2024-2025学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.3.1-2.3.2空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理学案含解析北师大版选修2-1

PAGE§3向量的坐标表示和空间向量基本定理3．1空间向量的标准正交分解与坐标表示3．2空间向量基本定理学问点一空间向量的标准正交分解与坐标表示[填一填](1)在给定的空间直角坐标系中，令i，j，k分别为x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，对于空间随意向量a，存在唯一一组三元有序实数(x，y，z)，使得a＝xi＋yj＋zk.我们把a＝xi＋yj＋zk叫作a的标准正交分解，把i，j，k叫作标准正交基．(2)(x，y，z)叫作空间向量a的坐标，记作a＝(x，y，z)．a＝(x，y，z)叫作向量a的坐标表示．在空间直角坐标系中，点P的坐标为(x，y，z)，向量eq\o(OP,\s\up6(→))的坐标也是(x，y，z)．[答一答]空间点的坐标和空间的点为何是一一对应的？提示：在空间直角坐标系中，过空间点M向平面xOy引垂线，有且只有一条，设垂足为N，而N在xOy面内的横纵坐标都是唯一的，所以空间点的坐标和空间点是一一对应的．即在空间直角坐标系O­xyz中，对空间任一点M，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq\o(OM,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标．如图．学问点二向量a在向量b上的投影[填一填]一般地，若b0为b的单位向量，称a·b0＝|a|·cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影．可见，向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影．[答一答]求证：向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影．提示：设a＝xi＋yj＋zk，∴a·i＝xi·i＋yj·i＋zk·i，由于i⊥j，k⊥i，∴i·j＝0，k·i＝0，又|i|2＝i·i＝1，∴a·i＝x，同理a·j＝y，a·k＝z.学问点三空间向量基本定理[填一填](1)假如向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3.空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底．a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3表示向量a关于基底e1，e2，e3的分解．(2)特殊地，当向量e1，e2，e3两两垂直时，就得到这个向量的一个正交分解．当e1＝i，e2＝j，e3＝k时，就是标准正交分解．[答一答]求证：满意a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3中的λ1，λ2，λ3是唯一的．提示：设a＝λ1′e1＋λ2′e2＋λ3′e3，又∵a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3，∴λ1e1＋λ2e2＋λ3e3＝λ1′e1＋λ2′e2＋λ3′e3，∴(λ1－λ1′)e1＋(λ2－λ2′)e2＋(λ3－λ3′)e3＝0，又∵e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，∴λ1′＝λ1，λ2′＝λ2，λ3′＝λ3，即λ1，λ2，λ3是唯一的．1．关于空间向量的标准正交分解与坐标表示的几个留意点：(1)投影a·b0＝|a|cos〈a，b〉是一个实数．①若〈a，b〉∈[0，eq\f(π,2))，则a·b0>0；②若〈a，b〉＝eq\f(π,2)，则a·b0＝0；③若〈a，b〉∈(eq\f(π,2)，π]，则a·b0<0.(2)建立坐标系时，应留意点O的随意性，原点O的选择要便于解决问题，既有利于作图的直观性，又要尽可能地使各点的坐标为正．2．空间向量基本定理说明：(1)用空间三个不共面的已知向量组{e1，e2，e3}可以线性表示出空间随意一向量，而且表示的结果是唯一的．(2)空间随意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底．(3)由于0可看作是与随意一个非零向量共线，与随意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含它们都不是0.要明确：一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．3．特殊向量的坐标表示：若向量a平行x轴，则a＝(x,0,0)．若向量a平行y轴，则a＝(0，y,0)．若向量a平行z轴，则a＝(0,0，z)．若向量a平行xOy平面，则a＝(x，y,0)．若向量a平行yOz平面，则a＝(0，y，z)．若向量a平行zOx平面，则a＝(x,0，z)．题型一空间向量的坐标表示【例1】如图所示，已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1.求eq\o(AN,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))的坐标．【解】由题意可知PA＝AD＝AB＝1，且PA⊥平面AC，AD⊥AB，不妨以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，其中eq\o(AD,\s\up6(→))＝i，eq\o(AB,\s\up6(→))＝j，eq\o(AP,\s\up6(→))＝k.eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)j，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)i＋eq\f(1,2)j＋eq\f(1,2)k.故eq\o(AM,\s\up6(→))＝(0，eq\f(1,2)，0)，eq\o(AN,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，eq\f(1,2))．规律方法用坐标表示空间向量的一般步骤：(1)找垂线：细致视察图形特征，找寻两两垂直的三条直线．若无，则需构造两两垂直的三条直线；(2)取基底：取(1)中找出的三条直线的单位方向向量为基底；(3)建坐标系：依据图形特征建立空间直角坐标系；(4)进行计算：综合利用向量的加减及数乘运算；(5)确定结果：确定目标向量的坐标．如图，在空间直角坐标系中有长方体OABC­O′A′B′C′，且OA＝6，OC＝8，OO′＝5.(1)写出点B′的坐标，并给出eq\o(OB′,\s\up6(→))关于i，j，k的标准正交分解式；(2)写出eq\o(OC′,\s\up6(→))的坐标．解：(1)因为OA＝6，OC＝8，OO′＝5，所以点B′的坐标为(6,8,5)，从而eq\o(OB′,\s\up6(→))＝(6,8,5)＝6i＋8j＋5k.(2)因为点C′的坐标是(0,8,5)，所以eq\o(OC′,\s\up6(→))＝(0,8,5)．题型二空间向量基本定理【例2】如图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，G为△PDC的重心，eq\o(AB,\s\up6(→))＝i，eq\o(AD,\s\up6(→))＝j，eq\o(AP,\s\up6(→))＝k，试用基底{i，j，k}表示向量eq\o(PG,\s\up6(→))，eq\o(BG,\s\up6(→)).【思路探究】利用三角形法则，平行四边形法则将向量eq\o(PG,\s\up6(→))，eq\o(BG,\s\up6(→))用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))来表示．由于点G为△PDC的重心，所以有PG＝eq\f(2,3)PN.