2023-2024学年七年级数学下册单元速记·巧练（湘教版）第四章 相交线与平行线（知识归纳+题型突破）（原卷版）

第四章相交线与平行线（知识归纳+题型突破）1、理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角（或等角）的余角相等、同角（或等角）的补角相等的性质．2、理解垂线、垂线段等概念，能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线．3、能用尺规作图：作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线．4、掌握基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．5、理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离.6、识别同位角、内错角、同旁内角.7、理解平行线的概念.8、掌握平行线基本事实I：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.9、掌握平行线基本事实Ⅱ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.10、探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等（或同旁内角互补），那么这两条直线平行.11、掌握平行线的性质定理I：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.12、探索并证明平行线的性质定理Ⅱ：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等（或同旁内角互补）.13、能用三角板和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.14、能用尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线.15、了解平行于同一条直线的两条直线平行.一、知识框架二、知识概念1.邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。2.对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。3.垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。4.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。5.同位角、内错角、同旁内角：两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有四对同位角，两对内错角，两对同旁内角。同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。内错角：∠4与∠6像这样的一对角叫做内错角。同旁内角：∠4与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。6.命题：判断一件事情的语句叫命题。7.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。8.对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。9.定理与性质对顶角的性质：对顶角相等。10垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。11.平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。12.平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等。性质2：两直线平行，内错角相等。性质3：两直线平行，同旁内角互补。13.平行线的判定：判定1：同位角相等，两直线平行。判定2：内错角相等，两直线平行。判定3：同旁内角互补，两直线平行。题型一平面上两条直线的位置关系【例1】（23-24七年级上·山东聊城·期中）平面上的三条直线最多可将平面分成（

）部分A．4 B．6 C．7 D．8【例2】平面内两两相交的条直线，其交点个数最少为个，最多为个，则等于（

）A． B． C． D．以上都不对【例3】（23-24七年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，直线和相交于点O，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【例4】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，直线，被直线和所截，则下列说法错误的是（）A．与是同位角 B．与是内错角C．与是同旁内角 D．，，互为邻补角巩固训练：1．如下图，在一张白纸上画条直线，最多能把白纸分成部分（如图（1）），画条直线，最多能把白纸分成部分（如图（2）），画条直线，最多能把白纸分成部分（如图（3）），......，当在一张白纸上画条直线，最多能把白纸分成（）A．部分 B．部分 C．部分 D．部分2．（23-24七年级下·全国·课后作业）当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向发生了变化，这种现象叫做光的折射．如图，直线与相交于点，一束光线沿射入水面，在点处发生折射，沿射入水中，如果，，那么光的传播方向改变了（）A． B． C． D．3．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，下列结论错误的是（

）A．与是邻补角 B．与是同位角C．与是内错角 D．与是同旁内角4．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，的同位角有（）A． B．或 C．或 D．或或5．（2024·广东佛山·一模）两条直线被第三条直线所截，形成了常说的“三线八角”，为了便于记忆，同学们可用双手表示“三线八角”（两大拇指代表被截直线，两只食指在同一直线上代表截线），如图，它们构成的一对角可以看成（

）A．同位角 B．同旁内角 C．内错角 D．对顶角6．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，三条直线两两相交，与是角，与是角，与是角．7．（23-24七年级下·吉林白城·阶段练习）如图，直线a、b相交于点O，若，则度．9．（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）如图，已知直线相交于点O，射线把分成两部分．（1）写出图中的对顶角，的补角是；（2）已知，且，则的度数为．10．（22-23七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）问题：我们知道平面内两条直线的位置关系有两种：相交、平行，那在同一平面内多条直线的位置关系又如何？现准备研究在同一平面内，有且仅有两条直线平行的条直线产生的交点个数情况．（是不小于3的正整数）(1)【初探】当时，交点个数有________个；当时，交点个数有________个；(2)【再探】当时，交点个数最多有________个；(3)【归纳】请你求出在同一平面内，有且仅有两条直线平行的条直线最多能产生多少个交点；(4)【运用】在同一平面内，有且仅有两条直线平行的12条直线最多能产生多少个交点，此时，图中共有多少对对顶角？11．（23-24七年级下·贵州黔东南·阶段练习）观察以下图形，寻找对顶角及邻补角．

