专题04平面直角坐标系的综合问题（题型与解法）

专题04平面直角坐标系的综合问题“图形与坐标”是“图形与几何”领域的主要内容之一.其中有这样一类问题，即根据已知点的变化情况，利用猜想、归纳、验证等方法，探究点的坐标变化规律.这类问题要求通过归纳概括，得到猜想和规律,并加以验证，这需要同学们具有合情推理能力，也要有创新精神.TOC\o"13"\h\u题型1：平面直角坐标系的综合运用 2题型2：平面直角坐标系的规律问题 2题型1：平面直角坐标系的综合运用1．在平面直角坐标系中，有点，，且m，n满足．(1)如图1，A、B两点坐标为A，B；(2)如图2，点D为y轴负半轴上一点，过点D作，E为线段上任意一点，以O为顶点作，交于点F．①写出、∠DFO、∠EOF的数量关系并给出证明．②如图3，若，点G为线段与线段之间一点，连接，且，，求的度数．【解答】（1）由题意得：，解得：，∵，∴，∴，，故答案为：，；（2）①，证明如下：如图2，过点O作，∴，∵，∴，∴，∴；②由（2）①得：，∵，∴，∴，∵，，∴，如图3，过点G作，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】此题考查了平行线的性质，角的和差、等量代换，解题的关键是熟悉平行线的性质和角的计算．2．如图，在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位得到点，将线段向上平移个单位，再向右平移1个单位得到线段（点与点对应，点与点对应），且四边形的面积为8．(1)求点，的坐标；(2)连接与轴交于点，求的值：(3)若点从点出发，以每秒个单位的速度向上平移运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度向左平移运动，当点到达点后停止运动，若射线交轴于点，设与的面积差为，问：是否定值？如果S是定值，请求出它的值：如果不是定值，请说明理由．【解答】（1）解：∵点向右平移4个单位得到点，∴点的坐标为，∵，∴，∵由平移性质可知，，∴点的坐标为；（2）解：解法1：∵和同底，∴，∵，∴，∵，∴，∵和同高，∴；解法2：∵，∴，即∴，∴，∴；（3）解：结论：的值是定值3，理由如下：①如图，当点在线段上时，连接．设运动时间为秒，由题意：∴，，∴，∴，∴②如图，当点在上时，连接．由①可知，∴综上所述，的值是定值3．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化——平移，三角形面积等等，灵活运用所学知识是解题的关键．3．【材料阅读】小明偶然发现线段的端点的坐标为，端点的坐标为，则这条线段中点的坐标为．通过进一步探究，在平面直角坐标系中，以任意点，为端点的线段中点坐标为．(1)【知识运用】如图，平行四边形的对角线相交于点，点在轴上，为坐标原点，点的坐标为，则点的坐标为______；(2)【能力拓展】在直角坐标系中，有，，三点，另有一点与点，，构成平行四边形，求点的坐标．【解答】（1）解：设H的坐标为，，，为中点，，．∴点H的坐标为，故答案为：；（2）解：设D点的坐标为，当为对角线时，的中点坐标为．点的坐标为解得∴此时D点的坐标为，当为对角线时，同理求得D点的坐标为，当为对角线时，同理求得D点的坐标为，∴点的坐标为或或．【点睛】本题主要考查了中点坐标公式和平行四边形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．4．如图，组成的正方形网格的每个小方格的边长都为单位1，每一个小方格的顶点叫做格点．已知点A、、、都在格点上．请按下述要求画图并回答问题：(1)建立适当的平面直角坐标系，使点的坐标为；(2)在（1）的条件下，完成下列问题：①过点作，，并写出点的坐标；②在网格中轴的下方找出所有的格点，使，并写出格点的坐标；③线段交轴于点，求点的坐标．【解答】（1）解：∵点，∴原点O在点B下方一个单位，右方一个单位处，建立平面直角坐标系，如图所示：（2）解：①为所求作的线段，如图所示：此时点E的坐标为；②如图，过点B作的平行线，则、为符合条件的格点；点，．③连接，，如图所示：设点M的坐标为，则，∵，∴，解得：，∴点M的坐标为．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握网格中的格点特点．5．在平面直角坐标系经中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P、Q两点为“等距点”．(1)点的“短距”为；(2)点的“短距”为1，求的值；(3)若，两点为“等距点”，求的值．【解答】（1）解：点到x轴、y轴距离分别为2，5，∴“短距”为2，故答案为：2；（2）点的“短距”为1，，∴，，解得：或；（3）点到x轴的距离为，到y轴距离为1，点到x轴的距离为，到y轴距离为4，∴当时，即或时，，∴或，解得或；当时，即时，，∴或，解得（舍去）或（舍去），综上所诉，或．【点睛】本题考查了新定义问题，掌握点到坐标轴的距离、解绝对值方程，并理解新定义是解题的关键．6．“求索”数学兴趣小组探究平面内横、纵坐标满足特定关系的动点的运动轨迹问题：【方法探索】(1)组长小谦提出问题：动点随着的变化形成的运动轨迹是什么？小志的思考：取3个特殊值得到3个点坐标，发现3点在一条直线上，可以利用待定系数法求出该直线的表达式；小远的思考：令，，再求与的函数关系式．请你选择一种方法确定点运动轨迹的函数表达式为________；【问题解决】(2)小明设计了一道动点问题考小诚，请聪明的你帮小诚解答：如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点从点出发以每秒8个单位的速度沿轴向左运动，同时点从点出发以每秒6个单位的速度沿轴向上运动，点是的中点，设运动时间为，请用含的式子表示点的坐标，并求的最小值；【拓展运用】(3)高老师给出坐标平面内两个动点：，．①小勇说：点、的运动轨迹都是直线；小智说：点、在运动过程中不可能重合；请你选择下面正确的看法（

