新高考数学各地市期末好题分类汇编专题11立体几何解答题(原卷版+解析)

专题11立体几何解答题一、解答题1．（2022·河北唐山·高三期末）四棱锥的底面是矩形，，侧面底面OBCD．（1）求证：底面OBCD；（2）若，二面角的大小为120°，求四棱锥的体积．2．（2022·河北保定·高三期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面底面，且.（1）证明：.（2）若，求二面角的余弦值.3．（2022·河北张家口·高三期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，、、、分别为、、、的中点.（1）证明：平面；（2）若平面平面，为等边三角形，求二面角的正弦值.4．（2022·河北深州市中学高三期末）如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，，，.（1）证明：平面平面；（2），分别是，的中点，是线段上的动点，若二面角的平面角的大小为，试确定点的位置.5．（2022·山东青岛·高三期末）如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面是矩形，底面ABCD，M为BC中点，且.（1）求证：面面PDB；（2）若两条异面直线AB与PC所成的角为45°，求面PAM与面PBC夹角的余弦值.6．（2022·山东泰安·高三期末）如图1，在等腰直角中，分别为的中点，将沿直线翻折，得到如图2所示的四棱锥，若二面角的大小为，为中点.

（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.7．（2022·山东枣庄·高三期末）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，Q为的中点，是边长为2的正三角形，．（1）求证：平面底面；（2）棱上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．8．（2022·山东莱西·高三期末）在如图所示的三棱柱中，侧面为菱形，，，，，.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面ABC的夹角的余弦值.9．（2022·山东青岛·高三期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为的中点，.（1）求证：平面平面；（2）求点A到平面的距离.10．（2022·山东淄博·高三期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，E为PC的中点，点F在PD上且．（1）求证：平面AEF；（2）求二面角的余弦值．11．（2022·山东德州·高三期末）如图，在直三棱柱中，，，点Q为BC的中点，平面平面.（1）证明：平面；（2）若直线AC与平面所成角的大小为30°，求锐二面角的大小.12．（2022·山东烟台·高三期末）如图，在正三棱锥中，有一半径为1的半球，其底面圆O与正三棱锥的底面贴合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切．设点D为BC的中点，．（1）用分别表示线段BC和PD长度；（2）当时，求三棱锥的侧面积S的最小值．13．（2022·山东烟台·高三期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，为等边三角形，且面底面ABCD．（1）若M为BC中点，求证：；（2）求面PAD与面PBC所成二面角的余弦值．14．（2022·山东济南·高三期末）如图，在正四棱柱中，，，分别为棱，的中点，为棱上的动点.（1）求证：，，，四点共面；（2）是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由.15．（2022·山东临沂·高三期末）如图，在四棱锥中，侧面底面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，点E为的中点.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.16．（2022·山东日照·高三期末）如图所示，在三棱台中，，，，，分别为，的中点.（1）证明：平面；（2）若，求平面和平面所成锐二面角的余弦值.17．（2022·山东省淄博实验中学高三期末）如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，是上一点.（1）求证:平面平面；（2）若是的中点，且二面角的余弦值是，求直线与平面所成角的正弦值.18．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）如图，在正三棱柱中，，是棱的中点，是线段上的动点（不包括端点）.

（1）证明：；（2）当为线段中点时，设二面角的大小为，求的值.19．（2022·湖北武昌·高三期末）如图，一张边长为4的正方形纸片ABCD，E，F分别是AD，BC的中点，将正方形纸片沿EF对折后竖立在水平的桌面上．（1）求证：；（2）若二面角的平面角为45°，K是线段CF（含端点）上一点，问是否存在点K，使得直线AK与平面CDEF所成角的正切值为？若存在，求出CK的长度；若不存在，说明理由．20．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）如图，在几何体PABCDQ中，四边形ABCD是边长为4的正方形，平面ABCD，，点E为PD的中点，四棱锥是高为4的正四棱锥.（1）求证：平面EAC；（2）求平面PAC与平面QAB所成锐二面角的余弦值.21．（2022·湖北江岸·高三期末）如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，，为正三角形，D为AC的中点..（1）证明：平面平面；（2）若二面角的平面角为锐角，且三棱锥的体积为，求二面角的正弦值.22．（2022·湖北襄阳·高三期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线．（1）求证：直线平面；（2）若直线上存在一点（与都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．23．（2022·湖北·高三期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，Q为的中点．（1）求证：；（2）若平面底面，点E在棱上，，且二面角的大小为，求四棱锥的体积．24．（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）如图，在多面体中，四边形是边长为2的正方形，四边形是直角梯形，其中，，且.（1）证明：平面平面.（2）求二面角的余弦值.25．（2022·湖南常德·高三期末）如图，已知AB是圆柱底面圆的一条直径，OP是圆柱的一条母线．（1）求证：OA⊥PB；（2）若C底面圆上一点，且，，，，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．26．（2022·湖南娄底·高三期末）如图，在长方体中，，．若平面APSB与棱，分别交于点P，S，且，Q，R分别为棱，BC上的点，且．（1）求证：平面平面；（2）设平面APSB与平面所成锐二面角为，探究：是否成立？请说明理由．27．（2022·湖南郴州·高三期末）如图，在空间几何体中，已知均为边长为2的等边三角形，平面和平面都与平面垂直，为的中点．

