人教版九年级数学上册尖子生同步培优题典专题24.2垂径定理特训(原卷版+解析)

【讲练课堂】2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题24.2垂径定理【名师点睛】1.垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．2.垂径定理的应用（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．【典例剖析】【考点1】垂径定理的认识【例1】（2020·山西忻州·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB且相交于点E，则下列结论中不成立的是（

）A．∠A=∠D B．CB=BD C．∠ACB=90° 【变式1】（2021·湖北宜昌·九年级期中）如图所示，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立的是（）A．∠COE=∠DOE B．CE=DEC．OE=BE D．BD【考点2】利用垂径定理求边长【例2】（2021·江苏·淮安市洪泽实验中学九年级期中）如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8，点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合），连接AP、PB，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则EF为（）A．2 B．3 C．4 D．5【变式2】（2022·江苏·九年级专题练习）如图，⊙O的半径为9，AB是弦，OC⊥AB于点C，将劣弧AB沿弦AB折叠交OC于点D，若OD=DC，则弦AB的长为（

）A．53 B．65 C．35【考点3】利用垂径定理求最值【例3】（2022·河南商丘·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN＝a，则△PMN周长的最小值为（

）A．4 B．4＋a C．2＋a D．3＋a【变式3】（2022·河北廊坊·九年级期末）如图，⊙O的半径为5，OA=3，经过点A的⊙O的最短弦的长为（

）A．4 B．6 C．8 D．10【考点4】利用垂径定理解决平行弦问题【例4】（2021·云南省个旧市第二中学九年级期中）已知⊙O的直径为26cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB//CD，AB=24cm，CD=10cm，则AB、CD之间的距离为_______cm．【变式4】（2020·天津和平·九年级期中）如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为_____．【考点5】垂径定理的有关计算与证明【例5】（2021·浙江·杭州仁和实验学校九年级期中）如图，AC为⊙O的直径，BD是弦，且AC⊥BD于点E．连接AB、OB、BC．(1)求证：∠CBO=∠ABD；(2)若AE=4cm,CE=16cm【变式5】（2022·上海·华东师范大学第四附属中学九年级期中）如图，已知⊙O的直径AB=10，点P是弦BC上一点，联结OP，∠OPB=45°，PC=1，求弦BC的长．【例6】（2021·浙江杭州·九年级期中）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．(1)求AB所在圆的半径r的长；(2)当洪水上升到跨度只有30米时，要采取紧急措施．若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？并说明理由．【变式6】（2021·浙江宁波·九年级期中）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．（1）求拱桥的半径．（2）有一艘宽为7.8m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥？并说明理由．【满分训练】一．选择题（共10小题）1．（2022•大名县三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若BE＝CD＝8，则⊙O的半径的长是（）A．5 B．4 C．3 D．22．（2022•甘肃模拟）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，点M是弦AB上的动点，则（）A．4≤OM≤5 B．3≤OM＜5 C．3＜OM≤5 D．3≤OM≤53．（2022•威海模拟）⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的最大值是（）A． B．1 C． D．24．（2022•平桂区一模）如图，在⊙O中，直径AB＝8，弦DE⊥AB于点C，若AD＝DE，则BC的长为（）A． B． C．1 D．25．（2022•庐阳区校级三模）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于E，DE＝2，AB＝8，则AC的长为（）A．8 B．10 C．4 D．46．（2022•澄城县三模）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8，OF＝，则OE的长为（）A．3 B．4 C．2 D．57．（2022•宣州区二模）如图所示的是一圆弧形拱门，其中路面AB＝2m，拱高CD＝3m，则该拱门的半径为（）A． B．2m C． D．3m8．（2022•白云区二模）往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，水的最大深度为16cm，则圆柱形容器的截面直径为（）cm．