）A．小勇的说法对

B．小智的说法对

C．两人的说法都对

D．两人的说法都错②请你求出线段的最小值．【解答】（1）解：小志的方法：当，点的坐标分别为：，设过点的直线的解析式为：，则：，解得：；∴，当时，，∴点，在直线上，∴点运动轨迹的函数表达式为；小远的方法：令，，∴，∴，∴点运动轨迹的函数表达式为；故答案为：；（2）解：∵，，∴，，∴移动到点的位置需要的时间为：秒，①当时，，，，则：；②当时，，∴，，即：则：；综上：，连接，则：，∴当三点共线时，的值最小，∵，∴，∴当时，的值最小值为，此时的值最小为；（3）①∵，令，则：；∴，∴点的轨迹为抛物线；∵，令，则：，∴；∴点的轨迹为直线；联立，整理，得：，∵，∴方程没有实数根，即抛物线和直线没有交点，∴小智的说法正确，故选B．②把直线平移，直至平移后的直线与抛物线相切时，抛物线与平移后的直线的交点到直线的距离即为线段的最小值，设平移后的直线为，联立，整理，得：，∵直线与抛物线只有一个交点，∴，解得：，∴，解得：，∴，∴平移后的直线与抛物线的交点为：，∴当时，到直线的距离即为的最小值，∵，∴，∴当时，的值最小，为．【点睛】本题考查坐标与图形，二次函数和一次函数的综合应用．熟练掌握两点间的距离公式，中点坐标公式，正确的求出函数的解析式，利用二次函数的性质进行求解，是解题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，与y轴交于点，与x轴交于点C．(1)求直线的函数表达式；(2)在平面直角坐标系中有一点，使得，请求出点P的坐标；(3)点M为直线上的动点，过点M作y轴的平行线，交于点N，点Q为y轴上一动点，且为等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点M的坐标．【解答】（1）解：∵点在直线：上，∴，即，∵直线：过点，点，∴，解得：，∴直线的函数表达式为：；（2）解：∵，∴当以为底边时，两三角形等高，∴过点P且与直线平行的直线为：，①直线过点，得为：，当时，，∴点，②点关于点的对称点为，直线过点，得为：，当时，，∴点，综上所述，点P坐标为或；（3）解：设，则，∴，①如图1，若，，则有，∴，∴或，∴或，②如图2，图3，若或，则，∴，∴或，∴或，综上所述，点M的坐标为或或或．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次方程（组）的解法，三角形面积，等腰直角三角形，考查了分类讨论思想．第（3）题中三角形面积相等底相等即高相等是解题关键，第（4）题要注意分类讨论的目的性，通过数形结合找等量关系．8．如图，在平面直角坐标系中，，，，，，．且．．(1)直接写出、、各点的坐标：、、；(2)如图1，，，点，在四边形的边上，且在第二象限．若是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标，并对其中一种情况计算说明；(3)如图2，为轴正半轴上一动点，过的直线轴，平分交直线于点．为上的点，且，在运动中的长度是否发生变化？若变化，求出变化范围；若不变，求出定值．【解答】（1），，，，，，，，，，，，，四边形是平行四边形，且四边形是矩形，，，，；（2）如图，若点在上时，过点作轴，过点作于，过点作于点，，，，且，，，，，，，，四边形是矩形，，且点，点坐标，如图，若点在上，过点作，交的延长线于，，，且，，，点坐标，；（3）不发生变化，如图，过点作于点，平分，，，，，，，且，，，，，，，，，，，点在运动中的长度不发生变化．【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，矩形的性质与判定，坐标与图形，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．9．如图1，已知直线：，点在直线上．是过定点的一簇直线．嘉淇用绘图软件观察与的关系．记过点时的直线为．(1)求的值及的解析式；(2)探究与的数量关系；当与轴的交点为时，记此时的直线为，与的交点记为A，求的长；(3)当与直线的交点为整点（横、纵坐标均为整数），且的值也为整数时，称为“美好直线”．①在如图所示的视窗下（，），求为“美好直线”时的值；②视窗的大小不变，改变其可视范围，且变化前后原点始终在视窗中心．现将图中坐标系的单位长度变为原来的，使得在视窗内能看到所有“美好直线”与直线的交点，求的最小整数值．