数学教案：算法的基本思想

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第二章算法初步算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础．随着现代信息技术的飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并融入社会生活的方方面面,算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养．需要特别指出的是，中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想．在这一章中,学生将在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上,结合对具体数学实例的分析，体验算法框图在解决问题中的作用；通过模仿、操作、探索，学习设计算法框图表达解决问题的过程；体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力．算法作为新名词，在以前的数学教科书中没有出现过，但是算法本身，同学们并不陌生．解方程的算法、解不等式的算法、因式分解的算法，都是同学们熟知的内容．只是算法的基本思想、特点，学习算法的必要性等问题没有专门涉及．因此，本章中的算法的基本思想,将针对同学们熟悉的一些问题，分析解决这些具体问题的算理，整理出相应问题的解决步骤，然后抽象概括出更具一般意义的算法．通过这个过程，让学生体会算法的程序化思想．同时,针对同样的问题，我们给出不同的算法，让同学们意识到:同一个问题可能存在着多种算法，算法之间有优劣之分．接下来,通过求方程近似解，让同学们意识到学习算法的必要性——将问题的解决过程即算法交给计算机完成,能够极大地提高效率．接下来，介绍算法的基本结构．顺序结构和选择结构是学生比较容易接受的，循环结构则比较难以理解．分析造成理解困难的原因之一是变量以及对变量的处理-—赋值．在循环结构的学习中，总结了循环结构的三个要素-—循环变量、循环体和循环的终止条件，并提供了可供学生模仿、操作的算法算法框图．排序算法可以说是应用最广泛的算法了，而且又易于理解，便于接受，是算法教学的良好素材．教科书选择这个问题作为专题来讨论，给学生提供了一个完整的分析、设计算法的过程，也给了学生一个应用前面所学的关于变量和结构的知识的机会．在前面的学习中，我们分别用自然语言和算法框图来描述算法,这两种方式各有优缺点．要将算法最终交给计算机执行，需要用程序语言来表述算法，程序语言有很多种，但是有一些基本语句是这些语言都要用到的：输入输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，在本章的最后介绍了这几种基本语句．值得注意的是：1．注重对算法基本思想的理解．算法是高中数学课程中的新内容，其思想非常重要，但并不神秘．例如,运用消元法解二元一次方程组、求最大公因数等的过程本质上就是算法．本模块中的算法内容是将数学中的算法与计算机技术建立联系,形式化地表示算法,在条件允许的学校,使其能在计算机上实现．为了有条理地、清晰地表达算法，往往需要将解决问题的过程整理成算法框图；为了能在计算机上实现，还需要将自然语言或算法框图翻译成计算机语言．本模块的主要目的是使学生体会算法的思想，提高逻辑思维能力．不要将此部分内容简单处理成程序语言的学习和程序设计．2．算法教学必须通过实例进行．使学生在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑结构和语句．有条件的学校,应鼓励学生上机尝试运行程序．在实例的选择中，我们要把握这样一些原则：亲和原则：选取的例子要贴近学生，或者来自学生的生活实践，或者是学生所学过的数学知识．趣味性原则：选取的实例一般要有丰富的背景，本身要有趣味性．基础性原则：问题本身的算理并不难,只要蕴涵丰富的算法思想即可．可操作性原则：所选取问题的算法一般能在计算机上实现．3。算法教学要注意循序渐进,先具体再抽象,先了解算理，再描述算法．通常,我们说一个算法越是抽象，有一般意义，应用就越广泛，越能体现算法本身的应用价值．但是，作为教学意义上的算法则不同，一定要从具体问题出发分析算法的算理及算法步骤，然后抽象概括出一般意义的算法，画出算法算法框图，并在这个过程中，学习使用变量、赋值，学习更好地表述算法，以便在计算机上操作执行．算法的教学中，变量的理解、赋值的应用、循环结构的理解是重点和难点，教师要注意分散这些难点．