第2章《相交线与平行线》（解析）

20222023学年北师大版数学七年级下册易错题真题汇编（提高版）第2章《相交线与平行线》考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022春•宾阳县期末）如图，已知GH∥BC，∠1＝∠2，GF⊥AB，给出下列结论：①∠B＝∠AGH；②HE⊥AB；③∠D＝∠F；④HE平分∠AHG．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：∵GH∥BC，∴∠1＝∠HGF，∠B＝∠AGH，故①正确；∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠HGF，∴DE∥GF，∴∠D＝∠DMF，根据已知条件不能推出∠F也等于∠DMF，故③错误；∵DE∥GF，∴∠F＝∠AHE，∵∠D＝∠1＝∠2，∴∠2不一定等于∠AHE，故④错误；∵GF⊥AB，GF∥HE，∴HE⊥AB，故②正确；即正确的个数是2，故选：B．2．（2分）（2022•济南一模）如图，直线l1∥l2被直线l3所截，∠1＝∠2＝36°，∠P＝90°，则∠3＝（）A．36° B．54° C．46° D．44°解：如图：∵直线l1∥l2被直线l3所截，∠1＝∠2＝36°，∴∠CAB＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣36°﹣36°＝108°，∵△ABP中，∠2＝36°，∠P＝90°，∴∠PAB＝90°﹣36°＝54°，∴∠3＝∠CAB﹣∠PAB＝108°﹣54°＝54°．故选：B．3．（2分）（2022春•如皋市校级月考）如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC．上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点，使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH＝104°，则∠BEG的度数为（）A．38° B．37.5° C．37° D．40°解：∵∠FBE＝∠FEB，∠AFE＝∠FBE+∠FEB，∴∠AFE＝2∠FEB，∵∠FEH的角平分线为EG，∴∠GEH＝∠FEG，∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，而∠D＝∠ABC，∴∠D+∠BAD＝180°，∴AB∥CD，∵∠DEH＝104°，∴∠CEH＝∠FAE＝76°，∵∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠GEH＝180°﹣2∠GEH，∴76°+2∠FEB+180°﹣2∠GEH＝180°，∴∠GEH﹣∠FEB＝38°，∴∠BEG＝∠FEG﹣∠FEB＝∠GEH﹣∠FEB＝38°．故选：A．4．（2分）（2022•巨野县一模）三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，则∠CBD＝（）A．10° B．15° C．20° D．25°解：∵∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠ABC＝30°，∵AB∥CF，∴∠ABD＝∠EDF＝45°，∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝45°﹣30°＝15°．故选：B．5．（2分）（2021秋•嵩县期末）如图，在长方形ABCD纸片中，AD∥BC，AB∥CD，把纸片沿EF折叠后，点C、D分别落在C'、D'的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED'等于（）A．70° B．65° C．50° D．25°解：∵四边形ABCD为长方形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB＝65°，又由折叠的性质可得∠D′EF＝∠DEF＝65°，∴∠AED′＝180°﹣65°﹣65°＝50°，故选：C．6．（2分）（2023春•南宁月考）如图，已知AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD．若∠ABO＝α°，给出下列结论：①；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：∵AB//CD，∴∠BOC＝180°﹣∠ABO＝180°﹣α，∴∠ABO＝∠BOD＝α，∵OE平分∠BOC，∴，∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90°，∴，∴，即OF平分∠BOD，∵OP⊥CD，∴∠POC＝90°，∴，∴∠POE＝∠BOF∠POB＝90°﹣∠BOD＝90°﹣α，，所以④错误；故答案为：C．7．