高中数学必修二《第八章 立体几何初步》同步练习

高中数学必修二《第八章立体几何初步》同步练习

《8.1第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征》同步练习

［合格基础练］

一、选择题

1.观察如下所示的四个几何体，其中判断不正确的是（）

A.①是棱柱B.②不是棱锥

C.③不是棱锥D.④是棱台

B［结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③

不是棱锥，故B错误.］

2.下列说法正确的是（）

A.有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台

B.多面体至少有3个面

C.各侧面都是正方形的叫棱柱一定是正方体

D.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形

D［选项A错误，反例如图①；一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4

个面，不存在有3个面的多面体，所以选项B错误：选项C错误，反例如图②,

上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的

定义，知选项D正确.

3.如图所示都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一

样的是（）

①②③④

A.①②B.(2X3)

C.③④D.①©

B［在图②③中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面,

③⑥为对面，故图②③完全一样，而①④则不同.］

4.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜

后水槽中的水形成的几何体是（)

A.棱柱B.棱台

C.棱柱与棱锥的组合体D.不能确定

A［如图.因为有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行

5.用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是（）

A.四边形

B.三角形

C.三角形或四边形

D.不可能为四边形

C［按如图①所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图②所示用

一个平面去截三棱锥，截面是四边形.

①②］

二、填空题

6.一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60cm,则每条侧棱长为—

12［该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，所以每条侧棱

长为12cm.］

7.如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点力出发，围

着三棱柱的侧面爬行一周到达点4,则爬行的最短路程为.

瓜［将三棱柱沿44展开如图所示，则线段力〃即为最短路线，即力〃=

山"则=加］

8.以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成个

三棱锥.

3［如图，三棱台可分成三棱锥如4心,三棱锥如力做，三棱锥

三个.］

三、解答题

9.如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体的构成？有几个

面、几个顶点、几条棱？

［解］这个几何体是由两个同底面的四棱锥组合而成的八面体，有8个面,

都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱.

10.试从正方体力见沙力出。〃的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间

几何体，并且用适当的符号表示出来.

(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；

(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；

(3)三棱柱.

［解］(1)如图①所示，三棱锥4■1(答案不唯一).

(2)如图②所示，三棱锥外力办(答案不唯一).

(3)如图③所示，三棱柱力石〃”切(答窠不唯一).

①②

DiC,

［等级过关练］

1.由五个面围成的多面体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个

面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点，则该多面体是（）

A.三棱柱B.三棱台

C.三棱锥D.四棱锥

B［该多面体有三个面是梯形，而棱锥最多有一个面是梯形（底面），棱柱最

多有两个面是梯形（底面），所以该多面体不是棱柱、棱锥，而是棱台.三个梯形

是棱台的侧面，另两个三角形是底面，所以这个棱台是三棱台.］

2.五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的

对角线，那么一个五棱柱的近角线共有条.

10［在上底面选一个顶点，同时在下底面选一个顶点，且这两个顶点不在

同一侧面上，这样上底面每个顶点对应两条对角线，所以共有10条.］

（8.1第2课时圆柱、圆锥、圆台、球与简单组合体的结构特征》同步练习

［合格基础练］

一、选择题

1.下列几何体中是旋转体的是（）

①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体.

A.①和⑤B.①

C.③和④D.①和④

D［根据旋转体的概念工知，①和④是旋转体.］

2.图①②中的图形折叠后的图形分别是（）

①②

A.圆锥、棱柱B.圆锥、棱锥

C.球、棱锥D.圆锥、圆柱

B［根据图①的底面为圆，侧面为扇形，得图①折叠后的图形是圆锥；根据

图②的底面为三角形，侧面均为三角形，得图②折叠后的图形是棱锥.］

3.圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是（）

A.等边三角形B.等腰直角三角形

C.顶角为30°等腰三角形D.其他等腰三角形

A［设圆锥底面圆的半径为r,依题意可知2nr=n-今则故轴截

44

面是边长为日的等边三角形.

4.如图，在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征

是（）

A.一个棱柱中挖去一个棱柱

B.一个棱柱中挖去一个圆柱

C.一个圆柱中挖去一个棱锥

D.一个棱台中挖去一个圆柱

B［一个六棱柱挖去一个等高的圆柱，选B.］

5.用长为8,宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积

为（）

32168

A.32B,-C.-0,-

O

B［若8为底面周长，则圆柱的高为4,此时圆柱的底面直径为之，其轴截

294

面的面积为三；若4为底面周长，则圆柱的高为8,此时圆柱的底面直径为9，

其轴截面的面积为1

二、填空题

6.如图是一个几何体的表面展开图形，则这个几何体是

圆柱［一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体是圆柱.］

7.下列命题中错误的是.

