猜想05与数轴线段角有关的复杂应用题（解答60题专练）

猜想05与数轴、线段、角有关的复杂应用题（解答60题专练）一．解答题（共60小题）1．（2022秋•重庆期末）阅读理解：M、N、P为数轴上三点，若点P到M的距离是点P到N的距离的k（k＞0）倍，即满足PM＝k．PN时，则称点P关于M、N的“相对关系值”为k．例如，当点M、N、P表示的数分别为0、2、3时，PM＝3PN，则称点P关于M、N的“相对关系值”为3；PN＝MN，则称点N关于P、M的“相对关系值”为．如图，点A、B、C、D在数轴上，它们所表示的数分别为﹣1、2、6、﹣6．（1）原点O关于A、B的“相对关系值“为a，原点O关于B、A的“相对关系值”为b，则a＝，b＝2．（2）点E为数轴上一动点，点E所表示的数为x，若x满足|x+3|+|x﹣2|＝5，且点E关于C、D的“相对关系值”为k，则k的取值范围是≤k≤3．（3）点F从点B出发，以每秒1个单位的速度向左运动，设运动时间为t（t＞0）秒，当经过t秒时，C、D、F三点中恰有一个点关于另外两点的“相对关系值”为2，求t的值．【分析】（1）根据“相对关系值”的定义解答即可；（2）由x满足|x+3|+|x﹣2|＝5，求出x的取值范围，再确定|EC|和|ED|的取值范围，根据确定k的取值范围；（3）设F点表示的数为y，分点C关于另外两点的“相对关系值”为2，点D关于另外两点的“相对关系值”为2，分点F关于另外两点的“相对关系值”为2共6种情况，分别算出y的值，再求出t即可．【解答】解：（1）由题可知，|OA|＝1，|OB|＝2∵原点O关于A、B的“相对关系值“为a，∴|OA|＝a|OB|，即1＝2a，解得：a＝，∵原点O关于B、A的“相对关系值”为b，∴|OB|＝b|OA|，即2＝b×1，解得：b＝2，故答案为：，2；（2）由题意可得，|EC|＝|x﹣6|，|ED|＝|x+6|，∵x满足|x+3|+|x﹣2|＝5，∴，解得：﹣3≤x≤2，∴4≤|EC|≤9，3≤|ED|≤8，∵点E关于C、D的“相对关系值”为k，∴，∴≤k≤3，故答案为：≤k≤3；（3）设点F表示的数为y，①若|FC|＝2|FD|，|6﹣y|＝2|y+6|，解得：y＝﹣2或﹣18，∴t＝＝4或t＝＝20，②若|FD|＝2|FC|，|y+6|＝2|6﹣y|，解得：y＝2（舍去，与点B重合）或﹣18，③若|CF|＝2|CD|，|6﹣y|＝24，解得：y＝﹣18或30（舍去），④若|CD|＝2|CF|，12＝2|6﹣y|，解得：y＝0或12（舍去），∴t＝＝2，⑤若|DC|＝2|DF|，12＝2|y+6|，解得：y＝0或﹣12，∴t＝＝14，⑥若|DF|＝2|DC|，|y+6|＝24，解得y＝﹣30或18（舍去），∴t＝，综上，t＝4或20或2或14或32．【点评】本题考查了一元一次方程在数轴上的动点问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键．2．（2022秋•望城区期末）已知x＝﹣3是关于x的方程（k+3）x+2＝3x﹣2k的解．（1）求k的值；（2）在（1）的条件下，已知线段AB＝6cm，点C是线段AB上一点，且BC＝kAC，若点D是AC的中点，求线段CD的长．（3）在（2）的条件下，已知点A所表示的数为﹣2，点B所表示的数为4，有一动点P从点A开始以2个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q从点B开始以4个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，当时间为多少秒时，有PD＝2QD？【分析】（1）把x＝﹣3代入方程，即可求出k；（2）先求出AC的长，再求出CD的长即可；（3）设经过x秒时，有PD＝2QD．分别表示出x秒时P与Q在数轴上表示的数，分两种情况进行讨论：①D在PQ之间；②Q在PD之间．【解答】解：（1）把x＝﹣3代入方程（k+3）x+2＝3x﹣2k得：﹣3（k+3）+2＝﹣9﹣2k，解得：k＝2；（2）当k＝2时，BC＝2AC，AB＝6cm，∴AC＝2cm，BC＝4cm，当C在线段AB上时，如图，∵D为AC的中点，∴CD＝AC＝1cm．即线段CD的长为1cm；（3）在（2）的条件下，∵点A所表示的数为﹣2，AD＝CD＝1，AB＝6，∴D点表示的数为﹣1，B点表示的数为4．设经过x秒时，有PD＝2QD，则此时P与Q在数轴上表示的数分别是﹣2﹣2x，4﹣4x．分两种情况：①当点D在PQ之间时，∵PD＝2QD，∴﹣1﹣（﹣2﹣2x）＝2[4﹣4x﹣（﹣1）]，解得x＝；②当点Q在PD之间时，∵PD＝2QD，∴﹣1﹣（﹣2﹣2x）＝2[﹣1﹣（4﹣4x）]，解得x＝．答：当时间为或秒时，有PD＝2QD．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离公式，理解题意利用数形结合分情况进行讨论是解此题的关键．也考查了一元一次方程的解，线段的中点等知识．3．（2022秋•达川区期末）数轴是数学学习的一个很重要的工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴我们可发现许多重要的规律：①绝对值的几何意义：一般地，若点A、点B在数轴上表示的数分别为a，b，那么A、B两点之间的距离表示为|a﹣b|，记作AB＝|a﹣b|，|3﹣1|则表示数3和1在数轴上对应的两点之间的距离；又如|3+1|＝|3﹣（﹣1）|，所以|3+1|表示数3和﹣1在数轴上对应的两点之间的距离；②若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，那么线段AB的中点M表示的数为．请借用数轴和以上规律解决下列问题：如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为﹣10，6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向左匀速运动，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）A、B两点的距离为16个单位长度；线段AB的中点M所表示的数为﹣2；（2）点P运动t秒后所在位置的点表示的数为﹣10+2t；点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为6﹣t．（用含t的式子表示）（3）P、Q两点经过多少秒会相距5个单位长度？（4）在点P、Q运动过程中，O、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，直接写出此时t的值．【分析】（1）利用数轴上两点之间的距离公式，数轴上线段的中点计算公式可得答案；（2）数轴上点向右移动终点对应的数等于起点对应的数加上移动距离，数轴上点向左移动终点对应的数等于起点对应的数减去移动距离，从而可得答案；（3）由t秒后，点P表示的数﹣10+2t，点Q表示的数为6﹣t，表示PQ＝|（﹣10+2t）﹣（6﹣t）|＝|3t﹣16|，再构建绝对值方程，再解方程即可；（4）分①当0＜t≤5时，O是线段PQ的中点，②当5＜t≤时，P为线段OQ的中点，③当＜t≤6时，Q为线段OP的中点，④当6＜t≤8时，O为线段PQ的中点，再利用中点对应的数的计算方法构建方程，再解方程即可．【解答】解：（1）A、B两点的距离为6﹣（﹣10）＝16；线段AB的中点M所表示数为．故答案为：16，﹣2；（2）点P运动t秒后所在位置的点表示的数为﹣10+2t；点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为6﹣t．故答案为：﹣10+2t，6﹣t；（3）∵t秒后，点P表示的数﹣10+2t，点Q表示的数为6﹣t，∴PQ＝|（﹣10+2t）﹣（6﹣t）|＝|3t﹣16|，又P、Q两点相距5个单位长度，∴|3t﹣16|＝5，解得：或t＝7，∴P、Q两点经过s或7s时相距5个单位长度；（4）①当O是线段PQ的中点，且P点在原点左侧，Q点在原点右侧，此时0＜t≤5，由题意得，解得t＝4．②当P为线段OQ的中点，P点在原点和Q点之间，当P、Q两点重合时，2t+t＝6﹣（﹣10），即t＝，∴此时5＜t≤，由题意得，解得；③当Q为线段OP的中点，Q点在原点和P点之间，此时＜t≤6，由题意得，解得；④当O为线段PQ的中点，且Q点在原点左侧，P点在原点右侧，此时t＞6，由题意得，解得t＝4（不合题意，舍去），综上所述：t＝4或或．