（2分）（2023春•江津区校级月考）如图：CD∥AB，BC平分∠ACD，CF平分∠ACG，∠AEC＝∠ACG，则下列结论：①FC⊥BC；②∠BAE＝∠FAC；③∠FQE＝3∠ACF；④∠AEC＝2∠F．其中正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④解：∵BC平分∠ACD，CF平分∠ACG，∴∠ACB＝∠DCB，∠2＝∠3，∵∠ACE+∠ACD＝180°，∴，即FC⊥BC，故①正确；∵CD∥AB，∴∠1＝∠4，∠ACE＝∠5，∠2＝∠F，∵∠AEC＝∠ACG，∴∠4＝∠5，∴∠4+∠CAE＝∠5+∠CAE，即∠BAE＝∠FAC，故②正确；∵CF平分∠ACG，∴∠2＝∠3，∴∠3＝∠F，∵∠AEC＝∠ACG，∴∠4＝∠AEC＝2∠3＝2∠F，故④正确；∴∠FQE＝∠F+∠4＝∠3+2∠3＝3∠3＝3∠ACF，故③正确；故正确的有①②③④，故选：D．8．（2分）（2022春•绍兴期末）如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别交直线AB、CD于E、F，EM平分∠AEF交CD于M，G是射线MD上一动点（不与M、F重合）．EH平分∠FEG交CD于点H，设∠MEH＝α，∠EGF＝β，现有下列四个式子：①2α＝β；②2α﹣β＝180°；③α﹣β＝30°；④2α+β＝180°．其中正确的是（）A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④解：当点G在点F右侧时，如图示：∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∴∠MEF＝∠AEF，∠FEH＝∠FEG，∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠EGF＝β．∴∠MEH＝α＝∠MEF+∠FEH＝（∠AEF+∠FEG）＝（180°﹣∠BEG）＝（180°﹣β），∴2α+β＝180°，故④是正确的；当点G在M和F之间时，如图：∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∴∠MEF＝∠AEF，∠FEH＝∠FEG，∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠EGF＝β．∴∠MEH＝α＝∠MEF﹣∠FEH＝∠AEF﹣∠FEG＝（180°﹣∠BEF）﹣（180°﹣β﹣∠BEF）＝β，∴2α＝β，故①是正确的．故选：B．9．（2分）（2022春•牡丹江期中）如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：延长FG，交CH于I．∵AB∥CD，∴∠BFD＝∠D，∠AFI＝∠FIH，∵FD∥EH，∴∠EHC＝∠D，∵FE平分∠AFG，∴∠FIH＝2∠AFE＝2∠EHC，∴3∠EHC＝90°，∴∠EHC＝30°，∴∠D＝30°，∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°，∴①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°正确，∵FE平分∠AFG，∴∠AFI＝30°×2＝60°，∵∠BFD＝30°，∴∠GFD＝90°，∴∠GFH+∠HFD＝90°，可见，∠HFD的值未必为30°，∠GFH未必为45°，只要和为90°即可，∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正确．故选B．10．（2分）（2022春•大观区校级期末）如图，AB∥CD，P为AB上方一点，H、G分别为AB、CD上的点，∠PHB、∠PGD的角平分线交于点E，∠PGC的角平分线与EH的延长线交于点F，下列结论：①EG⊥FG；②∠P+∠PHB＝∠PGD；③∠P＝2∠E；④若∠AHP﹣∠PGC＝∠F，则∠F＝60°．其中正确的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4解：∵GF平分∠PGC，GE平分∠PGD，∴∠PGF＝∠PGC，∠PGE＝∠PGD，∴∠EGF＝∠PGF+∠PGE＝（∠PGC+∠PGD）＝，即EG⊥FG，故①正确；设PG与AB交于M，GE于AB交于N，∵AB∥CD，∴∠PMB＝∠PGD，∵∠PMB＝∠P+∠PHM，∴∠P+∠PHB＝∠PGD，故②正确；∵HE平分∠BHP，GE平分∠PGD，∴∠PHB＝2∠EHB，∠PGD＝2∠EGD，∵AB∥CD，∴∠PMB＝∠PGD，∠ENB＝∠EGD，∴∠PMB＝2∠ENB，∵∠PMB＝∠P+∠PHB，∠ENB＝∠E+∠EHB，∴∠P＝2∠E，故③正确；∵∠AHP﹣∠PMC＝∠P，∠PMH＝∠PGC，∠AHP﹣∠PGC＝∠F，∴∠P＝∠F，∵∠FGE＝90°，∴∠E+∠F＝90°，∴∠E+∠P＝90°，∵∠P＝2∠E，∴3∠E＝90，解得∠E＝30°，∴∠F＝∠P＝60°，故④正确．综上，正确答案有4个，故选：D．