①过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径；

②母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等；

③圆台所有平行于底面的截面都是圆面；

④圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形.

②［因为圆锥的母线长一定，根据三角形面积公式，当两条母线的夹角为

90°时，圆锥的轴截面面积最大.］

8.一个半径为5cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4cm,

则截面圆面积为cm2.

9n［设截面圆半径为rem,则f+42=5?,所以r=3.所以截面圆面积为

9ncm2.］

三、解答题

9.如图所示，梯形力如中，AD//BC,且AIKBC,当梯形力筋绕力。所在直

线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征.

［解］如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构

成的组合体.

10.一个圆台的母线长为12cm,两底面面积分别为4冗cn?和25兀cm2.

求：

(D圆台的高；

(2)截得此圆台的圆锥的母线长.

［解］(1)圆台的轴截面是等腰梯形力比次如图所示).

由已知可得上底面半径Q/4=2(cm),

下底面半径必=5(cm),

又因为腰长为12cm,

所以高JJ/=A/122-(5-2)2

=3^/15(00)).

(2)如图所示，延长“0Q,勿交于点S设截得此圆台的圆锥的母线长为

7—192

1,则由可得「一解得/=20(cm),即截得此圆台的圆锥

的母线长为20cm.

［等级过关练］

1.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为

()

A.一个球体

B.一个球体中间挖出一个圆柱

C.一个圆柱

D.一个球体中间挖去一个长方体

B［圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱，所以选B.］

2.如图所示，己知圆锥S0中，底面半径r=l,母线长1=4,."为母线必

上的一个点，且S仁人从点."拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点4则绳子的最

短长度的平方K力=.

V+16(0WxW4)［将圆锥的侧面沿附展开在平面上，如图所示,

则该图为扇形，且弧总’的长度/就是圆。的周长，

2

所以£=2几厂=2兀，所以N力S仁；TJX360°=~X360°=90°.

2n/2nVX4

由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM,其值为4仁产获

(0WxW4).

所以/'(x)=4/=炉+16(0WW4).］

《8.2立体图形的直观图》同步练习

［合格基础练］

一、选择题

1.如图，已知等腰三角形力比；则如下所示的四个图中，可能是△力回的直

观图的是()

BC

*

①②③④

A.①②B.②③C.②④D.③④

D［原等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，③④两图分别为在

ZyO'成135°和45°的坐标系中的直观图.］

2.对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述不正确的

是（）

A.三角形的直观图仍然是一个三角形

B.90°的角的直观图会变为45°的角

C.与y轴平行的线段长度变为原来的一半

D.由于选轴的不同，所得的直观图可能不同

B［对于A,根据斜二测画法特点知，相交直线的直观图仍是相交直线，因

此三角形的直观图仍是一个三角形，故A正确；对于B,90。的角的直观图会变

为45°或135°的角，故B错误；C,D显然正确.］

3.把△力8。按斜二测画法得到B'C（如图所示），其中8,O'=CO'

C.等腰三角形D.三边互不相等的三角形

A［根据斜二测画法还原三角形在直角坐标系中的图形，如图所示:

由图易得力Qa三戊=2,故△力a1为等边三角形，故选A.]

4.一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的

上底面尺寸一样，己知长方体的长、宽、高分别为20m、5m.10m,四棱锥的

高为8m,若按1：500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、

宽、高和棱锥的高应分别为（）

A.4cm,1cm,2cm,1.6cm

B.4cm,0.5cm,2cm,0.8cm

C.4cm,0.5cm,2cm,1.6cm

D.2cm,0.5cm,1cm,0.8cm

C[由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4cm,1cm,2cm

和1.6cm,再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4cm,0.5cm,

2cm,1.6cm.]

5.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底

均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）

A.2+镜B.

C.亨D.14-^

A[画出其相应平面图易求，故选A.

二、填空题

6.斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点以4,4）在直观图中的对应点

是〃,则点和的坐标为.

犷（4,2）[在/轴的正方向上取点M,使。'赫=4,在/轴上取点他

使0'题=2,过M和助分别作平行于/轴和/轴的直线，则交点就是〃.]

