数学教案：对数及其运算

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精示范教案eq\o（\s\up7()，\s\do5(整体设计)）教学分析我们在前面的学习过程中，已学习了指数函数的概念和性质，从本节开始我们学习对数及其运算．使学生认识引进对数的必要性,理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用．教材注重从现实生活的事例中引出对数概念,所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望．教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情境创设．教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能，教材安排了“阅读与欣赏”的内容，有利于加强数学文化的教育，应指导学生认真研读．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持．三维目标1．理解对数的概念,了解对数与指数的关系，理解和掌握对数的性质．2．掌握对数式与指数式的关系，通过实例推导对数的运算性质．3．准确地运用对数运算性质进行运算,并掌握化简求值的技能,运用对数运算性质解决有关问题．4．通过与指数式的比较，引出对数的定义与性质，让学生经历并推理出对数的运算性质，并归纳整理本节所学的知识．5．学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力；通过对数的运算法则的学习，培养学生严谨的思维品质；在学习过程中培养学生探究的意识；让学生感受对数运算性质的重要性,增加学生的成功感，增强学习的积极性．重点难点教学重点：对数式与指数式的互化及对数的性质,对数运算的性质与对数知识的应用．教学难点：对数概念的理解，对数运算性质的推导及应用．课时安排3课时eq\o（\s\up7()，\s\do5(教学过程)）第1课时对数概念导入新课思路1.(1)庄子：一尺之棰，日取其半,万世不竭．①取4次，还有多长?②取多少次,还有0.125尺?（2)假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍?抽象出：①（eq\f（1,2)）4＝？(eq\f(1,2）)x＝0。125x＝？②（1＋8%)x＝2x＝？都是已知底数和幂的值，求指数．你能看得出来吗?怎样求呢？像上面的式子，已知底数和幂的值，求指数，这就是我们这节课所要学习的对数〔引出对数的概念,教师板书课题〕．思路2。我们前面学习了指数函数及其性质，同时也会利用性质解决问题，但仅仅有指数函数还不够，为了解决某些实际问题，还要学习对数函数，为此我们先学习对数〔引出对数的概念，教师板书课题〕．推进新课eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(新知探究))eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(提出问题))eq\a\vs4\al（①利用计算机作出函数y＝13×1.01x的图象.,②从图象上看，哪一年的人口数要达到18亿、20亿、30亿…？，③如果不利用图象该如何解决？说出你的见解.，即\f（18,13)＝1。01x,\f（20，13)＝1。01x，\f(30，13)＝1。01x，在这几个式子中，x分别等于多少？，④你能否给出一个一般性的结论？)活动：学生讨论并作图，教师适时提示、点拨．对问题①，回忆计算机作函数图象的方法，抓住关键点．对问题②，图象类似于人的照片,从照片上能看出人的特点，当然从函数图象上就能看出函数的某些点的坐标．对问题③，定义一种新的运算．对问题④，借助③，类比到一般的情形．讨论结果：①如下图．②在所作的图象上，取点P，测出点P的坐标，移动点P，使其纵坐标分别接近18、20、30,观察这时的横坐标，大约分别为32.72、43.29、84.04，这就是说，如果保持年增长率为1个百分点，那么大约经过33年、43年、84年,我国人口分别约为18亿、20亿、30亿．③eq\f（18，13）＝1.01x，eq\f(20，13）＝1.01x，eq\f（30,13)＝1。01x，在这几个式子中，要求x分别等于多少,目前我们没学这种运算，可以定义一种新运算,用符号“log”表示对数,即若eq\f（18，13)＝1.01x，则x总以1.01为底的eq\f（18，13)的对数就可写成x＝log1。01eq\f（18,13）。其他的可类似得到，x＝log1。01eq\f（20,13)，x＝log1.01eq\f（30，13)，这种运算叫做对数运算．④一般性的结论就是对数的定义：一般地，对于指数式ab＝N，我们把“以a为底N的对数b"记作logaN,即eq\x(b＝logaN（a>0，且a≠1).)其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数,读作“b等于以a为底N的对数”．实质上,上述对数表达式，不过是指数式N＝ab的另一种表达形式．由此得到对数和指数幂之间的关系：

aNb指数式ab＝N底数幂指数对数式logaN＝b对数的底数真数对数例如：42＝162＝log416；102＝1002＝log10100；＝2eq\f(1,2)＝log42；10－2＝0.01－2＝log100。01。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出问题）)①为什么在对数定义中规定a>0,且a≠1？②根据对数定义求loga1和logaaa〉0,且a≠1的值。③负数与零有没有对数？④alogaN＝N与logaab＝ba〉0,且a≠1是否成立？⑤什么是常用对数？讨论结果：①这是因为若a＜0，则N为某些值时,b不存在，如log(－2）eq\f（1,2）;若a＝0，N不为0时，b不存在，如log03，N为0时，b可为任意正数,是不唯一的，即log00有无数个值；若a＝1，N不为1时，b不存在，如log12,N为1时，b可为任意数，是不唯一的，即log11有无数个值．综之，就规定了：a＞0,且a≠1.②loga1＝0，logaa＝1。因为对任意a＞0，且a≠1,都有a0＝1，所以loga1＝0。同样易知：logaa＝1。即1的对数等于0，底的对数等于1.③因为底数a＞0，且a≠1，由指数函数的性质可知，对任意的b∈R，ab＞0恒成立，即只有正数才有对数，零和负数没有对数．④因为ab＝N,所以b＝logaN，ab＝alogaN＝N，即alogaN＝N。因为ab＝ab,所以logaab＝b。故两个式子都成立．