(1)图（1）中共有对对顶角，对邻补角．(2)图（2）中共有对对顶角，对邻补角．(3)图（3）中共有对对顶角，对邻补角．(4)根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为∶若n条直线相交于一点，则可形成对对顶角，对邻补角．(5)若100条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？题型二平移【例1】（2024七年级下·浙江·专题练习）如图所示的图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（

）A．B．C． D．【例2】（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为．【例3】（23-24七年级下·河南·阶段练习）如图，三角形的边长为，将三角形向右平移得到三角形，已知四边形为长方形，则阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【例4】（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）某公园内有一长方形花坛，想在花坛内修筑同样宽的两条小路（阴影部分）供游客赏花，现有如图所示甲、乙两种设计方案（两种方案中小路宽度一样），则关于两种设计方案中的小路，以下说法正确的是（

）A．面积相等，周长不相等 B．面积不相等，周长相等C．面积和周长都相等 D．面积和周长都不相等巩固训练1．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，直径为4的第一个圆向右平移得到第二个圆，若图中阴影部分的周长为，则平移的距离为（）A． B． C． D．2．（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点B到点C的方向平移到的位置，，，，平移距离为12，则阴影部分的面积（

）A．160 B．168 C．180 D．1923．（2024·云南·模拟预测）如图，中，，把沿直线向右平移3个单位长度得到，则四边形的面积是（

）

A．22 B．18 C．15 D．244．（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，将沿方向平移到，若A，D之间的距离为2，，则等于（

）

A．6 B．7 C．8 D．95．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，，将直角三角形沿着射线方向平移，得三角形，已知，，则阴影部分的面积为（）A． B． C． D．6．（23-24七年级下·江西上饶·阶段练习）如图，把一个三角形纸板的一边紧靠数轴平移，则点平移的距离为．7．（22-23七年级下·辽宁鞍山·阶段练习）如图，是一块长方形场地，米，米，从两处入口的小路都为1米，两小路汇合处路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为米．8．（23-24七年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着方向平移线段的距离，就得到此图形，阴影部分面积为．9．（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图所示，三角形的边在数轴上，，将三角形沿数轴的负方向平移至三角形的位置(1)和的数量关系为，位置关系为；度；(2)若点D表示的数为，点A表示的数为0，点C表示的数为4①求点F表示的数；②若，求四边形的周长10．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，是由沿箭头方向平移得到的．(1)若，求的度数；(2)若，求的长；(3)若，求，的长．题型三平行线的性质与判定【例1】（23-24七年级上·山东滨州·期末）如图，，则的度数是（

）．

A． B． C． D．【例2】（22-23八年级上·贵州六盘水·期末）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么的度数是（

）A． B． C． D．【例3】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）在同一平面内，有直线，已知，，，，…，按此规律下去，若，则的值可以是（）A．42 B．47 C．63 D．85【例4】（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）根据解答过程填空（理由或数学式）已知：如图，平分交于点，求证：．证明：（已知），（______），（______），平分（已知），（______），（等量代换），（已知），（等量代换），（______），（______）．【例5】（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，已知，，交的延长线于点E．(1)求证：；(2)若，，求的度数．巩固训练1．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图：，平分，若，则的度数为（

）A． B． C． D．2．（22-23七年级下·江苏南通·期末）如图，在中，，点在直线上，点在直线上，且直线∥MN，，则的度数为（

）A． B． C． D．3．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中，，．若，则的度数为．4．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图所示，已知，直线分别交于E、F两点，平分，交于点G．若，则度．5．（22-23七年级下·四川成都·期末）将一个含有角的直角三角板如图所示放置，其中一个角的顶点落在直线上，含角的顶点落在直线上．若，，则的度数为．6．（23-24八年级上·河南郑州·期末）一杆古秤在称物体时的状态如图所示，已知，则的度数是．

7．（22-23七年级下·江苏泰州·期末）如图所示，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角，第二次拐的角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则是度．8．（23-24七年级上·河南南阳·期末）如图，直线，且分别与直线交于，两点，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则．

9．（23-24七年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，直线被直线所截，添加一个条件，使．10．（23-24七年级下·江苏·周测）如图，，，，求和的度数．

11．（23-24七年级下·吉林·阶段练习）如图，已知，求证：．

12．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知，，，求证：．13．（23-24七年级下·全国·课后作业）在同一平面内，有2024条互不重合的直线，若，，以此类推，试判断和的位置关系．14．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，，．求证：．证明：（

），又，（

），（

），（

），又，，（

）．题型四根据平行线的性质与判定探究角的度数与关系【例1】（23-24七年级上·河南新乡·期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线，，且，直角三角尺中，，．图1