7.水平放置的△力回的斜二测直观图如图所示，已知/C=3,B'C=

2,则46边上的中线的实际长度为.

/c（of）

2.5［由直观图知，由原平面图形为直角三角形，且力a4C=3,BC

=2夕C=4,计算得4Q5,所求中线长为2.5.］

8.如图所示，水平放置的△力宛在直角坐标系中的直观图,其中〃是4C

的中点，且N/物30°,则原图形中与线段劭的长相等的线段有条.

2为直角三角形，因为〃为力C中点，所以BD=AD=CD.所以与BD

的长相等的线段有2条.］

三、解答题

9.如图，△/夕C是水平放置的平面图形的直观图，试画出原平面图形

△ABC.

［解］（1）画法：过r*分别作/轴的平行线交v轴于〃'，e；

⑵在直角坐标系中.在*轴上取一点反。使〃/?=〃'F：,00=0'〃'，

再分别过发〃作y轴平行线，取成=2/B',DC=2DfC.

连接如，OC,a'即求出原△力比：

10.画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图.

［解］（1）画轴.画x轴、y轴、z轴，使Nx勿=45°,Zx0z=90°,如图

①.

(2)画底面.以。为中心在x勿平面内画出正方形水平放置的直观图力比0

⑶画顶点.在龙轴上截取例使“的长度是原四棱锥的高.

(4)成图.连接力、PB、PC、PD,并擦去辅助线，得四棱锥的直观图如图②.

［等级过关练］

1.已知两个圆锥，底面重合在一起,其中一个圆锥顶点到底面的距离为2cm,

另一个圆锥顶点到底面的距离为3cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为

()

A.2cmB.3cmC.2.5cmD.5cm

D［由题意可知其直观图如图：

由图可知两个顶点之间的距离为5cm.故选D.］

2.已知用斜二测画法，画得的正方形的直观图面积为18^/2,则原正方形的

面积为.

72［如图所示，作出正方形如a'的直观图O'Ar6'。，作△D'

轴于点〃'.

S直观图=O'A'XC.又S正方形=OC^0A.

所以篙=。‘，又在RtA。'6V中，O'6V=封D',

即C=C,结合平面图与直观图的关系可知以=0'A',0C=

2”,所以冷20'C

WOA^ffC

乙

又Sn观国=1队所以S正力形=2，^X18，^=72.］

<8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》同步练习

［合格基础练］

一、选择题

1.如图，ABC-A'B'C是体积为1的棱柱，则四棱锥3阳'B'8的体积

2.正方体的表面积为96,则正方体的体积为（）

A.48mB.64C.16D.96

［答案］B

3.棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成1：2（从顶点到截面与从

截面到底面）两部分，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于

（）

A.1：9B.1：8C.1：4D.1：3

B［两个锥体的侧面积之比为1：9,小锥体与台体的侧面积之比为1：8,

故选B.］

4.若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积

与正四面体的表面积之比是（）

A.小B.小C.录D.乎

A［如图所示，正方体的4、。'、〃、8的四个顶点可构成一个正四面体,

设正方体边长为a,

则正四面体边长为明a

，正方体表面积S=6才，

正四面体表面积为

W=4X乎X（啦a）2=2勺3，,

・S6,r-］

•*_诉f.J

5.四棱台的两底面分别是边长为x和y的正方形，各侧棱长都相等，高为

幻且侧面积等于两底面积之和，则下列关系式中正确的是（）

11,111,1

A.-=一+—B.-=一十一

xyzyxz

C［由条件知，各侧面是全等的等腰梯形，设其高为〃，则根据条件得,

4•亨•力'=/+/

消去方得，4z2(x+y)2+(y—/)2(尸|_力2=(3+/)2

，4z2(x+y)2=4/A

.•・z(x+。=xy,

xy

二、填空题

6.已知一个长方体的三个面的面积分别是，L乖，则这个长方体的

体积为.

ab=小,

ac=小,

{bc=邓,

三式相乘得（物?）2=6,故长方体的体积V=abc=#）.]

7.己知棱长为1,各面均为等边三角形的四面体，则它的表面积是,

体积是.

乖*[S表=4X乎XI=：，

1•乙X

8.长方体力比245G〃中，宽、长、高分别为3、4、5,现有一个小虫从力

出发沿长方体表面爬行到G来获取食物，则其路程的最小值为.