A．10 B．14 C．26 D．529．（2022•天河区二模）把半径长为2.5的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知CD＝4，则EF＝（）A．2 B．2.5 C．4 D．510．（2021秋•开化县期末）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股定理篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，则圆形木材的直径是（）（1尺＝10寸）A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸二．填空题（共8小题）11．（2022•牡丹江）⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AC的长为．12．（2022•青海）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝4m，CD＝6m，则⊙O的半径长为m．13．（2022•长沙）如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA＝7，则BC的长为．14．（2022•南漳县模拟）已知⊙O的半径为13cm，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，则弦AB与CD之间的距离为cm．15．（2022•上海）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的面积为.（结果保留π）16．（2022•开福区校级二模）如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为16米，拱的半径为10米，则拱高CD为米．17．（2022•柯桥区一模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1寸，CD＝1尺，那么直径AB的长为多少寸？（注：1尺＝10寸）根据题意，该圆的直径为寸．18．（2022春•长沙期中）某隧道口横截面如图所示，上部分是圆弧形，下部分是矩形、已知隧道口最高点E与DC的距离EF为4米，且弧DC所在圆的半径为10米，则路面AB的宽度为米．三．解答题（共6小题）19．（2021秋•潜山市期末）如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端AB＝18分米，C为AB中点，D为拱门最高点，圆心O在线段CD上，CD＝27分米，求拱门所在圆的半径．20．（2021秋•黔西南州期末）如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN＝4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．21．（2021秋•长葛市期中）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，书中记载：“今有中，不知大小．以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问经几何？”其意思为：“如图，今有一圆形木材在墙中，不知其大小用锯子去锯这个木材，锯口深DE＝1寸，锯道长AB＝10寸，问这块圆形木材的直径是多少？”22．（2021秋•金安区月考）如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下的水面宽度AB为7.2m，拱顶高出水面（CD）2.4m，现有一艘宽EF为3m且船舱顶部为长方形并高出水面1.5m的货船要经过这里，则货船能顺利通过这座拱桥吗？请作出判断并说明理由．23．（2022•合肥模拟）如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G．（1）求证：ED＝EG；（2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径．24．（2022•全椒县一模）如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．（1）OM⊥CD于点M，CD＝24，⊙O的半径长为4，求OM的长．（2）点G在BD上，且AG⊥BD交CD于点F，求证：CE＝EF．【讲练课堂】2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题24.2垂径定理【名师点睛】1.垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．2.垂径定理的应用（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．【典例剖析】【考点1】垂径定理的认识【例1】（2020·山西忻州·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB且相交于点E，则下列结论中不成立的是（