学生对算法思想的认识、概念的把握、知识的灵活应用及能力的形成不是一次完成的,而是要把这些作为教学目标渗透在整章的学习中．本章教学时间约需8课时，具体分配如下（仅供参考）：§1算法的基本思想约1课时§2算法框图的基本结构及设计约4课时§3几种基本语句约2课时§1算法的基本思想eq\o（\s\up7(),\s\do5（整体设计)）教学分析算法在中学数学课程中是一个新的概念,但其没有一个精确化的定义，教科书只对它作了如下描述：“算法是解决某一类问题的步骤和程序．”为了让学生更好地理解这一概念，教科书用5个例子来说明算法的实质．教学中，应从学生非常熟悉的例子引出算法，再通过例题加以巩固．三维目标1．正确理解算法的概念,掌握算法的基本特点．2．通过例题教学,使学生体会设计算法的基本思路．3．通过有趣的实例使学生了解算法这一概念的同时,激发学生学习数学的兴趣．重点难点教学重点：算法的含义及应用．教学难点:写出解决一类问题的算法．课时安排1课时eq\o(\s\up7（),\s\do5(教学过程）)导入新课思路1.一个人带着三只狼和三只羚羊过河,只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃掉羚羊．此人如何将动物完好地转移过河?请同学们写出解决问题的步骤，解决这一问题将要用到我们今天学习的内容——算法．思路2。大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧，宋丹丹说了一个笑话,把大象装进冰箱总共分几步？答案：分三步，第一步:把冰箱门打开；第二步：把大象装进去；第三步：把冰箱门关上．上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法，今天我们开始学习算法的概念．思路3。算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算科学的重要基础．在现代社会里，计算机已成为人们日常生活和工作中不可缺少的工具．如听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据都能通过计算机实现,计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题,算法的学习是一个开始．推进新课eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(新知探究）)eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出问题)）1．解二元一次方程组有几种方法?2．结合实例eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x－2y＝－1，①，2x＋y＝1，②））总结用加减消元法解二元一次方程组的步骤．3．结合实例eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x－2y＝－1，①，2x＋y＝1，②）)总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤．4．请写出解一般二元一次方程组的步骤．5．根据上述实例谈谈你对算法的理解．6．请同学们总结算法的特征．7．请思考我们学习算法的意义．讨论结果：1．代入消元法和加减消元法．2．回顾二元一次方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＝－1，①,2x＋y＝1②))的求解过程，我们可以归纳出以下步骤：第一步，①＋②×2，得5x＝1.③第二步，解③，得x＝eq\f(1,5）.第三步，②－①×2，得5y＝3.④第四步，解④，得y＝eq\f（3，5）.第五步，得到方程组的解为eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝\f（1,5)，，y＝\f(3,5)。））3．用代入消元法解二元一次方程组eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x－2y＝－1，①，2x＋y＝1,②))我们可以归纳出以下步骤：第一步,由①得x＝2y－1。③第二步，把③代入②，得2（2y－1）＋y＝1.④第三步，解④得y＝eq\f（3，5).⑤第四步，把⑤代入③,得x＝2×eq\f(3，5)－1＝eq\f（1,5）.第五步，得到方程组的解为eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝\f(1，5)，，y＝\f（3，5).)）4．