（alogaN＝N叫对数恒等式）常用对数:我们通常将以10为底的对数叫做常用对数．为了简便，N的常用对数log10N简记作lgN。例如：log105简记作lg5；log103。5简记作lg3。5.例如:loge3简记作ln3；loge10简记作ln10.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(应用示例))思路1例1求log22，log21，log216，log2eq\f(1,2）。解：因为21＝2，所以log22＝1；因为20＝1，所以log21＝0；因为24＝16，所以log216＝4；因为2－1＝eq\f(1,2）,所以log2eq\f(1，2)＝－1。点评：本题要注意方根的运算，同时也可借助对数恒等式来解．变式训练求下列各式的值：(1)log525；(2）logeq\f(1，2)32;（3)3log310;(4)log2.52.5.活动:学生独立解题,教师同时展示学生的做题情况，要求学生说明解答的依据,利用指数式与对数式的关系，转化为指数式求解．解：（1)因为52＝25，所以log525＝2。(2）因为(eq\f(1,2))－5＝32，所以logeq\f（1,2）32＝－5.（3）设3log310＝N，则log3N＝log310，所以N＝10，即3log310＝10。(4)因为2。51＝2。5，所以log2。52.5＝1.例2求lg10，lg100，lg0。01.解:因为101＝10,所以lg10＝1；因为102＝100，所以lg100＝2；因为10－2＝0.01，所以lg0.01＝－2。例3利用科学计算器求对数（精确到0。0001)：lg2001;lg0。0618；lg0。0045；lg396.5。解：用科学计算器计算：按键显示eq\x（log）2001eq\x(＝）3。301247089eq\x(log）0.0618eq\x(＝）－1。209011525eq\x（log）0。0045eq\x（＝)－2.346787486eq\x(log)396。5eq\x(＝)2.598243192所以lg2001≈3.3012,lg0。0618≈－1。2090,lg0.0045≈－2.3468，lg395。6≈2。5982.思路2例1以下四个命题中，属于真命题的是()（1)若log5x＝3，则x＝15（2)若log25x＝eq\f（1，2)，则x＝5（3)若logxeq\r(5)＝0,则x＝eq\r(5）(4)若log5x＝－3，则x＝eq\f(1，125)A．（2）(3)B．(1）（3)C．（2）（4)D．（3）(4）活动：学生观察,教师引导学生考虑对数的定义．解析：对数式化为指数式，根据指数幂的运算性质算出结果．对于（1），因为log5x＝3，所以x＝53＝125,错误;对于(2），因为log25x＝eq\f(1，2),所以x＝25eq\f（1,2)＝5，正确；对于(3)，因为logxeq\r(5)＝0，所以x0＝eq\r(5)，无解，错误；对于（4),因为log5x＝－3，所以x＝5－3＝eq\f(1,125），正确．总之(2)（4）正确．答案：C点评:对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据.变式训练1．将下列指数式写成对数式：(1）54＝625；(2)3－3＝eq\f(1,27)；(3)8eq\f(4，3）＝16;（4)5a＝15.解:（1)log5625＝4;(2)log3eq\f(1,27）＝－3;（3)log816＝eq\f(4,3);（4）a＝log515.2．将下列对数式写成指数式．（1)16＝－4；(2)log3243＝5;(3)eq\f（1，27）＝3；(4)lg0.1＝－1。活动:学生阅读题目,独立解题,发表自己的见解,把结果用多媒体显示在屏幕上．解：根据指数式与对数式的关系，得（1)（eq\f（1,2))－4＝16；(2）35＝243；(3)(eq\f（1，3)）3＝eq\f（1，27）；（4）10－1＝0。1.例2计算:(1）log927；（2)81；(3)log（2＋eq\r（3))(2－eq\r(3））；(4)625。活动：教师引导，学生回忆,教师提问，学生回答，积极交流，学生展示自己的解题过程，教师及时评价学生．利用对数的定义或对数恒等式来解．求式子的值，首先设成对数式,再转化成指数式或指数方程求解．另外利用对数恒等式可直接求解，所以有两种解法．解法一：(1)设x＝log927，则9x＝27,32x＝33，所以x＝eq\f(3,2).（2)设x＝81，则(eq\r(4,3）)x＝81,＝34,所以x＝16。(3)令x＝log（2＋eq\r(3)）（2－eq\r（3))＝log（2＋eq\r(3）)(2＋eq\r(3)）－1,所以（2＋eq\r（3）)x＝(2＋eq\r（3）)－1，x＝－1。（4）令x＝625,所以(eq\r(3，54）)x＝625,＝54，x＝3。解法二：（1）log927＝log933＝log99eq\f(3,2)＝eq\f(3，2）。（2)81＝(eq\r（4,3））16＝16。（3)log（2＋eq\r（3））（2－eq\r（3))＝log（2＋eq\r(3)）(2＋eq\r（3)）－1＝－1。（4）625＝（eq\r(3,54))3＝3。点评:首先将其转化为指数式，进一步根据指数幂的运算性质算出结果，对数的定义是转化和对数恒等式的依据。变式训练本节练习A5。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能训练))1．把下列各题的指数式写成对数式：(1)42＝16；(2)30＝1；(3)4x＝2；(4）2x＝0.5;（5)54＝625；(6）3－2＝eq\f(1,9）；(7)(eq\f(1，4))－2＝16。解：（1)2＝log416;(2）0＝log31；（3）x＝log42；（4）x＝log20.5；(5)4＝log5625；(6）－2＝log3eq\f(1，9）；（7）－2＝logeq\f（1，4)16.2．把下列各题的对数式写成指数式:（1）x＝log527；(2)x＝log87；（3)x＝log43；(4)x＝log7eq\f(1,3）;(5)log216＝4；(6）27＝－3；（7)x＝6；（8)logx64＝－6；（9）log2128＝7;(10）log327＝a。解:（1)5x＝27；(2)8x＝7；(3）4x＝3；（4)7x＝eq\f（1,3）;（5)24＝16；（6）(eq\f（1，3））－3＝27;（7）（eq\r(3)）6＝x；(8)x－6＝64；（9）27＝128；（10)3a＝27.3．求下列各式中x的值：(1）log8x＝－eq\f（2，3)；（2)logx27＝eq\f（3,4）；(3）log2（log5x）＝1；（4)log3(lgx）＝0。