2024-2025学年高中数学第一章导数及其应用1.3.2函数的极值与导数课时素养评价含解析新人教A版选修2-2

PAGE课时素养评价六函数的极值与导数(15分钟30分)1.函数f(x)=ax3+x+1有极值的充要条件是 ()A.a>0 B.a≥0 C.a<0 D.a≤0【解析】选C.因为f′(x)=3ax2+1,所以f′(x)=3ax2+1=0⇒3a=-QUOTE<0,即a<0,反之a<0,f′(x)=3ax2+1=0肯定有根.2.设函数f(x)的定义域为R,x0QUOTE是f(x)的极大值点,以下结论肯定正确的是 ()A.∀x∈R,f(x)≤fQUOTEB.-x0是fQUOTE的微小值点C.-x0是-f(x)的微小值点D.-x0是-fQUOTE的微小值点【解析】选D.对于A选项,函数的极大值不肯定是函数的最大值,所以错;对于B中的f(-x)是将f(x)的图象关于y轴对称,所以-x0是其极大值点,错误;对于C中的-f(x)是将f(x)的图象关于x轴对称,所以x0才是其微小值点,错误;而对于D中的-f(-x)是将f(x)的图象关于原点对称,故-x0是其微小值点,正确.3.如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,给出下列说法:①-3是函数y=f(x)的极值点;②-1是函数y=f(x)的最小值点;③y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零;④y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增.则正确说法的序号是________.

【解析】依据导函数图象可知当x∈(-∞,-3)时,f′(x)<0,在x∈(-3,1)时,f′(x)≥0,所以函数y=f(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,1)上单调递增,故④正确;则-3是函数y=f(x)的微小值点,故①正确;因为在(-3,1)上单调递增,所以-1不是函数y=f(x)的最小值点,故②不正确;因为函数y=f(x)在x=0处的导数大于0,所以切线的斜率大于零,故③不正确.答案:①④4.f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则常数c的值为________.

【解析】因为x=2是f(x)的极大值点,又f(x)=x(x2-2cx+c2),所以f′(x)=x(2x-2c)+x2-2cx+c2=3x2-4cx+c2.所以f′(2)=c2-8c+12=0.得c=2或c=6.当c=2时,不能取极大值,故c=6.答案:65.设函数f(x)=x2-2x-4lnx,求f(x)的极值.【解析】由已知,f(x)的定义域为QUOTE,f′(x)=2x-2-QUOTE=QUOTE,令f′(x)=0,得2x2-2x-4=0.又x>0,所以x=2,当0<x<2时,f′(x)<0;当x>2时,f′(x)>0.因此,当x=2时,f(x)有微小值,微小值为fQUOTE=-4ln2,f(x)无极大值.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数f(x)=ax3+bx在x=1处有极值-2,则a,b的值分别为 ()A.1,-3B.1,3C.-1,3D.-1,-3【解析】选A.f′(x)=3ax2+b,由题意可知QUOTE解得QUOTE2.如图是定义在QUOTE上的函数f(x)的导函数的图象,则函数f(x)的极值点的个数为 ()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】选B.设导函数的零点分别为x1,x2,x3,x4.则函数f(x)在(a,x1)上单调递增,(x1,x2)上单调递减,(x2,x3)上单调递增,(x3,x4)上单调递增,(x4,b)上单调递减,故函数f(x)在x1取极大值,在x2取微小值,在x4取极大值.3.如图是函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象,则QUOTE+QUOTE等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点(0,0),(1,0),(2,0),得d=0,b+c+1=0,4b+2c+8=0,则b=-3,c=2,f′(x)=3x2+2bx+c=3x2-6x+2,且x1,x2是函数f(x)=x3+bx2+cx+d的两个极值点,即x1,x2是方程3x2-6x+2=0的实根,所以QUOTE+QUOTE=(x1+x2)2-2x1x2=4-QUOTE=QUOTE.4.函数f(x)=aex-sinx在x=0处有极值,则a的值为 ()A.-1 B.0 C.1 D.e【解析】选C.由题意得:f′(x)=aex-cosx,因为f(x)在x=0处有极值,所以f′(0)=a-cos0=a-1=0,解得:a=1,经检验满意题意.5.若x=-2是函数f(x)=QUOTEx3-ax2-2x+1的一个极值点,则函数f(x)的微小值为 ()A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.因为f(x)=QUOTEx3-ax2-2x+1,所以f′(x)=x2-2ax-2,由题意得f′QUOTE=2+4a=0,解得a=-QUOTE,所以f(x)=QUOTEx3+QUOTEx2-2x+1,所以f′(x)=x2+x-2=QUOTE.当x<-2或x>1时,f′(x)>0;当-2<x<1时,f′(x)<0.所以,函数y=f(x)的单调递增区间为QUOTE和QUOTE,单调递减区间为QUOTE,当x=1时,函数y=f(x)取得微小值fQUOTE=QUOTE+QUOTE-2+1=-QUOTE.二、填空题(每小题5分,共15分)6.假如函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列推断:①函数y=f(x)在区间QUOTE内单调递增;②函数y=f(x)在区间QUOTE内单调递减;③函数y=f(x)在区间(4,5)内单调递增;④当x=2时,函数y=f(x)有微小值;⑤当x=-QUOTE时,函数y=f(x)有极大值.则上述推断正确的是________.(填序号)