）A．∠A=∠D B．CB=BD C．∠ACB=90° 【答案】D【分析】根据垂径定理，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角等知识判断即可．【详解】∵∠A，∠D是同弧所对的圆周角，∴∠A=∠D，∴A正确；∵AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB，∴CB=∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，C正确；∵∠COB=2∠A，∠A=∠D，∴∠COB=2∠D∴D错误；故选D．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握垂径定理，圆周角定理是解题的关键．【变式1】（2021·湖北宜昌·九年级期中）如图所示，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立的是（）A．∠COE=∠DOE B．CE=DEC．OE=BE D．BD【答案】C【分析】根据垂径定理可得：BD=BC，DE=CE，进而得到∠COE=∠DOE，无法得到OE=【详解】∵AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，∴BD=BC，DE=CE，∴B，D选项正确；∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠COE=∠DOE，∴A选项正确；只有当∠COE=60°时，才有OE=BE．∴C选项不成立；故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理和圆心角、弧之间的关系．解题的关键是熟练掌握垂径定理．垂径定理：垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．【考点2】利用垂径定理求边长【例2】（2021·江苏·淮安市洪泽实验中学九年级期中）如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8，点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合），连接AP、PB，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则EF为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先根据垂径定理得出AE＝PE，PF＝BF，故可得出EF是△APB的中位线，再根据中位线定理即可得出结论．【详解】解：∵OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，AB＝8，∴AE＝PE，PF＝BF，∴EF是△APB的中位线，∴EF＝12AB＝1故选：C．【点睛】本题考查的是垂径定理，中位线定理，熟知垂直于弦的直径平分弦是解答此题的关键．【变式2】（2022·江苏·九年级专题练习）如图，⊙O的半径为9，AB是弦，OC⊥AB于点C，将劣弧AB沿弦AB折叠交OC于点D，若OD=DC，则弦AB的长为（

）A．53 B．65 C．35【答案】B【分析】根据翻折变换求出OD=CD=3，OC=6，根据垂径定理求出AC=BC，根据勾股定理求出AC即可．【详解】解：∵⊙O的半径为9，将劣弧AB沿弦AB折叠交于OC的中点D，∴OD=CD=13×9=3，OC=OD+CD∵OC⊥AB，OC过圆心O，∴∠ACO=90°，AC=BC，即AB=2AC，连接OA，由勾股定理得：AC=OA2−O即AC=BC=35，∴AB=AC+BC=65，故选：B．【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，垂径定理等知识点，能求出AC=BC是解此题的关键．【考点3】利用垂径定理求最值【例3】（2022·河南商丘·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN＝a，则△PMN周长的最小值为（

）A．4 B．4＋a C．2＋a D．3＋a【答案】B【分析】根据轴对称的性质得到：点N关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于P，此时PM+PN最小，即△PMN周长的最小，利用圆的对称性进行计算即可．【详解】解：如图，作点N关于AB的对称点N′，则点N′在⊙O上，连接MN′交AB于P，此时PM+PN最小，即PM+PN＝MN′，连接OM、ON∵点N是BM的中点，∠BAM＝20°，∴∠BOM=2∠BAM∴MN＝NB＝BN∴∠BON′＝12∠MOB=∴∠MON′＝60°，∵OM=O∴△MON′是正三角形，∴OM＝ON′＝MN′＝12AB＝4∵MN＝a，△PMN周长=MP+PN+MN=MP+PN∴△PMN周长的最小值为4+a，故选：B．【点睛】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称，掌握圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质是解决问题的关键．【变式3】（2022·河北廊坊·九年级期末）如图，⊙O的半径为5，OA=3，经过点A的⊙O的最短弦的长为（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】如图，过A点作弦BC⊥OA，交⊙O于点B、C，连接OB，过点A作弦EF，交⊙O于点E、F，过O点作OG⊥EF，连接OF，根据垂径定理得到AB=AC，EG=FG，在Rt△OAG中，OA>OG，从而在Rt△OAB和Rt△OGF中，根据OB=OF和勾股定理，可得到FG>AB，EF>BC，从而说明BC为过A点的最短弦，然后再利用勾股定理计算出AB，从而求出BC即可．【详解】解：如图，过A点作弦BC⊥OA，交⊙O于点B、C，连接OB；过点A作弦EF，交⊙O于点E、F，过O点作OG⊥EF，连接OF，∴AB=AC，EG=FG，∴在Rt△OAG中，OA>OG，∵在Rt△OAB和Rt△OGF中，OB=OF，FG=OF2∴FG>AB，∴EF>BC，∴BC为过A点的最短弦，∵⊙O的半径为5，OA=3，∴在Rt△OAB中，AB=O∴BC=2AB=8，∴经过点A的⊙O的最短弦的长为8．