解：(1）因为log8x＝－eq\f(2,3)，所以x＝8－eq\f（2,3）＝(23)－eq\f(2,3)＝23×（－eq\f（2，3）)＝2－2＝eq\f(1,4）；(2）因为logx27＝eq\f(3,4），所以＝27＝33,即x＝（33）＝34＝81;(3）因为log2（log5x)＝1，所以log5x＝2，x＝52＝25;（4）因为log3（lgx)＝0，所以lgx＝1，即x＝101＝10。4．（1)求log84的值；(2)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值．解：（1）设log84＝x，根据对数的定义有8x＝4，即23x＝22，所以x＝eq\f(2，3），即log84＝eq\f（2,3)；(2)因为loga2＝m，loga3＝n，根据对数的定义有am＝2,an＝3,所以a2m＋n＝(am)2·an＝(2)2·3＝4×3＝12。点评:此题不仅是简单的指数与对数的互化，还涉及到常见的幂的运算法则的应用．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(拓展提升）)对于a＞0,a≠1，下列结论正确的是(）（1）若M＝N，则logaM＝logaN(2）若logaM＝logaN,则M＝N（3）若logaM2＝logaN2，则M＝N(4)若M＝N，则logaM2＝logaN2A．(1)(3）B．(2)(4）C．(2)D．（1)（2)(4)活动：学生思考,讨论,交流，回答,教师及时评价．回想对数的有关规定．对（1)若M＝N，当M为0或负数时logaM≠logaN，因此错误；对(2）根据对数的定义,若logaM＝logaN，则M＝N，正确；对（3）若logaM2＝logaN2，则M＝±N,因此错误；对(4)若M＝N＝0时，则logaM2与logaN2都不存在，因此错误．综上,(2)正确．答案：C点评：0和负数没有对数，一个正数的平方根有两个．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（课堂小结））（1)对数引入的必要性；(2)对数的定义;（3）几种特殊数的对数；(4)负数与零没有对数；（5）对数恒等式；（6)两种特殊的对数．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(作业））课本本节练习B1、2.eq\o（\s\up7(）,\s\do5（设计感想))本节课在前面研究了指数函数及其性质的基础上，为了运算的方便，引进了对数的概念，使学生感受到对数的现实背景,它有着丰富的内涵,和我们的实际生活联系密切，也是以后学习对数函数的基础，鉴于这种情况，安排教学时，无论是导入还是概念得出的过程，都比较详细，通俗易懂,要反复练习，要紧紧抓住它与指数概念之间的联系与区别,结合指数式理解对数式，强化对数是一种运算，并注意对数运算符号的理解和记忆，多运用信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务，为下一节课作准备．eq\o（\s\up7（）,\s\do5（备课资料））［备选例题］例1将下列指数式与对数式互化，有x的求出x的值．(1)＝eq\f(1,\r（5)）；（2)4＝x;（3）3x＝eq\f（1，27)；(4）(eq\f（1,4）)x＝64；(5)lg0。0001＝x.解：(1）＝eq\f(1，\r（5）)化为对数式是log5eq\f(1，\r（5）)＝－eq\f(1,2)；(2）x＝4化为指数式是（eq\r(2))x＝4，即＝22，eq\f(x，2)＝2，x＝4；（3)3x＝eq\f（1,27）化为对数式是x＝log3eq\f（1,27），因为3x＝(eq\f(1，3）)3＝3－3，所以x＝－3;（4）(eq\f（1，4)）x＝64化为对数式是x＝logeq\f(1,4）64，因为（eq\f(1，4））x＝64＝43，所以x＝－3；（5）lg0。0001＝x化为指数式是10x＝0。0001,因为10x＝0。0001＝10－4，所以x＝－4。例2计算3log3eq\r（5)＋eq\r（3)log3eq\f（1,5)的值．解：设x＝log3eq\f(1,5），则3x＝eq\f(1，5)，（3eq\f(1，2））x＝，所以x＝eq\f（1,\r（5））。所以3log3eq\r（5)＋eq\r(3)log3eq\f(1，5）＝eq\r（5)＋eq\r(3)eq\f（1，\r(5））＝eq\r（5)＋eq\f（1，\r（5）)＝eq\f(6\r(5）,5).例3计算alogab·logbc·logcN（a＞0，b＞0，c＞0,N＞0)．解：alogab·logbc·logcN＝blogbc·logcN＝clogcN＝N.(设计者：路致芳）第2课时积、商、幂的对数导入新课思路1。上节课我们学习了以下内容：1．对数的定义．2．指数式与对数式的互化．ab＝NlogaN＝b。3．重要公式:(1）负数与零没有对数；（2)loga1＝0,logaa＝1；(3）对数恒等式alogaN＝N.下面我们接着讲积、商、幂的对数〔教师板书课题〕．思路2.我们在学习指数的时候，知道指数有相应的运算法则,即指数运算法则．am·an＝am＋n；am÷an＝am－n；(am）n＝amn；eq\r(m，an)＝aeq\f(n，m）.从上节课我们还知道指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，对数是否也有和指数相类似的运算法则呢?答案是肯定的,这就是本堂课的主要内容,点出课题．推进新课eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究)）eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（提出问题）)1在上节课中，我们知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？2如我们知道am＝M,an＝N，am·an＝am＋n，那m＋n如何表示，能用对数式运算吗？3在上述2的条件下,类比指数运算性质能得出其他对数运算性质吗?4你能否用最简练的语言描述上述结论？如果能，请描述。，5上述运算性质中的字母的取值有什么限制吗?6上述结论能否推广呢？,7学习这些性质能对我们进行对数运算带来哪些方便呢？讨论结果：(1)通过问题（2)来说明．（2)如am·an＝am＋n,设M＝am，N＝an，于是MN＝am＋n，由对数的定义得到M＝amm＝logaM，N＝ann＝logaN，MN＝am＋nm＋n＝logaMN，loga(MN）＝logaM＋logaN。