图2

图3(1)【操作发现】如图1，当三角尺的顶点在直线上时，若，则______；(2)【探索证明】如图2，当三角尺的顶点在直线上时，请写出与间的数量关系，并说明理由；(3)【拓展应用】如图3，把三角尺的顶点放在直线上且保持不动，旋转三角尺，点始终在直线（为直线上一点）的上方，若存在（），请直接写出射线与直线所夹锐角的度数．【例2】（23-24七年级上·四川遂宁·期末）如图，直线，直线与分别交于点G，H，．小明将一个直角三角形按如图①放置，使点N、M分别在直线上，且在点C、H的右侧，．(1)填空：度；(2)若的平分线交直线于点O，如图②．①当时，求α的度数；②小明将三角形沿直线左右移动，保持，点N、M分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含α的式子表示）．【例3】（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，已知为直线上一点，动点在直线上（在的右侧）且满足在外部且平分交于点．(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，若射线上有一点满足，请探究与之间的数量关系并说明理由；(3)如图3，若，射线从与射线重合的位置出发，绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从与射线重合的位置出发，绕点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转的时间为秒，当射线和射线平行时，求出的值．【例4】（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图，三角尺的直角顶点P在直线上，其中，．

(1)如图①，若，求的度数．(2)如图②，若，平分，求的度数．(3)在（1）的条件下，将三角尺绕点P以每秒的速度顺时针旋转，旋转t秒后得到三角尺，如图③，当时，求t的值．巩固训练1．（22-23八年级上·河南驻马店·期末）（1）【感知】如图①，，点在直线上，点在直线上，点为之间一点，求证：．小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程．证明：如图①，过点作．（已知），（_______），（_______），（等式的基本性质），．（2）【应用】小明同学进行了更进一步的思考：利用【感知】中的结论进行证明如图②，直线，点在直线上，点在直线上，直线分别平分，且交于点．猜想并证明与的数量关系．（3）【拓展】如图③，，直线与分别交于点，点在上，点在上，，若动点在线段上移动（不与重合），连接和的平分线交于点，补全图形（不必尺规作图），请直接写出与的数量关系．2．（23-24七年级上·山东济南·期末）【阅读探究】（1）如图1，分别是上的点，点在两平行线之间，，求的度数．解：过点作，所以______，因为，所以，所以______，因为，所以．（2）从上面的推理过程中，我们发现平行线可将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中和之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系为________．【方法应用】（3）如图2，分别是上的点，点在两平行线之间，，求的度数．【应用拓展】（4）如图3，分别是上的点，点在两平行线之间，作和的平分线，交于点（交点在两平行线之间），若，则的度数为________（用含的式子表示）．3．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如图，，点、分别在直线，上，为直线和之间的一个动点，且满足．(1)如图1，、、之间的数量关系为．(2)如图2，、、之间的数量关系为．(3)如图3，，分别平分和，点在左侧，点在右侧．①若，求的度数．②猜想规律：与的数量关系可表示为．③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，……依此类推，则与的数量关系是．4．（23-24八年级上·山西运城·期末）已知，直线，点P为平面上一点，连接与．(1)如图1，点P在直线，之间，当，时，求的度数．(2)如图2，点P在直线，之间，与的角平分线相交于点K，写出与之间的数量关系，并说明理由．(3)如图3，点P落在外．①直接写出、、的数量关系为______．②与的角平分线相交于点K，请直接写出与的数量关系为______．5．（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和交射线于点E，F．(1)求的度数，若，请直接用含的式子表示；(2)随着点的运动，设，，与之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由；(3)当时，请直接写出的度数．6．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）已知直线，在三角形纸板中，，(1)将三角形按如图1放置，点E和点G分别在直线上，若，则°(2)将三角形按如图2放置，点E和点G分别在直线上，交于点H，若，，试求、之间的数量关系；(3)在图2中，若，，将三角形绕点F以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为t秒，当三角形两条直角边分别与平行时，求出相应t的值（直接写出答案）．7．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）问题情境：如图1，，，，求的度数．问题迁移：(1)如图2，，点P在射线上运动，当点P在A，B两点之间运动时，，，求，，之间有何数量关系？请说明理由．(2)在（1）的条件下，如果点P在A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），请直接写出，，之间的数量关系．8．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）综合与探究某学习小组发现一个结论：已知直线，若直线，则．他们发现这个结论运用很广、请你利用这个结论解决以下问题．已知直线，点在，之间，点，分别在直线，上，连接，．(1)如图1，作，运用上述结论，探究与的数量关系，并说明理由．(2)如图2，，，求出与之间的数量关系．(3)如图3，直接写出，，，，之间的数量关系：__________．9．（23-24八年级上·重庆长寿·期末）如图，直线，连接线段，直线、及线段把平面分成①、②、③、④四个部分，规定∶线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接、，构成、、三个角．(1)当动点P落在第①部分时，如图1，求证：；(2)当动点P落在第②部分时，是否成立？在图2中画出图形，若成立，写出推理过程，若不成立，直接写出这三个角之间的关系．(3)当动点P落在第③部分时，延长，点P在射线的左侧和右侧时，分别探究、、之间的关系，在图3中画出图形，并直接写出相应的结论．10．（23-24七年级上·重庆渝中·期末）如图，直线，直线分别交、于点、．点在直线上方，点在直线上（在点的右边），连接，平分．(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，若平分，直线交于点，请探究与之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，在（2）问的条件下，连接并延长．若，，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，射线始终平分，是内部一条射线，平分，当，且的度数为射线与直线所夹锐角的倍时，直接写出的值（本题研究的所有角度均小于）．11．（22-23七年级上·河南南阳·期末）如图，已知．点P是射线上一动点（与点A不重合），，的角平分线分别交射线于点C，D．(1)①的度数是______；②∵，∴______；(2)求的度数；(3)当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系；若变化，请写出变化规律．(4)当点P运动到使时，的度数是______．12．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）已知直线，和，分别交于，点，点，分别在线，上，且位于的左侧，点在直线上，且不和点，重合．(1)如图1，点P在线段上，，，求的度数．(2)如图2，当点P在直线上运动时，试判断，，的数量关系，直接写出结果，不需要说明理由．题型五平行线的性质在生活中的应用【例1】（21-22六年级下·山东东营·期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角．(1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线是平行的？（请把证明过程补充完整）理由：∵（已知），∴（①），∵，（已知），∴（②），∴，即：，∴（③）(2)显然，改变两面平面镜AB、CD之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变，如图3，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射到平面镜CD上，又被CD反射．若被CD反射出的光线n和光线m平行，且，则∠6=______°，∠ABC=______°．(3)请你猜想：图3中，当两平面镜AB、CD的夹角∠ABC=______°时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行、请说明理由．【例2】（22-23七年级下·吉林松原·期末）如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且、满足．（友情提醒：钟表指针走动的方向为顺时针方向）(1)，；(2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直．(3)若射线绕点顺时针先转动18秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？【例3】（22-23七年级下·江苏泰州·期末）如图1是一盏可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，支架、为固定支撑杆，支架可绕点C旋转调节．已知灯体顶角，顶角平分线始终与垂直．