【点评】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，数轴上线段的中点对应的数的计算方法，熟练的构建方程解题是关键．4．（2022秋•黄陂区校级期末）如图，数轴上A、B两点表示的有理数分别为a、b，（a+1）2与|a﹣b+10|互为相反数．线段CD在数轴上从A点左侧（D最开始与A重合）沿数轴正方向匀速运动（点C在点D的左侧），点M，N分别为AC，BD的中点．（1）求AB的长；（2）当CD等于2时，判断MN的长度是否为定值，若是求出这个值，若不是，请说明理由；（3）设CD＝m，线段CD运动的速度为2个单位长度每秒，则在运动过程中，线段CD从开始运动到完全通过线段MN的时间为5+m（用含m的式子表示）．【分析】（1）由题意可直接得到A，B两点表示的有理数分别为﹣6和4，即可求解AB；（2）设AC＝k，则BC＝10﹣k，BD＝10﹣k﹣2＝8﹣k，由点M、N分别为AC、BD的中点，可得出CM＝AM＝AC＝k，DN＝BD＝（8﹣k）＝4﹣k，所以MN＝CM+CD+DN＝k+2+4﹣k＝6；（3）思路和过程同（1）中过程，可直接求出DC走的路程，根据速度可求出运动时间．【解答】解：（1）∵（a+1）2与|a﹣b+10|互为相反数，∴（a+61）2+|a﹣b+10|＝0，∵（a+1）2≥0，|a﹣b+10|≥0，∴，∴，∴A，B两点表示的有理数分别为﹣1和9，∴AB＝9﹣（﹣1）＝10；（2）MN的长度是定值，设AC＝k，则BC＝10﹣k，BD＝10﹣k﹣2＝8﹣k，∵点M、N分别为AC、BD的中点，∴CM＝AM＝AC＝k，DN＝BD＝（8﹣k）＝4﹣k，∴MN＝CM+CD+DN＝k+2+4﹣k＝6；（3）当点C到达点B时，则CD完全通过MN，∴CD走的路程为10+2m，∴CD运动的时间为＝5+m，故答案为：5+m．【点评】本题主要考查数轴上点的运动，掌握线段的和差运算，线段中点的定义等内容，根据图形得出线段之间的和差关系是解题的关键．5．（2022秋•襄州区期末）如图，已知点A，B，C是数轴上三点，O为原点，点C对应的数为3，BC＝2，AB＝6．（1）求点A，B对应的数；（2）动点M，N分别同时从AC出发，分别以每秒3个单位和1个单位的速度沿数轴正方向运动．P为AM的中点，Q在CN上，且CQ＝CN，设运动时间为t（t＞0）．①求点P，Q对应的数（用含t的式子表示）；②t为何值时OP＝BQ．【分析】（1）根据点C所表示的数，以及BC、AB的长度，即可写出点A、B表示的数；（2）①根据数轴的特点求得点P、Q对应的数（用含t的式子表示）；②根据OP＝BQ列出关于t的方程并解方程即可．【解答】解：（1）∵点C对应的数为3，BC＝2，∴点B对应的数为3﹣2＝1，∵AB＝6，∴点A对应的数为1﹣6＝﹣5．（2）①∵动点M，N分别同时从A、C出发，分别以每秒3个单位和1个单位的速度沿数轴正方向运动，且运动时间为t∴AM＝3t，CN＝t∵P为AM的中点，Q在CN上，且CQ＝CN，∴AP＝t，CQ＝t∵点A对应的数为﹣5，点C对应的数为3∴点P对应的数为﹣5+t，点Q对应的数为3+t．②∵OP＝BQ．∴|0﹣（﹣5+t）|＝|3+t﹣1|．解得：t＝或t＝6．【点评】本题考查一元一次方程的应用、数轴等知识，解题的关键是理解数轴的定义，在原点左边的数表示负数，原点表示0，原点右边的数表示正数，学会利用方程解决问题，属于中考常考题型．6．（2022秋•梁子湖区期末）阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是[A，B]的好点．例如，如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示数1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是[A，B]的好点．知识运用：如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣2，点N所表示的数为4．（1）线段MN上存在一点是[M，N]的好点，则此点表示的数是2；（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当运动时间t为何值时，点P、A、B中恰有一个点为其余两点的好点？（3）在（2）条件下，若点P到达A点后继续向左运动，当P为[B，A]的好点时，请直接写出线段PB的长及此时点P表示的数．【分析】（1）根据好点的定义解答即可；（2）分四种情况：当P为[A，B]好点时，当P为[B，A]好点时，当A为[B，P]好点时，当B为[A，P]好点时，分别列方程即可；（3）当P为[B，A]的好点时，PB＝2PA，可得2t＝2|60﹣2t|，再解方程即可．【解答】解：（1）设此点表示的数是x，则（x+2）＝2（4﹣x），解得x＝2，故答案为：2；（2）t秒时，点P表示的数是40﹣2t，①当P为[A，B]好点时，PA＝2PB，∴40﹣2t+20＝2×2t，解得t＝10；②当P为[B，A]好点时，PB＝2PA，∴2（40﹣2t+20）＝2t，解得t＝20；③当A为[B，P]好点时，AB＝2AP，∴60＝2（60﹣2t），解得t＝15；④当B为[A，P]好点时，AB＝2PB，∴60＝2×2t，解得t＝15．综上，当t的值是10或20或15时，点P、A、B中恰有一个点为其余两点的好点；（3）当P为[B，A]的好点时，PB＝2PA，∴2t＝2|60﹣2t|，解得t＝20或60，当t＝60时，PB＝2t＝120，点P表示的数是40﹣2t＝﹣80；当t＝20时，PB＝2t＝40，点P表示的数是40﹣2t＝0；综上，当t＝60时，PB＝120，点P表示的数是﹣80或0．【点评】本题考查一元一次方程是实际应用，找到等量关系列出方程是解题关键，注意要分类讨论．7．（2022秋•武汉期末）已知线段AB＝30cm（1）如图1，点P沿线段AB自点A向点B以2cm/s的速度运动，同时点Q沿线段点B向点A以3cm/s的速度运动，几秒钟后，P、Q两点相遇？（2）如图1，几秒后，点P、Q两点相距10cm？（3）如图2，AO＝4cm，PO＝2cm，当点P在AB的上方，且∠POB＝60°时，点P绕着点O以30度/秒的速度在圆周上逆时针旋转一周停止，同时点Q沿直线BA自B点向A点运动，假若点P、Q两点能相遇，求点Q的运动速度．【分析】（1）设经过t秒点P、Q两点能相遇，由题意得：P点t秒的运动距离+Q点t秒的运动距离＝30cm，根据题意可得方程；（2）设经过xs，P、Q两点相距10cm，分相遇前和相遇后两种情况建立方程求出其解即可；（3）由于点P，Q只能在直线AB上相遇，而点P旋转到直线AB上的时间分两种情况，所以根据题意列出方程分别求解．【解答】解：（1）设经过ts后，点P、Q相遇．依题意，有2t+3t＝30，解得：t＝6．答：经过6秒钟后，点P、Q相遇；（2）设经过xs，P、Q两点相距10cm，由题意得2x+3x+10＝30或2x+3x﹣10＝30，解得：x＝4或x＝8．答：经过4秒钟或8秒钟后，P、Q两点相距10cm；（3）点P，Q只能在直线AB上相遇，则点P旋转到直线AB上的时间为：＝4（s）或＝10（s），设点Q的速度为ycm/s，则有4y＝30﹣2，解得：y＝7；或10y＝30﹣6，解得y＝2.4，答：点Q的速度为7cm/s或2.4cm/s．【点评】此题考查的知识点是一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，熟练掌握速度、路程、时间的关系．8．（2022秋•岳麓区校级期末）如图，在数轴上点A表示的数为﹣20，点B表示的数为40，动点P从点A出发以每秒5个单位的速度沿正方向运动，动点Q从原点出发以每秒4个单位的速度沿正方向运动，动点N从点B出发以每秒8个单位的速度先沿负方向运动，到达原点后立即按原速返回，三点同时出发，当点N回到点B时，三点停止运动．（1）当运动时间为3秒时，点P、点N之间的距离是21单位．（2）当QN＝8个单位时，求三个点的运动时间．（3）尝试借助上面数学问题的解题经验，建立数轴完成下面的实际问题：码头C位于A，B两码头之间，且知AC＝20海里，AB＝60海里，甲船从A码头顺流驶向B码头，乙船从C码头顺流驶向B码头，丙船从B码头开往C码头后立即调头返回B码头．已知甲船在静水中的航速为5海里/时，乙船在静水中的航速为4海里/时，丙船在静水中的航速为8海里/时，水流速度为2海里/时，三船同时出发，每艘船都行驶到B码头停止．