（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．28．（2022·广东揭阳·高三期末）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，平面平面为棱上的点，且.（1）求证：平面；（2）若，二面角为，求直线与平面所成角的正弦值.29．（2022·广东潮州·高三期末）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，，，点E，F分别为CD，AP的中点．（1）证明:PC//平面BEF；（2）若PAPD，且PA=PD，面PAD面ABCD，求二面角C-BE-F的余弦值．30．（2022·广东东莞·高三期末）如图，在正四棱锥中，点，分别是，中点，点是上的一点.（1）证明：；（2）若四棱锥的所有棱长为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.31．（2022·广东罗湖·高三期末）如下图所示，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为等边三角形．（1）证明：；（2）若直线AC与平面ABD所成角为，点E在棱AD上，且，求二面角的大小．32．（2022·广东汕尾·高三期末）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，（1）求证：平面ADE平面ABCD；（2）若EF=ED=AD，CD=2EF=2，求平面ADE与平面BCF所成的锐二面角的大小．33．（2022·广东清远·高三期末）已知正三棱柱中，，D，E，F分别为的中点．（1）证明：平面平面．（2）求二面角的正弦值．34．（2022·广东佛山·高三期末）如图，四棱锥中，四边形是矩形，平面，，E是的中点.（1）在线段上找一点M，使得直线平面，并说明理由；（2）若，求平面与平面所成二面角的正弦值.35．（2022·广东·铁一中学高三期末）如图，在几何体中，底面，，，，，，，，，设点在棱上，已知平面.（1）求线段的长度；（2）求二面角的余弦值.36．（2022·江苏海门·高三期末）在三棱锥A－OBC中，已知平面AOB⊥底面BOC，AO⊥BC，底面BOC为等腰直角三角形，且斜边．（1）求证：AO⊥平面BOC；（2）若E是OC的中点，二面角A－BE－O的余弦值为，求直线AC与平面ABE所成角的正弦值．37．（2022·江苏通州·高三期末）如图，C，D分别是以AB为直径的半圆O上的点，满足，△PAB为等边三角形，且与半圆O所成二面角的大小为90°，E为PA的中点.（1）求证：DE//平面PBC；（2）求二面角A－BE－D的余弦值.38．（2022·江苏扬州·高三期末）如图，在三棱台ABC－A1B1C1中，底面△ABC是等腰三角形，且BC＝8，AB＝AC＝5，O为BC的中点．侧面BCC1B1为等腰梯形，且B1C1＝CC1＝4，M为B1C1中点．（1）证明：平面ABC⊥平面AOM；（2）记二面角A－BC－B1的大小为θ，当θ∈[，]时，求直线BB1平面AA1C1C所成角的正弦的最大值．39．（2022·江苏海安·高三期末）如图，AB是圆O的直径，C是圆O上异于A，B的一点，DC垂直于圆O所在的平面，DC∥EB，DC＝2EB＝2，AB＝4．（1）求证：平面ACD⊥平面EBCD；（2）若∠ABC＝30°，求平面ADE与平面ABE所成的锐二面角的余弦值．40．（2022·江苏宿迁·高三期末）如图，在直三棱柱中，.（1）证明：；（2）设，若二面角的大小为，求.41．（2022·江苏如东·高三期末）在四棱锥A－BCDE中，直线AB⊥平面BCDE，底面BCDE是梯形，BC//DE，BC⊥CD，CD＝DE＝BC＝2，F是边BC的中点.（1）证明：AE⊥CE；（2）若平面ADF与平面ABE所成二面角为45°，求直线AD与平面ABE所成角的正弦值.44．（2022·江苏常州·高三期末）如图，四棱锥中，平面，且四边形中，，，二面角的大小为，且．

（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．45．（2022·江苏苏州·高三期末）如图，在四面体中，已知是边长为的等边三角形，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，为线段的中点，为线段的中点，为线段上的点．（1）若平面，求线段的长；（2）若二面角的大小为，求与平面所成角的大小．46．（2022·江苏无锡·高三期末）如图，多面体中，底面为菱形，，平面，平面，.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值.专题11立体几何解答题一、解答题1．（2022·河北唐山·高三期末）四棱锥的底面是矩形，，侧面底面OBCD．（1）求证：底面OBCD；（2）若，二面角的大小为120°，求四棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，即可证得底面OBCD．（2）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，结合向量的夹角公式列出方程求得的值，结合体积公式，即可求解.（1）证明：因为四棱锥的底面是矩形，所以，又因为，所以，因为侧面底面OBCD，侧面底面，且侧面AOD，所以底面OBCD．（2）解：因为底面OBCD，OBCD为矩形，所以OA，OB，OD两两垂直．如图，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，设，则，，，，设为平面ABC的法向量，则,即，令，可得，所以．设为平面ACD的法向量，则，即，令，可得，所以，因为，可得，解得或（舍）．所以四棱锥的高为1，四棱锥的体积．2．（2022·河北保定·高三期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面底面，且.（1）证明：.（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】(1)根据给定条件证明，再利用面面垂直的性质、线面垂直的性质即可得证.(2)取的中点，AB中点F，以为坐标原点，，，的方向分别为轴的正方向建系，再借助空间向量计算作答.（1）在平行四边形中，，因，则，即，因为平面底面，且平面底面，平面，则平面，又平面，所以.（2）取的中点，AB中点F，连接，EF，由(1)知，，因为，则，又平面底面，且平面底面，平面，则平面，以为坐标原点，，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，令，得，设平面的法向量为，则，即，令，得，于是得，由图知，二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为.3．（2022·河北张家口·高三期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，、、、分别为、、、的中点.（1）证明：平面；（2）若平面平面，为等边三角形，求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）连接、、，证明出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立；（2）取的中点，连接、，证明平面，，设，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得二面角的正弦值.（1）证明：连接、、.因为、分别为、的中点，且，因为四边形为正方形，则且，为的中点，则且，所以，且，故四边形为平行四边形，故，平面，平面，故平面，因为、分别为、的中点，则，平面，平面，所以，平面，，所以，平面平面.又平面，所以平面.（2）解：取的中点，连接、.因为为等边三角形，为的中点，所以.又平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为四边形为正方形，则，且，、分别为、的中点，则且，所以，四边形为平行四边形，故，则，如图，以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.设，则、、、，，，，设为平面的法向量，则，即，取，则，设为平面的法向量，则，即，取，则，所以，故.所以二面角的正弦值为.4．（2022·河北深州市中学高三期末）如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，，，.（1）证明：平面平面；（2），分别是，的中点，是线段上的动点，若二面角的平面角的大小为，试确定点的位置.【答案】（1）证明见解析；（2）为线段上靠近点的四等分点，且坐标为【分析】（1）先通过线面垂直的判定定理证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明；（2）分析位置关系并建立空间直角坐标系，根据二面角的余弦值与平面法向量夹角的余弦值之间的关系，即可计算出的坐标从而位置可确定.【详解】（1）证明：因为，，，所以，即.