取[把长方体含力G的面作展开图，有三种情形如图所示：利用勾股定理

可得4G的长分别为啊、乖、胸.

①②③

由此可见图②是最短路线，其路程的最小值为点.]

三、解答题

9.已知四面体力政力中，力9=09=/^,BC=AD=2乖,BD=AC=5,求四面

体力町9的体积.

［解］以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图.

设长方体的长、宽、高分别为x,y，z,

'*+/=13,

则</+/=20,

+^=25,

x=3,

尸2,

2=4.

=

VO-ABE~^DE•丛碑=W/长方体，

同理，匕：A8f=/%*（；=力解=云/长方体，

0

P四面体小=/长方体一4X，长方产，长方体.

而夕长方体=2X3X4=24，•,/四面体做外=8.

10.如图，已知正三棱锥34%的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高

SO=3,求此正三棱锥的表面积.

［解］如图，设正三棱锥的底面边长为外斜高为力'，过点。作。氏L/昆

与力8交于点反连接阳则如仍SE=h'.

•*S侧=2S底,

*.a=^3hl.

♦：SOIOE,:.S6+0E=SE.

・・・32+伶x/"卜〃2.

：.h'=2，5,：.a=yfi/i,=6.

，5底=彳才=jX62=9>\^3,S例=2S底=18-

••.5表=5恻+5底=]8、/5+”^=274.

［等级过关练］

1.用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕

开，则所需纸的最小面积是

8［如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展

成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知

正方形的边长为2嫄，其面积为8.

图①

2.如图，在多面体ABCDEF中,已知平面力仇力是边长为4的正方形，£汽〃力昆

EF=2,即上任意一点到平面力四的距离均为3,求该多面体的体积.

［解］如图，连接便，比:四棱锥5力均力的体积

YAB=2EF,EF//AB,

**•S&萩=2S(\BEF，

/二帔雄片取=V三技傕喈=5/二校tuc碗二极批&耽=5X5,四板谶后欣》=4.

•••多面体的体积V—/四枝曾—>0+/：棱桃q故'=16+4=20.

<8.3.2第1课时圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积》同步练习

［合格基础练］

一、选择题

1.面积为。的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为（）

A.冗0B.2兀0C.3冗0D.4n0

B［正方形绕其一边旋转一周，得到的是圆柱，其侧面积为S=2/人=

2n•5・、^=2兀Q故选B.］

2.一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32n,则

母线长为（）

A.2B.2y［2

C.4D.8

C［圆台的轴截面如图，

由题意知，/=:（r+而，5墉价旭=n（r+心・）=兀•27•7=32n,

乙

・・・/=4.]

3.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体

的侧面积是（）

A.4nB.3nC.2nD.n

C[底面圆半径为1f局为1,侧面积S=2nrh=2nX1X1—2n.故选C.]

4.已知某圆柱的底面周长为12,高为2,矩形力四是该圆柱的轴截面，则

在此圆柱侧面上，从力到。的路径中，最短路径的长度为（）

A.2710B.2^5C.3D.2

A[圆柱的侧面展开图如图，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为12,

宽为2,则在此圆柱侧面上从力到C的最短路径为线段力C,力仁卷行=2四.

故选A.]

5.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1：3,

这截面把圆锥母线分为两段的比是（）

A.1：3B.1：4一1）C.1：9D.A/3：2

B[由面积比为1：3,知小圆锥母线与原圆锥母线长之比为1：小,故截

面把圆锥母线分为1：（水一1）两部分，故选B.]

二、填空题

6.表面积为3B的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直

径为.

2[设圆锥的母线为1,圆锥底面半径为r,由题意可知，nr7+n?=3兀，

且n7=2nr.解得r=l,即直径为2.］

7.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用

一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸,

盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是寸.

（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）

3［圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的等腰梯

形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，所以降水量为

y（102+10X6+62）X9

=3（寸）.］

8.圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm,它的侧面展开图扇环的

圆心角是180°（如图），那么圆台的体积是

7000n厂二「。20-100

；cm3[180°=­--X360°,A7=20,

力=1。\百，『=；兀(H+d+r^)•0=7°°°^.(cm3).]

JJ

三、解答题

9.若圆锥的表面积是15兀，侧面展开图的圆心角是60°,求圆锥的体积.