在整个运动过程中，是否存在某一时刻，这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等？若存在，请求出此时甲船离B码头的距离；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据路程＝速度×时间即可求解；（2）Q、N相遇的时间为秒，Q到B的时间为10秒，N到O的时间为5秒，N到B的时间为10秒．N到O前，P所表示的数为﹣20+5t；Q所表示的数为4t；N所表示的数为40﹣8t．分三种情况：①Q、N相遇前；②Q、N相遇后，N到O前；③Q、N相遇后，N到O后．分别根据QN＝8列出方程；（3）建立如图所示的数轴A所表示的数为﹣20；C所表示的数为0；B所表示的数为40．分四种情况：①乙丙相遇前；②甲丙相遇前；③甲丙相遇后，丙到C前；④甲丙相遇后，丙到C后．根据这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等列出方程．【解答】解：（1）三个动点运动t（0＜t＜5）秒时，则P、Q、N三点在数轴上所表示的三个数分别为﹣20+5t，4t，40﹣8t，当t＝3时，P、N两点在数轴上所表示的三个数分别为﹣20+5t＝﹣5，40﹣8t＝16，∴PN＝16﹣（﹣5）＝21，故答案为：21；（2）Q、N相遇的时间为秒，Q到B的时间为10秒，N到O的时间为5秒，N到B的时间为10秒．N到O前，P所表示的数为﹣20+5t；Q所表示的数为4t；N所表示的数为40﹣8t．①Q、N相遇前：40﹣8t﹣4t＝8，解得t＝，②Q、N相遇后，N到O前，4t﹣（40﹣8t）＝8，解得t＝4，③Q、N相遇后，N到O后：P所表示的数为﹣20+5t；Q所表示的数为4t；N所表示的数为8（t﹣5），4t﹣8（t﹣5）＝8，解得t＝8，综上所述：当QN＝8个单位时，三个点的运动时间t＝或4或8；（3）建立如图所示的数轴A所表示的数为﹣20；C所表示的数为0；B所表示的数为40．甲到C的时间为秒，甲到B的时间为秒，乙到B的时间为秒，丙到C的时间为秒，丙到B的时间为秒，甲遇丙的时间为秒，乙遇丙的时间为秒，甲追乙的时间为20（舍），丙追甲的时间为（舍）．丙到C前，甲所表示的数为﹣20+7t；乙所表示的数为6t；丙所表示的数为40﹣6t①乙丙相遇前：6t﹣（﹣20+7t）＝40﹣6t﹣6t，解得t＝，所以甲船离B码头的距离为40﹣（﹣20+7×）＝（海里）；②甲丙相遇前：40﹣6t﹣（﹣20+7t）＝6t﹣（40﹣6t），解得t＝4，所以甲船离B码头的距离为40﹣（﹣20+7×4）＝32（海里）；③甲丙相遇后，丙到C前：6t﹣（﹣20+7t）＝﹣20+7t﹣（40﹣6t），解得t＝，所以甲船离B码头的距离为40﹣（﹣20+7×）＝20（海里）；④甲丙相遇后，丙到C后：甲所表示的数为﹣20+7t；乙所表示的数为40；丙所表示的数为10（t﹣）．40﹣（﹣20+7t）＝﹣20+7t﹣10（t﹣），解得t＝＜（舍）．综上所述，在整个运动过程中，分别在小时、4小时、小时时，这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等，此时甲船离B码头的距离分别为海里，32海里，20海里．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，两点间的距离．正确进行分类讨论是解题的关键也是本题的难点．9．（2022秋•丰泽区校级期末）【概念与发现】当点C在线段AB上，AC＝nAB时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作．例如，点C是AB的中点时，即，则；反之，当时，则有．因此，我们可以这样理解：“”与“AC＝nAB”具有相同的含义．【理解与应用】（1）如图，点C在线段AB上．若AC＝3，AB＝4，则＝；若，则＝．【拓展与延伸】（2）已知线段AB＝10cm，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，求m的值；②t为何值时，．【分析】（1）根据“点值”的定义得出答案；（2）①设运动时间为t，再根据d（）+m•d（）的值是个定值即可求出m的值；②分点Q从点B向点A方向运动时和点Q从点A向点B方向运动两种情况分析即可．【解答】解：（1）∵AC＝3，AB＝4，∴AC＝AB，∴d（）＝，∵d（）＝，∴AC＝AB，∴＝故答案为：，；（2）①设运动时间为t，则AP＝t，AQ＝10﹣3t，根据“点值”的定义得：d（）＝，d（）＝，∵d（）+m•d（）的值是个定值，∴+m•＝的值是个定值，∴m＝；②当点Q从点B向点A方向运动时，∵d（）﹣d（）＝，∴﹣＝，∴t＝1；当点Q从点A向点B方向运动时，∵d（）﹣d（）＝，∴﹣＝，∴t＝8（舍去），∴t的值为1．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，理解新定义并能运用是本题的关键．10．（2022秋•鼓楼区校级期末）点C是线段AB上一点，若AC＝nBC（n为大于1的正整数），则我们称点C是（B，A）的最强CP点．例如，AB＝10，AC＝CD＝DE＝EB＝2，则AE＝3BE，称E是（B，A）的最强CP点；BD＝2CD，则D是（C，B）的最强CP点．（1）点C在线段AB上，若AB＝14，n＝4，点C是（A，B）的最强CP点，则AC＝．（2）若AB＝14，C是（B，A）的最强CP点，则AC＝．（用n的代数式表示）（3）一直线上有两点A，B，AB＝30cm，点C从B点出发，以每秒3cm的速度向A运动，运动到点A时停止．点D从点A出发，以每秒5cm的速度沿射线AB运动，t为多少时，点B，C，D恰好有一个点是其余2个点的最强CP点．（用n的代数式表示）【分析】（1）根据“最强CP点”的定义计算即可；（2）根据“最强CP点”的定义列式即可；（3）将点C、D的运动分成未相遇，相遇后，点D经过点B后，和点C到达点A后四种阶段讨论，并且每个阶段又有可能有2种不同的CP点的情况．【解答】解：（1）∵点C是（A，B）的最强CP点，∴BC＝nAC（n＝4），∵AB＝14，AB＝BC+AC，∴，故答案为：；（2）∵C是（B，A）的最强CP点，∴AC＝nBC，∴，又∵AB＝14，AB＝BC+AC，∴，∴，故答案为：；（3）解：根据题意，当AD＝BC时D、C相遇，∴5t＝30﹣3t，解得，阶段一：点D、C未相遇时，即时，①设t1时点C为（B，D）的最强CP点，∴DC＝nBC，∵DC＝30﹣5t1﹣3t1＝30﹣8t1，BC＝3t1，∴30﹣8t1＝3nt1，解得，又∵DC＞BC，即30﹣8t1＞3t1，∴，∵n为大于1的正整数，∴满足题意；②设t2时，点C为（D，B）的最强CP点，∴BC＝nDC，∵BC＝3t2，DC＝30﹣8t2，∴3t2＝n（30﹣8t2），解得，又∵BC＞DC，即3t2＞30﹣8t2，∴，∵n为大于1的正整数，∴符合题意；阶段二：点D、C相遇后，且点D未到达点B，即时，③设t3时，点D为（C，B）的最强CP点，∴BD＝nCD，∵BD＝30﹣5t3，CD＝5t3﹣（30﹣3t3）＝8t3﹣30，∴30﹣5t3＝n（8t3﹣30），∴，又∵BD＞CD，即30﹣5t3＞8t3﹣30，∴，∵n为大于1的正整数，∴符合题意；④设t4时，点D为（B，C）的最强CP点，∴CD＝nBD，∵CD＝5t4﹣（30﹣3t4）＝8t4﹣30，BD＝30﹣5t4，∴8t4﹣30＝n（30﹣5t4），∴，又∵CD＞BD，即8t4﹣30＞30﹣5t4，∴，∵n为大于1的正整数，∴符合题意；阶段三：点D经过点B后，且点C未到达点A，即6≤t＜10时，⑤设t5时，点B为（D，C）的最强CP点，∴CB＝nDB，∵CB＝3t5，DB＝5t5﹣30，∴3t5＝（5t5﹣30）n，∴，又∵CB＞DB，即3t5＞5t5﹣30，∴6≤t5＜15，∴符合题意；⑥设t6时，点B为（C，D）的最强CP点，∴DB＝nCB，∵DB＝5t6﹣30，CB＝3t6，∴5t6﹣30＝3t6n，∴，又∵DB＞CB，即5t6﹣30＞3t6，∴t6＞15，∴不符合题意，舍去；阶段四：点C到达点A后，即t≥10时，∵CB＝30，CD≥50，∴点B不可能为（D，C）的最强CP点；⑦设t7时，点B为（C，D）的最强CP点，∴DB＝nCB，DB＝5t7﹣30，∴5t7﹣30＝30n，∴t7＝6+6n，又∵DB＞CB，即5t7﹣30＞30，∴t7＞12，∴t7＝6+6n符合题意；综上所述，当t为，或或或或6+6n时，点B，C，D恰好有一个点是其余2个点的最强CP点．