又因为，，所以，，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）解：连接，因为，是的中点，所以.由（1）知，平面平面，所以平面.以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则平面的一个法向量是，，，.设，，，，代入上式得，，，所以.设平面的一个法向量为，，，由，得.令，得.因为二面角的平面角的大小为，所以，即，解得.所以点为线段上靠近点的四等分点，且坐标为.【点睛】本题考查面面垂直的证明以及利用向量法求解二面角有关的问题，难度一般.（1）证明面面垂直，可通过先证明线面垂直，再证明面面垂直；（2）二面角的余弦值不一定等于平面法向量夹角的余弦值，要注意结合图形分析.5．（2022·山东青岛·高三期末）如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面是矩形，底面ABCD，M为BC中点，且.（1）求证：面面PDB；（2）若两条异面直线AB与PC所成的角为45°，求面PAM与面PBC夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】(1)根据给定条件证明，再结合线面垂直性质推理作答.(2)以点为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，借助空间向量计算作答.（1）矩形中，M为BC中点，则，即有，于是得，则有，因底面，平面，则，又，平面，从而有平面，又平面，所以平面平面.（2）因，则是异面直线与所成的角，即，有，以点为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则，,，,设平面的一个法向量为，则，令，得，设平面的一个法向量，则，令，得，因此，，所以平面与平面所成角的余弦值.6．（2022·山东泰安·高三期末）如图1，在等腰直角中，分别为的中点，将沿直线翻折，得到如图2所示的四棱锥，若二面角的大小为，为中点.

（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）以线面垂直判定定理的要求去证明平面即可；（2）建立空间直角坐标系，以向量的方法去求直线与平面所成角的正弦值即可.（1）

∵∴设的中点为N，连接.又∵M为的中点，∴，∴，∴M，N，C，D四点共面又∴即为二面角的平面角，∴又，∴△为正三角形，∴又，平面∴平面.（2）以D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设，

则，，，，∴，，设为平面的法向量，则即：令，解得，则设直线与平面所成的角为，则∴直线与平面所成角的正弦值为7．（2022·山东枣庄·高三期末）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，Q为的中点，是边长为2的正三角形，．（1）求证：平面底面；（2）棱上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在；【分析】（1）要证明平面底面，即证平面ABCD，即证，即可；（2）以Q为原点，，，所在方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设，利用空间向量坐标运算即可得到结果.（1）证明：（1）因为Q为AD的中点，，故．因为，，所以四边形BCDQ是平行四边形，所以．在等边三角形PAD中，．又，，故，故．又，，平面ABCD，平面ABCD，故平面ABCD．又平面PAD，故平面底面ABCD；（2）以Q为原点，，，所在方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，．假设棱PC上存在点M，使二面角为30°．设，这里．则．又，故．设平面BQM的一个法向量为，则，即．令，则．又为平面CBQ的一个法向量，由二面角为30°，得，即．两边平方并化简得，解得或（舍）．所以．故棱PC上存在点M，当时，二面角为30°．8．（2022·山东莱西·高三期末）在如图所示的三棱柱中，侧面为菱形，，，，，.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面ABC的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）连接，取的中点，连接，结合已知可得，由已知的数据通过计算可得，从而得，由线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理可证得结论，（2）以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可（1）连接，取的中点，连接，因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，所以，因为，，所以平面，因为平面，所以，在等边中，，所以，在中，，，所以，因为，所以，所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面，（2）由（1）可知两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以设为平面的一个法向量，则，令，则，设为平面的一个法向量，由，得，则，令，则，设平面与平面ABC的夹角为，由图可知为锐角，则9．（2022·山东青岛·高三期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为的中点，.（1）求证：平面平面；（2）求点A到平面的距离.【答案】（1）证明见详解（2）【分析】（1）由面面垂直判定定理出发，进行逆向分析，通过线面垂直、线线垂直之间的关系，结合已知条件进行不断转化可证；（2）借助第一问寻找两两垂直的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量求解即可.（1）连接BD，记AD中点为O，连接OF，为菱形O、F分别为AD、AB的中点又平面POF，OF平面POF平面POF平面POF又平面ABCD，AC平面ABCD平面ABCD平面PAD平面PAD平面ABCD（2）因为AB=AD，所以为正三角形由（1）可知AD、OB、PO两两垂直，于是如图建立空间直角坐标系，则所以设向量为平面PDF的法向量，则，取，得所以点A到平面PDF的距离.10．（2022·山东淄博·高三期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，E为PC的中点，点F在PD上且．（1）求证：平面AEF；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见详解（2）【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，然后根据题意写出相关点的坐标，再写出相关的向量，然后根据向量的共面证明线面平行；（2）运用向量法求解二面角，先求出两个平面的一个法向量，然后根据空间向量的数量积求得二面角的余弦值.（1）根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系，则有：，，，，，，可得：，，，则有：又不在平面上故有：平面（2）根据（1）可设为平面的一个法向量，为平面的一个法向量，则有：，即不妨取，此时，可解得：，则有：同理，即则有：不妨设则有：设二面角为，法向量的方向是朝向二面角外侧，法向量的方向是朝向二面角内侧，故二面角就是向量与向量的夹角则有：故二面角的余弦值为：11．（2022·山东德州·高三期末）如图，在直三棱柱中，，，点Q为BC的中点，平面平面.（1）证明：平面；（2）若直线AC与平面所成角的大小为30°，求锐二面角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）60°【分析】（1）根据面面垂直性质可得面，再根据线面垂直性质可得，再结合直棱柱性质即可证明平面；（2）先通过线面角证明，再通过建立空间直角坐标系，将锐二面角表示转化为求向量的夹角，即向量法求二面角.（1）证明：取中点D，连结CD，因为，，所以又面面，面面，所以面因为面，所以又因为，，所以面.（2）连结AD，由（1）知，面，则是直线AC与平面所成角，，中，，又，，，得，所以.以A为原点，AB，AC，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，，，，设平面得法向量为，则令，则.