故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了勾股定理．理解和掌握垂径定理是解题的关键．【考点4】利用垂径定理解决平行弦问题【例4】（2021·云南省个旧市第二中学九年级期中）已知⊙O的直径为26cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB//CD，AB=24cm，CD=10cm，则AB、CD之间的距离为_______cm．【答案】7或17##17或7【分析】首先分先AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况讨论，画出图形，过圆心O作两弦的垂线，利用垂径定理可分别求出圆心到两弦的距离，从而可求出两弦间的距离．【详解】①当弦AB、CD在圆心的同侧时，如图1过点O作OF⊥CD交AB于点E，连接OA，OC∵AB//CD∴OE⊥AB∵AB=24，CD=10∴AE=12，CF=5又∵⊙O的直径为26∴OA=OC=13∴OE=OA∴EF=OF-OE=7②当弦AB、CD在圆心的异侧时，如图2过点O作OF⊥CD，延长FO交AB于点E，连接OA，OC∵AB//CD∴OE⊥AB∵AB=24，CD=10∴AE=12，CF=5又∵⊙O的直径为26∴OA=OC=13∴OE=OA∴EF=OF+OE=17故答案为：7或17．【点睛】本题主要考查了垂径定理，解题是要注意分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况讨论．【变式4】（2020·天津和平·九年级期中）如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为_____．【答案】21【分析】由于A、B两点关于MN对称，因而PA＋PC＝PB＋PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA＋PC的值最小，即BC的值就是PA＋PC的最小值．【详解】解：连接BC，OB，OC，作CH垂直于AB于H．∵AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，∴BE＝12AB＝12，CF＝1∴OE=OB2∴CH＝OE＋OF＝9＋12＝21，BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝12＋9＝21，在Rt△BCH中，根据勾股定理得：BC=B即PA＋PC的最小值为212故答案为：212【点睛】本题考查垂径定理以及最短路径问题，灵活根据垂径定理确定最短路径是解题关键．【考点5】垂径定理的有关计算与证明【例5】（2021·浙江·杭州仁和实验学校九年级期中）如图，AC为⊙O的直径，BD是弦，且AC⊥BD于点E．连接AB、OB、BC．(1)求证：∠CBO=∠ABD；(2)若AE=4cm,CE=16cm【答案】(1)见解析(2)弦BD的长为16cm【分析】（1）根据垂径定理可得AB=AD，进而可得∠ABD＝∠C，根据半径相等可得∠C＝∠（2）在Rt△OBE中，勾股定理求得BE，根据垂径定理可得BE＝DE，即可求解．（1）∵AC为⊙O的直径，且AC⊥BD，∴AB=AD∴∠ABD＝∠C，∵OB＝OC，∴∠C＝∠CBO，∴∠CBO＝∠（2）∵AE＝4，CE＝16，∴OA＝10，OE＝6，在Rt△OBE中，BE=102−62=8，∵AC为⊙O的直径，且AC⊥BD，∴BE＝DE，∴BD【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理等，掌握垂径定理是解题的关键．【变式5】（2022·上海·华东师范大学第四附属中学九年级期中）如图，已知⊙O的直径AB=10，点P是弦BC上一点，联结OP，∠OPB=45°，PC=1，求弦BC的长．【答案】BC=8【分析】过点O作OD⊥BC，则DC=DB，根据垂径定理可得DC=DB，根据∠OPB=45°，可得△PDO是等腰直角三角形，在Rt△ODB中，勾股定理建立方程，解方程求解即可求得PD=3，然后即可求得BC的长．【详解】解：如图，过点O作OD⊥BC，则DC=DB，∵∠OPB=45°，∴△PDO是等腰直角三角形，∴PD=DO，设PD=DO=x，由PC=1∴DB=DC=x+1∵⊙O的直径AB=10，∴OB=5在Rt△ODB中，Oxx=3∴CD=3+1=4∴BC=2CD=8．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握垂径定理是解题的关键．【例6】（2021·浙江杭州·九年级期中）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．(1)求AB所在圆的半径r的长；(2)当洪水上升到跨度只有30米时，要采取紧急措施．若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？并说明理由．【答案】(1)34(2)不需要采取紧急措施，见解析【分析】（1）连接OA，根据题意，AD=12AB，OD=r-PD，在直角三角形（2）连接OA'，根据题意，A'E=12A'B'，(1)解：连结OA，由题意得：AD＝12AB＝30，OD＝(r在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2解得，r＝34．(2)解：连结OA∵OE＝OP−PE＝30，∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A'∴A'解得：A'∴A'∵A'B∴不需要采取紧急措施．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．