【点评】本题考查了解一元一次方程，列一元一次方程解应用题，线段上的动点问题，运用分类讨论的思想，正确地列出代数式表示出线段的长是解题的关键．11．（2022秋•天山区校级期末）如图，数轴上点A表示数a，点B表示数b，且a、b满足|a+2|+（b﹣8）2＝0．（1）点A表示的数为﹣2；点B表示的数为8；（2）若数轴上有两动点M，N，点M以2个单位/秒从A向右运动，同时点N以3个单位/秒从点B向左运动，问经过几秒M，N相遇？（3）在（2）的条件下，动点M、N出发经过多少秒，能使MA＝3NO？【分析】（1）根据偶次方及绝对值的非负数可求解a，b的值，即可求得A，B表示的数；（2）由（1）可求解A、B之间的距离，再设经过x秒M、N相遇，列方程计算可求解；（3）设动点M、N出发经过x秒，能使MA＝3NO，根据MA＝3NO列方程计算可求解．【解答】解：（1）∵|a+2|+（b﹣8）2＝0，∴a+2＝0，b﹣8＝0，解得a＝﹣2，b＝8，∴点A表示的数为﹣2；点B表示的数为8，故答案为：﹣2；8；（2）∵点A表示的数为﹣2；点B表示的数为8，∴AB＝8﹣（﹣2）＝10，设经过x秒M、N相遇，2x+3x＝10，解得x＝2，故经过2秒M、N相遇；（3）设动点M、N出发经过y秒，能使MA＝3NO，由题意得：2y＝3|8﹣3y|，2y＝9y﹣24，解得y＝或，故动点M、N出发经过或秒，能使MA＝3NO．【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，偶次方及绝对值的非负性，理解题意是解题的关键．12．（2022秋•桥西区期末）如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，∠COE＝140°，将一直角三角板AOB的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒20°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，求此时∠BOC的度数；（2）若射线OC的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA、OC、OD中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请求出t的取值，若不存在，请说明理由；（3）若在三角板开始转动的同时，射线OC也绕O点以每秒25°的速度逆时针旋转一周，从旋转开始多长时间，射线OC平分∠BOD．直接写出t的值．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）【分析】（1）先根据补角定义求出∠COD的度数，再根据角平分线的定义求出∠COA的度数，最后根据余角定义即可求出∠BOC的度数；（2）分三种情况讨论，①当OA平分∠COD时，②当OC平分∠AOD时，③当OD平分∠AOC时，可分别求出t的值；（3）设运动时间为t，分三种情况讨论，利用角平分线的定义列方程即可求出t的值．【解答】解：（1）∵∠COE＝140°，∴∠COD＝180°﹣∠COE＝40°，又∵OA平分∠COD，∴∠AOC＝∠COD＝20°，∵∠AOB＝90°，∴∠BOC＝90°﹣∠AOC＝70°；（2）存在①当OA平分∠COD时，∠AOD＝∠AOC，即20°t＝20°，解得：t＝1，②当OC平分∠AOD时，∠AOC＝∠DOC，即20°t﹣40°＝40°，解得：t＝4，③当OD平分∠AOC时，∠AOD＝∠COD，即360°﹣20°t＝40°，解得：t＝16，综上所述：t＝1，t＝4或16；（3）或或17.5，理由如下：设运动时间为t，则有①当90+20t＝2（40+25t）时，t＝，②当270﹣20t＝2（320﹣25t）时，t＝，③当OC回到起始位置后，∵OC平分∠BOD，∴∠BOC＝∠COD＝40°，∴t＝＝17.5，所以t的值为或或17.5．【点评】本题考查了补角，余角及角平分线的定义，掌握分类讨论思想是关键．13．（2022秋•洪山区校级期末）已知∠COD在∠AOB的内部，∠AOB＝120°，∠COD＝30°．（1）如图1，求∠AOD+∠BOC的大小；（2）如图2，OM平分∠BOC，ON平分∠AOD，求∠MON的大小；（3）如图3，若∠AOC＝30°，射线OC绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，当与射线OB重合后，再以每秒12°的速度绕点O逆时针旋转；同时射线OD以每秒20°的速度绕点O顺时针旋转．设射线OD，OC运动的时间是t秒（0＜t≤19），当∠COD＝90°时，直接写出t的值．【分析】（1）由∠AOD+∠BOC＝∠AOD+∠COD+∠BOD＝∠AOB+∠COD，即可求得；（2）由ON平分∠AOD，OM平分∠BOC，得∠AON+∠BOM＝（∠AOD+∠BOC）＝×150°＝75°，即可得∠MON＝∠AOB﹣（∠AON+∠BOM），代入数可求；（3）根据射线的运动可知，需要分四种情况：（Ⅰ）当OC未达到OB时，分两种情况列方程求解，（Ⅱ）当OC达到OB后返回时，分两种情况列方程求解即可．【解答】解：（1）∵∠AOB＝120°，∠COD＝30°，∴∠AOD+∠BOC＝∠AOD+（∠COD+∠BOD）＝∠AOB+∠COD＝120°+30°＝150°；（2）∵ON平分∠AOD，OM平分∠BOC，∴∠AON＝∠AOD，∠BOM＝∠BOC，∴∠AON+∠BOM＝（∠AOD+∠BOC），由（1）知∠AOD+∠BOC＝150°，∴∠AON+∠BOM＝×150°＝75°，∴∠MON＝∠AOB﹣（∠AON+∠BOM）＝120°﹣75°＝45°；（3）（Ⅰ）当OC未达到OB时，分两种情况：①如图：此时∠COC'＝10°t，∠DOD'＝20°t，∴20°t+20°﹣10°t＝90°，解得t＝7，②如图：此时∠COC'＝10°t，∠DOD'＝360°﹣20°t，∴（360°﹣20°t﹣20°）+10°t＝90°，解得t＝25，（Ⅱ）当OC达到OB后返回时，分两种情况：①如图：此时∠COC'＝∠BOC﹣∠BOC'＝120°﹣15°（t﹣12）＝300°﹣15°t，∠DOD'＝20°t﹣360°，∴20°t﹣360°﹣（300°﹣15°t﹣20°）＝90°，解得t＝11.6，②如图：此时∠COC'＝120°﹣15°（t﹣12）＝300°﹣15°t，∠DOD'＝360°﹣（20°t﹣360°）＝720°﹣20°t，∴（720°﹣20°t）﹣20°+（300°﹣15°t）＝90°，解得t＝26，综上所述，t的值为7或25或11.6或26．【点评】本题主要考查角的旋转，解题的关键是掌握相关概念，能用含t的代数式表示旋转角的度数．14．（2022秋•思明区校级期末）如图，已知A、B、C是数轴上的三点，点C表示的数为7，BC＝4，AB＝16，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒5个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒2个单位的速度沿数轴向左匀速运动，M为AP的中点，点N在线段CQ上，且CQ＝3CN．设运动的时间为t（t＞0）秒．（1）点A表示的数为﹣13，点B表示的数为3（2）当t＜6时，求MN的长（用含t的式子表示）；（3）t为何值时，原点O恰为线段PQ的中点．【分析】（1）根据点C所表示的数，以及BC、AB的长度，即可写出点A、B表示的数；（2）根据题意画出图形，表示出AP＝5t，CQ＝2t，再根据线段的中点定义可得AM，根据线段之间的和差关系进而可得到点M表示的数；根据CQ＝3CN可得CN，根据线段的和差关系可得到点N表示的数，进一步求得MN；（3）此题有两种情况：当点P在点O的左侧，点Q在点O的右侧时；当P在点O的右侧，点Q在点O的左侧时，分别画出图形进行计算即可．【解答】解：（1）∵C表示的数为7，BC＝4，∴OB＝7﹣4＝3，∴B点表示3．