又面，则为面的一个法向量.设二面角大小为，则所以锐二面角的大小为60°.12．（2022·山东烟台·高三期末）如图，在正三棱锥中，有一半径为1的半球，其底面圆O与正三棱锥的底面贴合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切．设点D为BC的中点，．（1）用分别表示线段BC和PD长度；（2）当时，求三棱锥的侧面积S的最小值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）连接OP，由题意O为的中心，则可得为直角三角形，设半球与面PBC的切点为E，然后分别在和中求解即可，（2）由已知条件可得，，令，则上述函数变形为，，然后利用导数可求得结果（1）连接OP，由题意O为的中心，且面ABC，又面ABC，所以，所以为直角三角形．设半球与面PBC的切点为E，则且．在中，，所以．在中，．（2）由题知，，化简得，，令，则上述函数变形为，，所以，令，得．当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，三棱锥的侧面积S的最小值为．13．（2022·山东烟台·高三期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，为等边三角形，且面底面ABCD．（1）若M为BC中点，求证：；（2）求面PAD与面PBC所成二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）取AD中点O，连接OM，则由梯形中位线定理可得，再由已知可得，由为等边三角形，得，再结面面垂直的性质和线面垂直的性质可得，由线面垂直的判定定理得面POM，从而可证得，（2）以O为坐标原点，以向量，，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可（1）取AD中点O，连接OM．因为在梯形ABCD中，O，M分别为AD，BC的中点，所以，又，所以．因为为等边三角形，故，又面底面ABCD，面面，面ADP，故底面ABCD．因为面ABCD，所以．又因为，所以面POM，而面POM，故．（2）由（1）可知，以O为坐标原点，以向量，，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，，设为平面PAD的一个法向量，则，即，令，则．设为平面PBC的一个法向量，则有则，即，令，则．于是，因为由图可知面PAD与面PBC所成的二面角为锐角，所以面PAD与面PBC所成的二面角的余弦值为．14．（2022·山东济南·高三期末）如图，在正四棱柱中，，，分别为棱，的中点，为棱上的动点.（1）求证：，，，四点共面；（2）是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，【分析】（1）连接，，取的中点为M，连接，ME，根据E为的中点，F为的中点，分别得到，，从而有，再由平面的基本性质证明；（2）以D为坐标原点，DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，假设存在满足题意的点G，设，分别求得平面BEF的一个法向量和平面GEF的一个法向量，根据平面平面BEF，由求解.（1）证明：如图所示：连接，，取的中点为M，连接，ME，因为E为的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为F为的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，所以，所以B，E，，F四点共面；（2）以D为坐标原点，DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，假设存在满足题意的点G，设，由已知，，，则，，，设平面BEF的一个法向量为，则，即，取，则；设平面GEF的一个法向量为，则，即，取，则；因为平面平面BEF，所以，所以，所以.所以存在满足题意的点G，使得平面平面BEF，DG的长度为.15．（2022·山东临沂·高三期末）如图，在四棱锥中，侧面底面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，点E为的中点.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）．【分析】(1)用线线平行证明线面平行，∴在平面PCD内作BE的平行线即可；(2)求二面角的大小，可以用空间向量进行求解，根据已知条件，以AD中点O为原点，OB，AD，OP分别为x、y、z轴建立坐标系﹒（1）如图，取PD中点F，连接EF，FC﹒∵E是AP中点，∴EFAD，由题知BCAD，∴BCEF，∴BCFE是平行四边形，∴BE∥CF，又CF平面PCD，BE平面PCD，∴BE∥平面PCD；（2）取AD中点为O，连接OP，OB，∵是以为斜边的等腰直角三角形，∴OP⊥AD，又平面平面，平面PAD∩平面＝AD，∴OP⊥平面ABCD，∵OB平面ABCD，∴OP⊥OB，由BC∥AD，CD⊥AD，AD＝2BC知OB⊥OD，∴OP、OB、OD两两垂直，故以O为原点，OB、OD、OP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图：设|BC|＝1，则B(1，0，0)，D(0，1，0)，E(0，)，P(0，0，1)，则，设平面BED的法向量为，平面PBD的法向量为则，取，，取设二面角的大小为θ，则cosθ＝﹒16．（2022·山东日照·高三期末）如图所示，在三棱台中，，，，，分别为，的中点.（1）证明：平面；（2）若，求平面和平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）取的中点，连接，，证明平面平面，进而证明平面；（2）由题得平面，在平面内过点作交于，进而以为原点，，，的方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，利用坐标法求解.【详解】解：（1）证明：取的中点，连接，，由三棱台的性质知四边形是梯形，因为是的中点，是的中点.所以，因为平面，平面，所以平面，因为是的中点，是的中点所以为，因为平面，平面，所以平面，又，所以平面平面，因为平面，所以平面.（2）因为，，，所以平面，在平面内过点作交于，则，，两两垂直，以为原点，，，的方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，，，设平面的法向量，因为，，所以由得取，得，设平面的法向量，因为，，所以由得取，得，设平面和平面所成锐二面角为，则.故平面和平面所成锐二面角的余弦值为.17．（2022·山东省淄博实验中学高三期末）如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，是上一点.（1）求证:平面平面；（2）若是的中点，且二面角的余弦值是，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）先证明平面，然后可得平面平面；（2）建立坐标系，根据二面角的余弦值是可得的长度，然后可求直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）平面，平面，得.又，在中，得，设中点为，连接，则四边形为边长为1的正方形，所以，且，因为，所以，又因为，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）以为坐标原点，分别以射线､射线为轴和轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，

则，，.又设，则，，，，.由且知，为平面的一个法向量.设为平面的一个法向量，则，即，取，，则，有，得，从而，.设直线与平面所成的角为，则.即直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查空间平面与平面垂直及线面角的求解，平面与平面垂直一般转化为线面垂直来处理，空间中的角的问题一般是利用空间向量来求解.18．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）如图，在正三棱柱中，，是棱的中点，是线段上的动点（不包括端点）.