【解答】（1）解：将点代入，解得；将，分别代入中，得，解得，的解析式为；（2）解：过定点，则，；过，且，，，的解析式为；解得，与的交点为，；（3）解：①当，时，上的整点为，，当过时，且，，是“美好直线”；当过时，且，，不是“美好直线”，综上，的值为；②设直线上的任一整点为，则，，，，当，均为整数时，满足题意；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；上满足条件的点为，，，，，若这些点全部出现在视窗中，的最小整数值为4．【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形，理解“美好直线”的定义和条件是解决本题的关键．10．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线（）交于点P，．(1)求直线的解析式；(2)连接、，若直线上存在一点Q，使得，求点Q的坐标；(3)将直线向下平移1个单位长度得到直线，直线l与x轴交于点E，点N为直线l上的一点，在平面直角坐标系中，是否存在点M，使以点O，E，N，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】（1）解：∵直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，∴令，则，∴点A为，∴，∵，∴点C为，点D为，∴直线的解析式为；（2）解：在中，令，则，∴点B为，∵，解得，∴点P的坐标为；∴；∵点Q在直线上，则设点Q为，则当点Q在点B的下方时，如下图：∵，点P的坐标为，∴，∵，∴，∴，解得：，∴，∴点的坐标为；当点Q在点P的上方时，如上图：，∴，∴解得：，∴，∴点的坐标为；综合上述，点的坐标为或；（3）解：∵直线向下平移1个单位长度得到直线，∴直线为，令，则，∴点E的坐标为，即；当作为矩形的边时，如图：∴点N的坐标为，∴点M的坐标为；当作为矩形的对角线时，如图：∴点F的坐标为，∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴四边形是正方形，∴，，∴，∴点M的坐标为；综合上述，则点M的坐标为或；【点睛】本题考查了矩形的性质，一次函数的图像和性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出图形，从而运用分类讨论的思想进行解题．11．点是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点向轴，轴作垂线段，若垂线段的长度的和为，则点叫做“垂距点”例如：下图中的是“垂距点”．(1)在点，，中，是“垂距点”的点为；(2)求函数的图象上的“垂距点”的坐标；(3)的圆心的坐标为，半径为若上存在“垂距点”，则的取值范围是．【解答】（1）解：由题意得，垂线段的长度的和为4．，，故答案为：．（2）解：设函数的图像上的“垂距点”的坐标．由题意得．①当时，．∴．②当时，．∴（不合题意，舍）．③当时，．∴．∴

综上所述，函数y＝2x＋3的图像上的“垂距点”的坐标是，．（3）解：设“垂距点”的坐标为，则当时，，即；当时，，即；当时，，即；当时，，即；当与相切时，过点作直线于点，则为等腰直角三角形，∴当过点时，上不存在“垂距点”，此时∴若存在“垂距点”，则的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查平面直角坐标系相关，结合题干定义以及书本所学点到轴的距离即为横纵坐标的绝对值进行分析计算．12．如图①，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，现同时将点A、B向上平移2个单位长度，再向右平移一个单位长度，得到A、B的对应点C、D，连接．(1)写出点C、D的坐标并求出四边形的面积；(2)在x轴上是否存在一点F，使得的面积是面积的2倍？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图②，点P是直线上一个动点，连接，当点P在直线上运动时，请直接写出与的数量关系．【解答】（1）∵点A，B的坐标分别为，将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，分别得到点A，B的对应点C，D，∴点，点，，∴，四边形是平行四边形，∴；（2）存在，理由：设F坐标为，∵的面积是面积的2倍，∴，即，解得或，∴P点的坐标为或；（3）①当点P在线段上时，如图，作，