∵AB＝16，∴AO＝16﹣3＝13，∴A点表示﹣13；（2）由题意得：AP＝5t，CQ＝2t，如图1所示：∵M为AP中点，∴AM＝AP＝t，∴在数轴上点M表示的数是﹣13+t，∵点N在CQ上，CQ＝3CN，∴CN＝t，∴在数轴上点N表示的数是7﹣t，∴MN＝7﹣t﹣（﹣13+t）＝20﹣t；（3）如图2所示：由题意得，AP＝6t，CQ＝3t，分两种情况：①当点P在点O的左侧，点Q在点O的右侧时，OP＝13﹣5t，OQ＝7﹣2t，∵O为PQ的中点，∴OP＝OQ，∴13﹣5t＝7﹣2t，解得：t＝2，当t＝2秒时，O为PQ的中点；②如图3，当P在点O的右侧，点Q在点O的左侧时，OP＝5t﹣13，OQ＝2t﹣7，∵O为PQ的中点，∴OP＝OQ，∴5t﹣13＝2t﹣7，解得：t＝2，此时AP＝10＜13，∴t＝2不合题意舍去，综上所述：当t＝2秒时，O为PQ的中点．【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，数轴，以及线段的计算，解决问题的关键是根据题意正确画出图形，利用中点的意义建立方程解决问题．15．（2022秋•管城区校级期末）如图1，O为直线DE上一点，过点O在直线DE上方作射线OC，∠EOC＝140°．将直角三角板AOB（∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕点O按每秒6°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．（1）如图2，当t＝4时，∠AOC＝16°，∠BOE＝64°，∠BOE﹣∠AOC＝50°；（2）当三角板旋转至边AB与射线OE相交时（如图3），试猜想∠AOC与∠BOE的数量关系，并说明理由；（3）在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA、OC、OD中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请直接写出t的取值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）先根据已知求出∠DOC、∠BOC，再求出当t＝4时的旋转角的度数，再利用角的和与差求解即可；（2）设旋转角为x，用x表示∠AOC和∠BOE，即可得出结论；（3）分①OA为∠DOC的平分线；②OC为∠DOA的平分线；③OD为∠COA的平分线三种情况，利用角平分线定义和旋转性质求出旋转角即可．【解答】解：（1）∵∠EOC＝140°，∠AOB＝∠BOE＝90°，∴∠DOC＝180°﹣140°＝40°，∠BOC＝140°﹣90°＝50°，当t＝4时，旋转角4×6°＝24°，∴∠AOC＝∠DOC﹣∠DOA＝40°﹣24°＝16°，∠BOE＝90°﹣24°＝66°，∠BOE﹣∠AOC＝66°﹣16°＝50°，故答案为：16°，66°，50°；（2）∠AOC﹣∠BOE＝50°，理由如下：设旋转角为x，当三角板旋转至边AB与射线OE相交时，∠AOC＝x﹣40°，∠BOE＝x﹣90°，∴∠AOC﹣∠BOE＝（x﹣40°）﹣（x﹣90°）＝50°；（3）存在，理由如下：①当OA为∠DOC的平分线时，旋转角6t°＝∠DOC＝20°，解得：t＝；②当OC为∠DOA的平分线时，旋转角6t°＝2∠DOC＝80°，解得：t＝；③当OD为∠COA的平分线时，360°﹣6t°＝∠DOC＝40°，解得：t＝，综上，满足条件的t的取值为或或．【点评】本题考查角平分线的定义、旋转的性质、角的运算，熟练掌握旋转性质，利用分类讨论思想求解是解答的关键．16．（2022秋•泗阳县校级期末）【感受新知】如图1，射线OC在∠AOB在内部，图中共有3个角：∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中一个角的度数是另一个角度数的三倍，则称射线OC是∠AOB的“和谐线”．[注：本题研究的角都是小于平角的角．]（1）一个角的角平分线不是这个角的“和谐线”．（填是或不是）（2）如图1，∠AOB＝60°，射线OC是∠AOB的“和谐线”，求∠AOC的度数．【运用新知】（3）如图2，若∠AOB＝90°，射线OM从射线OA的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒15°的速度旋转，同时射线ON从射线OB的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒7.5°的速度旋转，当一条射线回到出发位置的时候，整个运动随之停止，旋转的时间为t（s），问：当射线OM、ON旋转到一条直线上时，求t的值．【解决问题】（4）在（3）的条件下，请直接写出当射线ON是∠BOM的“和谐线”时t的值．【分析】（1）结合“和谐线”和角平分线的定义，即可得到答案；（2）分四种情况讨论，由“和谐线”的定义，列出方程可求∠AOC的度数；（3）根据题意，分三种情况讨论，列出方程可求t的值；（4）根据题意，分四种情况进行讨论，列出方程，分别解方程，即可求出t的值．【解答】解：（1）∵一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的2倍，∴一个角的角平分线不是这个角的“和谐线”．故答案为：不是；（2）根据题意，∵∠AOB＝60°，射线OC是∠AOB的“和谐线”，可分为四种情况进行分析：①当∠AOB＝3∠AOC＝60°时，∴∠AOC＝20°；②当∠AOB＝3∠BOC＝60°时，∴∠BOC＝20°，∴∠AOC＝40°；③当∠AOC＝3∠BOC时，∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB＝60°，∴∠AOC＝45°；④当∠BOC＝3∠AOC时，∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB＝60°，∴∠AOC＝15°；（3）由题意得，∵360°÷15°＝24（秒），∴运动时间范围为：0＜t≤24，则有①当OM与ON第一次成一个平角时，90+15t+7.5t＝180，解得：t＝4；当t＝6时，∠BOM＝180°，不符合题意，故舍去．②当OM与ON成一个周角时，90+15t+7.5t＝360，解得：t＝12；③当OM与ON第二次成一个平角时，90+15t+7.5t＝180+360，解得：t＝20，综上，t的值为4或12或20秒；（4）当OM与OB在同一条直线上时，有t＝（180°﹣90°）÷15°＝6（秒），当OM与ON成一个周角时，有t＝12，∴6≤t≤12，根据“和谐线”的定义，可分为四种情况进行分析：①当∠MON＝3∠BON时，如图：∵∠MON＝360°﹣90°﹣15t﹣7.5t，∠BON＝7.5t，∴360°﹣90°﹣15t﹣7.5t＝3×7.5t，解得：t＝6；t＝6时有个角为平角，（舍去），②当∠BOM＝3∠BON时，如图：∵∠BOM＝360°﹣90°﹣15t，∠BON＝7.5t，∴360°﹣90°﹣15t＝3×7.5t，解得：t＝7.2；③当∠BOM＝3∠MON时，如图：∵∠BOM＝360°﹣90°﹣15t，∠MON＝（360°﹣90°）﹣（15t+7.5t）＝270°﹣22.5t，∴360°﹣90°﹣15t＝3×（270﹣22.5t），解得：；④当∠BON＝3∠MON时，如图：∵∠BON＝7.5t，∠MON＝270°﹣22.5t，∴7.5t＝3×（270﹣22.5t），解得：t＝10.8．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，和谐线的性质，角之间的和差关系，掌握题意找等量关系列出方程是关键．17．（2022秋•沙坪坝区校级期末）如图1，平面上顺时针排列射线OA，OB，OC，OD，∠BOC＝90°，∠AOD在∠BOC外部且为钝角，∠AOB：∠COD＝6：7，射线OM，ON分别平分∠AOC，∠AOD（题目中所出现的角均小于180°且大于0°）．（1）若∠AOD＝140°，∠AOM＝75°，∠CON＝140°；（2）6∠CON﹣∠AOM的值是否随着∠AOD的变化而变化？若不变，求出该定值；若要变，请说明理由；（3）在（1）的条件下，将∠AOB绕点O以每秒2°的速度顺时针旋转得到∠A1OB1（OA，OB的对应边分别是OA1，OB1），若旋转时间为t秒（0＜t＜180），当∠A1OC+6°＝∠B1OD时，求出t的值．【分析】（1）由周角求出∠DOC+∠AOB＝130°，根据∠AOB：∠COD＝6：7求得∠AOB＝60°，∠COD＝70°，从而求出∠AOC＝150°，再根据角平分线定义求出∠DON和∠AOM，从而可得出结论；（2）设∠AOB＝6k，∠COD＝7k，再用含k的式子表示∠CON，∠AOC，代入6∠CON﹣∠AOM可得结论；（3）求出∠AOC＝150°，∠BOD＝160°，分三种情况讨论求解即可．