【解析】函数的单调性由导数的符号确定,当x∈(-∞,-2)时,f′(x)<0,所以f(x)在(-∞,-2)上为减函数,同理f(x)在(2,4)上为减函数,在(-2,2)上是增函数,在(4,+∞)上为增函数,所以可解除①和②,③正确.由于函数在x=2的左侧递增,右侧递减,所以x=2时,函数有极大值;而在x=-QUOTE的左右两侧,函数的导数都是正数,故函数在x=-QUOTE的左右两侧均为增函数,所以x=-QUOTE不是函数的极值点.解除④和⑤.答案:③7.若函数f(x)=QUOTEx2+(a-1)x-alnx没有极值,则a=________.

【解析】f′(x)=(x-1)QUOTE,x>0,当a≥0时,QUOTE+1>0.令f′(x)<0,得0<x<1;令f′(x)>0,得x>1.f(x)在x=1处取微小值.当a<0时,方程QUOTE+1=0必有一个正数解x=-a,(1)若a=-1,此正数解为x=1,此时f′(x)=QUOTE≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值.(2)若a≠-1,此正数解为x≠1,f′(x)=0必有2个不同的正数解,f(x)存在2个极值.综上,a=-1.答案:-18.已知函数f(x)=lnx-QUOTE的微小值大于0,则实数m的取值范围为________.

【解析】由f(x)=lnx-QUOTE,得f′(x)=QUOTE(x>0),令f′(x)=0,则x=-m,因为f(x)=lnx-QUOTE的微小值大于0,必有微小值点-m>0,故m<0,所以当x>-m时,f′(x)>0,当0<x<-m时,f′(x)<0,所以f(x)在(0,-m)上单调递减,在(-m,+∞)上单调递增,所以f(x)的微小值=f(-m)=ln(-m)+1>0,所以m<-QUOTE.综上m的取值范围为QUOTE.答案:QUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=ax2+blnx在x=1处有极值QUOTE.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的单调区间.【解析】(1)因为f′(x)=2ax+QUOTE.又f(x)在x=1处有极值QUOTE,所以QUOTE即QUOTE解得a=QUOTE,b=-1.(2)由(1)可知f(x)=QUOTEx2-lnx,其定义域是QUOTE,f′(x)=x-QUOTE=QUOTE.由f′(x)<0,得0<x<1;由f′(x)>0,得x>1.所以函数y=f(x)的单调减区间是QUOTE,单调增区间是QUOTE.10.设f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,a∈R.(1)令g(x)=f′(x),求g(x)的单调区间.(2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.【解析】(1)由f′(x)=lnx-2ax+2a,可得g(x)=lnx-2ax+2a,x∈(0,+∞),则g′(x)=QUOTE-2a=QUOTE,当a≤0时,x∈(0,+∞)时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增;当a>0时,x∈QUOTE时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增,x∈QUOTE时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减.所以当a≤0时,g(x)的单调递增区间为(0,+∞);当a>0时,g(x)的单调递增区间为QUOTE,单调递减区间为QUOTE.(2)由(1)知,f′(1)=0.①当a≤0时,f′(x)单调递增.所以当x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.所以f(x)在x=1处取得微小值,不合题意.②当0<a<QUOTE时,QUOTE>1,由(1)知f′(x)在QUOTE内单调递增,可得当x∈(0,1)时,f′(x)<0,x∈QUOTE时,f′(x)>0,所以f(x)在(0,1)内单调递减,在QUOTE内单调递增,所以f(x)在x=1处取得微小值,不合题意.③当a=QUOTE时,QUOTE=1,f′(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,所以当x∈(0,+∞)时,f′(x)≤0,f(x)单调递减,不合题意.④当a>QUOTE时,0<QUOTE<1,当x∈QUOTE时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)在x=1处取得极大值,符合题意.综上可知,实数a的取值范围为QUOTE.1.函数f(x)=QUOTEex(其中e=2.718…是自然对数的底数)的极值点是________;极大值=________.

【解析】由已知得f′(x)=QUOTEex=QUOTEex=(x+2)(x-1)ex,因为ex>0,令f′(x)=0,可得x=-2或x=1,当x<-2时f′(x)>0,即函数f(x)在(-∞,-2)上单调递增;当-2<x<1时,f′(x)<0,即函数f(x)在区间(-2,1)上单调递减;当x>1时,f′(x)>0,即函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增.故f(x)的极值点为-2,