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•礼泉县期末）如图，AB∥CD，BF、DF分别平分∠ABE和∠CDE，BF∥DE，∠F与∠ABE互补，则∠F的度数为36°．解：延长FB交CD于点G，如图：∵BF，DF分别平分∠ABE和∠CDE，∴∠1＝∠2，∠FBA＝∠FBE，∵AB∥CD，∴∠FBA＝∠3，∵BF∥DE，∠F与∠ABE互补，∴∠3＝∠EDC＝2∠2，∠F＝∠1，∠F+∠ABE＝180°，设∠F＝x°，则∠1＝∠2＝x°，∠3＝2x°，∠ABE＝4x°，∴x+4x＝180，解得，x＝36，即∠F的度数为36°．故答案为：36．12．（2分）（2022秋•华容区期末）某天卢老师在数学课上，利用多媒体展示如下内容：如图，C为直线AB上一点，∠DCE为直角，CF平分∠ACD，CH平分∠BCD，CG平分∠BCE，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①∠ACF与∠BCH互余；②∠HCG＝45°；③∠ECF与∠GCH互补；④∠ACF﹣∠BCG＝45°．聪明的你认为哪些结论是正确的，请写出正确结论的序号①②④．解：∵CF平分∠ACD，CH平分∠BCD，CG平分∠BCE，∴∠ACF＝∠FCD＝∠ACD，∠DCH＝∠HCB＝∠DCB，∠BCG＝∠ECG＝∠BCE，∵∠ACB＝180°，∠DCE＝90°，∴∠FCH＝90°，∠HCG＝45°，∠FCG＝135°∴∠ACF+∠BCH＝90°，故①②正确，∵∠ECF＝∠DCE+∠FCD＝90°+∠FCD，∠FCD+∠DCH＝90°，∴∠ECF+∠DCH＝180°，∵∠HCG≠∠DCH，∴∠ECF与∠GCH不互补，故③错误，∵∠ACD﹣∠BCE＝180°﹣∠DCB﹣∠BCE＝90°，∴∠ACF﹣∠BCG＝45°．故④正确．故答案为：①②④．13．（2分）（2022春•赣州期末）如图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°，按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE（不超过一周），当CE∥AB时，∠BCD等于150或30度．解：分两种情况：①如图1所示，AB∥CE．∵AB∥CE，∠A＝30°，∴∠ACE＝∠A＝30°，∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠BCD＝360°﹣∠ACE﹣∠ACB﹣∠ECD＝150°；②如图2所示，AB∥CE．∵AB∥CE，∠B＝60°，∴∠BCE＝∠B＝60°，∵∠ECD＝90°，∴∠BCD＝90°﹣∠BCE＝30°．综上所述，当CE∥AB时，∠BCD等于150或30度．故答案为：150或30．14．（2分）（2022春•孝南区期末）如图1，∠DEF＝24°，将长方形纸片ABCD沿直线EF折叠成图2，再沿直线GF折叠成图3，则图3中∠CFE＝108°．解：∵四边形ABCD为长方形，∴AD∥BC，∴∠BFE＝∠DEF＝24°．由翻折的性质可知：图2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝156°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝132°，图3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝108°．故答案为：108°．15．（2分）（2022春•武汉期末）如图，AB∥CD，∠ABG的平分线BE和∠GCD的平分线CF的反向延长线交于点E，且3∠E﹣5∠G＝172°，则∠G＝28度．解：如图，分别过E、G作AB的平行线EM和GN，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥CD∥GN，∵BE是∠ABG的平分线，CF是∠GCD的平分线，∴∠BEM＝∠ABE＝∠ABG，∠MEF＝∠DCF＝∠GCD，∠BGN＝∠ABG，∠GCD+∠CGN＝180°，∴∠BEC＝∠BGM+∠MEF＝（∠ABG+∠GCD），∠BGC＝∠BGN﹣∠CGN＝∠ABG﹣（180°﹣∠GCD）＝∠ABG+∠GCD﹣180°，∴∠BGC＝2∠BEC﹣180°，∵3∠BEC﹣5∠BGC＝172°，∴3∠BEC＝5∠BGC+172°，∴∠BGC＝（5∠BGC+172°）﹣180°，∴3∠BGC＝10∠BGC+344°﹣540°，∴∠BGC＝28°．故答案为：28．16．（2分）（2022春•南京期中）如图，在两条笔直且平行的景观道AB，CD上放置P，Q两盏激光灯．其中光线PB按顺时针方向以每秒5°的速度旋转至边PA便立即回转，并不断往返旋转；光线QC按顺时针方向以每秒3°的速度旋转至边QD就停止旋转，此时光线PB也停止旋转．若光线QC先转4秒，光线PB才开始转动，当PB1∥QC1时，光线PB旋转的时间为6或43.5秒．