（1）证明：；（2）当为线段中点时，设二面角的大小为，求的值.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）先证平面平面，再利用面面垂直性质证明平面，由此即得.（2）作出二面角的平面角，再在三角形中求出其正弦值.（1）连接，∵，，∴.又，∴，即.由正三棱柱的性质可知，平面平面，又，平面平面，∴平面，∴.又，，平面，∴平面，∵平面，∴.（2）取中点，连接，过作垂直于，则，∴平面，过作垂直于，则，即为所求二面角的平面角.设，，，，易知故，故，，∴.19．（2022·湖北武昌·高三期末）如图，一张边长为4的正方形纸片ABCD，E，F分别是AD，BC的中点，将正方形纸片沿EF对折后竖立在水平的桌面上．（1）求证：；（2）若二面角的平面角为45°，K是线段CF（含端点）上一点，问是否存在点K，使得直线AK与平面CDEF所成角的正切值为？若存在，求出CK的长度；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在；CK的长度为2【分析】（1）由已知条件可得平面ADE，再由线面垂直的性质可证得结论，（2）方法一：由已知可得是二面角A－EF－D的平面角，即，过A作，垂足为G，则由面面垂直的性质可得平面CDEF，连结KG，则为AK与平面CDEF所成的角，然后在，和中计算即可，方法二：建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用空间向量求解即可（1）因为，，，所以平面ADE．因为平面ADE，所以．（2）方法一：因为，，所以是二面角A－EF－D的平面角，即．因为平面ADE，所以平面平面ADE．过A作，垂足为G，因为平面平面，所以平面CDEF．连结KG，则为AK与平面CDEF所成的角，即．在中，因为，，所以．在中，因为，所以．设，过K作于H，则．在中，由，得，解之得或（舍），所以，即．方法二：因为，，所以是二面角A－EF－D的平面角，即．建立如图所示的空间直角坐标系，设，则A（2，0，0），，设直线AK与平面CDEF所成角为，则，从而．设平面CDEF法向量为，直线AK的方向向量与平面CDEF法向量所成的角为，则．因为，所以，令，则所以，解得．此时，点K为点F，CK的长度为2．20．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）如图，在几何体PABCDQ中，四边形ABCD是边长为4的正方形，平面ABCD，，点E为PD的中点，四棱锥是高为4的正四棱锥.（1）求证：平面EAC；（2）求平面PAC与平面QAB所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）证明出平面，可得出，延长与交于点，可证明出，由中位线的性质可得出，利用线面垂直的判定定理可证得平面；（2）以为原点，直线、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成锐二面角的余弦值.（1）证明：连接，与交于点，因为四边形是正方形，所以连接，因为四棱锥是正四棱锥，所以平面，平面，则，因为，所以平面因为平面，所以延长与交于点，平面，则，为的中点，则为的中点，则，又，，所以，，，所以，所以连接，因为点为的中点，点为的中点，所以，所以，因为，所以平面.（2）解：以为原点，直线、、分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，．设平面的法向量为，则，得，取，得．设平面的法向量为，则得，取，得．设平面与平面所成锐二面角的大小为，则，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．21．（2022·湖北江岸·高三期末）如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，，为正三角形，D为AC的中点..（1）证明：平面平面；（2）若二面角的平面角为锐角，且三棱锥的体积为，求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】(1)根据等腰三角形三线合一，可证明，，再根据线面垂直判定定理证明平面.，由此可证明平面平面；(2)根据题意，点在平面内的射影在射线上，再根据锥体体积公式可知，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法，求二面角的正弦值.（1）证明：∵，D为AC中点，∴.又为等边三角形，，∴.∵，BD，平面PDB，∴平面PDB.∵平面PAC，∴平面平面.（2）∵为正三角形，，∴的面积为，设三棱锥的底面上的高为，，作于O，由(1)平面,所以，又，所以，所以O是DB的中点，记的中点为，以为轴，建立空间直角坐标系，则，，，∴，，设是平面PAB的一个法向量,取设是平面PBC的一个法向量取，设二面角的平面角为，则.22．（2022·湖北襄阳·高三期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线．（1）求证：直线平面；（2）若直线上存在一点（与都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）先证明，再证明平面，从而得到平面；（2）建立空间直角坐标系，然后再求出相关平面的法向量，最后用夹角公式计算即可.（1）证明：∵，分别是，的中点，∴，又平面，平面，∴平面，又平面，平面平面，∴，又，平面平面，平面平面，∴平面，则平面．（2）以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，由题意得：，，，，，∴，，设，则．依题意可得：，即：又与都在的同侧，所以，即于是：，设平面的法向量为则，取，可得再设平面的法向量为，则，取，得于是所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．23．（2022·湖北·高三期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，Q为的中点．（1）求证：；（2）若平面底面，点E在棱上，，且二面角的大小为，求四棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）连接，可证得四边形为平行四边形，进而证明，又由等腰三线合一可证得，则平面，故得证.（2）几何法：作出二面角的平面角，由得等腰直角，将两直角边和分别用和表示，求出的值，根据棱锥的体积公式，则可求出四棱锥的体积；向量法：根据题中的条件，建立空间直角坐标系，设，将相关点的坐标表示出来，求出平面和平面的法向量，根据二面角的向量计算方法，求出的值，最后根据棱锥的体积公式，求出四棱锥的体积.