因此m＋n可以用对数式表示．（3）令M＝am，N＝an,则eq\f(M,N)＝am÷an＝am－n，所以m－n＝logaeq\f(M,N）。又由M＝am，N＝an，所以m＝logaM，n＝logaN.所以logaM－logaN＝m－n＝logaeq\f（M,N)，即logaeq\f（M,N)＝logaM－logaN.设M＝am，则Mn＝(am）n＝amn.由对数的定义，所以logaM＝m，logaMn＝mn.所以logaMn＝mn＝nlogaM，即logaMn＝nlogaM.这样我们得到对数的三个运算性质:如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则有loga(MN)＝logaM＋logaN，①logaeq\f(M，N)＝logaM－logaN，②logaMn＝nlogaM(n∈R)．③(4）以上三个性质可以归纳为：性质①：两数积的对数，等于各数的对数的和;性质②：两数商的对数,等于被除数的对数减去除数的对数;性质③:幂的对数等于幂指数乘底数的对数．(5）利用对数运算性质进行运算,所以要求a＞0，a≠1，M＞0，N＞0.（6)性质①可以推广到n个数的情形：即loga（M1M2M3…Mn）＝logaM1＋logaM2＋logaM3＋…＋logaMn(其中a＞0，a≠1，M1、M2、M3、…、Mn均大于0）．(7）纵观这三个性质我们知道，性质①的等号左端是乘积的对数，右端是对数的和,从左往右看是一个降级运算．性质②的等号左端是商的对数，右端是对数的差,从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算．性质③从左往右仍然是降级运算．利用对数的性质①②可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差运算，大大的方便了对数式的化简和求值．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（应用示例))思路1例1用logax,logay,logaz表示下列各式:(1)logaeq\f（xy,z）；(2)loga(x3y5)；（3)logaeq\f（\r(x），yz)；(4)logaeq\f（x2\r(y）,\r(3，z))。解:(1)logaeq\f(xy,z）＝loga（xy）－logaz＝logax＋logay－logaz；（2)loga(x3y5）＝logax3＋logay5＝3logax＋5logay；(3）logaeq\f(\r(x)，yz)＝logaeq\r(x）－loga(yz）＝loga－（logay＋logaz）＝eq\f（1,2）logax－logay－logaz;（4）logaeq\f(x2\r(y),\r（3，z）)＝loga(x2）＝logax2＋loga＋loga＝2logax＋eq\f（1，2)logay－eq\f(1，3)logaz。点评：对数的运算实质上是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减的运算.变式训练1．用logax，logay,logaz表示下列各式:（1）loga（x2yz);(2)logaeq\f（x2，yz）；（3）logaeq\f（\r(x）,y2z）。活动:学生思考观察，教师巡视，检查学生解题情况，发现问题及时纠正．利用对数的运算性质,把整体分解成部分．对(1)可先利用性质1,转化为两数对数的和,再利用性质3,把幂的对数转化为两数对数的积．对(2)（3）可先利用性质2，转化为两数对数的差,再利用性质1，把积的对数转化为两数对数的和，最后利用性质3，转化为幂指数与底数的对数的积.解：(1）loga（x2yz）＝logax2＋logay＋logaz＝2logax＋logay＋logaz.（2）logaeq\f（x2，yz）＝logax2－loga(yz)＝2logax－logay－logaz.(3)logaeq\f(\r（x），y2z)＝logaeq\r（x）－loga(y2z)＝eq\f(1,2）logax－2logay－logaz。例2计算：(1）lgeq\r（5，100)；（2)lg4＋lg25；（3)（lg2)2＋lg20×lg5.解：（1)lgeq\r(5，100)＝eq\f（1，5)lg100＝eq\f(2，5)；（2）lg4＋lg25＝lg（4×25）＝lg100＝2;(3）(lg2）2＋lg20×lg5＝(lg2）2＋(1＋lg2)（1－lg2)＝(lg2)2＋1－（lg2)2＝1.点评：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧,如变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系;要避免错用对数运算性质，特别是对数运算性质的灵活运用，运算性质的逆用常被学生所忽视.变式训练计算：(1）lg14－2lgeq\f(7，3)＋lg7－lg18;（2)eq\f(lg243,lg9)；（3）eq\f(lg\r（27)＋lg8－3lg\r(10)，lg1。2）.解：(1)解法一：lg14－2lgeq\f（7，3）＋lg7－lg18＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg（32×2)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.解法二:lg14－2lgeq\f(7,3)＋lg7－lg18＝lg14－lg（eq\f(7，3))2＋lg7－lg18＝lgeq\f（14×7,（\f（7，3))2×18)＝lg1＝0。（2)eq\f（lg243，lg9)＝eq\f(lg35，lg32）＝eq\f（5lg3,2lg3）＝eq\f（5,2).（3）eq\f（lg\r(27）＋lg8－3lg\r（10）,lg1.2)＝eq\f（lg(33）\f(1,2)＋lg23－3lg（10）\f（1,2），lg\f（3×22,10))＝eq\f（\f(3，2）lg3＋2lg2－1，lg3＋2lg2－1）＝eq\f(3，2）。思路2例1：求下列各式的值．（1）log525；(2）log0.41；(3)log2（47×25）．解法一：（1)log525＝log552＝2;（2）log0。41＝0;(3）log2（47×25）＝log247＋log225＝log222×7＋log225＝2×7＋5＝19。解法二:（1)设log525＝x，则5x＝25＝52，所以x＝2；（2)设log0.41＝x，则0.4x＝1＝0。