对于一般的二元一次方程组eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a1x＋b1y＝c1，，a2x＋b2y＝c2,）)eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（①，②））其中a1b2－a2b1≠0，可以写出类似的求解步骤：第一步，①×b2－②×b1，得（a1b2－a2b1）x＝b2c1－b1c2第二步，解③,得x＝eq\f（b2c1－b1c2,a1b2－a2b1)。第三步，②×a1－①×a2，得（a1b2－a2b1)y＝a1c2－a2c1第四步，解④，得y＝eq\f（a1c2－a2c1，a1b2－a2b1）。第五步,得到方程组的解为eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f（b2c1－b1c2，a1b2－a2b1)，，y＝\f（a1c2－a2c1，a1b2－a2b1）。））5．算法的定义：广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，菜谱是做菜的算法，等等．在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤．现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．6．算法的特征：①确定性：算法的每一步都应当做到准确无误、“不重不漏"．“不重”是指不是可有可无的,甚至无用的步骤,“不漏”是指缺少哪一步都无法完成任务．②逻辑性：算法从开始的“第一步”直到“最后一步"之间做到环环相扣，分工明确，“前一步”是“后一步”的前提，“后一步”是“前一步”的继续．③有穷性：算法要有明确的开始和结束,当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制地持续进行．7．在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤来解决问题，这些步骤称为解决这些问题的算法．也就是说，算法实际上就是解决问题的一种程序性方法．算法一般是机械的,有时需进行大量重复的计算，它的优点是一种通法,只要按部就班地去做,总能得到结果．因此算法是计算科学的重要基础．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（应用示例））思路11在给定素数表的条件下，设计算法，将936分解成素因数的乘积．（4000以内的素数表见教科书附录1）分析：1.查表判断936是否为素数:(1)如果936是素数，则分解结束；（2）如果936不是素数，则进行第2步．2．确定936的最小素因数：2。936＝2×468。3．查表判断468是否为素数:(1）如果468是素数，则分解结束；(2）如果468不是素数，则重复上述步骤，确定468的最小素因数．重复进行上述步骤,直到找出936的所有素因数．解:算法步骤如下：1．判断936是否为素数:否．2．确定936的最小素因数：2。936＝2×468。3．判断468是否为素数:否．4．确定468的最小素因数:2。936＝2×2×234.5．判断234是否为素数：否．6．确定234的最小素因数：2936＝2×2×2×117.7．判断117是否为素数：否．8．确定117的最小素因数：3。936＝2×2×2×3×39.9．判断39是否为素数：否．10．确定39的最小素因数:3。936＝2×2×2×3×3×13。11．判断13是否为素数:13是素数，所以分解结束．分解结果是936＝2×2×2×3×3×13。点评：以上步骤是解决素因数分解问题的一个过程，只要依照这一系列步骤，都能解决这个问题．我们把这一系列步骤称为解决这个问题的一个算法。变式训练设计一个算法，求840与1764的最大公因数．分析：我们已经学习了对自然数进行素因数分解的方法，下面的算法就是在此基础上设计的．解答这个问题需要按以下思路进行．首先，对两个数分别进行素因数分解:840＝23×3×5×7，1764＝22×32×72.其次，确定两数的公共素因数：2，3,7。接着，确定公共素因数的指数：对于公共素因数2，22是1764的因数，23是840的因数，因此22是这两个数的公因数,这样就确定了公共素因数2的指数为2.同样，可以确定出公因数3和7的指数均为1.这样，就确定了840与1764的最大公因数为22×31×71＝84。解:算法步骤如下：1．先将840进行素因数分解：840＝23×3×5×7；2．然后将1764进行素因数分解:1764＝22×32×72;3．