第2章二次函数（知识归纳题型突破）（原卷版）-2023-2024学年九年级数学下册单元速记巧练（北师大版）

第2章二次函数（知识归纳+题型突破）1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴，并能解决简单的实际问题；4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.要点：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a的绝对值越大，抛物线的开口越小.二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下(轴)(0，0)(轴)(0，)(，0)(，)()2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线中，的作用：(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点；②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.4.用待定系数法求二次函数的解析式：(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点：求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．三、二次函数与一元二次方程的关系函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解要点：二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.要点：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.目录：题型一二次函数的概念题型二确定二次函数的表达式题型三二次函数的图像与性质题型四由二次函数的图像判断有关符号问题题型五二次函数与方程、不等式题型六二次函数的应用题型七二次函数综合解答题题型一二次函数的概念【例1】下列y关于x的函数中，是二次函数的是（

）A． B．C． D．巩固训练：1．若是二次函数，则的值是（

）A．或2 B．4 C．2 D．2．正方形的边长为3，若边长增加，则面积增加，与的关系式为（）A． B．C． D．3．已知二次函数的图象开口向上，则m的值是．4．已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为．题型二确定二次函数的表达式【例2】已知抛物线与x轴交于点和且过点，抛物线的解析式为．巩固训练：1．已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线相同，且它的顶点坐标为，则这条抛物线的解析式为．2．已知二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，则该二次函数的表达式是题型三二次函数的图像与性质【例3】抛物线的顶点坐标．巩固训练：1．抛物线过点，，则此抛物线的对称轴是直线．2．若将函数的图象向上平移5个单位，再向右平行移动1个单位，得到的抛物线是（）A． B．C． D．3．将抛物线绕坐标原点旋转后，得到的抛物线的解析式为．4．关于二次函数，下列说法正确的是（）A．图象的对称轴是直线 B．图象与x轴有两个交点C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．当时，y取得最大值，且最大值为35．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（）A．

B．

C．

D．

6．已知二次函数，当时，y随着x的增大而减小，则m的取值范围为．7．在关于x的二次函数中，当时，，则的值为．题型四由二次函数的图像判断有关符号问题【例4】．如图，若二次函数图象的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于点A，点．则：①二次函数的最大值为；②；③；④当时，；⑤．其中正确的个数（

）A．1 B．2 C．3 D．4巩固训练：1．如图，抛物线经过点，．下列结论：①；②；③若抛物线上有点，，，则；④．其中正确的个数是（

）

A．4 B．3 C．2 D．12．已知二次函数，，都是常数，且的图象与轴交于点，、，，且，与轴的正半轴的交点在，的下方，下列结论：①；②；③；④；⑤是常数．其中正确结论的个数是()A．2个 B．3个 C．4个 D．5个题型五二次函数与方程、不等式【例5】．二次函数的图像如图所示，若关于x的一元二次方程（t为实数）的解满足，则t的取值范围是（）

A． B． C． D．巩固训练：抛物线与坐标轴有且仅有两个交点，则的值为．2．一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（）A． B． C． D．或3．已知抛物线与x轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，则m的取值范围是．题型六二次函数的应用【例6】．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分（如图，水平地面为x轴，单位：米），则羽毛球到达最高点时离地面的距离是（

）A．1米 B．3米 C．5米 D．米巩固训练：1．如图，在中，，，．动点从点开始沿边向点以1cm/s的速度移动，动点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动．若，两点分别从，两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（）A． B． C． D．2．小明周末外出游玩时看到某公园有一圆形喷水池，如图1，简单测量得到如下数据：圆形喷水池直径为，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈拋物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，小明根据图示建立了平面直角坐标系，如图2，则的高度是（）

A． B． C． D．3．如图，在等边中，，点P从点B出发，沿方向运动至点C停止，点Q是上的一点，满足．若的面积为S，，则S与x之间的函数图象大致是（

）A． B．C． D．题型七二次函数综合解答题【例7】．如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，而一次函数的图象也经过，两点．(1)求k，b的值；(2)结合图象直接写出的解集．巩固训练：1．在平面直角坐标系中，已知抛物线．(1)求它的顶点P坐标；(2)求它与x轴的交点A、B（点A在左侧）坐标．(3)求的面积．2．如图，抛物线的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且．

(1)求抛物线的解析式；(2)若点在该抛物线上，求b的值；(3)若点，在此抛物线上，比较与大小．3．一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点的水平距离为时达到最大高度为．

(1)求关于的函数表达式；(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长．4．在平面直角坐标系中，已知抛物线．(1)若，当时，求的取值范围；(2)已知点，，都在该抛物线上，若，求的取值范围．5．如图，一小球M（看成一个点）从斜坡上的O点处抛出，球的运动路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画，小球到达的最高点的坐标为，解答下列问题：(1)求抛物线的表达式；(2)小球落点为A，求A点的坐标；(3)在斜坡上的B点有一棵树（看成线段且垂直于x轴），B点的横坐标为2，树高为，小球M能否飞过这棵树？通过计算说明理由，6．如图，抛物线交轴于点两点，交轴于点，与过点且平行于轴的直线交于另一点，点是抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式及点的坐标；(2)过点作直线的垂线，垂足为，若将沿翻折，点的对应点为，是否存在点，使点恰好落在轴上？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，说明理由．7．如图所示，抛物线与