（1）证明：连接，因为，Q为的中点，所以四边形为平行四边形，所以，因为，所以，即，因为，Q为的中点，所以所以平面，因为平面，所以．（2）解：因为，Q为的中点，所以，因为平面平面，平面平面，所以平面，过点E作交于点H，过点H作交于点G，连接，则为二面角的平面角，由已知得，∴在直角中，，由于，故．设，则，所以，故四棱锥的体积为．法2：因为，Q为的中点，所以，因为平面平面，平面平面，所以平面．所以以Q为原点，以所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，令，如图：，所以，又，设平面的法向量为，则所以所以平面的法向量为，由题意知平面的法向量为，因为二面角为，所以，解得，即，所以四棱锥的体积为．24．（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）如图，在多面体中，四边形是边长为2的正方形，四边形是直角梯形，其中，，且.（1）证明：平面平面.（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）连接，由勾股定理得逆定理可得，结合可得平面，进而证得结果；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，结合图形进而可得结果.【详解】（1）证明：连接.因为是边长为2的正方形，所以，因为，所以，，所以，则.因为，所以.因为，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知，，两两垂直，故以为坐标原点，以射线，，分别为轴，轴，轴的正半轴建立如图所示的空问直角坐标系.则，，，，故，，.设平面的法向量为，则，令，则.设平面的法向量为，则，令，则.，记二面角的平面角为，由图可知为钝角，则.25．（2022·湖南常德·高三期末）如图，已知AB是圆柱底面圆的一条直径，OP是圆柱的一条母线．（1）求证：OA⊥PB；（2）若C底面圆上一点，且，，，，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）利用线面垂直的判定定理及性质即得；（2）利用坐标法即求.（1）∵OP是圆柱的一条母线，∴OP⊥平面OAB，又面OAB，∴OP⊥OA，∵AB是圆柱的底面圆的直径，∴，即OA⊥OB，又∵，∴OA⊥面OPB，又∵面OPB，∴OA⊥PB.（2）∵，∴；∵AB是圆柱的底面圆的直径，∴，又，∴四边形OACB为正方形,如图建立空间直角坐标系O—xyz，可知，，P（0，0，2），设平面PAB的法向量为，，，∴，即，取，则，又，设直线PC与平面PAB所成角为θ，∴，所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值为.26．（2022·湖南娄底·高三期末）如图，在长方体中，，．若平面APSB与棱，分别交于点P，S，且，Q，R分别为棱，BC上的点，且．（1）求证：平面平面；（2）设平面APSB与平面所成锐二面角为，探究：是否成立？请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）成立，理由见解析【分析】（1）由已知及正方体性质先证线面垂直，再证面面垂直.（2）建立适当的空间直角坐标系，求二面角对应两平面的法向量，进而可以判断是否成立.（1）在长方体中，因为平面，平面，所以，在和中，因为，,，所以，,所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面．（2）以D为坐标原点，射线DA，DC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，，，，所以，，设平面的法向量为，所以，不妨设，其中，由（1）得，平面的法向量为，因为，，所以，则，若，则，解得，因为，所以成立．27．（2022·湖南郴州·高三期末）如图，在空间几何体中，已知均为边长为2的等边三角形，平面和平面都与平面垂直，为的中点．

（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）分别取的中点，连接，且，再利用线面平行的判定定理，即可得到答案；（2）连接，则易知平面，以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出向量及平面的法向量，代入夹角公式，即可得到答案；（1）证明：分别取的中点，连接，因为，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理平面，所以，又因为是全等的正三角形，所以，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）连接，则易知平面，以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，所以，所以则，取，则，所以，设直线与平面所成的角为，则．

28．（2022·广东揭阳·高三期末）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，平面平面为棱上的点，且.（1）求证：平面；（2）若，二面角为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）设点为的一个三等分点，，且，可证得四边形是平行四边形，由线面平行的判定定理即可证得结果.（2）方法一：过点作的垂线，垂足为，连接,可证得平面，则为直线与平面所成角，计算即可得出结果.方法二：以的中点为原点，为轴，过点在平面内作的垂线为轴，为轴建立空间直角坐标系，可知平面的一个法向量为通过数量积计算即可求得结果.（1）设点为的一个三等分点，且，连接，如图所示.，且又，且，从而可得，且.综上可知四边形是平行四边形.平面平面，平面（2）因为平面平面，平面平面，，且平面，从而可得平面.又由平面，所以，从而可得为二面角的平面角.由题意可得，由，即有为等边三角形.方法一：几何法如图，过点作的垂线，垂足为，连接.平面平面，平面平面，，且平面，从而可得平面.故为直线与平面所成角.根据第（1）问的可知，所以，故.因为为等边三角形，所以的高为，根据三角形的相似关系可得，所以在Rt中，可得所以直线与平面所成角的正弦值为方法二：向量法如图，以的中点为原点，为轴，过点在平面内作的垂线为轴，为轴建立空间直角坐标系.则有.则有.平面的一个法向量为可得.直线与平面所成角的正弦值为.29．（2022·广东潮州·高三期末）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，，，点E，F分别为CD，AP的中点．（1）证明:PC//平面BEF；（2）若PAPD，且PA=PD，面PAD面ABCD，求二面角C-BE-F的余弦值．