【变式6】（2021·浙江宁波·九年级期中）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．（1）求拱桥的半径．（2）有一艘宽为7.8m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥？并说明理由．【答案】（1）6.5米；（2）不能顺利通过，理由见解析【分析】（1）设圆心为O，连接OC，OB，拱桥的半径r米，作出相应图形，然后在RtΔODB中，利用勾股定理求解即可得；（2）考虑当弦长为7.8时，利用（1）中结论，可得弦心距d=5.2<6.5−4+3，即可得出结论．【详解】（1）如图所示，设圆心为O，连接OC，OB，拱桥的半径r米，在RtΔODB中，r2解得r=6.5米；（2）当弦长为7.8时，弦心距d=6.5∴此货船不能顺利通过此圆弧形拱桥．【点睛】题目主要考查圆的基本性质，垂径定理，求弦心距，勾股定理等，理解题意，作出相应辅助线，结合性质定理是解题关键．【满分训练】一．选择题（共10小题）1．（2022•大名县三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若BE＝CD＝8，则⊙O的半径的长是（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】连接OC，设⊙O的半径为R，则OE＝8﹣R，根据垂径定理得出CE＝DE＝4，根据勾股定理得出OC2＝CE2+OE2，代入后求出R即可．【解析】连接OC，设⊙O的半径为R，则OE＝8﹣R，∵CD⊥AB，AB过圆心O，CD＝8，∴∠OEC＝90°，CE＝DE＝4，由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，R2＝42+（8﹣R）2，解得：R＝5，即⊙O的半径长是5，故选：A．2．（2022•甘肃模拟）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，点M是弦AB上的动点，则（）A．4≤OM≤5 B．3≤OM＜5 C．3＜OM≤5 D．3≤OM≤5【分析】当M与A或B重合时，OM最长，当OM垂直于AB时，OM最短，即可求出OM的范围．【解析】当M与A（B）重合时，OM的值最大＝OA＝5；当OM垂直于AB时，可得出M为AB的中点，此时OM最小，连接OA，在Rt△AOM中，OA＝5，AM＝AB＝4，根据勾股定理得：OM＝＝3，∴3≤OM≤5，故选：D．3．（2022•威海模拟）⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的最大值是（）A． B．1 C． D．2【分析】因为CD⊥OC交⊙O于点D，连接OD，△OCD是直角三角形，则CD＝，因为半径OD是定值，当OC取得最小值时线段CD取得最大值．【解析】连接OD，∵CD⊥OC交⊙O于点D，∴△OCD是直角三角形，根据勾股定理得CD＝，∵半径OD是定值，∴当OC⊥AB时，线段OC最小，此时D与B重合，CD＝，∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝，∴CD＝＝BC＝．故选：A．4．（2022•平桂区一模）如图，在⊙O中，直径AB＝8，弦DE⊥AB于点C，若AD＝DE，则BC的长为（）A． B． C．1 D．2【分析】根据垂径定理求出DC＝CE，求出DC＝AD，求出∠DAB＝30°，求出∠CDB＝30°，根据含30°角的直角三角形性质求出BD＝AB，BC＝BD，再求出BC即可．【解析】∵DE⊥AB，AB过圆心O，∴DC＝CE＝DE，∠ACD＝∠BCD＝90°，∵AD＝DE，∴DC＝AD，∴∠DAC＝30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴BD＝AB＝＝4，∵∠ADB＝90°，∠DAB＝30°，∴∠ABD＝60°，∵∠DCB＝90°，∴∠CDB＝30°，∴BC＝BD＝，故选：D．5．（2022•庐阳区校级三模）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于E，DE＝2，AB＝8，则AC的长为（）A．8 B．10 C．4 D．4【分析】连接OA，设⊙O的半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣2，根据垂径定理求出AE＝BE＝4，根据勾股定理求出OA2＝OE2+AE2，得出R2＝（R﹣2）2+42，求出R，再求出CE，最后根据勾股定理求出AC即可．【解析】连接OA，设⊙O的半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣2，∵CD⊥AB，CD过圆心O，AB＝8，∴AE＝BE＝4，∠AEC＝90°，由勾股定理得：OA2＝OE2+AE2，即R2＝（R﹣2）2+42，解得：R＝5，即OA＝OC＝5，OE＝5﹣2＝3，∴CE＝OC+OE＝5+3＝8，∴AC＝＝＝4，故选：C．6．（2022•澄城县三模）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8，OF＝，则OE的长为（）A．3 B．4 C．2 D．5【分析】连接OB、AB，根据垂径定理求出BE，根据三角形中位线定理求出AB，根据勾股定理求出AE，再根据勾股定理计算，得到答案．【解析】连接OB、AB，∵BD⊥AO，BD＝8，∴BE＝ED＝BD＝4，∵OF⊥BC，∴CF＝FB，∵CO＝OA，OF＝，∴AB＝2OF＝2，由勾股定理得：AE＝＝2，在Rt△BOE中，OB2＝OE2+BE2，即OA2＝（OA﹣2）2+42，解得：OA＝5，∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3．