专题10一次函数（原卷版）

第10讲一次函数（精讲精练）结合具体情境体会一次函数的意义，能画出一次函数的图像。理解正比例函数。能根据已知条件确定一次函数的关系式。会利用待定系数法确定一次函数的关系式。根据一次函数的图像和关系式y=kx+b(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时，图像的变化情况。体会一次函数与二元一次方程的关系。能用一次函数解决简单实际问题。TOC\o"11"\h\u考点1：一次函数图像与性质 3考点2：一次函数解析式的确定 12考点3：一次函数图像的平移 21考点4：一次函数与方程不等式的关系 26考点5：一次函数的应用 36课堂总结：思维导图 54分层训练：课堂知识巩固 55考点1：一次函数图像与性质（1）概念：一般来说，形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当b＝0时，称为正比例函数．（2）图象形状：一次函数y＝kx＋b是一条经过点（0,b）和的直线.特别地，正比例函数y＝kx的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.(3)一次函数与坐标轴交点坐标1.求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；2.求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点是，与y轴的交点是(0，b)；3.正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)．｛一次函数的定义★｝以下函数中是的一次函数的是①；②；③；④；⑤；⑥．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个｛正比例函数的定义★｝若函数为常数）是正比例函数，则的值为．｛一次函数的图像★｝直线和在同一平面直角坐标系中的图象可能是A．B．C． D．｛一次函数的图像★｝已知一次函数的图象如图所示，则的图象可能是A． B．C． D．｛一次函数的性质★｝若点，点，都在一次函数的图象上，则A． B． C． D．｛一次函数的性质★｝下列关于一次函数的图象的说法中，错误的是A．函数图象经过第一、二、四象限 B．函数图象与轴的交点坐标为 C．当时， D．的值随着值的增大而减小｛一次函数的定义★｝已知函数为一次函数，则．｛一次函数的图像★｝若，，函数与在同一坐标系中的图象是A．B．C． D．｛一次函数的图像★｝若实数，满足，且，则函数的图象可能是A．B．C． D．｛一次函数的图像★｝函数的图象是A．B．C．D．｛一次函数的性质★｝用描点法画一次函数图象，在如表格中有一组数据错误，这组错误的数据是121211108A． B． C． D．｛一次函数的性质★｝下列有关一次函数的说法中，正确的是A．的值随着值的增大而增大 B．函数图象与轴的交点坐标为 C．当时， D．函数图象经过第二、三、四象限｛一次函数的性质★｝对于一次函数，下列结论错误的是A．随的增大而增大 B．函数图象与轴所成的锐角是 C．函数图象与轴交点坐标是 D．函数图象不经过第四象限（2020•济南）若，则一次函数的图象可能是A．B．C． D．（2021•沈阳）一次函数的图象不经过A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限（2020•牡丹江）两个一次函数和，它们在同一个直角坐标系的图象可能是A．B．C． D．考点2：一次函数解析式的确定（1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为：①设：设函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)；②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；③解：求出k与b的值，得到函数表达式．（2）常见类型：①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可.｛确定一次函数解析式★｝一次函数的图象经过，，则与的值为A． B． C． D．｛确定一次函数解析式★★｝已知一次函数，当时，，则的值为A．3 B．2 C． D．2或｛确定一次函数解析式★｝已知与成正比例，且当时，．（1）写出与之间的函数表达式；（2）当时，求的值；（3）若的取值范围是，求的取值范围．｛确定一次函数解析式★｝如图，直线是一次函数的图象，且经过点和点．（1）求直线的表达式；（2）求直线与两坐标轴所围成的三角形的面积．｛确定一次函数解析式★｝如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则直线的解析式为．｛确定一次函数解析式★｝已知与成正比例，当时，．（1）求与之间的函数关系式；（2）当时，求自变量的值．｛确定一次函数解析式★｝如图，已知一次函数的图象经过点和点，并且交轴于点．（1）求该一次函数的解析式和点的坐标；（2）求的面积．｛确定一次函数解析式★｝如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，线段的中点为．将沿直线折叠，使点与点重合，直线与轴交于点．（1）求此一次函数的解析式；（2）求点的坐标．