【答案】（1）证明过程见解答；（2）【分析】（1）连接，交于，连接，易证，故，即点为的中点，从而得，再由线面平行的判定定理即可得证；（2）取的中点，连，，则，由面面，可推出，由和，可证得，故以，，所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，依次写出、、、和的坐标，由面，知面的一个法向量为，根据法向量的性质可求得面的法向量，再由即可得解．（1）证明：连接，交于，连接，点为的中点，，，，，，，即点为的中点，又为的中点，，面，面，面．（2）（2）取的中点，连，，，，面面，面面，面，，，，．以，，所在的直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，0，，，，0，，，，，面，面的一个法向量为，设面的法向量为，则，即，令，则，，，，，，由图可知，二面角为钝角，故二面角的余弦值为．30．（2022·广东东莞·高三期末）如图，在正四棱锥中，点，分别是，中点，点是上的一点.（1）证明：；（2）若四棱锥的所有棱长为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）作出辅助线，证明线面垂直，进而证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解.（1）如图，连接SO和OE，因为是正四棱锥，所以平面ABCD，又因为平面ABCD，所以因为ABCD是正方形，所以，又因为点O，E分别是BD，BC中点，所以∥，所以又因为，OE、平面SOE，所以平面SOE，因为平面SOE，所以.（2）易知OB，OC，OS两两相互垂直，如图，以点O为原点，OB，OC，OS为x，y，z轴建立空间直角坐标系，因为四棱锥的所有棱长为，所以，，所以，，，，设，得，则，，设平面SDE的法向量为，则，解得，取，得，设直线OF与平面SDE所成角为，则，当时，取得最小值，此时取得最大值.31．（2022·广东罗湖·高三期末）如下图所示，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为等边三角形．（1）证明：；（2）若直线AC与平面ABD所成角为，点E在棱AD上，且，求二面角的大小．【答案】（1）证明见解析.（2）【分析】（1）利用直线与平面垂直的判定定理证明平面，即可证明.（2）设，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，可知坐标，平面的法向量坐标，设平面的一个法向量，通过可求出的具体坐标，二面角的大小即为的夹角.（1）证明：如下图所示，取的中点，连接，，为等边三角形，，又，平面，平面，.（2）由（1）不难知道，在平面内，若过作直线的垂线，则该垂线亦为平面ABD的垂线，故直线在平面ABD内的射影为直线，为直线与平面ABD所成的角，即，不放设，，为的中点，，为等边三角形，，在中，由正弦定理得，即，由（1）知，，且，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，易得，，，，则有，易知为平面的一个法向量，设为平面的一个法向量，则，即则平面的一个法向量为，，由下图所示可知，二面角为锐角，二面角的余弦值为，二面角的大小为.32．（2022·广东汕尾·高三期末）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，（1）求证：平面ADE平面ABCD；（2）若EF=ED=AD，CD=2EF=2，求平面ADE与平面BCF所成的锐二面角的大小．【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）根据面面垂直的判定定理，结合题意，即可得证.（2）根据线面垂直的性质定理、判定定理可证平面，如图建系，求得各点坐标，进而可求得平面的一个法向量，平面的一个法向量，根据二面角的向量求法，即可得答案.（1）证明：∵四边形为矩形，∴，又∵，，平面，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面（2）∵平面，平面，∴∵，平面，平面，，∴平面，∴以点D为原点，以DA方向为x轴正方向，以DC方向为y轴正方向，以DE方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图，则，∴，∵平面，∴平面的一个法向量是，设平面的法向量是，则，即，令，则，∴一个法向量，∴∴平面与平面所成的锐二面角的大小为33．（2022·广东清远·高三期末）已知正三棱柱中，，D，E，F分别为的中点．（1）证明：平面平面．（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由等边三角形、线面垂直的性质可得、，根据线面垂直的判定有面，再由线面垂直的性质、勾股定理有、，最后根据线面、面面垂直的判定证明结论.（2）构建空间直角坐标系，求面、面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示求法向量夹角余弦值，进而求二面角的正弦值.（1）在正△中，D为的中点，则．因为面面，则．而，所以面，又平面，∴．在△中，连接，∴，即，又，∴平面，再由平面，∴平面平面．（2）如图，以D为坐标原点，的方向分别为x，y轴的正方向，建立空间直角坐标系，则．∴.由（1）知：平面的一个法向量为．设面的法向量为，则，令，得．∴，则二面角的正弦值为．34．（2022·广东佛山·高三期末）如图，四棱锥中，四边形是矩形，平面，，E是的中点.（1）在线段上找一点M，使得直线平面，并说明理由；（2）若，求平面与平面所成二面角的正弦值.【答案】（1）点M为线段的中点，理由详见解析；（2）【分析】分别取PB，PC的中点M，F，连接EM，DF，FM，再根据四边形，E是的中点，易证四边形DEMF是平行四边形，得到，然后利用线面平行的判定定理证明；（2）由平面，，建立空间直角坐标系，设AD=2，求得平面PCE的一个法向量，易知平面PAB的一个法向量为，由求解.（1）当点M为线段的中点时，直线平面，理由如下：如图所示：分别取PB，PC的中点M，F，连接EM，DF，FM，因为四边形，E是的中点，所以，，所以，所以四边形DEMF是平行四边形，所以，又平面PCD，平面PCD，所以平面PCD；（2）由平面，，建立如图所示空间直角坐标系：设AD=2，则，所以，设平面PCE的一个法向量为，则，即，令，得，易知平面PAB的一个法向量为，则，设平面与平面所成二面角为，所以.35．（2022·广东·铁一中学高三期末）如图，在几何体中，底面，，，，，，，，，设点在棱上，已知平面.（1）求线段的长度；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）1；（2）.【分析】（1）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，设，由已知得，利用可求得线段的长度.