(1)如图2，当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，求支架与水平方向的夹角的度数；(2)若将图2中的绕点顺时针旋转到如图3的位置，求此时与水平方向的夹角的度数．巩固训练1．（22-23七年级下·云南昆明·期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，若平行光线由水中射向空气时所形成的，则为（）A． B． C． D．2．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，与在原来的方向的垂直方向前进，那么两次拐弯的角度可能是（

）A．第一次左拐，第二次右拐 B．第一次左拐，第二次左拐C．第一次右拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐3．（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）如图，一条街道有两个拐角和，已知，若，则的度数是（

）A． B． C． D．4．（22-23七年级下·河北沧州·期末）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线m与出射光线n平行，若入射光线m与镜面的夹角，且，则的度数为（

）

A． B． C． D．5．（22-23七年级下·贵州黔南·期中）如图，的一边是平面镜，，点C是上一点，一束光线从点C射出，经过平面镜上的点D反射后沿射线射出，已知，要使反射光线，则的度数是度．

6．（22-23七年级下·河北承德·期末）为保证安全，某两段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯A，B，探照灯的光线可看作射线如图，灯A的光线从射线开始，绕点A顺时针旋转至射线上便立即回转，灯B光线从射线开始，绕点B顺时针旋转至射线便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．已知，连接，，则；若灯B的光线先转动，每秒转动，45秒后灯A的光线才开始转动，每秒转动，在灯B的光线第一次到达之前，灯A的光线转动秒时，两灯的光线互相平行．