（2021•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点，．以为一边在第一象限作正方形，则对角线所在直线的解析式为A． B． C． D．（2021•乐山）如图，已知直线与坐标轴分别交于、两点，那么过原点且将的面积平分的直线的解析式为A． B． C． D．如图，在平面直角坐标系中，菱形的一个顶点在原点处，且，点的坐标是，则直线的表达式是．考点3：一次函数图像的平移规律：“左加右减，上加下减”①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h.｛一次函数的平移★｝将直线向右平移1个单位，再向上平移1个单位后，所得直线的表达式为A． B． C． D．｛一次函数的平移★｝在平面直角坐标系中，将直线绕原点顺时针旋转后得到的直线的表达式为．｛一次函数的平移★｝已知直线与直线关于轴对称，则，．｛一次函数的平移★｝将直线先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到的直线解析式是．｛一次函数的平移★｝直线沿轴向右平移2个单位，再沿轴向下平移3个单位所得直线解析式为｛一次函数的平移★｝将直线向上平移2个单位，再向左平移1个单位长度后，所得直线的解析式是．（2021•陕西）在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位，平移后的直线经过点，则的值为A． B．1 C． D．5（2021•桂林）如图，与图中直线关于轴对称的直线的函数表达式是．（2020•广安）一次函数的图象过点，将函数的图象向上平移5个单位长度，所得函数的解析式为．考点4：一次函数与方程不等式的关系（1）一次函数与方程：一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交点的横坐标.（2）一次函数与方程组：二元一次方程组的解两个一次函数和图象的交点坐标.（3）一次函数与不等式（1）函数y=kx+b的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的解集（2）函数y=kx+b的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＜0的解集｛一次函数与方程★｝已知函数的部分函数值如表所示，则关于的方程的解是153A． B． C． D．｛一次函数与方程★｝如图，直线与相交于点，则关于，的方程组的解是A． B． C． D．｛一次函数与不等式★｝已知一次函数为常数，且和．当时，，则的取值范围是A．且 B． C． D．且｛一次函数与不等式★★｝一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②；③当时，中，正确的个数是A．3 B．2 C．1 D．0｛一次函数与方程★｝一次函数与的部分自变量和对应函数值如表：0121234501252则关于的不等式的解集是A． B． C． D．｛一次函数与方程★｝直线与相交于点，则关于，的二元一次方程组的解为．｛一次函数与不等式★｝如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式组的解集为．（2021•贺州）直线过点，，则关于的方程的解为A． B． C． D．（2021•福建）如图，一次函数的图象过点，则不等式的解集是A． B． C． D．（2020•益阳）一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是A．B．C．随的增大而减小 D．当时，考点5：一次函数的应用1.一般步骤：（1）设出实际问题中的变量；（2）建立一次函数关系式；（3）利用待定系数法求出一次函数关系式；（4）确定自变量的取值范围；（5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；（6）做答.2.常见题型（1）求一次函数的解析式.（2）利用一次函数的性质解决方案问题.｛一次函数的应用★｝东东和爸爸一起出去运动，两人同时从家出发，沿相同路线前行，途中爸爸有事返回，东东继续前行，5分钟后也原路返回，两人恰好同时到家．东东和爸爸在整个运动过程中离家的路程（米，（米与运动时间（分之间的函数关系如图所示，下列结论中正确的是①两人前行过程中的速度为200米分；②的值是15，的值是3000；③东东开始返回时与爸爸相距1500米；④运动18分钟或30分钟时，两人相距900米．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④｛一次函数的应用★★｝甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米与甲出发的时间（分之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米分；②乙走完全程用了36分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300米．其中正确的结论有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个｛一次函数的应用★★｝甲、乙两人分别从笔直道路上的、两地出发相向匀速而行，已知甲比乙先出发6分钟，两人在地相遇，相遇后甲立即按原速原路返回地，乙继续向地前行，约定先到地者停止运动就地休息．