由平移可知：，∴，∴，∴；即；②当点P在线段的延长线上时，如图，作，由平移可知：，∴，∴，∴；即；③当点P在线段的延长线上时，如图，作，由平移可知：，∴，∴，∴；即；综上，或或．【点睛】题考查平行线的判定和性质，点平移的规律．对点的位置进行分类讨论是解题的关键．13．在直角坐标系中，已知，，且，满足．(1)求的面积；(2)将线段平移至，且，且，求点的坐标；(3)如图，已知，（点在线段上），且实数、、满足，连接交于点，点是线段上的一点，连接、、，有，求点的坐标．【解答】（1）解：由题意可得，，解得，，∴，，∴；（2）解：过点C作轴，延长交l于M，过点B作于N，过点A作于T，设，，即，解得，，∴，，即，∴，∴或，∴或，∴点C的坐标是或；（3）解：设，，解得，，∵，，，，∴，∴，∴，解答，，∵点D在第四象限，∴，过点D作轴于点Q，过点B作轴于点S，，即，解得，∴D点的坐标为．【点睛】本题考查的是非负数的性质、三角形的面积计算、解二元一次方程组、坐标与图形性质，掌握坐标与图形性质及三角形的面积公式是解题的关键．14．已知，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在第一象限，且、满足等式，连接、．(1)如图1，求，的值；(2)如图2，点在轴负半轴上一点，且其横坐标为，过点作，，连接、．设的面积为，求与之间的关系式（不需要写出的取值范围）；(3)如图3，在（2）的条件下，作，垂足为点，连接交于点，连接，交轴于点，当轴时，求的面积．【解答】（1）解：∵，即：，∴，，∴，；（2）作轴，则，，∵，∴，∴，在与中，，∴，∴，∵点在轴负半轴上一点，且其横坐标为，∴，则的面积；（3）由（1）知，，则，，∴，且轴，即为等腰直角三角形，，∴，过点作，延长交于，故，∵，，即：∴，，即∴，，又∵，∴，∴，故为等腰直角三角形，∴，作交于，连接，过作，交于，可知，为等腰直角三角形，故，，∵轴，则，即：∴，∴，∴，，则，∴为等腰直角三角形，故：，，∴，，∴，又∵，∴，∴，即，∵轴，∴，故为等腰直角三角形，∴，由（2）可知，，则，，∴，则，∴．【点睛】本题考查算术平方根的非负性，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，添加辅助线构造全等三角形和等腰直角三角形证得是解决问题的关键．15．在平面直角坐标系中，点，点B在x轴正半轴上，点C在第一象限内．(1)如图1，．①若是以AC为斜边的直角三角形，且．请在图（1）中利用圆规、无刻度直尺作出点C的位置（不写作法，保留作图痕迹），写出点C的坐标________；②若是等边三角形．求点C的坐标；(2)如图2，是等边三角形，点C在以为圆心，半径为r的圆上．若存在两个满足条件，求r的取值范围．【解答】（1）解：是以AC为斜边的直角三角形，点C在第一象限内，，如图，过点B作的垂线，，在第一象限内截取，连接即可；，即，过点C作轴于D，，，，，，；②如图，取中点E，连接并延长交于F，作轴于D，由题意可知垂直平分，，，，，，，解得：，，，，，，，，，，，，；（2）如图，取中点E，连接并延长交于F，作轴于D，轴于G，设，，，，，解得：，，则，，由题意可知垂直平分，，，，，，，，，整理得：，，，，，，，，，，，整理得：，点C在第一象限内，，即点C在直线上，，当时，，不在直线上，点B在x轴正半轴上，当点B与点O重合时,如图，等边三角形边长为2，可求得：当与相切时，如图，作直线分别与x，y轴相交于H，I，过P作分别与x，y轴相交于J，K，过O作于L，交于M，则四边形为矩形，，令求得，令求得，，，设解析式为，将代入求得，，令求得，令求得，，，，，，，，，，，．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，一次函数的应用及坐标与图形；解题的关键是通过等积法构造等量关系得到．16．已知：如图1．在平面直角坐标系中，C在第二象限内的一点，轴于A，，且满足，点P在的平分线上，Q在x轴上．．(1)求a，b的值；(2)若，求证：；(3)如图2，在y轴正半轴上取点B，使得，为第四象限上一点，过点D作x轴、y轴的垂线交直线于G、H两点，当m，n满足什么关系时，，并说明理由．【解答】（1）解：∵，∴解得：；（2）解：过点P作，垂足为N，过点P向的延长线作，垂足为F，如图所示，∵，是的平分线，∴，，∵，∴，在四边形中，由四边形内角和定理知：，∴，∴，∴，∴，在中，，在中，，∴，∴，∴；（3）解：由题意得：C点坐标为，，∴A点坐标为，由（1）得：，∴A点坐标为，∵且点B在y轴正半轴，∴B点坐标为，，由题意得：，∴，，∴，，，，∴，当时，，∵点D坐标为，∴由题意得：，，即，∴，∵过点A、B，∴将A、B两点坐标代入得：，整理得：，∴当时，．【点睛】本题考查几何问题综合题，涉及到了角平分线的性质，三角形全等，灵活运用所学知识是解题关键．题型2：平面直角坐标系的规律问题1．如图，已知直线a：，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为（）A． B． C． D．【解答】解：由题意知，，，，，，，，，∴的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，……∴可推导一般性规律为：的横坐标为，∴的横坐标为，∴的横坐标为，∴的横坐标为，∴的横坐标为，故选：A．【点睛】本题考查了点坐标的规律探究，一次函数等知识．解题的关键在于根据题意推导一般规律．2．如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次跳动至点，第二次点跳动至点，第三次点跳动至点，第四次点跳动至点，……依此规律跳动下去，则点的坐标是（