确定它们的公共素因数:2，3，7；4．确定公共素因数的指数：公共素因数2,3，7的指数分别为2，1,1；5．最大公因数为22×31×71＝84。例2一位商人有9枚银元，其中有1枚略轻的是假银元．你能用天平(不用砝码)将假银元找出来吗？分析：最容易想到的解决这个问题的一种方法是：把9枚银元按顺序排成一列，先称前2枚，若不平衡，则可找出假银元；若平衡，则2枚银元都是真的，再依次与剩下的银元比较，就能找出假银元．图1解：按照下列步骤，就能将假银元找出来：1．任取2枚银元分别放在天平的两边．如果天平左右不平衡，则轻的一边就是假银元；如果天平平衡，则进行第2步．2．取下右边的银元，放在一边,然后把剩余的7枚银元依次放在右边进行称量,直到天平不平衡，偏轻的那一枚就是假银元．这种算法最少要称1次，最多要称7次．是不是还有更好的办法，使得称量次数少一些？我们可以采用下面的方法:图21．把银元分成3组，每组3枚．2．先将两组分别放在天平的两边．如果天平不平衡，那么假银元就在轻的那一组;如果天平左右平衡，则假银元就在未称的第3组里．3．取出含假银元的那一组，从中任取两枚银元放在天平的两边．如果左右不平衡，则轻的那一边就是假银元；如果天平两边平衡,则未称的那一枚就是假银元．点评：经分析发现，后一种算法只需称量2次，这种做法要明显好于前一种做法．当然，这两种方法都具有一般性，同样适用于n枚银元的情形．这是信息论中的一个模型，可以帮助我们找出某些特殊信息．从上面的问题中可以看出，同一个问题可能存在着多种算法，其中一些可能要比另一些好．在实际问题和算法理论中,找出好的算法是一项重要的工作．思路2例1(1）设计一个算法,判断7是否为质数；（2)设计一个算法,判断35是否为质数．分析：（1)根据质数的定义，可以这样判断：依次用2～6除7，如果它们中有一个能整除7，则7不是质数，否则7是质数．解：(1）①用2除7，得到余数1.因为余数不为0,所以2不能整除7.②用3除7，得到余数1.因为余数不为0，所以3不能整除7。③用4除7，得到余数3。因为余数不为0，所以4不能整除7.④用5除7,得到余数2.因为余数不为0，所以5不能整除7.⑤用6除7，得到余数1。因为余数不为0，所以6不能整除7.因此,7是质数．（2)类似地，可写出“判断35是否为质数”的算法：①用2除35，得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除35。②用3除35，得到余数2。因为余数不为0，所以3不能整除35。③用4除35，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除35。④用5除35，得到余数0.因为余数为0，所以5能整除35.因此，35不是质数．点评:上述算法有很大的局限性，用上述算法判断35是否为质数还可以,如果判断1997是否为质数就比较麻烦了，因此，我们需要寻找更实用的算法步骤.变式训练请写出判断n(n＞2）是否为质数的算法．分析：对于任意的整数n（n＞2），若用i表示2~（n－1)中的任意整数,则“判断n是否为质数”的算法包含下面的重复操作：用i除n,得到余数r.判断余数r是否为0，若是，则不是质数；否则，将i的值增加1，再执行同样的操作．这个操作一直要进行到i的值等于（n－1)为止．解：1。给定大于2的整数n。2．令i＝2。3．用i除n，得到余数r.4．判断“r＝0”是否成立．若是，则n不是质数,结束算法；否则，将i的值增加1,仍用i表示．5．判断“i＞(n－1）"是否成立．若是,则n是质数，结束算法;否则，返回第3步.例2写出用“二分法”求方程x2－2＝0(x＞0）的近似解的算法．分析：令f（x)＝x2－2，则方程x2－2＝0(x＞0）的解就是函数f(x)的零点．“二分法”的基本思想是:把函数f(x)的零点所在的区间[a，b］〔满足f(a）·f(b）＜0〕“一分为二”，得到［a，m]和[m，b］．根据“f(a)·f(m）＜0”是否成立，取出零点所在的区间［a，m］或［m，b]，仍记为［a，b]．对所得的区间[a，b］重复上述步骤，直到包含零点的区间［a，b]“足够小”，则［a，b]内的数可以作为方程的近似解．解：1。令f(x)＝x2－2，给定精度d.2．确定区间［a,b]，满足f(a)·f（b)＜0.3．取区间中点m＝eq\f（a＋b,2）.4．若f(a）·f（m)＜0，则含零点的区间为［a，m]；否则，含零点的区间为[m，b］．将新得到的含零点的区间仍记为[a,b］．5．判断［a,b]的长度是否小于d或f(m)是否等于0.若是，则m是方程的近似解;否则,返回第三步．当d＝0。005时,按照以上算法，可以得到下表:ab｜a－b|12111。50.51.251。