,GM))可知T∝eq\r(r3)，所以海王星的运行周期比“帕克”太阳探测器的运行周期大，选项A错误；由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))，知轨道半径小，运行速度大，海王星运行时的速度比“帕克”太阳探测器的小，在相同时间内，海王星转过的弧长肯定比“帕克”太阳探测器的短，选项B错误；依据Geq\f(Mm,r2)＝ma可得a＝eq\f(GM,r2)∝eq\f(1,r2)，因为海王星的轨道半径大，所以其向心加速度较小，选项C正确；依据公式Geq\f(Mm,r2)＝mrω2可得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，轨道半径越大，角速度越小，所以海王星的角速度小于“帕克”太阳探测器的角速度，选项D错误。9．(多选)在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a－x关系如图中虚线所示。假设两星球均为质量匀称分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则()A．M与N的密度相等B．Q的质量是P的3倍C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍【答案】AC【解析】由题图知，当x＝0时，对P有mPgM＝mP·3a0，即星球M表面的重力加速度gM＝3a0；对Q有mQgN＝mQa0，即星球N表面的重力加速度gN＝a0。在星球表面，由mg＝Geq\f(Mm,R2)得，星球质量M＝eq\f(gR2,G)，V＝eq\f(4,3)πR3，则星球的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(3g,4πGR)，所以M、N的密度之比eq\f(ρM,ρN)＝eq\f(gM,gN)·eq\f(RN,RM)＝eq\f(3,1)×eq\f(1,3)＝1，选项A正确；当P、Q的加速度a＝0时，对P有mPgM＝kx0，则mP＝eq\f(kx0,3a0)；对Q有mQgN＝k·2x0，则mQ＝eq\f(2kx0,a0)，即mQ＝6mP，选项B错误；依据a－x图线与坐标轴围成图形的面积和质量的乘积表示合外力做的功及动能定理可知，EkmP＝eq\f(3,2)mPa0x0，EkmQ＝mQa0x0，所以EkmQ＝4EkmP，选项C正确；依据运动的对称性可知，Q下落时弹簧的最大压缩量为4x0，P下落时弹簧的最大压缩量为2x0，选项D错误。10．2024年3月3日，中国探月工程总设计师吴伟仁宣布中国探月工程“三步走”即将收官，我国对月球的探究将进入新的征程。若近似认为月球绕地球做匀速圆周运动，地球绕太阳也做匀速圆周运动