）A． B． C． D．【解答】解：观察发现，点A第1次跳动至点，第3次点跳动至点，第5次跳动至点的坐标是，第7次跳动至点的坐标是，…第次跳动至点的坐标是，因为，所以点的坐标是．故选：D【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到奇数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键．3．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0），……，根据这个规律探索可得第2023个点的坐标是（）A． B． C． D．【解答】把第一个点作为第一列，和作为第二列，依此类推，则第一列有1个点，第二列有2个点，，第n列有n个点，则n列共有个点，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上，∵，∴第2023个点一定在第64列，由下到上是第7个点，因而第2023个点的坐标是，故选：D．【点睛】本题考查了学生的观察图形的能力和理解能力，解此题的关键是根据图形得出规律，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．4．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整点，按图中→方向排列，即，…，则按此规律排列下去第23个点的坐标为（）A． B． C． D．【解答】解：∵……∴观察发现：每三个点为一组，每组第一个点坐标为：，，∴第23个点在第八组的第二个，∵第八组的第一个点坐标为：，∴第23个点的坐标为：，故选：D．【点睛】本题考查的是坐标规律的探究，解题的关键是仔细观察坐标变化规律，掌握从具体到一般的探究方法．5．如图，在一个单位为l的方格纸上，，，，．．．，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，．．．的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的横坐标为（

）A． B．1010 C．1012 D．【解答】解：∵各三角形都是等腰直角三角形，∴直角顶点的纵坐标的长度为斜边的一半，，，…，∵余3，∴点在x轴负半轴，横坐标是．故选：A．【点睛】本题是对点的坐标变化规律的考查，根据2023是奇数，求出点的横坐标是奇数时的变化规律是解题的关键．6．在平面直角坐标系中，将若干个边长为2个单位长度的等边三角形按如图所示的规律摆放，点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着等边三角形的边→→→→…的路线运动，设第n秒运动到点（n为正整数），则点的坐标是（

）A． B． C． D．【解答】解：过点作轴于B，∵图中是边长为2个单位长度的等边三角形，∴，∴，∴，，同理，，，，，…∴中每6个点的纵坐标规律：，0，，0，，0，点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边“…”的路线运动，1秒钟走一段，∴P运动每6秒循环一次，∴点P的纵坐标规律：，0，，0，，0，…，点P的横坐标规律：1，2，3，4，5，6，…，，∵，∴点的纵坐标为，∴点的横坐标为，∴点的坐标，故选C．【点睛】本题考查点的坐标变化规律，平面直角坐标系中点的特点及等边三角形的性质，勾股定理，确定点的坐标规律是解题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点，那么坐标为（