40，所以x＝0;（3）log2(47×25）＝log2（214×25)＝log2219＝19，或log2（47×25）＝log247＋log225＝7log222＋log225＝2×7＋5＝19。点评：此题关键是要记住对数运算性质的形式。变式训练计算:(1)log3（92×35）；（2）lg。解：(1）log3（92×35）＝log392＋log335＝log334＋5log33＝4＋5＝9.（2)lg＝eq\f（1,5）lg102＝eq\f（1,5)×2＝eq\f(2，5）.例2计算下列各式的值：(1)eq\f（1,2)lgeq\f(32，49）－eq\f（4,3)lgeq\r(8)＋lgeq\r(245）;（2）lg52＋eq\f（2,3）lg8＋lg5·lg20＋（lg2）2；（3）eq\f(lg\r(2)＋lg3－lg\r（10）,lg1。8)。活动:学生思考、交流，观察题目特点，教师可以提示引导:将真数中的积、商、幂化为对数的和、差、积；再就是逆用对数的运算性质．先利用对数的性质把积、商、幂化为对数的和、差、积进行计算．再就是逆用对数的运算性质,把对数的和、差、积转化为真数的积、商、幂再计算．（1）解法一：eq\f(1，2)lgeq\f（32，49)－eq\f(4,3）lgeq\r(8)＋lgeq\r(245）＝eq\f（1,2）（5lg2－2lg7)－eq\f（4,3）×eq\f（3,2）lg2＋eq\f(1，2）（2lg7＋lg5)＝eq\f（5,2)lg2－lg7－2lg2＋lg7＋eq\f（1,2)lg5＝eq\f(1,2）lg2＋eq\f(1，2)lg5＝eq\f（1,2）(lg2＋lg5)＝eq\f(1，2)lg10＝eq\f(1，2）.解法二：eq\f(1,2）lgeq\f(32，49）－eq\f(4,3)lgeq\r（8)＋lgeq\r(245)＝lgeq\f（4\r（2），7）－＋lg7eq\r（5）＝lgeq\f（4\r（2)×7\r（5)，7×4）＝lg（eq\r（2）×eq\r（5))＝lgeq\r（10）＝eq\f(1,2).（2）解法一:lg52＋eq\f（2,3)lg8＋lg5·lg20＋（lg2）2＝2lg5＋2lg2＋lg5（2lg2＋lg5)＋（lg2)2＝2lg10＋(lg2＋lg5)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3。解法二：lg52＋eq\f（2，3）lg8＋lg5·lg20＋（lg2)2＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5）＋(1－lg5）2＝2lg10＋lg5[2（1－lg5）＋lg5］＋（1－lg5)2＝2＋lg5（2－lg5）＋（1－lg5）2＝2＋2lg5－（lg5)2＋1－2lg5＋(lg5）2＝3.(3)解法一：eq\f(lg\r(2)＋lg3－lg\r(10）,lg1。8）＝eq\f(\f（1,2)lg2＋lg9－lg10，lg1。8）＝eq\f（lg\f（18，10),2lg1。8）＝eq\f（lg1。8，2lg1.8）＝eq\f（1，2）.解法二：eq\f(lg\r（2）＋lg3－lg\r（10）,lg1。8)＝eq\f（\f(1，2）lg2＋lg3－\f（1,2），lg\f（18，10))＝eq\f(\f(1，2）lg2＋lg3－\f（1，2)，2lg3＋lg2－1）＝eq\f（\f(1，2）2lg3＋lg2－1，2lg3＋lg2－1)＝eq\f（1，2）.点评:这类问题一般有以下几种处理方法：一是将真数中的积、商、幂运用对数的运算法则化为对数的和、差、积,然后化简求值;二是将式中对数的和、差、积运用对数的运算法则化为真数的积、商、幂，然后化简求值;三是上述两种方法灵活运用,化简求值.变式训练计算：(1)2log510＋log50。25;(2）2log525＋3log264；（3)log2(log216)．解：(1)因为2log510＝log5102＝log5100，所以2log510＋log50.25＝log5100＋log50。25＝log5(100×0.25）＝log552＝2log55＝2。(2)因为2log525＝2log552＝4log55＝4,3log264＝3log226＝18log22＝18，所以2log525＋3log264＝22。（3）因为log216＝log224＝4,所以log2（log216)＝log24＝log222＝2.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（知能训练)）1．用logax，logay，logaz，loga（x＋y)，loga（x－y)表示下列各式：（1)logaeq\f(\r(3,x），y2z)；（2）loga（x·eq\r（4，\f（z3，y2)）);（3)loga(xyeq\f（1，2)z－eq\f（2,3）)；（4)logaeq\f（xy，x2－y2);(5)loga（eq\f（x＋y,x－y）·y）；(6）loga［eq\f（y，xx－y)］3.解：（1）logaeq\f(\r(3,x),y2z）＝logaeq\r（3，x）－logay2z＝eq\f(1，3）logax－(2logay＋logaz)＝eq\f（1，3)logax－2logay－logaz。(2）loga（x·eq\r(4,\f(z3,y2）））＝logax＋logaeq\r(4，\f（z3,y2)）＝logax＋eq\f（1，4）(logaz3－logay2)＝logax－eq\f(2，4）logay＋eq\f（3，4)logaz＝logax－eq\f(1,2)logay＋eq\f（3，4）logaz.(3)loga(xyeq\f（1,2)z－eq\f(2,3))＝logax＋logayeq\f(1,2)＋logaz－eq\f(2，3）＝logax＋eq\f(1，2)logay－eq\f（2，3）logaz。（4)logaeq\f(xy,x2－y2）＝logaxy－loga(x2－y2)＝logax＋logay－loga（x＋y)（x－y）＝logax＋logay－loga（x＋y)－loga（x－y)．（5）loga(eq\f（x＋y，x－y）·y)＝logaeq\f（x＋y，x－y)＋logay＝loga(x＋y）－loga（x－y）＋logay。(6）loga[eq\f（y,x(x－y））]3＝3[logay－logax－loga(x－y）]＝3logay－3logax－3loga（x－y)．2．已知f（x6)＝log2x，则f(8）等于()A.eq\f(4，3)B．8C．18D.eq\f（1,2）解析：因为f（x6)＝log2x,x＞0,令x6＝8，得x＝＝,所以f（8）＝log2＝eq\f(1,2）.