7．（2023七年级下·江苏·专题练习）如图，在两条笔直且平行的景观道上放置P，Q两盏激光灯．其中光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至边便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至边就停止旋转，此时光线也停止旋转．若光线先转4秒，光线才开始转动，当时，光线旋转的时间为秒．8．（22-23七年级上·福建泉州·期末）光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变，这就是折射现象．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，变成光线射到水底C处射线X是光线的延长线，，，则的度数为．9．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）如图、一艘轮船由B处向C处航行，C处在B处的北偏东方向上，在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西方向上，若轮船行驶到C处时测得，求从C处看A、B两处的视角的度数．

题型六垂线【例1】（23-24七年级下·山东青岛·单元测试）下列图形中，线段的长表示点A到直线距离的是（

）A．B． C．D．【例2】（23-24七年级上·浙江·期末）如图，直线，相交于点，平分，设，，下列结论：①，则；②若，则；③若，则；④若平分．则其中正确的结论是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【例3】（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）如图，在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数分别是m条和n条，则的值为（

）

A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条【例4】（23-24七年级下·山东青岛·单元测试）如图，要在渠岸上找一点，在点处开沟，把水渠中的水引到点，要使沟最短，线段与渠岸的位置关系应是，理由是．【例5】（22-23七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是，原因是．【例6】（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）解答下列问题：(1)画线段、，并延长、相交于点E；(2)画直线，射线；(3)过D点作；(4)过D点作．巩固训练1．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）为直线外一点，，，为直线上三点，，，，则点到直线的距离为（）A．，或 B．C．小于 D．不大于2．（23-24七年级下·河南·阶段练习）为直线外一点，为直线上三点，，，，则点到直线的距离不可能是（

）A． B． C． D．3．（22-23七年级上·河南鹤壁·期末）点P为直线m外一点，点P到直线m上的三点A，B，C的距离分别为，，，则点P到直线m的距离可能为（

）A．2cm B．4cm C．5cm D．7cm4．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，点A，D在直线m上，点，在直线上，，，，点A到直线的距离是（）A．线段的长度 B．线段的长度C．线段的长度 D．线段的长度5．（22-23七年级下·云南迪庆·期末）如图所示，直线，相交于点，于点，且，则的度数是（

）A． B． C． D．6．（23-24七年级下·四川泸州·阶段练习）如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是．7．（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）如图，这是小明同学在体育课上跳远测量的方法，其中蕴含的数学道理是．8．（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，点C到直线的距离是线段的长度.9．（22-23七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知，，若，．10．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知，．若，则．

11．（23-24七年级上·四川绵阳·期末）如图，已知点在直线上，平分，点在直线的上方，设与互补，平分，则．（用含的式子表示）12．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，是的边上一点．(1)过点画的垂线，垂足为点．(2)________（填“”、“”或“”），依据是________________．13．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）火车站，码头分别位于两点，直线分别表示铁路与河流．按下列要求，请画图并说明理由：(1)从火车站到码头怎样走最近？(2)从码头到铁路怎样走最近？14．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）如图，一辆汽车在直线形公路上由A向B行驶，点C，D分别是位于公路两侧的村庄，设汽车行驶到点E时，离村庄C最近，行驶到点F时，离村庄D最近．(1)请你在上分别画出E，F两点的位置；(2)如果在公路上有一个点P到村庄C和村庄D的距离之和最短，请在公路上画出点P．15．（23-24七年级上·福建福州·期末）按照下列要求完成画图及问题解答．(1)分别画直线和射线；(2)画线段，取的中点；(3)过点画直线的垂线，交直线于点；(4)测量点到直线的距离为______．16．（23-24七年级下·河南·阶段练习）如图，已知，，，将下面“判断与的位置关系”的过程补充完整．证明：，（已知）______．（两直线平行，______），，（______）______，______，（______），（等量代换）____________，即．______．（______，两直线平行）17．（22-23七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，直线、相交于点O，，且平分，若，求的度数．18．（23-24七年级下·吉林白城·阶段练习）如图，直线与相交于点O，垂直，垂直，是的平分线．(1)请直接写出图中的邻补角；(2)如果，求的度数；(3)在（2）的条件下，经过点O在内部作射线，使得，求的度数．题型七两条平行线间的距离【例1】（22-23七年级上·河北秦皇岛·开学考试）如图，平行线间的三个图形，下列说法正确的是（

）

A．平行四边形的面积大B．三角形的面积大C．梯形的面积大