【解】eq\o(PG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)[eq\f(1,2)(eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→)))]＝eq\f(1,3)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)i＋eq\f(2,3)j－eq\f(2,3)k.eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＋eq\o(NG,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(NP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－(eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AP,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)i＋eq\f(2,3)j＋eq\f(1,3)k.规律方法用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则．逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up6(→))＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQQA′＝41，用基底{a，b，c}表示以下向量．(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(AM,\s\up6(→))；(3)eq\o(AN,\s\up6(→))；(4)eq\o(AQ,\s\up6(→)).解：连接AC，AD′.(1)eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋Aeq\o(D,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)．(2)eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(a＋2b＋c)＝eq\f(1,2)a＋b＋eq\f(1,2)c.(3)eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC′,\s\up6(→))＋eq\o(AD′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)[(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))＋(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))]＝eq\f(1,2)a＋b＋c.(4)eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)eq\o(CA′,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)(eq\o(AA′,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\f(4,5)eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)a＋eq\f(1,5)b＋eq\f(4,5)c.题型三空间向量基本定理的简洁应用【例3】如图所示，平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝eq\f(1,3)BB1，DF＝eq\f(2,3)DD1.(1)证明：A、E、C1、F四点共面；(2)若eq\o(EF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AA1,\s\up6(→))，求x＋y＋z.【思路探究】第(1)问要证明四点共面只需证明eq\o(AC1,\s\up6(→))，可用eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))表示即可；第(2)问中求x＋y＋z只需先把eq\o(EF,\s\up6(→))用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))表示出来，求出x、y、z，再求x＋y＋z.【解】(1)证明：∵eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→)))＋(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))，∴A、E、C1、F四点共面．(2)∵eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))－(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(DD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(BB1,\s\up6(→))＝－Aeq\o(B,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))，∴x＝－1，y＝1，z＝eq\f(1,3).∴x＋y＋z＝eq\f(1,3).规律方法证明三个向量共面，直线与平面平行或直线在平面内，四点共面，都要利用共面对量定理，即对于向量p来说是否存在x，y，使p＝xa＋yb成立．已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点M满意eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→)).(1)推断eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))三个向量是否共面；(2)推断点M是否在平面ABC内．解：(1)∵eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(OM,\s\up6(→))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＋(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))．∴eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→)).∴向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面．(2)由(1)知，向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面，三个向量的基线又有公共点M，∴M，A，B，C共面，即点M在平面ABC内．题型四向量的投影【例4】如图，已知单位正方体ABCD­A′B′C′D′.(1)求向量eq\o(CA′,\s\up6(→))在eq\o(CD,\s\up6(→))上的投影；(2)eq\o(DC,\s\up6(→))是单位向量，且垂直于平面ADD′A′，求向量eq\o(CA′,\s\up6(→))在eq\o(DC,\s\up6(→))上的投影．【思路探究】a在b上的投影为|a|cos〈a，b〉，只要求出|a|及〈a，b〉即可．