专题10几何压轴中的证明与猜想题型（原卷版）

专题10几何压轴中的证明与猜想题型几何压轴中证明与猜想题指有些数学问题的条件、结论或解决方法不确定或不唯一，需要根据题目的特点进行分析、探索，从而确定出符合要求的答案(一个、多个或所有答案)或探索出解决问题的多种方法．该题型对考查学生思维能力和创造能力有积极的作用，是近几年各地中考命题的一个热点．通常这类题目有以下几种类型：条件开放与探索，结论开放和探索，条件与结论都开放与探索及方案设计、命题组合型、问题开放型等．考生在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．3．分类讨论法．当命题的题设和结论不唯一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证． （2022·贵州黔西·统考中考真题）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E不与点B，C重合），且．(1)当时，求证：；(2)猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；(3)如图2，连接AC，G是CB延长线上一点，，垂足为K，交AC于点H且．若，，请用含a，b的代数式表示EF的长．（1）先利用正方表的性质求得，，再利用判定三角形全等的“SAS”求得三角形全等，然后由全等三角形的性质求解；（2）延长CB至M，使，连接AM，先易得，推出，，进而得到，最后利用全等三角形的性质求解；（3）过点H作于点N，易得，进而求出，再根据（2）的结论求解．【答案】(1)见解析(2)，见解析(3)【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴，．在和中，∴，∴；（2）解：BE，EF，DF存在的数量关系为．理由如下：延长CB至M，使，连接AM，则．在和中，∴，∴，．∵，∴．∴∠MAE=∠FAE，在和中，∴，∴EM=EF，∵EM=BE+BM，∴；（3）解：过点H作于点N，则．∵，∴，∴．在和中，∴，∴．∵，，∴，∴，由（2）知，．本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，作出辅助线，构建三角形全等是解答关键．（2022·山东济南·统考中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；(2)延长ED交直线BC于点F．①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．（1）利用等边三角形的性质和旋转的性质易得到，再由全等三角形的性质求解；（2）①根据线段绕点A按逆时针方向旋转得到得到是等边三角形，由等边三角形的性质和（1）的结论来求解；②过点A作于点G，连接AF，根据等边三角形的性质和锐角三角函数求值得到，，进而得到，进而求出，结合，ED＝EC得到，再用等腰直角三角形的性质求解．【答案】(1)，理由见解析(2)①；②，理由见解析【详解】（1）解：．证明：∵是等边三角形，∴，．∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到，∴，，∴，∴，即．在和中，∴，∴；（2）解：①理由：∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到，∴是等边三角形，∴，由（1）得，∴；②过点A作于点G，连接AF，如下图．∵是等边三角形，，∴，∴．∵是等边三角形，点F为线段BC中点，∴，，，∴，∴，，∴，即，∴，∴．∵，，∴，即是等腰直角三角形，∴．本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解相关知识是解答关键．（2022·广东深圳·统考中考真题）（1）【探究发现】如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证：（2）【类比迁移】如图②，在矩形中，为边上一点，且将沿翻折到处，延长交边于点延长交边于点且求的长．（3）【拓展应用】如图③，在菱形中，，为边上的三等分点，将沿翻折得到，直线交于点求的长．（1）根据将沿翻折到处，四边形是正方形，得，，即得，可证；（2）延长，交于，设，在中，有，得，，由，得，，，而，，可得，即，，设，则，因，有，即解得的长为；（3）分两种情况：（Ⅰ）当时，延长交于，过作于，设，，则，，由是的角平分线，有①，在中，②，可解得，；（Ⅱ）当时，延长交延长线于，过作交延长线于，同理解得，．【答案】（1）见解析；（2）；（3）的长为或【详解】证明：（1）将沿翻折到处，四边形是正方形，，，，，，；（2）解：延长，交于，如图：设，在中，，，解得，，，，，，即，，，，，，，，即，，设，则，，，，即，解得，的长为；（3）（Ⅰ）当时，延长交于，过作于，如图：设，，则，，，，，沿翻折得到，，，，是的角平分线，，即①，，，，，在中，，②，联立①②可解得，；（Ⅱ）当时，延长交延长线于，过作交延长线于，如图：同理，，即，由得：，可解得，，综上所述，的长为或．本题考查四边形的综合应用，涉及全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，三角形角平分线的性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是方程思想的应用．1．（2022·安徽合肥·校联考三模）已知分别是四边形和四边形的对角线，点E在的内部，．(1)探索发现：如图1，当四边形和四边形均为正方形时，则的度数为；(2)引申运用：如图2，当四边形和四边形均为矩形时，①若，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；②若，，求线段的长；(3)联系拓展：如图3，当四边形和四边形均为菱形且时，设，试探究a，b，c三者之间的等量关系，并说明理由．2．（2022·浙江宁波·校考三模）【基础巩固】(1)如图①，在四边形中，，，求证∶；(2)【尝试应用】如图②，在平行四边形中，点在上，与互补，，求的长；(3)【拓展提高】如图③，在菱形中，为其内部一点，与互补，点在上，，且，，求的长．3．（2022·山东济南·统考模拟预测）（1）【问题情境】如图，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接、，则与的数量关系是______；（2）【类比探究】如图，四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接、．判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）【拓展提升】如图3，在（2）的条件下，连接，则的最小值为______．4．（2022·江苏苏州·校考一模）【理解概念】定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．(1)已知△ABC是“准直角三角形”，且．①若，则______；②若，则______；【巩固新知】(2)如图①，在中，，点D在边上，若是“准直角三角形”，求的长；【解决问题】(3)如图②，在四边形中，，且是“准直角三角形”，求的面积．5．（2022·福建福州·福建省福州教育学院附属中学校考模拟预测）问题发现．(1)如图，中，，，，点是边上任意一点，则的最小值为______．(2)如图，矩形中，，，点、点分别在、上，求的最小值．(3)如图，矩形中，，，点是边上一点，且，点是边上的任意一点，把沿翻折，点的对应点为，连接、，四边形的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时的长度．若不存在，请说明理由．6．（2022·广东东莞·东莞市光明中学校考三模）中，，，点为直线上一动点点