【解答】解：（1）∵∠BOC＝90°，∠AOD＝140°，∴∠AOB+∠COD＝130°，∵∠AOB：∠COD＝6：7，∴∠AOB＝60°，∠COD＝70°；∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝150°，∵OM，ON分别平分∠AOC，∠AOD，∴∠AOM＝∠AOC＝75°，∠DON＝∠AOD＝70°，∴∠CON＝∠DON+∠COD＝140°，故答案为：75°，140°．（2）6∠CON﹣∠AOM的值不会随着∠AOD的改变而改变，理由如下：设∠AOD＝α，∵∠BOC＝90°，∠AOD＝α，∴∠AOB+∠COD＝270°﹣α，∵∠AOB：∠COD＝6：7，∴∠AOB＝（270°﹣α），∠COD＝（270°﹣α），∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝214.6°﹣α，∵OM，ON分别平分∠AOC，∠AOD，∴∠AOM＝∠AOC＝107.3°﹣α，∠DON＝∠AOD＝α，∴∠CON＝∠DON+∠COD＝145.4°﹣α，∴6∠CON﹣∠AOM＝6（145.4°﹣α）﹣（107.3°﹣α）＝765°，∴6∠CON﹣∠AOM的值不会随着∠AOD的改变而改变；是定值765°；（3）∵∠AOC＝90°+60°＝150°，∠BOD＝70°+90°＝160°，①当∠A1OC＝150°﹣2t，∠B1OD＝160°﹣2t（t∠75）时，∵∠A1OC+6°＝∠B1OD，∴150°﹣2t+6°＝160°﹣2t，此时，无解；②当∠A1OC＝2t﹣150°，∠B1OD＝160°﹣2t（75∠t∠80）时，∵∠A1OC+6°＝∠B1OD，∴2t﹣150°+6°＝160°﹣2t，解得，t＝76；③当∠A1OC＝2t﹣150°，＝B1OD＝2t﹣160°（t＞80），∵∠A1OC+6＝∠B1OD，∴2t﹣150°+6°＝2t﹣160°，此时无解．∴t＝76．【点评】本题考查一元一次方程在几何方面的运用，是学习方程之后接触平面几何中一道典型的数型结合题，有利于对数学学科本质的认识．在计算时易出错不会用一个式子代入表示另一个式子，隐含了数学消元思想．18．（2022秋•黄石港区期末）已知数轴上，点O为原点，点A对应的数为9，点B对应的数为b，点C在点B右侧，长度为2个单位的线段BC在数轴上移动．（1）如图1，当线段BC在O、A两点之间移动到某一位置时恰好满足线段AC＝OB，求此时b的值；（2）当线段BC在数轴上沿射线AO方向移动的过程中，若存在AC﹣OB＝AB，求此时满足条件的b值；（3）当线段BC在数轴上移动时，满足关系式|AC﹣OB|＝|AB﹣OC|，则此时的b的取值范围是b≤﹣2或b≥9或b＝．【分析】（1）由题意可知B点表示的数比点C对应的数少2，进一步用b表示出AC、OB之间的距离，联立方程求得b的数值即可；（2）分别用b表示出AC、OB、AB，进一步利用AC﹣0B＝AB建立方程求得答案即可；（3）分别用b表示出AC、OB、AB、OC，进一步利用|AC﹣OB|＝|AB﹣OC|建立方程求得答案即可．【解答】解：（1）由题意得：9﹣（b+2）＝b，解得：b＝3.5．答：线段AC＝OB，此时b的值是3.5．（2）由题意得：①9﹣（b+2）﹣b＝（9﹣b），解得：b＝．②9﹣（b+2）+b＝（9﹣b），解得：b＝﹣5答：若AC﹣0B＝AB，满足条件的b值是或﹣5．（3）①当b≥9时，AC＝b+2﹣9，OB＝b，AB＝b﹣9，OC＝b+2，|AC﹣OB|＝|AB﹣OC|，|b+2﹣9﹣b|＝7，|AB﹣OC|＝×11＝7，∴恒成立；②7≤b＜9时，|AC﹣OB|＝|AB﹣OC|，|b+2﹣9﹣b|＝|9﹣b﹣（b+2）|，解得b＝﹣2（舍去）或b＝9（舍去）；③0≤b＜7时，|AC﹣OB|＝|AB﹣OC|，|9﹣（b+2）﹣b|＝|9﹣b﹣（b+2）|，解得b＝＝3.5．④﹣2≤b＜0时，|9﹣（b+2）+b|＝|9﹣b﹣（b+2）|，解得b＝﹣2或b＝9（舍去）；⑤当b＜﹣2时，|9﹣（b+2）+b|＝|9﹣b+（b+2）|恒成立，综上，b的取值范围是b≤﹣2或b≥9或b＝3.5．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，考查了数轴与两点间的距离的计算，根据数轴确定出线段的长度是解题的关键．19．（2022秋•仙游县校级期末）已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，其中b是最小的正整数，a，c满足|a+2|+（c﹣5）2＝0．（1）填空；a＝﹣2，b＝1，c＝5．（2）现将点A，点B和点C分别以每秒4个单位长度，1个单位长度和1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒．①求经过多长时间，AB的长度是BC长度的两倍．②定义，已知M，N为数轴上任意两点．将数轴沿线段MN的中点Q进行折叠，点M与点N刚好重合，所以我们又称线段MN的中点Q为点M和点N的折点．试问：当t为何值时，这三个点中恰好有一点为另外两点的折点？【分析】（1）由正整数的定义，绝对值及偶次方的非负性可求解a，c的值；（2）①先用t表示A，B，C三点表示的数，即可求得AB，BC，AC，再根据AB＝2BC列关于t的方程，解方程即可求解t值；②分三种情况：当A是BC的中点时，AB＝AC；当B是AC的中点时，AB＝BC；当C是AB的中点时，AC＝BC，分别列方程，计算可求解．【解答】解：（1）∵b是最小的正整数，∴b＝1，∵|a+2|+（c﹣5）2＝0，∴a+2＝0，c﹣5＝0，解得a＝﹣2，c＝5；（2）①t秒后A点表示的数为﹣2+4t，B点表示的数为1+t，C点表示的数为5+t，∴AB＝|（1+t）﹣（﹣2+4t）|＝|3﹣3t|，BC＝|（5+t）﹣（1+t）|＝4，∵AB＝2BC，∴|3﹣3t|＝2×4＝8，解得t＝，故当经过s时，AB的长度是BC长度的两倍；②当A是BC的中点时，AB＝AC，则|（1+t）﹣（﹣2+4t）|＝|（5+t）﹣（﹣2+4t）|，即|3﹣3t|＝|7﹣3t|，解得t＝；当B是AC的中点时，∵A，B，C表示的数分别是﹣2，1，5，∴在整个运动过程中B点不可能是AC的中点，故该情况下不存在；当C是AB的中点时，A点在C点的右侧，则[5﹣（﹣2）]+t＜4t，解得t＞，∴|（5+t）﹣（﹣2+4t）|＝|（5+t）﹣（1+t）|，即|7﹣3t|＝4，解得t＝或1（舍去），综上，当t＝s或s时，这三个点中恰好有一点为另外两点的折点．【点评】本题主要考查数轴，两点间的距离，一元一次方程的应用，绝对值及偶次方的非负性，分类讨论是解决问题的关键．20．（2022秋•荔湾区校级期末）已知数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，且a，b满足|a+9|+（b﹣6）2＝0．点P沿数轴从A出发以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动．（1）则a＝﹣9，b＝6．（2）若点P到点A的距离是点P到点B距离的2倍，求点P运动的时间．（3）若点Q在点P运动2秒后，从点B出发以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当P，Q两点相遇后，再同时都向右运动（速度不变）．试求在整个运动过程中，当P点运动时间为多少秒时，P，Q两点之间的距离为1？并求出此时Q点所对应的数．【分析】（1）读懂题意，根据非负数的性质列等式，求出a、b的值；（2）根据题意分情况列方程求出解即可；（3）分两种情况讨论，一相遇前，二相遇后，分别设未知数，列方程求出时间，再确定Q点对应的数．【解答】解：（1）∵|a+9|+（b﹣6）2＝0，∴a+9＝0，a＝﹣9，b﹣6＝0，b＝6，故答案为：﹣9，6；（2）根据题意可知AB＝6﹣（﹣9）＝6+9＝15，设点P运动的时间为t，PA＝2PB，有两种可能，当p点在A、B两点之间时，此时PA＝2PB，2t＝2（15﹣2t），t＝5，当P点在B点右边时，PA＝2PB，2t＝2（2t﹣15），t＝10，∴P到点A的距离是点P到点B距离的2倍，点P运动的时间为10秒或5秒．