解：当PB1∥QC1，则∠PB1Q＝∠CQC1，如下图：∵AB∥CD，∴∠PB1Q＝∠BPB1．∴∠CQC1＝∠BPB1．设光线PB旋转时间为t秒，∴4×3+3t＝5t．∴t＝6．当PB1∥QC1，则∠CQC1＝∠PB1C，如下图：∵AB∥CD，∴∠PB1Q＝∠BPB1．∴∠BPB1＝∠CQC1．设光线PB旋转时间为t秒，此时光线PB由PA处返回，∴∠APB1＝5t°﹣180°．∴∠BPB1＝180°﹣∠APB1＝180°﹣（5t°﹣180°）＝360°﹣5t°．∴360﹣5t＝4×3+3t．∴t＝43.5．综上，光线PB旋转的时间为6或43.5秒．故答案为：6或43.5．17．（2分）（2022春•西湖区校级期中）如图，点F是长方形ABCD的边BC上一点，将长方形的一角沿AF折叠，点B的折叠点E落在长方形ABCD外侧，若AE∥BD，∠ADB＝28°，则∠EAD＝28°，∠AFC＝149°．解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，∵AE∥BD，∴∠EAD＝∠ADB＝28°，∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°+28°＝118°，∵矩形ABCD沿AF折叠，点B落在点E处，∴∠BAF＝∠EAF＝∠BAE＝×118°＝59°，∴∠AFC＝∠BAF+∠ABF＝59°+90°＝149°．故答案为：28，149．18．（2分）（2022春•顺城区期末）如图，直线AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点E为直线AB与CD之间的一点，连接ME，NE，且∠MEN＝100°，∠AME的角平分线与∠CNE的角平分线交于点F，则∠MFN的度数为50°或130°．解：分两种情况画图讨论：分别过点E和点F作EG∥AB，FH∥AB，∴EG∥FH∥AB，∵AB∥CD，∴EG∥FH∥AB∥CD，①如图1，∵EG∥AB∥CD，∴∠AME＝∠MEG，∠CNE＝∠NEG，∴∠AME+∠CNE＝∠MEG+∠NEG＝∠MEN＝100°，∵∠AME的角平分线与∠CNE的角平分线交于点F，∴∠AMF＝AME，∠CNF＝CNE，∴∠AMF+∠CNF＝（∠AME+∠CNE）＝50°，∵FH∥AB∥CD，∴∠MFH＝∠AMF，∠NFH＝∠CNF，∴∠MFN＝∠MFH+∠NFH＝∠AMF+∠CNF＝50°，②如图2，∵EG∥AB∥CD，∴∠BME＝∠MEG，∠DNE＝∠NEG，∴∠BME+∠DNE＝∠MEG+∠NEG＝∠MEN＝100°，∴∠AME+∠CNE＝360°﹣（∠BME+∠DNE）＝260°∵∠AME的角平分线与∠CNE的角平分线交于点F，∴∠AMF＝AME，∠CNF＝CNE，∴∠AMF+∠CNF＝（∠AME+∠CNE）＝130°，∵FH∥AB∥CD，∴∠MFH＝∠AMF，∠NFH＝∠CNF，∴∠MFN＝∠MFH+∠NFH＝∠AMF+∠CNF＝130°．综上所述：∠MFN的度数为50°或130°．故答案为：50°或130°．19．（2分）（2021春•涡阳县期末）如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝（x+y）度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝（）n﹣1（x+y）度．解：（1）如图，分别过点P1、P2作直线MN∥AB，GH∥AB，∴∠P1EB＝∠MP1E＝x°．又∵AB∥CD，∴MN∥CD．∴∠P1FD＝∠FP1M＝y°．∴∠EP1F＝∠EP1M+∠FP1M＝x°+y°．（2）∵P2E平分∠BEP1，P2F平分∠DFP1，∴＝．．以此类推：，，...，．故答案为：（x+y），（）n﹣1（x+y）．20．（2分）（2019春•瑶海区期末）已知，直线AB∥CD，M、N分别是AB和CD上的动点，点P为直线AB、CD之间任一点，且PM⊥PN．则∠AMP与∠CNP之间的数量关系为∠AMP+∠CNP＝90°或∠AMP+∠CNP＝270°或∠CNP﹣∠AMP＝90°或∠AMP﹣∠CNP＝90°．解：分四种情况：如图1，过点P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥CD∥AB，∴∠AMP＝∠1，∠CNP＝∠2，∵PM⊥PN，∴∠MPN＝∠1+∠2＝90°，∴∠AMP+∠CNP＝90°；如图2，过点P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥CD∥AB，∴∠AMP＝180°﹣∠1，∠CNP＝180°﹣∠2，∴∠AMP+∠CNP＝180°×2﹣∠1﹣∠2，∵∠MPN＝∠1+∠2＝90°，∴∠AMP+∠CNP＝360°﹣90°＝270°；如图3，过点P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥CD∥AB，∴∠AMP＝∠QPM，∠CNP+∠QPN＝180°，又∵∠MPN＝90°，∴∠QPN＝90°﹣∠QPM＝90°﹣∠AMP，∴∠CNP+90°﹣∠AMP＝180°，即∠CNP﹣∠AMP＝90°；如图4，过点P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥CD∥AB，∴∠CNP＝∠QPN，∠AMP+∠QPM＝180°，又∵∠MPN＝90°，∴∠QPM＝90°﹣∠QPN＝90°﹣∠CNP，∴∠AMP+90°﹣∠CNP＝180°，即∠AMP﹣∠CNP＝90°；综上所述，∠AMP与∠CNP之间的数量关系为：∠AMP+∠CNP＝90°或∠AMP+∠CNP＝270°或∠CNP﹣∠AMP＝90°或∠AMP﹣∠CNP＝90°．