考点10 计数原理

考点10计数原理【易错点分析】1.排列与排列数（1）排列：从n个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.（2）排列数：从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作.2.组合与组合数（1）组合：从n个不同元素中取出个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.（2）组合数：从n个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作.3.二项式定理公式叫做二项式定理.公式中右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项.4.二项展开式形式上的特点（1）项数为.（2）各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.（3）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到0，字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.（4）二项式系数为.5.二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即.（2）增减性与最大值：对于二项式系数，当时，二项式系数是递增的；当时，二项式系数是递减的.当n是偶数时，二项展开式的中间一项（第项）的二项式系数最大，即最大的二项式系数为.当n是奇数时，二项展开式的中间两项（第项和第项）的二项式系数相等且最大，即最大的二项式系数为和.（3）二项式系数的和：的展开式的各个二项式系数的和等于，即.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即.1.的展开式中有理项的项数为()

A.3 B.4 C.5 D.62.从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为()A.48 B.72 C.90 D.963.的展开式中的系数为()A.-7 B.-35 C.-49 D.-564.某单位在春节七天的假期间要安排值班表，该单位有值班领导3人，值班员工4人，要求每位值班领导至少值两天班，每位值班员工至少值一天班，每天要安排一位值班领导和一位值班员工一起值班，且一人值多天班时要相邻的安排方案有()

A.249种 B.498种 C.1052种 D.8640种5.已知则的值为()

A.24 B.-48 C.-32 D.726.生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排的概率为()

A. B. C. D.7.的展开式中，各二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数为__________.8.某学校要安排2名高二的同学，2名高一的同学和1名初三的同学去五个乡村小镇参加志愿活动，每名同学选择一个小镇，若高二的同学不去小镇，高一的同学不去小镇，初三的同学不去小镇和，则共有___________种不同的安排方法.(用数字作答)9.已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大，若的展开式中常数项为，含有项的系数为，则_________.10.某县政府为直播带货、在线助农，组织了该县的6位网红主播大力推介该县的农副产品，并安排了3个时间段进行直播，若每个时间段至少有1位网红主播直播带货，且每位网红主播均参加且只参加一个时间段的直播带货，则不同的安排方法有__________种.（用数字作答）

答案以及解析1.答案：C解析：.又的展开式的通项，所以.当x的指数是整数时，该项为有理项，所以当，2，4，6，8时，该项为有理项，即有理项的项数为5.故选C.2.答案：D解析：因为甲不参加生物竞赛，所以可安排甲参加另外3科比赛或甲不参加任何比赛，①当甲参加另外3科比赛时，共有种参赛方案;②当甲不参加任何比赛时，共有种参赛方案.综上所述，所有的参赛方案有(种).3.答案：A解析：的展开式中含的项为，故选A.4.答案：D解析：先安排值班领导：选1位值班领导值三天班，则安排3位领导值班共有（种）方案.再安排值班员工：若4名员工中有1名员工值四天班，其他员工各值一天班，则有（种）选法；若1名员工值两天班，另一名员工值三天班，剩余2名员工各值一天班，则有（种）选法；若3名员工各值两天班，1名员工值一天班，则有（种）选法，故安排4名员工值班共有（种）方案.因此，该单位在春节七天的假期间值班表安排方案共有（种）.故选D.5.答案：B解析：由题，令可得，令可得，可得故选B.6.答案：B解析：由题意知所有不同的安排种数为.

“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻可以分两类安排：

①“数”排在第一节，“礼”和“乐”相邻安排，则“礼”“乐”相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，剩下的3艺全排列，安排在其他三个位置，有种情况，故共有种情况；

②“数”排在第二节，“礼”和“乐”相邻安排，则“礼”“乐”相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，剩下的3艺全排列安排在其他三个位置，有种情况，故共有种情况.

由分类加法计数原理知，满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排的情况共有种，

所以所求概率.

故选B.7.答案：10解析：的展开式中，各二项式系数之和为.令可得各项系数之和为则展开式的通项为令可得，故展开式中的系数为8.答案：32解析：若初三学生去小镇，则从高二学生中选1人去小镇，另外三人分别去小镇，故方法数为；若初三学生去小镇，则从高一学生中选1人去小镇，另外三人分别去小镇，故方法数为；若初三学生去小镇，则从高二学生中选1人去小镇，从高一学生中选1人去小镇，另外两人分别去小镇，故方法数为.故总的方法数为.9.答案：解析：由条件可得展开式中共有9