［解］设圆锥的底面半径为八母线为7,

贝!J2nr=Jn7,得7=6r.

O

12f115r-25m

V=-nrh=-nX—X5^/3=―笠五.

OOII

10.如图是一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放

着一个底面直径为6cm,高为20cm的圆锥形铅锤，且水面高于圆锥顶部，当

铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少?

因为圆锥形铅锤的体积为:XnX

［解］2X20=60冗〔而），设水面下降

O

的高度为xcm,则小圆柱的体积为兀（用2才=100冗£

所以有60冗=100nx,解此方程得x=0.6.

故杯里的水将下降0.6cm.

［等级过关练］

1.已知圆柱的侧面展开图矩形面积为S,底面周长为G它的体积是（）

1C4ns

B，C

C.卢SC

D.--

2n4n

Ch=S

D［设圆柱底面半径为r,高为力，则

C=2Jir

C,S

-方h=C

SSC「

・••佐=冗f•h=n

2D

2.如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最

大值为a,最小值为b.那么圆柱被截后剩下部分的体积是

三竽包［采取补体方法，相当于一个母线长为d+b的圆柱截成了两个

体积相等的部分，所以剩下部分的体积「="

《8.3.2第2课时球的表面积和体积》同步练习

［合格基础练］

一、选择题

1.如果三个球的半径之比是1：2：3,那么最大球的表面积是其余两个球

的表面积之和的（）

59

倍倍C.2倍D.3倍

A.Ky□

B［设小球半径为1,则大球的表面积S大=36n,S小+S中=20n,瞿=

£a\JJI

-］

5'J

2.把半径分别为6cm,8cm,10cm的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁

球的半径为（）

A.3cmB.6cm

C.8cmD.12cm

4444

D［由鼻”"=鼻冗•63+-n•83+-n•IO3,得"=1728,检验知412.］

ooJo

3.将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几

何体的表面积为（）

A.2nB.3n

C.4nD.6n

B［由题意知，该几何体为半球，表面积为大圆面积加上半个球面积，S

"?

=nX1+^X4XHX1=3n.］

4.将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为（）

B［根据题意知，此球为正方体的内切球,所以球的直径等于正方体的棱长,

故r=l,所以勺［冗/=等.］

J0

5.己知圆柱的高为L它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面

上，则该圆柱的体积为（）

3JlJTH

A.nB.C.-D.—

A乙q

B［设圆柱的底面半径为r,球的半径为凡且k1,由圆柱两个底面的圆

周在同一个球的球面上可知，r,斤及圆柱的高的一半构成直角三角形.

QR冗

n

圆柱的体积为v=兀办=4X1=—

故选B.］

二、填空题

6.若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为

4

3［设此球的半径为此则4114=三五川，43.］

<5

7.如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积

为.

俯视图

33n［由三视图可知该几何体是上面为半球，下面为圆锥的组合体，所以

?

表面积X3H-HX3X5=33n.］

8.如图，在圆柱QQ内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相

切，记圆柱QQ的体积为九球。的体积为七,则/的值是.

5［设球。的半径为此

・・,球。与圆柱。。的上、下底面及母线均相切，

・•・圆柱的高为2兄底面半径为日

匕・2斤3

=2J

三、解答题

9.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形,

若图中r=l,7=3,试求该组合体的表面积和体积.

［解］该组合体的表面积

S=4冗/+2nr/=4冗Xj+2冗X1X3=10n.

44［qJI

该组合体的体积V=-Jir+Hr7=-nXI3+nX12X3=~z—.

JJo

10.己知过球面上4B,。三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且

47=18,及7=24,47=30,求球的表面积和体积.

［解］因为48：BC：4=18：24：30=3：4：5,

所以△儿笫是直角三角形，N8=90°.

又球心。到截面的投影0,为截面圆的圆心,

也即是Rt△川町的外接圆的圆心，

所以斜边力。为截面圆0'的直径（如图所示），

设O'C=rfOC=R,

则球半径为吊截面圆半径为r,

在Rtz\0'CO中，由题设知sinNO'但空丁=4,

（JC乙

所以Z0'CO—30°,所以万一cos30°—

11乙

2

即月=下r,(*)

又2r=〃^30=r=15,代入(*)得7?=l(h/§.

所以球的表面积为S=4五〃=4冗X(is/5)2=l200JI.

球的体积为五川X(10^/3)3=4000^/3n.