故答案为：∠AMP+∠CNP＝90°或∠AMP+∠CNP＝270°或∠CNP﹣∠AMP＝90°或∠AMP﹣∠CNP＝90°．三．解答题（共7小题，满分60分）21．（8分）（2022春•常州期中）问题情境：如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．猜想：（1）若∠1＝130°，∠2＝150°，试猜想∠P＝80°；探究：（2）在图①中探究∠1，∠2，∠P之间的数量关系，并证明你的结论；拓展：（3）将图①变为图②，若∠1+∠2＝325°，∠EPG＝75°，求∠PGF的度数．解：（1）如图①，过点P作PM∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PM，∴∠1+∠EPM＝180°，∠2+∠MPF＝180°，∵∠1＝130°，∠2＝150°，∴∠EPM＝50°，∠MPF＝30°，∴∠EPF＝∠EPM+∠MPF＝50°+30°＝80°，故答案为：80；（2）∠EPF＝360°﹣∠1﹣∠2，理由如下：如图①，过点P作PM∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PM，∴∠1+∠EPM＝180°，∠2+∠MPF＝180°，∴∠EPM＝180°﹣∠1，∠MPF＝180°﹣∠2，∴∠EPF＝∠EPM+∠MPF＝（180°﹣∠1）+（180°﹣∠2）＝360°﹣∠1﹣∠2；（3）如图②，过点P作PM∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PM，由（2）知，∠PGF＝360°﹣∠MPG﹣∠2，∵PM∥AB，∴∠1+∠EPM＝180°，∴∠EPM＝180°﹣∠1，∵∠EPG＝∠EPM+∠MPG＝75°，∴∠MPG＝75°﹣∠EPM＝75°﹣（180°﹣∠1）＝∠1﹣105°，∴∠PGF＝360°﹣∠MPG﹣∠2＝360°﹣（∠1﹣105°）﹣∠2＝465°﹣（∠1+∠2），∵∠1+∠2＝325°，∴∠PGF＝465°﹣325°＝140°．22．（8分）（2022春•黔西南州期末）如图，AD∥BC，AH⊥BG于点H，点C在射线BC上，点E在线段AB上，∠DCE＝90°，且DC∥AB，CF⊥BG于点C，交直线AD于点F．（1）图中与∠D相等的角有5个；（2）若∠ECF＝25°，求∠BCD的度数；（3）在（2）的条件下，点C（点C不与点B，H重合）从点B出发，沿射线BG的方向移动，其他条件不变，求∠BAF的度数．解：（1）如图：与∠D相等的角为∠DCG，∠ECF，∠B，∠CMH，∠AME，共有5个，理由如下：∵AD∥BC，∴∠D＝∠DCG，∵∠FCG＝90°，∠DCE＝90°，∴∠ECF＝∠DCG，∴∠D＝∠ECF，∵AH⊥BG，CF⊥BG，∴AH∥CF，∴∠ECF＝∠CMH＝∠AME，∵AB∥DC，∴∠DCG＝∠B，∴∠B＝∠D，∴与∠D相等的角为∠DCG，∠ECF，∠B，∠CMH，∠AME；故答案为：5；（2）∵∠ECF＝25°，∠DCE＝90°，∴∠FCD＝65°，又∵∠BCF＝90°，∴∠BCD＝65°+90°＝155°；（3）如图，当点C在线段BH上时，点F在DA延长线上，∠ECF＝∠DCG＝∠B＝25°，∵AD∥BC，∴∠BAF＝∠B＝25°；如图，当点C在BH延长线上时，点F在线段AD上，∵∠B＝25°，AD∥BC，∴∠BAF＝180°﹣25°＝155°．综上所述，∠BAF的度数为25°或155°．23．（8分）（2022春•宁洱县期末）已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF．如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N．（1）请你直接写出：∠CAF＝30°，∠EMC＝60°．（2）若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想∠EMC与∠CAF的数量关系？并说明理由．（3）请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（2）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．