另解：因为f（x6）＝log2x＝eq\f（1,6)log2x6，所以f(x)＝eq\f（1,6)log2x.所以f（8）＝eq\f(1,6)log28＝eq\f(1,6)log223＝eq\f（1,2).答案：D3．若a＞0，a≠1，x＞0,y＞0，x＞y，下列式子正确的个数为（）①logax·logay＝loga（x＋y)②logax－logay＝loga(x－y）③logaeq\f(x，y)＝logax÷logay④loga(xy)＝logax·logayA．0B．1C．2D．3答案：A4．若a＞0，a≠1,x＞y＞0,n∈N＋，下列式子正确的个数为（）①(logax）n＝nlogax②（logax)n＝logaxn③logax＝－logaeq\f(1，x）④eq\f(logax，logay）＝logaeq\f(x，y）⑤eq\r(n，logax）＝eq\f(1，n）logax⑥eq\f(1，n)logax＝logaeq\r(n,x)⑦logaxn＝nlogax⑧logaeq\f(x－y，x＋y)＝－logaeq\f（x＋y，x－y)A．3B．4C．5D．6答案:B5．科学家以里氏震级来度量地震的强度．若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r可定义为r＝0。6lgI，试比较6。9级和7.8级地震的相对能量程度．解：设6.9级和7。8级地震的相对能量程度分别为I1和I2，由题意，得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（6.9＝0。6lgI1,，7。8＝0。6lgI2。)）因此0。6（lgI2－lgI1）＝0。9，即lgeq\f（I2，I1）＝1。5.所以eq\f(I2,I1)＝101。5≈32。因此，7。8级地震的相对能量程度约为6。9级地震的相对能量程度的32倍．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（拓展提升))已知x、y、z＞0，且lgx＋lgy＋lgz＝0，求xeq\f（1,lgy）＋eq\f（1，lgz)·yeq\f(1,lgz)＋eq\f(1，lgx）·zeq\f(1,lgx）＋eq\f（1，lgy)的值．活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导．大胆设想，运用对数的运算性质．由于所求的式子是三项积的形式，每一项都有指数，指数中又有对数，因此想到用对数的运算性质，如果能对所求式子取对数，那可能会好解决些，故想到用参数法，设所求式子的值为t。解:令xeq\f（1，lgy）＋eq\f(1，lgz）·yeq\f(1,lgz)＋eq\f(1,lgx)·zeq\f(1，lgx）＋eq\f（1，lgy）＝t,则lgt＝(eq\f(1,lgy)＋eq\f(1，lgz)）lgx＋(eq\f(1，lgz)＋eq\f（1，lgx))lgy＋（eq\f（1,lgx)＋eq\f（1,lgy)）lgz＝eq\f(lgx,lgy)＋eq\f(lgx,lgz）＋eq\f（lgy，lgz)＋eq\f（lgy,lgx）＋eq\f(lgz，lgx)＋eq\f(lgz,lgy)＝eq\f（lgx＋lgz,lgy）＋eq\f（lgx＋lgy，lgz）＋eq\f（lgy＋lgz,lgx)＝eq\f(－lgy，lgy）＋eq\f(－lgz,lgz)＋eq\f(－lgx，lgx）＝－3，所以t＝10－3＝eq\f（1,1000)即为所求．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（课堂小结）)1．对数的运算法则．2．对数的运算法则的综合应用，特别是公式的逆向使用．3．对数与指数形式比较：式子ab＝NlogaN＝b名称a--幂的底数b-—幂的指数N—-幂值a--对数的底数b——以a为底的N的对数N——真数运算性质am·an＝am＋n；am÷an＝am－n；(am)n＝amn（a＞0，a≠1，m、n∈R)loga(MN）＝logaM＋logaN；logaeq\f(M，N）＝logaM－logaN；logaMn＝nlogaM（n∈R)(a＞0,a≠1，M＞0，N＞0）eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（作业))课本本节练习B1、2、3。eq\o(\s\up7（),\s\do5（设计感想))在前面研究了对数概念的基础上，为了运算的方便,本节课我们借助指数的运算法则,推出了对数的运算法则,引导学生自己完成推导过程，加深对公式的理解和记忆，对运算性质的认识类比指数的运算法则来理解记忆，强化法则的使用条件，注意对数式中每一个字母的取值范围，由于它是以后学习对数函数的基础，所以安排教学时，要反复练习，加大练习的量，多结合信息化的教学手段,顺利完成本堂课的任务．eq\o（\s\up7（），\s\do5（备课资料)）[备选例题］例已知a、b、c均为正数，3a＝4b＝6c，求证：eq\f(2，a)＋eq\f(1,b）＝eq\f(2,c)。活动:学生思考观察，教师引导，及时评价学生的思考过程．从求证的结论看，解题的关键是设法把a、b、c从连等号式中分离出来，为便于找出a、b、c的关系,不妨设3a＝4b＝6c＝k(k＞0)，则a、b、c就可用这一变量k表示出来，再结合对数的运算性质就可证得结论．证法一：设3a＝4b＝6c＝k，则k＞0.由对数的定义得a＝log3k，b＝log4k，c＝log6k，则左边＝eq\f(2，a）＋eq\f（1，b)＝eq\f（2,log3k)＋eq\f(1，log4k)＝2logk3＋logk4＝logk9＋logk4＝logk36，右边＝eq\f（2,c）＝eq\f（2,log6k)＝2logk6＝logk36，所以eq\f(2，a)＋eq\f（1,b）＝eq\f(2，c).证法二：对3a＝4b＝6c同时两边取常用对数得lg3a＝lg4b＝lg6c，alg3＝blg4＝clg6.所以eq\f(c,a)＝eq\f（lg3,lg6）＝log63，eq\f（c，b)＝eq\f(lg4，lg6）＝log64.又eq\f(2c，a）＋eq\f（c,b)＝log6（9×4）＝2，所以eq\f（2，a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(2，c).点评：本题主要考查指数、对数的定义及其运算性质．灵活运用指数、对数的概念及性质解题,适时转化．(设计者：卢岩冰）第3课时换底公式与自然对数导入新课思路1。问题：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗?a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0，logab＝eq\f(logcb,logca）。