JO

［等级过关练］

1.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和

球的表面积之比为（）

A.4：3B.3：1C.3：2D.9：4

C［作圆锥的轴截面，如图，设球半径为尼则圆锥的高力=3尺圆锥底面

半径尸小兄

0+'

R\

B0C

则（力+r）_2<3凡所以x―五用一一一5」

2.在封闭的直三棱柱463456内有一个体积为『的球.若ABLBC"B=6,

BC=8,44=3,贝ij/的最大值是.

9JT

F[当球的半径最大时，球的体积最大.在直三棱柱内，当球和三个侧面

都相切时，因为力AL8G力8=6,BC=8,所以力C=10,底面的内切圆的半径即

为此时球的半径1=6+：-10=2,直径为4>侧棱.所以球的最大直径为3,半

径为去此时体积勺等.]

《8・4.1平面》同步练习

[合格基础练]

一、选择题

1.已知点小直线小平面。，以下命题表述正确的个数是（）

①RWa,血。=4庄a；②力£&。=力£a；③力住aaua=*a；④力

aua=[ua.

A.0B.1C,2D.3

A[①不正确，如aGa=A^②不正确，a”表述错误；③不正确,

如图所示，力住aaua,但力Ea：④不正确，"4ua”表述错误.]

2.下列命题中正确命题的个数是（）

①三角形是平面图形；

②四边形是平面图形；

③四边相等的四边形是平面图形；

④圆是平面图形.

A.1个B.2个C.3个D.4个

B[根据，基本事实1瓦知①④正确，②③错误.故选B.]

3.两个平面若有三个公共点，则这两个平面（）

A.相交B.重合

C.相交或重合D.以上都不对

C［若三点在同一条直线上，则这两个平面相交或重合，若三点不共线，则

这两个平面重合.］

4.如果空间四点4B,C,〃不共面，那么下列判断中正确的是（）

A.AfB,C,〃四点中必有三点共线

B.A,B,C,〃四点中不存在三点共线

C.直线仍与⑦相交

D.直线用与口平行

B［两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面，

选B.］

5.三条两两平行的直线可以确定平面的个数为（）

A.0B.1C.0或1D.1或3

D［当三条直线是同一平面内的平行直线时，确定一个平面，当三条直线是

三棱柱侧棱所在的直线时，确定三个平面，选D.］

二、填空题

6.设平面a与平面£相交于直线aua,直线aC\b=M,则"

1.

£［因为aC\b=M,auQ,所以蛇a,J/G£.又因为aDB=1,

所以庄上］

7.在长方体的所有棱中，既与18共面，又与制共面的棱有

5［由题图可知，既与力8共面又与阳共面的棱有切、BC、仍、加、C。

共5条.］

8.已知平面。与平面£、平面/都相交，则这三个平面可能的交线有

条.

1或2或3［当£与了相交时，若。过£与/的交线，有1条交线;

若。不过£与y的交线，有3条交线；当£与/平行时，有2条交线.］

三、解答题

9.己知：A"BG1,Cel,协1,如图所示.

D

求证：直线力〃BD,勿共面.

［证明］因为a/,所以/与〃可以确定平面。，

因为/所以力£a,

又DRa,所以/ZAzo.同理，BDaa,CDaa,

所以力〃，BD,勿在同一平面a内，

即它们共面.

10.求证：三棱台48G4回三条侧棱延长后相交于一点.

［证明］如图，延长力4,以，

设A&CB&=P,又第j平面6C,・•・卢£平面6C,

力4u平面力C,・•・〃£平面力G,

・•，为平面BQ和平面AC的公共点，

又：平面阳n平面阳=。6,

:・PeCC\,

即14,BB、,CG延长后交于一点已

［等级过关练］

1.如图，0n£=/,/IEafCGB,6^7,直线49G7=。，过力、B、。三

点确定的平面为r，则平面y、£的交线必过（）

A.点AB.点8

C,点、C,但不过点DD.点。和点〃

D[A.8、C确定的平面r与直线物和点。确定的平面重合，故y,

且C、DRB,故G〃在7和£的交线上.]

2.若直线/与平面Q柞交于点0,AfBG1,3DGa,豆AC//BD,则0,

C,〃三点的位置关系是.

共线I•:AC〃BD,：.AC与初确定一个平面，记作平面£,则aHB=CD.