解：（1）由题意可得，∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠EMC＝∠BCH＝90°﹣30°＝60°；故答案为：30，60；（2）∠EMC+∠CAF＝90°，理由如下：如图（2），过C作CH∥GF，则∠CAF＝∠ACH，∵DE∥GF，CH∥GF，∴CH∥DE，∴∠EMC＝∠HCM，∴∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°；（3）∠BAG﹣∠BMD＝30°，理由如下：如图2，过B作BK∥GF，则∠BAG＝∠KBA，∵BK∥GF，DE∥GF，∴BK∥DE，∴∠BMD＝∠KBM，∴∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°．24．（8分）（2022春•云州区期中）如图，AD∥BC，射线OM上有一动点P，且∠ADP＝∠a，∠BCP＝∠β．（1）当点P在A，B两点之间运动时，∠CPD与∠a、∠β之间有何数量关系？请说明理由．（2）当点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），∠CPD与∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．解：（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如图1，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）分两种情况：①当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如图2，过P作PE∥AD交ON于点E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；②当P在BO之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．25．（8分）（2021春•慈溪市期末）如图，直线CD∥EF，点A，B分别在直线CD，EF上（自左至右分别为C，A，D和E，B，F），∠ABF＝60°．射线AM自射线AB的位置开始，绕点A以每秒1°的速度沿逆时针方向旋转，同时，射线BN自射线BE开始以每秒5°的速度绕点B沿顺时针方向旋转，当射线BN旋转到BF的位置时，两者停止运动．设旋转时间为x秒．（1）如图1，直接写出下列答案：①∠BAD的度数；②射线BN过点A时的x的值．（2）如图2，求当AM∥BN时的x的值．（3）若两条射线AM和BN所在的直线交于点P．①如图3，若P在CD与EF之间，且∠APB＝126°，求x的值．②若x＜24，求∠APB的度数（直接写出用含x的代数式表示的结果）．解：（1）①∵CD∥EF，∠ABF＝60°，∴∠ABF+∠BAD＝180°．∴∠BAD＝180°﹣∠ABF＝180°﹣60°＝120°．②∵当射线BN旋转到BF的位置时，两者停止运动，∴当x＝180°÷5°＝36时，两者停止运动．此时，射线AM在∠BAD的内部．由题意知：0≤x≤36．∵∠ABE+∠ABF＝180°，∴∠ABE＝180°﹣∠ABF＝180°﹣60°＝120°．当射线BN旋转到BA所在直线时，则射线BN过点A．∴射线BN旋转的角度为120．∴（5x）°＝120°．∴x＝24（符合题意）．（2）当AM∥BN时，∠NBA＝∠MAB．∴∠EBA﹣∠EBN＝∠MAB．∴120°﹣5°•x＝1°•x．∴x＝20（符合题意）．（3）①若P在CD与EF之间，则x＞24．由题意可得：∠EBP＝（5x）°，∠BAP＝（1x）°＝x°，∠APB＝126°．∴∠ABP＝∠EBP﹣∠EBA＝（5x）°﹣120°．又∵∠ABP+∠BAP+∠APB＝180°，∴（5x）°﹣120°+x°+126°＝180°．∴x＝29（符合题意）．②如图4，当0＜x＜20时，∠APB＝120°﹣6°x，如图5，当20＜x＜24时，∠APB＝6°x﹣120°．26．（10分）（2020秋•南关区期末）如图①，直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，点P在直线EF上，连接PA、PB．猜想：如图①，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，则∠APB的大小为55度．探究：如图①，若点P在线段CD上，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．拓展：如图②，若点P在射线CE上或在射线DF上时，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．解：猜想：如图①，过点P作PG∥l1，∵l1∥l2，∴l1∥l2∥PG，∴∠APG＝∠PAC＝15°，∠BPG＝∠PBD＝40°，∴∠APB＝∠APG+∠BPG＝∠PAC+∠PBD＝15°+40°＝55°，∴∠APB的大小为55度，故答案为：55；探究：如图①，∠PAC＝∠APB﹣∠PBD，理由如下：∵l1∥l2