故选：A．7．（2022•宣州区二模）如图所示的是一圆弧形拱门，其中路面AB＝2m，拱高CD＝3m，则该拱门的半径为（）A． B．2m C． D．3m【分析】取圆心为O，连接OA，由垂径定理设⊙O的半径为rm，则OC＝OA＝rm，由拱高CD＝3m，OD＝（3﹣r）m，OD⊥AB，由垂径定理得出AD＝1m，由勾股定理得出方程r2＝12+（3﹣r）2，解得：r＝，得出该拱门的半径为m，即可得出答案．【解析】如图，取圆心为O，连接OA，设⊙O的半径为rm，则OC＝OA＝rm，∵拱高CD＝3m，∴OD＝（3﹣r）m，OD⊥AB，∵AB＝2m，∴AD＝BD＝AB＝1m，∵OA2＝AD2+OD2，∴r2＝12+（3﹣r）2，解得：r＝，∴该拱门的半径为m，故选：A．8．（2022•白云区二模）往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，水的最大深度为16cm，则圆柱形容器的截面直径为（）cm．A．10 B．14 C．26 D．52【分析】设半径为rcm，则OD＝（r﹣16）cm，在Rt△OBD中，r2＝242+（r﹣16）2，解方程可得半径，进而可得直径．【解析】如图所示：由题意得，OC⊥AB于D，DC＝16cm，∵AB＝48cm，∴BD＝AB＝×48＝24（cm），设半径为rcm，则OD＝（r﹣16）cm，在Rt△OBD中，r2＝242+（r﹣16）2，解得r＝26，所以2r＝52，故选：D．9．（2022•天河区二模）把半径长为2.5的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知CD＝4，则EF＝（）A．2 B．2.5 C．4 D．5【分析】设球的平面投影圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，延长NO交BC于点M，连接OF，MN＝CD＝4，ON＝MN﹣OM＝4﹣2.5＝1.5，再利用勾股定理可得NF，进而可得EF的长．【解析】设球的平面投影圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，延长NO交BC于点M，连接OF，如图所示：则NF＝EN＝EF＝2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDNM是矩形，∴MN＝CD＝4，ON＝MN﹣OM＝4﹣2.5＝1.5，在Rt△ONF中，由勾股定理得：ON2+NF2＝OF2，∴NF＝＝2，EF＝2NF＝4，故选：C．10．（2021秋•开化县期末）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股定理篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，则圆形木材的直径是（）（1尺＝10寸）A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸【分析】连接OA、OC，由垂径定理得AC＝BC＝AB＝5寸，连接OA，设圆的半径为x寸，再在Rt△OAC中，由勾股定理列出方程，解方程可得半径，进而直径可求．【解析】连接OA、OC，如图：由题意得：C为AB的中点，则O、C、D三点共线，OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝5（寸），设圆的半径为x寸，则OC＝（x﹣1）寸．在Rt△OAC中，由勾股定理得：52+（x﹣1）2＝x2，解得：x＝13．∴圆材直径为2×13＝26（寸）．故选：D．二．填空题（共8小题）11．（2022•牡丹江）⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AC的长为4或2．【分析】连接OA，由AB⊥CD，设OC＝5x，OM＝3x，则DM＝2x，根据CD＝10可得OC＝5，OM＝3，根据垂径定理得到AM＝4，然后分类讨论：当如图1时，CM＝8；当如图2时，CM＝2，再利用勾股定理分别计算即可．【解析】连接OA，∵OM：OC＝3：5，设OC＝5x，OM＝3x，则DM＝2x，∵CD＝10，∴OM＝3，OA＝OC＝5，∵AB⊥CD，∴AM＝BM＝AB，在Rt△OAM中，OA＝5，AM＝，当如图1时，CM＝OC+OM＝5+3＝8，在Rt△ACM中，AC＝；当如图2时，CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2，在Rt△ACM中，AC＝．综上所述，AC的长为4或2．故答案为：4或2．12．（2022•青海）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝4m，CD＝6m，则⊙O的半径长为m．【分析】连接OA，如图，设⊙O的半径为rm，根据垂径定理的推论得到CD⊥AB，在Rt△AOC中利用勾股定理得到22+（6﹣r）2＝r2，然后解方程即可．【解析】连接OA，如图，设⊙O的半径为rm，∵C是⊙O中弦AB的中点，CD过圆心，∴CD⊥AB，AC＝BC＝AB＝2m，在Rt△AOC中，∵OA＝rcm，OC＝（6﹣r）m，∴22+（6﹣r）2＝r2，解得r＝，即⊙O的半径长为m．故答案为：．13．（2022•长沙）如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA＝7，则BC的长为7．【分析】根据已知条件证得△AOD≌△BCD（SAS），则BC＝OA＝7．【解析】∵OA＝OC＝7，且D为OC的中点，∴OD＝CD，∵OC⊥AB，∴∠ODA＝∠CDB＝90°，AD＝BD，在△AOD和△BCD中，∴△AOD≌△BCD（SAS），∴BC＝OA＝7．故答案为：7．14．