教师直接点出课题．思路2.前两节课我们学习了以下内容：1。对数的定义及性质;2.对数恒等式；3。对数的运算性质及应用．我们能就同底数的对数进行运算,那么不同底数的对数集中在一起，如何解决呢？这就是本堂课的主要内容．教师板书课题．思路3。从对数的定义可以知道,任意不等于1的正数都可作为对数的底,数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数,这样，如果能将其他底的对数转换为以10为底或以e为底的对数就能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数,那么，怎么转化呢?这就需要一个公式,即对数的换底公式，从而引出课题．推进新课eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(新知探究））eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(提出问题))eq\a\vs4\al（①已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求log23的值.,②根据①，如a>0，a≠1，你能用含a的对数式来表示log23吗?,③更一般地，我们有logab＝\f(logcb，logca),如何证明？，④证明logab＝\f(logcb，logca）的依据是什么？，⑤你能用自己的话概括出换底公式吗？，⑥换底公式的意义是什么？有什么作用？，⑦什么是自然对数,如何用计算器计算自然对数?)活动：学生针对提出的问题，交流讨论，回顾所学,力求转化，教师适时指导，必要时提示学生解题的思路，给学生创造一个互动的学习环境，培养学生的创造性思维能力．对①目前还没有学习对数的换底公式,它们又不是同底,因此可考虑对数的定义，转化成方程来解；对②参考①的思路和结果的形式，借助对数的定义可以表示；对③借助①②的思路，利用对数的定义来证明；对④根据证明的过程来说明;对⑤抓住问题的实质，用准确的语言描述出来,一般是按照从左到右的形式；对⑥换底公式的意义就在于对数的底数变了，与我们的要求接近了；⑦自然对数与常用对数是两种特殊的对数，它们对科学研究和了解自然起了巨大的作用．讨论结果：①因为lg2＝0.3010,lg3＝0.4771，根据对数的定义,所以100。3010＝2，100.4771＝3。不妨设log23＝x,则2x＝3，所以(100.3010）x＝100.4771，100。3010×x＝100.4771,即0。3010x＝0.4771，x＝eq\f（0。4771,0.3010)＝eq\f（lg3，lg2).因此log23＝eq\f(lg3，lg2）＝eq\f（0.4771，0.3010）≈1.5851。②根据①我们看到，最后的结果是log23用lg2与lg3表示，是通过对数的定义转化的，这就给我们以启发，本来是以2为底的对数转换成了以10为底的对数，不妨设log23＝x，由对数定义知道，2x＝3,两边都取以a为底的对数，得loga2x＝loga3，xloga2＝loga3，x＝eq\f（loga3，loga2），也就是log23＝eq\f（loga3，loga2）。这样log23就表示成了以a为底的3的对数与以a为底的2的对数的商．③证明logab＝eq\f(logcb,logca)。证明：设logab＝x，由对数定义知道,ax＝b;两边取c为底的对数，得logcax＝logcbxlogca＝logcb；所以x＝eq\f（logcb,logca），即logab＝eq\f(logcb，logca）。一般地，logab＝eq\f(logcb，logca）（a＞0，a≠1,b＞0，c＞0，c≠1）称为对数换底公式．④由③的证明过程来看,换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若M＞0，N＞0，M＝N,则logaM＝logaN。⑤一个数的对数,等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商，这样就把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个对数的商．⑥换底公式的意义就在于把对数式的底数改变,把不同底问题转化为同底问题，为使用运算法则创造条件，更方便化简求值．说明:我们使用的计算器中，“log”通常是常用对数，因此要使用计算器计算对数，一定要先用换底公式转化为常用对数．如log23＝eq\f(lg3,lg2），即计算log23的值的按键顺序为：“log”→“3"→“÷”→“log"→“2”→“＝”．再如：在前面要求我国人口达到18亿的年份，就是要计算x＝log1.01eq\f(18,13），所以x＝log1。01eq\f（18,13）＝eq\f(lg\f（18，13），lg1。01)＝eq\f(lg18－lg13,lg1。01)≈eq\f（1。2553－1。139，0。043）＝32。8837≈33年．可以看到运用对数换底公式，有时要方便得多．⑦在科学技术中，常常使用以无理数e＝2.71828…为底的对数．以e为底的对数叫做自然对数．logeN通常记作lnN.根据对数的换底公式，可以得到自然对数与常用对数的关系：lnN＝eq\f（lgN，lge)≈eq\f（lgN,0.4343)，即lnN≈2。3026lgN.用科学计算器可直接求自然对数．例如,求ln34（精确到0。0001),可用科学计算器计算如下：按键显示eq\x（ln)34eq\x（＝）3.526360525所以ln34≈3.5264。eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（应用示例）)思路1例1求下列各式的值：(1)log89·log2732的值；（2）ln1。解：(1）log89·log2732＝eq\f（lg9,lg8）×eq\f(lg32,lg27）＝eq\f(2lg3，3lg2)×eq\f（5lg2,3lg3)＝eq\f(2,3）×eq\f（5，3）＝eq\f(10,9）。（2)因为e0＝1，所以ln1＝0。变式训练计算：（1)log927；（2）lne5。解：(1）log927＝eq\f（log327，log39）＝eq\f(3,2）.（2)因为lne5＝5lne＝5，所以lne5＝5.例2(1）求证：logxylogyz＝logxz。证明：因为logxylogyz＝logxyeq\f（logxz，logxy)＝logxz，所以logxylogyz＝logxz.(2)求证:loganbn＝logab.