）A． B． C． D．【解答】由图象可知，纵坐标每四个点循环一次，而，∴的纵坐标与的纵坐标相同，都等于0．循环中与对应的点分别为，∴对应的点的横坐标的变化规律为（n为循环次数），∴的横坐标为，∴．故选：D．【点睛】本题考查平面直角坐标系中的动点规律问题，找准点的变化规律是解题的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，一智能机器人从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向匀速循环前行，当机器人前行了时，其所在位置的点的坐标为（）A． B． C． D．【解答】解：∵，，∴，∴机器人从点A出发沿着回到点A所走路程是：，∴每过10秒点P回到A点一次，∵，∴第2023秒时于第3秒时机器人所在的位置相同，∵，∴此时机器人在上，距离B为1个单位长度，∴机器人所在点的坐标为，故选：A．【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．9．如图，在平面直角坐标系中，将边长为的正六边形绕点顺时针旋转个，得到正六边形，当时，顶点的坐标是（

）A． B． C． D．【解答】解：∵正六边形，∴每个内角的度数为，即，∴正六边形的一个外角为，即与轴正半轴的夹角为，如图所示，未旋转时，连接，正六边形的边长为，，过点作于点，∴，在中，根据勾股定理得，，∴，∴，当正六边形绕点顺时针旋转，∴，即旋转次，正六边形回到起始位置，∴当时，，即旋转次后，又旋转了个，即回到起始位置后又旋转了，如图所示，∴，，∴，即当时，顶点的坐标是，故选：．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形变换与点坐标，掌握几何图形的特点及变换的规律，找出点坐标变换的规律是解题的关键．10．如图，已知正方形的对角线，相交于点M，顶点A、B、C的坐标分别为、、，规定“把正方形先沿x轴翻折，再向右平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2022次变换后，点M的坐标变为（）A． B． C． D．【解答】解：∵正方形的顶点A，B，C分别是，∴正方形的对角线的交点M的坐标为，∵把正方形先沿轴翻折，再向右平移个单位”为一次变换，∴第一次变换后M的坐标为，第二次变换后的坐标，第三次变换后的坐标，第四次变换后的坐标，，可发现第n次后，当n为偶数，点M的坐标为，∴连续经过第2022次时，点M的坐标为，即．故选A．【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，正方形的性质，勾股定理，坐标与图形变化—轴对称和平移，正确找到规律是解题的关键．11．在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，……，在直线l上，点，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【解答】解：当时，有，解得：，点的坐标为．四边形为正方形，点的坐标为．同理，，，，，，，，，，（n为正整数），点的坐标为．故选：C．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律“为正整数”是解题的关键．12．如图，在直角坐标系中，已知点的坐标为，进行如下操作：将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段按逆时针方向旋转，长度伸长为的2倍，得到线段，如此重复操作下去，得到线段，，…则的坐标为（）A． B． C． D．【解答】解：过点作轴于点，轴于点，由题意可得出：，，，则，∵将线段按逆时针方向旋转，∴每个点循环一圈，∵，∴点的坐标与点的坐标在第象限，∵，∵，∴，∴，∴点的坐标为，故选：A．【点睛】本题考查了坐标与图形－坐标的变化规律，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，读懂题意，得出坐标的变化规律是解本题的关键．13．如图，在单位为1的方格纸上，，，，…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（

）A． B．） C． D．【解答】解：图中的各三角形都是等腰直角三角形，各等腰直角三角形的直角顶点的纵坐标的绝对值为斜边的一半，，，，，，，……，当下标为偶数时的点的坐标规律如下：当下标是2、6、10…时，横坐标为1，纵坐标为下标的一半，当下标是4、8、12…时，横坐标是2，纵坐标为下标的一半的相反数，每四个字母为一组，，∴点A2022在第一象限，横坐标为1，纵坐标是，的坐标为为，故选：A．【点睛】本题主要考查了点的坐标变化规律，根据坐标正确得到规律是解题关键．14．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中所示方向运动，第一次从原点O运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，第四次运动到点，第五次运动到点，第六次运动到点，按这样的运动规律，点的纵坐标是（

）A． B．0 C．1 D．2【解答】解：观察图像点的坐标：、、、、、、、，可以发现规律：横坐标与次数相等，纵坐标每7次运动组成一个循环：1、1、0、、0、2、0，，动点的坐标是，动点的纵坐标是0，故选：B．【点睛】本题主要考查了点的坐标变化规律，利用数形结合并从图象中发现循环规律是解题关键．15．已知点与点在同一条平行于x轴的直线上