（3）设点Q与点P共同运动的时间为t秒，PQ＝1，有两种可能，相遇前，相遇后，由题意得：相遇前，2（2+t）+1+3t＝15，t＝2，AQ＝（2+2）×2+1＝9，﹣9+9＝0，此时Q点对应的数为0，∴P点运动时间为2+2＝4秒时，P，Q两点之间的距离为1，此时Q点所对应的数为0；设点Q与点P共同运动t秒在N点相遇，2（2+t）+3t＝15，t＝2.2，t+2＝4.2，4.2×2＝8.4，﹣9+8.4＝﹣0.6，1÷（3﹣2）＝1，4.2+1＝5.2，﹣0.6+1×3＝2.4综上所述P点运动时间为4或5.2s，P，Q两点之间的距离为1，此时Q点对应的数为：0或2.4．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，非负数的性质，数轴知识，解题的关键是读懂题意，根据题意列方程求解．21．（2022秋•顺庆区校级期末）如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是﹣4、﹣2、3，请回答：（1）若使C、B两点的距离与A、B两点的距离相等，则需将点C向左移动3或7个单位；（2）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，运动t秒钟过后：①点A、B、C表示的数分别是﹣4﹣t、﹣2+2t、3+5t（用含t的代数式表示）；②若点B与点C之间的距离表示为d1，点A与点B之间的距离表示为d2．试问：d1﹣d2的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出d1﹣d2值．【分析】（1）由AB＝2，结合数轴即可得出点C向左移动的距离；（2）①结合路程＝时间×速度写出答案；②先求出d1＝3t+5，d2＝3t+2，从而得出d1﹣d2＝2．【解答】解：（1）有数轴可知：A、B两点的距离为2，B点、C点表示的数分别为：﹣2、3，所以当C、B两点的距离与A、B两点的距离相等时，需将点C向左移动3个或7个单位；故答案为：3或7；（2）①点A表示的数是﹣4﹣t；点B表示的数是﹣2+2t；点C所表示的数是3+5t．故答案为：﹣4﹣t；﹣2+2t；3+5t；②d1﹣d2的值不随着时间t的变化而改变，其值是3，理由如下：∵点A都以每秒1个单位的速度向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，∴d1＝3t+5，d2＝3t+2，∴d1﹣d2＝（3t+5）﹣（3t+2）＝3．【点评】本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．22．（2022秋•市北区校级期末）已知如图，在数轴上有A，B两点，所表示的数分别为﹣10，﹣4，点A以每秒5个单位长度的速度向右运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度也向右运动，如果设运动时间为t秒，解答下列问题：（1）运动前线段AB的长为6；运动1秒后线段AB的长为4；（2）求t为何值时，点A与点B恰好重合；（3）在上述运动的过程中，是否存在某一时刻t，使得线段AB的长为5，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据两点间距离公式计算即可；（2）构建方程即可解决问题；（3）分两种情形构建方程解决问题．【解答】解：（1）AB＝﹣4﹣（﹣10）＝6，运动1秒后，A表示﹣5，B表示﹣1，∴AB＝﹣1+5＝4．故答案为：6，4．（2）运动t秒后，点A，点B运动的距离分别为5t，3t，由题意：（5﹣3）t＝6，∴t＝3．（3）由题意：6+3t﹣5t＝5或5t﹣（6+3t）＝5，解得t＝或，∴t的值为或秒时，线段AB的长为5．【点评】本题考查数轴，一元一次方程等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．23．（2022秋•广阳区期末）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）探究：①数轴上表示5和2的两点之间的距离是3．②数轴上表示﹣1和﹣5的两点之间的距离是4．③数轴上表示﹣3和4的两点之间的距离是7．（2）归纳：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于|a﹣b|．（3）应用：①若数轴上表示数a的点位于﹣4与3之间，则|a+4|+|a﹣3|的值＝7．②若a表示数轴上的一个有理数，且|a﹣1|＝|a+3|，则a＝﹣1．③若a表示数轴上的一个有理数，|a﹣1|+|a+2|的最小值是3．④若a表示数轴上的一个有理数，且|a+3|+|a﹣5|＞8，则有理数a的取值范围是a＞5或a＜﹣3．（4）拓展：已知，如图2，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100．若当电子蚂蚁P从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B点出发，以3单位/秒的速度向左运动，求经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，并写出此时点P所表示的数．【分析】（1）根据数轴上两点之间距离的计算方法得出答案，（2）由特殊到一般，得出结论，（3）①利用数轴上两点距离的计算方法得出答案；②根据绝对值的意义取绝对值，解方程即可；③由|a﹣1|+|a+2|所表示的意义，转化为求数轴上表示﹣2的点到表示1的点之间的距离；④由|a+3|+|a﹣5|所表示的意义，转化为数轴上表示﹣3和5两侧的点到﹣3和5的距离之和；（4）设t秒时，两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，然后含t的式子表示出点P，Q所表示的数，在根据题意列方程，解方程即可．【解答】解：（1）探究：①数轴上表示5和2的两点之间的距离是3，②数轴上表示﹣1和﹣5的两点之间的距离是4，③数轴上表示﹣3和4的两点之间的距离是7；故答案为：①3，②4，③7；（2）归纳：数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于|a﹣b|，故答案为：|a﹣b|；（3）应用：①若数轴上表示数a的点位于﹣4与3之间，|a+4|+|a﹣3|＝a+4﹣a+3＝7；②∵|a﹣1|＝|a+3|，∴a﹣1＝a+3（无解）或a﹣1＝﹣（a+3），解得a＝﹣1；③当a表示的数在﹣2和1之间时，|a﹣1|+|a+2|的最小值是3；④当|a+3|+|a﹣5|＞8时，a应该在数5的右侧或在﹣3的左侧，∴a＞5或a＜﹣3，故答案为：①7，②﹣1，③3，④a＞5或a＜﹣3；（4）设t秒时，两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，此时P表示的数为4t﹣20，Q表示的数为100﹣3t，根据题意得100﹣3t﹣（4t﹣20）＝20或4t﹣20﹣（100﹣3t）＝20，解得t＝或t＝20，此时4t﹣20＝或60，∴点P所表示的数为或60．【点评】本题考查了绝对值，数轴上两点间的距离是两个数的绝对值和一元一次方程的应用，注意线段上的点与线段两端点的距离的和最小．24．（2022秋•武侯区校级期末）已知b是最小的正整数，a，b满足（c﹣5）2+|a+b|＝0，且a，b，c分别对应数轴上的点A，B，C．（1）请直接写出a，b，c的值：a＝﹣1，b＝1，c＝5．（2）若点P为一动点，从点A出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，则点P运动几秒后，点P到点A的距离是点P到点C的距离的2倍？（3）点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．假设运动时间为ts，BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【分析】（1）利用非负数的性质，数轴上的点表示数的特点，计算并判断出a、b、c的值；（2）根据题意分情况列方程，求解即可；（3）根据题意求出BC、AB的代数式，再相减，判断结果与t有无关系．