【解】(1)法1：向量eq\o(CA′,\s\up6(→))在eq\o(CD,\s\up6(→))上的投影为|eq\o(CA′,\s\up6(→))|cos〈eq\o(CA′,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉，又正方体棱长为1，∴|CA′|＝eq\r(12＋12＋12)＝eq\r(3)，∴|eq\o(CA′,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，∠DCA′即为eq\o(CA′,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))的夹角，在Rt△A′CD中，cos∠A′CD＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴eq\o(CA′,\s\up6(→))在eq\o(CD,\s\up6(→))上的投影为|eq\o(CA′,\s\up6(→))|cos〈eq\o(CA′,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝eq\r(3)·eq\f(\r(3),3)＝1.法2：在正方体ABCD­A′B′C′D′中，DC⊥AD，〈eq\o(CA′,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝∠DCA′.∵eq\o(CA′,\s\up6(→))在eq\o(CD,\s\up6(→))上的投影为|eq\o(CA′,\s\up6(→))|cos〈eq\o(CA′,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝|eq\o(CA′,\s\up6(→))|cos∠DCA′＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝1.(2)eq\o(CA′,\s\up6(→))与eq\o(DC,\s\up6(→))的夹角为180°－∠A′CD，∴eq\o(CA′,\s\up6(→))在eq\o(DC,\s\up6(→))上的投影为|eq\o(CA′,\s\up6(→))|cos(180°－∠A′CD)＝－|eq\o(CA′,\s\up6(→))|·cos∠A′CD＝－1.规律方法(1)求向量a在向量b上的投影，可先求出|a|，再求出两个向量a与b的夹角，最终计算|a|cos〈a，b〉，即为向量a在向量b上的投影，它可正、可负，也可以为零；也可以利用几何图形直观转化求解．(2)在确定向量的夹角时要留意向量的方向，如本题中〈eq\o(CA′,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉与〈eq\o(CA′,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))〉是不同的，其和为π.已知正四面体P­ABC的全部棱长均为1，D是AC的中点，如图所示，求：(1)向量eq\o(PB,\s\up6(→))在eq\o(PC,\s\up6(→))上的投影；(2)向量eq\o(PB,\s\up6(→))在eq\o(AP,\s\up6(→))上的投影；(3)向量eq\o(BP,\s\up6(→))在eq\o(BD,\s\up6(→))上的投影．解：(1)向量eq\o(PB,\s\up6(→))在eq\o(PC,\s\up6(→))上的投影为|eq\o(PB,\s\up6(→))|cos∠BPC＝1×coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).(2)向量eq\o(PB,\s\up6(→))在eq\o(AP,\s\up6(→))上的投影为|eq\o(PB,\s\up6(→))|·cos(π－∠APB)＝1×coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2).(3)如题图所示，由正四面体的几何性质知，点P在底面ABC上的射影O是底面△ABC的中心，且在BD上，在Rt△POB中，OB＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3)，∴向量eq\o(BP,\s\up6(→))在eq\o(BD,\s\up6(→))上的投影为|eq\o(BP,\s\up6(→))|cos∠PBO＝|eq\o(BO,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),3).——多维探究——利用向量基本定理证明线线垂直【例5】如图，平行六面体ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.求证：CA1⊥B1D1.【思路分析】本题主要考查了空间向量的基本定理．解决这类问题首先应当找到作为基底的向量，再把相关向量表示为基底的线性形式，证明它们的数量积为零即可．【证明】因为eq\o(CA1,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))，eq\o(B1D1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))，所以eq\o(CA1,\s\up6(→))·eq\o(B1D1,\s\up6(→))＝(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→)))·(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\o(CD,\s\up6(→))2－eq\o(CB,\s\up6(→))2＋eq\o(CC1,\s\up6(→))·(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|2－|eq\o(CB,\s\up6(→))|2＋eq\o(CC1,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CC1,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|2－|eq\o(CB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(CC1,\s\up6(→))||eq\o(CD,\s\up6(→))|·cos∠C1CD－|eq\o(CC1,\s\up6(→))||eq\o(CB,\s\up6(→))|·cos∠C1CB，又因为∠C1CB＝∠C1CD，底面ABCD为菱形，所以|eq\o(CD,\s\up6(→))|2－|eq\o(CB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(CC1,\s\up6(→))||eq\o(CD,\s\up6(→))|·cos∠C1CD－|eq\o(CC1,\s\up6(→))||eq\o(CB,\s\up6(→))|·cos∠C1CB＝0，即eq\o(CA1,\s\up6(→))·eq\o(B1D1,\s\up6(→))＝0.所以eq\o(CA1,\s\up6(→))⊥eq\o(B1D1,\s\up6(→))，故CA1⊥B1D1.规律方法用向量法证明垂直关系的操作步骤(1)把几何问题转化为向量问题；(2)用已知向量表示所证向量；(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0；(4)将向量问题回来到几何问题．如图，在空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点．求证：OG⊥BC.证明：如图，连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，又设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，则|a|＝|b|＝|c|.又eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)[eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(Oeq\o(B,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))]＝eq\f(1,4)(a＋b＋c)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝c－b.∴eq\o(OG,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(a＋b＋c)·(c－b)＝eq\f