证明：因为loganbn＝eq\f(logabn,logaan)＝eq\f（nlogab,nlogaa)＝logab，所以loganbn＝logab.点评：本题的结论可作为公式直接应用。变式训练本节练习A3、5。思路2例1（1)已知log23＝a，log37＝b，用a、b表示log4256.（2）若log83＝p，log35＝q，求lg5。活动：学生交流，展示自己的思维过程，教师对学生的表现及时评价，要注意转化．利用对数运算性质法则和换底公式进行化简，然后再表示．对（1）据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来,再利用对数的运算性质化简．对（2)利用换底公式把底数统一起来，再灵活利用对数的运算性质解决．解：（1)因为log23＝a，则eq\f(1,a）＝log32，又因为log37＝b，所以log4256＝eq\f(log356，log342)＝eq\f（log37＋3·log32，log37＋log32＋1)＝eq\f(ab＋3，ab＋a＋1）.(2)因为log83＝p，即log233＝p，所以log23＝3p。所以log32＝eq\f（1，3p)。又因为log35＝q，所以lg5＝eq\f（log35,log310）＝eq\f（log35,log32＋log35）＝eq\f(3pq，1＋3pq)。点评：本题是条件问题,要充分考虑到条件与结论的关系，更要灵活运用对数的换底公式和运算性质.变式训练已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log3645。解：因为log189＝a，所以log18eq\f(18,2）＝1－log182＝a。所以log182＝1－a.因为18b＝5，所以log185＝b.所以log3645＝eq\f（log1845,log1836）＝eq\f（log189＋log185,1＋log182)＝eq\f（a＋b,2－a).点评：在解题过程中，根据问题的需要，指数式转化为对数式,或对数式转化为指数式，这正是数学中转化思想的具体体现，转化思想是中学中重要的数学思想,要注意学习、体会，逐步达到灵活运用。例2设x、y、z∈(0，＋∞)，且3x＝4y＝6z。（1）求证：eq\f（1，x)＋eq\f(1,2y)＝eq\f(1，z）；(2)比较3x、4y、6z的大小．活动:学生观察,积极思考,尽量把所学知识与题目结合起来，教师及时提示引导．（1）利用对数的定义把x、y、z表示出来，根据对数的定义把3x＝4y＝6z转化为指数式，求出x、y、z,然后计算．（2)在（1)的基础上利用中间量，作差比较，利用对数的运算性质进行比较．(1）证明：设3x＝4y＝6z＝k，因为x、y、z∈(0,＋∞),所以k＞1。取对数，得x＝eq\f(lgk,lg3)，y＝eq\f（lgk，lg4)，z＝eq\f（lgk，lg6)，所以eq\f(1,x)＋eq\f（1，2y)＝eq\f（lg3，lgk）＋eq\f(lg4,2lgk)＝eq\f(2lg3＋lg4,2lgk）＝eq\f(2lg3＋2lg2,2lgk）＝eq\f（lg6,lgk）＝eq\f（1，z)，即eq\f(1，x）＋eq\f(1，2y)＝eq\f（1，z)。(2）解：因为3x－4y＝(eq\f（3,lg3）－eq\f（4,lg4)）lgk＝eq\f(lg64－lg81，lg3·lg4)lgk＝eq\f（lgk·lg\f(64,81),lg3·lg4）＜0,所以3x＜4y.又因为4y－6z＝（eq\f(4,lg4)－eq\f（6,lg6）)lgk＝eq\f(lg36－lg64,lg2·lg6)lgk＝eq\f（lgk·lg\f（9，16),lg2·lg6)＜0,所以4y＜6z。所以3x＜4y＜6z。点评:如果题目中有指数式,常根据对数的定义转化为对数式，有对数式常根据对数的定义转化为指数式，比较大小常用作差，如果是几个数比较大小,有时采用中间量法，要具体情况具体分析．例3已知logax＝logac＋b，求x.活动:学生讨论,教师指导，教师提问,学生回答，教师对解题中出现的问题及时处理．把对数式转化为指数式求解,或把b转化为对数形式利用对数的运算性质来解．由于x作为真数，故可直接利用对数定义求解;另外,由于等式右端为两实数和的形式，b的存在使变形产生困难，故可考虑将logac移到等式左端，或者将b变为对数形式来解．解法一：由对数定义,可知x＝alogac＋b＝alogac·ab＝c·ab.解法二：由已知移项可得logax－logac＝b，即logaeq\f(x，c)＝b，由对数定义，知eq\f（x,c）＝ab，所以x＝c·ab。解法三：因为b＝logaab，所以logax＝logac＋logaab＝logac·ab.所以x＝c·ab。点评：利用对数定义进行指数式与对数式的互化对解题起到关键作用．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能训练))（1)已知lg2＝a,lg3＝b，则eq\f(lg12，lg15）等于()A。eq\f(2a＋b,1＋a＋b）B。eq\f(a＋2b，1＋a＋b)C。eq\f（2a＋b，1－a＋b)D。eq\f(a＋2b,1－a＋b）(2)已知2lg(x－2y）＝lgx＋lgy，则eq\f（x,y)的值为()A．1B．4C．1或4D．4或－1(3）若3a＝2，则log38－2log36＝__________.(4)lg12.5－lgeq\f(5,8)＋lg0.5＝__________.答案:（1)C（2)B(3)a－2(4)1eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(拓展提升）)探究换底公式的其他证明方法：活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导：大胆设想，运用对数的定义及运算性质和指数幂的运算性质．证法一：设logaN＝x,则ax＝N，两边取以c（c＞0且c≠1）为底的对数,得logcax＝logcN，所以xlogca＝logcN,即x＝eq\f（logcN，logca）.故logaN＝eq\f(logcN，logca)。证法二:由对数恒等式，得N＝alogaN,两边取以c(c＞0且c≠1）为底的对数，得logcN＝logaN·logca，所以logaN＝eq\f(logcN,logca）。证法三：令logca＝m,logaN＝n，则a＝cm，N＝an，所以N＝(cm）n＝cmn.两边取以c(c＞0且c≠1)为底的对数，得mn＝logcN,所以n＝eq\f（logcN,m）,即logaN＝eq\f(logcN,logca）。对数换底公式的应用：换底公式