2024-2025学年高中数学第一章计数原理3第2课时组合的应用课后作业含解析北师大版选修2-3

PAGE组合的应用[A组基础巩固]1．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人担当，乙、丙各需一人担当，从10人中选出4人担当这三项任务，不同的选法种数是()A．1260 B．2025C．2520 D．5040解析：N＝Ceq\o\al(4,10)·Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,2)＝2520.答案：C2．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在选择5名选手参与竞赛，种子选手都必需在内，那么不同的选法数共有()A．26 B．84C．35 D．21解析：从7名队员中选出3人有Ceq\o\al(3,7)＝eq\f(7×6×5,3×2×1)＝35种选法．答案：C3．从5名男医生，4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有()A．70种 B．80种C．100种 D．140种解析：可分两类，男医生2名，女医生1名或男医生1名，女医生2名．∴共有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)＝70(种)．答案：A4．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()A．30种 B．35种C．42种 D．48种解析：解法一可分两种状况：A类选1门，B类选2门或A类选2门，B类选1门，共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,4)＝18＋12＝30种选法．解法二总共有Ceq\o\al(3,7)＝35种选法，减去只选A类的Ceq\o\al(3,3)＝1种，再减去只选B类的Ceq\o\al(3,4)＝4种，故有30种选法．答案：A5．从正方体ABCD­A′B′C′D′的8个顶点中选取4个，作为四面体的顶点，可得到的不同四面体的个数为()A．Ceq\o\al(4,8)－12 B．Ceq\o\al(4,8)－8C．Ceq\o\al(4,8)－6 D．Ceq\o\al(4,8)－4解析：从8个顶点中任取4个有Ceq\o\al(4,8)种取法，其中6个面和6个对角面上的四个顶点不能作为四面体的顶点，故有(Ceq\o\al(4,8)－12)个不同的四面体．答案：A6．从5名同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参与公益活动，每人一天，要求星期五有2人参与，星期六、星期日各有1人参与，则不同的选派方法共有________种．解析：从5人中选4人，有Ceq\o\al(4,5)种方法，对于选定的4人，让他们参与这3天的公益活动，选派方法共有Ceq\o\al(4,5)(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1))＝60(种)．答案：607．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参与某次社区服务，假如要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为________．解析：6人中选派4人的组合数为Ceq\o\al(4,6)，其中都选男生的组合数为Ceq\o\al(4,4).所以至少有1名女生的选派方案有Ceq\o\al(4,6)－Ceq\o\al(4,4)＝14(种)．答案：148．空间中有6个点，它们任何3点不共线，任何4点不共面，则过其中两点的异面直线共有________对．解析：考虑到每一个三棱锥对应着3对异面直线，问题就转化为求能构成的三棱锥的个数．由于这6个点可构成Ceq\o\al(4,6)个三棱锥，故共有3Ceq\o\al(4,6)＝45对异面直线．答案：459．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有1名女生；(2)两名队长当选；(3)至少有1名队长当选；(4)至多有2名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选．解析：(1)1名女生，4名男生．故共有Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(4,8)＝350种选法．(2)将两名队长作为一类，其他11人作为一类，故共有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(3,11)＝165种选法．(3)至少有1名队长，含有两类：只有1名队长，2名队长．故共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(4,11)＋Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(3,11)＝825种选法．或采纳间接法，共有Ceq\o\al(5,13)－Ceq\o\al(5,11)＝825种选法．(4)至多有2名女生，含有三类：有2名女生，只有1名女生，没有女生．故共有Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(5,8)＝966种选法．(5)分两类：第一类，女队长当选有Ceq\o\al(4,12)种；其次类，女队长不当选有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(4,4)种．故共有Ceq\o\al(4,12)＋Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(4,4)＝790种选法．10．平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点，可得多少个不同的三角形？解析：我们把从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准．第一类：共线的4个点中有2个点作为三角形的顶点，共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,8)＝48个不同的三角形；其次类：共线的4个点中有1个点作为三角形的顶点，共有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,8)＝112个不同的三角形；第三类：共线的4个点中没有点作为三角形的顶点，共有Ceq\o\al(3,8)＝56个不同的三角形．由分类加法计数原理知，不同的三角形共有48＋112＋56＝216(个)．[B组实力提升]1．某地为上海“世博会”招募了20名志愿者，他们的编号分别是1号、2号、…、19号、20号．若要从中随意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的在另一组．那么确保5号与14号入选并被安排到同一组的选取种数是()A．16 B．21C．24 D．90解析：要“确保5号与14号入选并被安排到同一组”，则另外两人的编号或都小于5或都大于14，于是依据分类加法计数原理，得选取种数是Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,6)＝6＋15＝21，故选B.答案：B2．以圆x2＋y2－2x－2y－1＝0内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形的个数为()A．76 B．78C．81 D．84解析：如图，首先求出圆内的整数点个数，然后求组合数，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝3，圆内共有9个整数点，其中共线的状况有8种，则组成的三角形的个数为Ceq\o\al(3,9)－8＝76.故选A.答案：A3．某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4个运动员参与竞赛，则这4人都不是老搭档的抽派方法数为________．解析：先抽取4对老搭档运动员，再从每对老搭档运动员中各抽1人，故有Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＝80(种)．答案：804．某车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外2名老师傅既能当钳工又能当车工．现在从这11名工人中选派4名钳工和4名车工修理一台机床，有多少种不同的选派方法？解析：设A、B表示2位老师傅，下面对A、B的选派状况进行分类：(1)A、B都没选上的方法有Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(4,4)＝5(种)；(2)A、B都选上且都当钳工的方法有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(4,4)＝10(种)；(3)A、B都选上且都当车工的方法有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(2,4)＝30(种)；(4)A、B都选上且一人当钳工，一人当车工的方法有Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(3,4)＝80(种)；(5)A、B有一人选上且当钳工的方法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(4,4)＝20(种)；(6)A、B有一个选上且当车工的方法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(3,4)＝40(种)；故共有5＋10＋30＋80＋20＋40＝185种选派方法．5．某班准备从7名男生5名女生中选取5人作为班干部，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？(1)A，B必需当选；(2)A，B必不当选；(3)A，B不全当选；(4)至少有2名女生当选；(5)选取3名男生和2名女生分别担当班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必需由男生担当，班长必需由女生担当．解析：(1)由于A，B必需当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，故有Ceq\o\al(3,10)＝120种选法．(2)从除去A，B两人的10人中选5人即可，故有Ceq\o\al(5,10)＝252种选法．(3)全部选法有Ceq\o\al(5,12)种，A，B全当选有Ceq\o\al(3,10)种，故A，B不全当选有Ceq\o\al(5,12)－Ceq\o\al(3,10)＝672种选法．(4)留意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法求解．所以有Ceq\o\al(5,12)－Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(4,7)－Ceq\o\al(5,7)＝596种选法．(5)分三步进行：