【解答】解：（1）∵b是最小的正整数，a，b满足（c﹣5）2+|a+b|＝0，∴b＝1，c﹣5＝0，c＝5，|a+b|＝0，a+1＝0，a＝﹣1，故答案为：﹣1，1，5；（2）由图可知：AC＝5﹣（﹣1）＝6，设点P运动x秒后，点P到点A的距离是点P到点C的距离的2倍，情况一，PA＝2PC，P点在A点与C点之间，此时2x＝2×（6﹣2x），x＝2，情况二，PA＝2PC，P点在C点右边，此时2x＝2（2x﹣6），x＝6，∴当点P运动2秒或6秒后，点P到点A的距离是点P到点C的距离的2倍；（3）根据题意可知，AB＝1﹣（﹣1）+（2+1）t＝3t+2，BC＝（5﹣1）﹣2t+5t＝3t+4，BC﹣AB＝（3t+4）﹣（3t+2）＝3t+4﹣3t﹣2＝2，∵BC﹣AB＝2，，结果2与t无关，∴BC﹣AB的值不随时间t的变化而改变，BC﹣AB＝2．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，非负数的性质，数轴知识，解题的关键是读懂题意，能根据题意分情况列一元一次方程，利用非负数的性质列等式．25．（2021秋•红河州期末）数轴上点A表示的数为10，点M，N分别以每秒a个单位长度，每秒b个单位长度的速度沿数轴运动，a，b满足|a﹣5|+（b﹣6）2＝0．（1）请直接写出a＝5，b＝6；（2）如图1，点M从A出发沿数轴向左运动，到达原点后立即返回向右运动，同时点N从原点O出发沿数轴向左运动，运动时间为t，点P为线段ON的中点若MP＝MA，求t的值；（3）如图2，若点M从原点向右运动，同时点N从原点向左运动，运动时间为t时M运动到点A的右侧，若此时以M，N，O，A为端点的所有线段的长度和为142，求此时点M对应的数．【分析】（1）根据非负数的性质解答；（2）分三种情况解答：①点M未到达O时（0＜t≤2时），NP＝OP＝3t，AM＝5t，OM＝10﹣5t；②点M到达O返回时当（2＜t≤4时），OM＝5t﹣10，AM＝20﹣5t；③点M到达O返回时，即t＞4时，不成立；（3）当M在A右侧，根据两点间的距离公式列出方程并解答．【解答】解：（1）∵|a﹣5|+（b﹣6）2＝0．∴a﹣5＝0，b﹣6＝0∴a＝5，b＝6故答案为：5，6．（2）①点M未到达O时（0＜t≤2时），NP＝OP＝3t，AM＝5t，OM＝10﹣5t，即3t+10﹣5t＝5t，解得t＝；②点M到达O返回时（2＜t≤4时），OM＝5t﹣10，AM＝20﹣5t，即3t+5t﹣10＝20﹣5t，解得t＝；③当点B到达O返回，且到A右侧时，即t＞4时，不成立；（3）当M在A右侧时，NO+OA+AM+AN+OM+MN＝6t+5t+11t+10+6t+5t＝142，解得t＝4，点M对应的数为20．答：此时点M对应的数为20．【点评】本题考查学生对数轴相关知识的掌握情况及利用一元一次解决实际问题的能力．本题涉及数轴即路程为题，清楚各个点之间距离的表示方式是解题的关键．另外要注意路程相等的几种情况．26．（2021秋•恩施市期末）如图1，长方形OABC的边OA在数轴上，O为原点，长方形OABC的面积为12，OC边长为3．（1）数轴上点A表示的数为4．（2）将长方形OABC沿数轴水平移动，移动后的长方形记为O′A′B′C′，移动后的长方形O′A′B′C′与原长方形OABC重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S．①当S恰好等于原长方形OABC面积的一半时，数轴上点A′表示的数为6或2．②设点A的移动距离AA′＝x．ⅰ．当S＝4时，x＝；ⅱ．D为线段AA′的中点，点E在线段OO′上，且OE＝OO′，当点D，E所表示的数互为相反数时，求x的值．【分析】（1）利用面积÷OC可得AO长，进而可得答案；（2）①首先计算出S的值，再根据矩形的面积表示出O′A的长度，再分两种情况：当向左运动时，当向右运动时，分别求出A′表示的数；②i、首先根据面积可得OA′的长度，再用OA长减去OA′长可得x的值；ii、此题分两种情况：当原长方形OABC向左移动时，点D表示的数为，点E表示的数为，再根据题意列出方程；当原长方形OABC向右移动时，点D，E表示的数都是正数，不符合题意．【解答】解：（1）∵长方形OABC的面积为12，OC边长为3，∴OA＝12÷3＝4，∴数轴上点A表示的数为4，故答案为：4．（2）①∵S恰好等于原长方形OABC面积的一半，∴S＝6，∴O′A＝6÷3＝2，当向左运动时，如图1，A′表示的数为2当向右运动时，如图2，∵O′A′＝AO＝4，∴OA′＝4+4﹣2＝6，∴A′表示的数为6，故答案为：6或2．②ⅰ．如图1，由题意得：CO•OA′＝4，∵CO＝3，∴OA′＝，∴x＝4﹣＝，同法可得：右移时，x＝故答案为：；ⅱ．如图1，当原长方形OABC向左移动时，点D表示的数为，点E表示的数为，由题意可得方程：4﹣x﹣x＝0，解得：x＝，如图2，当原长方形OABC向右移动时，点D，E表示的数都是正数，不符合题意．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，数轴，关键是正确理解题意，利用数形结合列出方程，注意要分类讨论，不要漏解．27．（2021秋•紫阳县期末）如图，数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）数轴上点B表示的数是﹣4；当点P运动到AB的中点时，它所表示的数是1；（2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？【分析】（1）根据数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．即可得点B表示的数；进而可得当点P运动到AB的中点时，它所表示的数；（2）根据点P与点Q相遇前和相遇后之间的距离为8个单位长度，分两种情况列方程即可求解．【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10，∴B点表示的数为﹣4，当点P运动到AB的中点时，它所表示的数为1．故答案为：﹣4、1．（2）根据题意，得当点P与点Q相遇前，距离8个单位长度：2t+（10﹣4t）＝8，解得t＝1；当点P与点Q相遇后，距离8个单位长度：（4t﹣10）﹣2t＝8，解得t＝9．答：当点P运动1秒或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．【点评】本题考查了一元一次方程的应用、数轴，解决本题的关键是根据数轴上动点的运动情况列方程．28．（2022秋•金台区校级期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一直角边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）如图2，将图1中的三角形绕点O逆时针旋转，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，此时直线ON是否平分∠AOC？请说明理由；（2）如图3，继续将图2中三角板绕点O逆时针旋转，使得ON在∠AOC的内部，探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由；（3）将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，若直线ON恰好平分∠AOC，此时三角板绕点O旋转的时间是多少秒？【分析】（1）根据OM恰好平分∠BOC，用∠BOC的度数除以2，求出∠BOM的度数，可求出∠BON的度数是多少，∠AOC＝60°即可得答案；（2）首先根据∠AOM﹣∠NOC＝30°，∠BOC＝120°，求出∠A0C＝60°，然后根据∠AON＝90°﹣∠AOM＝60°﹣∠NOC，判断出∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系即可．（3）首先设三角板绕点O旋转的时间是x秒，根据∠BOC＝120°，可得∠AOC＝60°，∠BON＝∠COD＝30°；然后根据旋转60°时ON平分∠AOC，可得6x＝60或6x＝240，据此求出x的值是多少即可．【解答】解：（1）∵OM恰好平分∠BOC，∴∠BOM＝120°÷2＝60°，∴∠BON＝90°﹣60°＝30°，∵∠BOC＝120°，∴∠AOC＝60°，∴直线ON平分∠AOC；（2）如图3，，∠AOM﹣∠NOC＝30°，∵∠BOC＝120°，∴∠A0C＝60°，∵∠AON＝90°﹣∠AOM＝60°﹣∠NOC，∴∠AOM﹣∠NOC＝30°．（3）设三角板绕点O旋转的时间是x秒，∵∠BOC＝120°，∴∠AOC＝60°，∴∠BON＝30°，∴旋转60°时ON平分∠AOC，∵6x＝60或6x＝240，∴x＝10或x＝40，即此时三角板绕点O旋转的时间是10秒或40秒．【点评】此题主要