（2）分别求平面和平面的法向量，利用二面角的向量公式进行计算即可.【详解】以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由，，，，，易知.则，，，，，，（1）设，因为平面，所以，，，，解得，所以线段的长度为1.（2）设是平面的一个法向量，，，则，可取，同理，设是平面的一个法向量，则，可取.则，显然二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查利用空间向量求线段长以及二面角的平面角，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题.36．（2022·江苏海门·高三期末）在三棱锥A－OBC中，已知平面AOB⊥底面BOC，AO⊥BC，底面BOC为等腰直角三角形，且斜边．（1）求证：AO⊥平面BOC；（2）若E是OC的中点，二面角A－BE－O的余弦值为，求直线AC与平面ABE所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）证明CO⊥AO，AO⊥BC，再利用线面垂直的判定定理，即可得到答案；（2）由(1)得OB，OC，OA两两垂直，建立如图所示得空间直角坐标系，求出此时＝(0，2，－1)，平面ABE的法向量＝(1，2，2)，再代入线面角的向量公式，即可得到答案；（1）证明：底面BOC为等腰直角三角形，且BC为斜边，所以CO⊥OB，因为平面AOB⊥底面BOC，平面AOB∩平面BOC＝OB，CO平面BOC，所以CO⊥平面AOB，因为AO⊂平面AOB，所以CO⊥AO，又AO⊥BC，BC，CO平面BOC，BC∩CO＝C，所以AO⊥平面BOC．（2）由(1)得OB，OC，OA两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，因为底面BOC为等腰直角三角形，且斜边，所以OC＝OB＝2，因为E是OC的中点，所以B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(0，1，0)，设A(0，0，t)(t＞0)，则，设平面ABE的法向量＝(x，y，z)，则取＝(t，2t，2)，而平面BEO的法向量为＝(0，0，1)，因为二面角A－BE－O的余弦值为，所以因为t＞0，所以t＝1，此时＝(0，2，－1)，平面ABE的法向量＝(1，2，2)，设直线AC与平面ABE所成的角为θ，则sinθ＝|cos<，>|＝＝．所以直线AC与平面ABE所成角的正弦值为．37．（2022·江苏通州·高三期末）如图，C，D分别是以AB为直径的半圆O上的点，满足，△PAB为等边三角形，且与半圆O所成二面角的大小为90°，E为PA的中点.（1）求证：DE//平面PBC；（2）求二面角A－BE－D的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）通过证明平面平面来证得平面.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值.（1）依题意，所以，所以三角形、三角形、三角形是等边三角形，所以，所以四边形是菱形，所以，由于平面，平面，所以平面.由于是的中点，是的中点，所以，由于平面，平面，所以平面.由于，所以平面平面，所以平面.（2）设的中点为，连接，则，由于四边形是菱形，所以，则，依题意平面平面且交线为，所以平面.连接，则，由于三角形是等边三角形，所以，由于平面平面且交线为，所以平面，则，以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，设，则，平面的法向量为.，，设平面的法向量为，则，故可设.设二面角的平面角为，由图可知，为锐角，所以.38．（2022·江苏扬州·高三期末）如图，在三棱台ABC－A1B1C1中，底面△ABC是等腰三角形，且BC＝8，AB＝AC＝5，O为BC的中点．侧面BCC1B1为等腰梯形，且B1C1＝CC1＝4，M为B1C1中点．（1）证明：平面ABC⊥平面AOM；（2）记二面角A－BC－B1的大小为θ，当θ∈[，]时，求直线BB1平面AA1C1C所成角的正弦的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）利用线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即证；（2）设直线BB1与平面AA1C1C所成的角为α，利用坐标法可求，然后利用导函数求最值即得.（1）∵△ABC是等腰三角形，O为BC的中点，∴BC⊥AO，∵侧面BCC1B1为等腰梯形，M为的中点，∴BC⊥MO．∵MO∩AO＝O，MO，AO平面AOM，∴BC⊥平面AOM，∵BC平面ABC，∴平面ABC⊥平面AOM．（2）在平面AOM内，作ON⊥OA，∵平面ABC⊥平面AOM，平面ABC∩平面AOM＝OA，ON平面AOM，∴ON⊥平面ABC，以OB，OA，ON分别为x轴、y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵MO⊥BC，AO⊥BC，∴∠AOM为二面角的平面角，即∠AOM＝θ，∴A（0，3，0），B（4，0，0），C（－4，0，0），M（0，2cosθ，2sinθ），C1（－2，2cosθ，2sinθ），B1（2，2cosθ，2sinθ），∴＝(－2，2cosθ，2sinθ)，设平面AA1C1C的法向量为＝(x，y，z)，其中＝(4，3，0)，＝(2，2cosθ，2sinθ)，所以，即，则可取，设直线BB1与平面AA1C1C所成的角为α，则sinα＝|cos＜，＞|＝，设f(θ)＝，θ∈[，]，则，∴f（θ）在[，]上单调递增，∴f（θ）∈[－2，]，即∴，∴．∴直线BB1平面AA1C1C所成角的正弦的最大值为.39．（2022·江苏海安·高三期末）如图，AB是圆O的直径，C是圆O上异于A，B的一点，DC垂直于圆O所在的平面，DC∥EB，DC＝2EB＝2，AB＝4．（1）求证：平面ACD⊥平面EBCD；（2）若∠ABC＝30°，求平面ADE与平面ABE所成的锐二面角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）.【分析】（1）利用线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即证；（2）利用坐标法即求.（1）∵AB是圆O的直径，∴，又DC垂直于圆O所在的平面，∴，又，，∴平面EBCD，又平面ACD，∴平面ACD⊥平面EBCD；（2）如图建立空间直角坐标系，则，∴，设平面ADE的法向量为，则，令，则，设平面ABE的法向量为，则，令，则，∴，∴平面ADE与平面ABE所成的锐二面角的余弦值为.40．（2022·江苏宿迁·高三期末）如图，在直三棱