（2022•南漳县模拟）已知⊙O的半径为13cm，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，则弦AB与CD之间的距离为7或17cm．【分析】分两种情况进行分类讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧，先画图，然后作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可【解析】过点O作OE⊥AB于E，直线OE交CD于F，连接OA、OC，如图：∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∴AB＝BE＝AB＝12，CF＝DF＝CD＝5，在Rt△OAE中，OE＝＝5，在Rt△OCF中，OF＝＝12，当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，EF＝OF﹣OE＝12﹣5＝7（cm），当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，EF＝OF+OE＝12+5＝17（cm），综上所述，弦AB和CD之间的距离为7cm或17cm．15．（2022•上海）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的面积为400π.（结果保留π）【分析】根据垂径定理，勾股定理求出OB2，再根据圆面积的计算方法进行计算即可．【解析】如图，连接OB，过点O作OD⊥AB于D，∵OD⊥AB，OD过圆心，AB是弦，∴AD＝BD＝AB＝（AC+BC）＝×（11+21）＝16，∴CD＝BC﹣BD＝21﹣16＝5，在Rt△COD中，OD2＝OC2﹣CD2＝132﹣52＝144，在Rt△BOD中，OB2＝OD2+BD2＝144+256＝400，∴S⊙O＝π×OB2＝400π，故答案为：400π．16．（2022•开福区校级二模）如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为16米，拱的半径为10米，则拱高CD为4米．【分析】先构建直角三角形，再利用勾股定理和垂径定理计算．【解析】因为跨度AB＝16m，拱所在圆半径为10m，所以找出圆心O并连接OA，延长CD到O，构成直角三角形，利用勾股定理和垂径定理求出DO＝6（m），进而得拱高CD＝CO﹣DO＝10﹣6＝4（m）．故答案为：4．17．（2022•柯桥区一模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1寸，CD＝1尺，那么直径AB的长为多少寸？（注：1尺＝10寸）根据题意，该圆的直径为26寸．【分析】连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长．【解析】连接OC，∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE＝CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得x＝13，∴AB＝26寸，即直径AB的长为26寸，故答案为：26．18．（2022春•长沙期中）某隧道口横截面如图所示，上部分是圆弧形，下部分是矩形、已知隧道口最高点E与DC的距离EF为4米，且弧DC所在圆的半径为10米，则路面AB的宽度为16米．【分析】在Rt△CFO中利用勾股定理求出CF的长，再由垂径定理求出AB＝CD＝2CF即可得出答案；【解析】设圆弧形所在圆的圆心为O，由题意可知，点O在EF的延长线上，连接OC，∵OE⊥CD，∴∠CFO＝90°，CF＝DF，在Rt△CFO中，OC＝10，OF＝OE﹣EF＝10﹣4＝6，∴CF＝＝＝8，∴AB＝CD＝2CF＝16，即路面AB的宽度为16米．故答案为：16．三．解答题（共6小题）19．（2021秋•潜山市期末）如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端AB＝18分米，C为AB中点，D为拱门最高点，圆心O在线段CD上，CD＝27分米，求拱门所在圆的半径．【分析】连接AO，根据垂径定理求得AC＝BC＝9，设圆的半径为x分米，则OA＝OD＝x，OC＝27﹣x，根据勾股定理即可求得x．【解析】连接AO，∵CD过圆心，C为AB的中点，∴CD⊥AB，∵AB＝18，C为AB的中点，∴AC＝BC＝9，设圆的半径为x分米，则OA＝OD＝x分米，∵CD＝27，∴OC＝27﹣x，在Rt△OAC中，AC2+OC2＝OA2，∴92+（27﹣x）2＝x2，∴x＝15（分米），答：拱门所在圆的半径是15分米．20．（2021秋•黔西南州期末）如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN＝4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．【分析】由垂径定理可知AM＝BM、A′N＝B′N，利用AB＝60，PM＝18，可先求得圆弧所在圆的半径，再计算当PN＝4时A′B′的长度，与30米进行比较大小即可．【解析】设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为x米，则OA＝OA′＝OP，由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，∵AB＝60米，∴AM＝30米，且OM＝OP﹣PM＝（x﹣18）米，在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2＝OM2+AM2，即x2＝（x﹣18）2+302，解得x＝34，∴ON＝OP﹣PN＝34﹣4＝30（米），在R