V/na=Ot：,0Ga.又・・,0£/氏£,，。仁直线。9,

：.0,C,〃三点共线.]

《8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系》同步练习

[合格基础练]

、选择题

1.若a和6是异面直线，6和。是异面直线，则a和。的位置关系是（）

A.异面或平行B.异面或相交

C.异面D.相交、平行或异面

D[异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明，a,6异面，

直线c的位置可如图所示.

2.给出以下结论:

（1）直线，〃平面a,直线9。，则3〃6；

（2）若au。，M.a,则ab无公共点；

⑶若闻。，则a〃。或a与。相交；

⑷若dPla=4,则M。.

正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

B[结合直线与平面的位置关系可知，（1）（2）错误，

（3）（4）正确.]

3.过平面外两点作该平面的平行平面，可以作（）

A.0个B.1个

C.0个或1个D.1个或2个

C[平面外两点的连线与已知平面的位置关系有两种情况：

①直线与平面相交，可以作0个平行平面；

②直线与平面平行，可以作1个平行平面.]

4.若直线a不平行于平面%则下列结论成立的是（）

A.。内的所有直线都与直线a异面

B.。内不存在于a平行的直线

C.。内的直线都与〃相交

D.直线a与平面。有公共点

D[直线a不平行于平面a,则d与平面。相交或aua.]

5.若a,6为异面直线，直线。〃a,则。与6的位置关系是（）

A.相交B.异面

C.平行D.异面或相交

D[由空间直线的位置关系，知c与。可能异面或相交.]

二、填空题

6.若直线）上有两点到平面a的距离相等，则直线/与平面a的关系

是.

平行或相交[当这两点在。的同侧时，/与a平行；当这两点在。的异

侧时，）与o相交.]

7.在四棱锥尸力筋中，各棱所在的直线互相异面的有对.

8［以底边所在直线为准进行考察，因为四边形力比7?是平面图形，4条边

在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2

对异面直线，所以共有4X2=8(对)异面直线.］

8.如图所示，在正方体力比245G〃中判断下列位置关系：

(1)A"所在直线与平面BCC,的位置关系是；

(2)平面4阳与平面4%。的位置关系是.

(1)平行(2)相交［(13〃所在的直线与平面发力没有公共点，所以平行;

(2)平面4阳与平面力闱7有公共点况故相交.］

三、解答题

9.如图所示，在长方体力仇出力山。〃中，直线5〃与长方体的六个面之间

的位置关系如何？

［解］白〃在平面4G内，与平面8G,唐他,切都相交，笈〃与平

面力。平行.

10.如图，在正方体力顺•456〃中，夕是力4的中点，画出过〃，3月的

平面与平面48分4的交线，并说明理由.

［解］如图，取四的中点凡连接即，ABCF.

B

因为£是44的中点，

所以EF〃AE

在正方体力a2456〃中，AD〃BC,A\D尸BC,

所以四边形48四是平行四边形.

所以48〃勿，所以〃〃勿.

所以eF,C,〃四点共面.

因为££平面力第4,£W平面〃宙

庄平面力能4,飞平面〃圆

所以平面力微4n平面DCE=EF.

所以过几C,少的平面与平面力打我4的交线为成

［等级过关练］

1.以下四个命题：

①三个平面最多可以把空间分成八部分；

②若直线au平面。，直线k平面£,则“a与6相交”与“。与£相交”

等价;

③若aCB=l,直线au平面a,直线9平面£,且aC\b=P,则PRh

④若〃条直线中任意两条共面，则它们共面.其中正确的是（）

A.①②B.②③C.③@D.①③

D［对于①，正确；对于②，逆推“。与£相交”推不出Q与6相交”，

也可能a〃力；对于③，正确；对于④，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，

但这4条侧棱并不共面，故④错.所以正确的是①③.］

2.己知，在梯形4%力中，ABHCD,被=平面a,办平面%则直线必

与平面a内的任意一条直线力的位置关系是.

平行或异面［如图，由于//仇力是梯形，AB//CD,所以仍与口无公共点,

又必I平面a,所以勿与平面a无公共点.当卬〃43时，则m//DCx当勿与AB

相交时，则力与〃。异面.］

《8.5.1直线与直线平行直线与平面平行》同步练习

［合格基础练］

一、选择题

1.如图所示，长方体［aD45G〃中，E、/分别是棱44和微的中点，过

跖的平面加第分别交房和力。于G、H