50.251.3751.50.1251.3751.43750.06251。406251。43750.031251。406251。4218750。0156251.41406251。4218750.00781251.41406251。417968750.00390625于是，开区间(1.4140625,1。41796875)中的实数都是当精度为0。005时的原方程的近似解．实际上,上述步骤也是求eq\r(2)的近似解的一个算法．点评：算法一般是机械的，有时需要进行大量的重复计算，只要按部就班地去做，总能算出结果，通常把算法过程称为“数学机械化”．数学机械化的最大优点是它可以借助计算机来完成，实际上处理任何问题都需要算法．如：中国象棋有中国象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则;而国际象棋有国际象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则；再比如申请出国有一系列的先后手续,购买物品也有相关的手续……变式训练求方程f(x)＝x3＋x2－1＝0在区间［0,1]上的近似解，精度为0。01。解：根据上述分析，可以通过下列步骤求得方程的近似解:1．因为f(0)＝－1,f(1)＝1，f(0)·f（1)＜0，则区间［0，1］为有解区间，精度1－0＝1＞0。01；2．取[0，1］的区间中点0.5；3．计算f（0.5)＝－0。625;4．由于f（0。5)·f(1)＜0，可得新的有解区间［0.5，1］，精度1－0。5＝0.5＞0.01；5．取[0.5，1]的区间中点0。75；6．计算f（0。75)＝－0。015625；7．由于f(0。75)·f（1）＜0，可得新的有解区间[0。75，1],精度1－0。75＝0.25＞0。01；……当得到新的有解区间［0。75，0。75782]时，由于｜0。75782－0.75|＝0.00782＜0.01，该区间精度已满足要求,所以取区间[0。75，0.75782］的中点0。75391，它是方程的一个近似解。例3一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候,如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃掉羚羊．此人如何将动物转移过河?请设计算法．分析：任何动物同船不用考虑动物的争斗但需考虑承载的数量,还应考虑到两岸的动物都得保证狼的数量要小于羚羊的数量，故在算法的构造过程中应尽可能保证船里面有狼,这样才能使得两岸的羚羊数量占到优势．解：具体算法如下：算法步骤：1．人带两只狼过河,并自己返回．2．人带一只狼过河，自己返回．3．人带两只羚羊过河，并带两只狼返回．4．人带一只羚羊过河，自己返回．5．人带两只狼过河．点评：算法是解决某一类问题的精确描述，有些问题使用形式化、程序化的刻画是最恰当的．这就要求我们在写算法时应精练、简洁、清晰地表达，要善于分析任何可能出现的情况，体现思维的严密性和完整性．本题型解决问题的算法中某些步骤重复进行多次才能解决,在现实生活中，很多较复杂的问题经常遇到这样的问题，设计算法的时候，如果能够合适地利用某些步骤的重复,不但可以使问题变得简单，而且可以提高工作效率.变式训练喝一杯茶需要这样几个步骤：洗刷水壶、烧水、洗刷茶具、沏茶．如何安排这几个步骤？请给出两种算法，并加以比较．分析：本题主要为加深对算法概念的理解,可结合生活常识对问题进行分析，然后解决问题．解：算法一：1．洗刷水壶．2．烧水．3．洗刷茶具．4．沏茶．算法二：1．洗刷水壶．2．烧水，烧水的过程当中洗刷茶具．3．沏茶．上面的两种算法都符合题意，但是算法二运用了统筹方法的原理，因此这个算法要比算法一更科学．点评：解决一个问题可有多个算法，可以选择其中最优的、最简单的、步骤尽量少的算法。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（知能训练)）设计算法判断一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有实数根．解：算法步骤如下：1．输入一元二次方程的系数：a,b,c.2．计算Δ＝b2－4ac3．判断Δ≥0是否成立．若Δ≥0成立,输出“方程有实根”；否则输出“方程无实根",结束算法．点评：用算法解决问题的特点是：具有很好的程序性，是一种通法，并且具有确定性、逻辑性、有穷性．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(拓展提升))中国网通规定：拨打市内电话时，如果不超过3分钟,则收取