若甲、乙两人相距的路程（米与甲行走的时间（分钟）之间的关系如图所示，有下列说法：①甲的速度是60米分钟，乙的速度是80米分钟；②甲出发30分钟时，两人在地相遇；③乙到达地时，甲与地相距450米，其中正确的说法有A．0个 B．1个 C．2个 D．3个｛一次函数的应用★★｝星期六下午，小张和小王同时从学校沿相同的路线去书店买书，小王出发4分钟后发现忘记带钱包，立即调头按原速原路回学校拿钱包，小王拿到钱包后，以比原速提高的速度按原路赶去书店，结果还是比小张晚4分钟到书店（小王拿钱包的时间忽略不计）．在整个过程中，小张保持匀速运动，小王提速前后也分别保持匀速运动，如图所示是小张与小王之间的距离（米与小王出发的时间（分钟）之间的函数图象，则学校到书店的距离为米．｛一次函数的应用★★｝快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的距离与它们的行驶时间之间的函数关系．以下结论：①快车途中停留了；②快车速度比慢车速度多；③图中；④快车先到达目的地．其中正确的是．（将正确答案的序号填在横线上）｛一次函数的应用★★｝某商店购进甲，乙两种商品，甲的进货单价比乙的进货单价高10元，已知20个甲商品的进货总价与30个乙商品的进货总价相同．（1）求甲、乙商品的进货单价；（2）若甲、乙两种商品共进货100件，甲商品按进价提高后的价格销售，乙商品按进价提高后的价格销售，若甲、乙两种商品全部售完，设甲商品进货件，利润为，求关于的函数关系式；（3）在条件（2）下，要求两种商品全部售完后的销售总额不低于2950元，并且不再考虑其他因素，哪种方案利润最大？最大利润是多少？｛一次函数的应用★★｝甲、乙两车从地出发，沿同一路线驶向地，甲车先出发匀速驶向地，后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了，结果与甲车同时到达地．甲乙两车距地的路程与乙车行驶时间之间的函数图象如图所示，则下列说法：①；②甲的速度是；③乙刚开始的速度是；④乙出发第一次追上甲用时．其中正确的是A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④｛一次函数的应用★★｝春暖花开，万物复苏，同住美好佳苑小区的黄老师和蒋老师两家人相约自驾沿同一高速公路前往翠屏山公园踏青赏花．因为需要准备烧烤工具与食材，蒋老师比黄老师晚半小时出发，匀速行驶一段时间后，遇到其他车辆交通事故导致的堵点，原地停车等待了12分钟；而出发较早的黄老师一路畅通，匀速行驶抵达终点．为了尽快赶上黄老师，蒋老师在堵点疏通后，立刻加速以100千米小时匀速度向翠屏山公园赶去（两车上下高速时间与启动加速时间均忽略不计），在两车行驶的过程中，两车之间的距离（千米）与黄老师行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示，则蒋老师从家到翠屏山公园一共用了小时．｛一次函数的应用★★｝甲、乙两车从地出发，匀速驶向地．甲车以的速度行驶后乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达地并停留后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离与乙车行驶时间之间的函数关系如图所示，则．点的坐标．｛一次函数的应用★★｝小明的爸爸和小明早晨同时从家出发，以各自的速度匀速步行上班和上学，爸爸前往位于家正东方的公司，小明前往位于家正西方的学校，爸爸到达公司后发现小明的数学作业在自己的公文包里，于是立即跑步去小明，终于在途中追上了小明把作业给了他，然后再以先前的速度步行再回公司（途中给作业的时间忽略不计）．结果爸爸回到公司的时间比小明到达学校的时间多用了8分钟．如图是两人之间的距离（米与他们从家出发的时间（分钟）的函数关系图，则小明家与学校相距米．｛一次函数的应用★★｝某商店销售10台型和20台型电脑的利润为4000元，销售20台型和10台型电脑的利润为3500元．（1）求每台型电脑和型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中型电脑的进货量不少于型电脑的3倍且不超过型电脑的4倍，设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元．①求关于的函数关系式；②该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？（2021•赤峰）甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人间的距离（米与乙出发的时间（秒之间的函数关系如图所示，则下列结论正确的个数是①乙的速度为5米秒；②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米；③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是；④乙到达终点时，甲距离终点还有68米．A．4 B．3 C．2 D．1（2021•德州）小亮从学校步行回家，图中的折线反映了小亮离家的距离（米与时间（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，给出以下结论：①他在前12分钟的平均速度是70米分钟；②他在第19分钟到家；③他在第15分钟离家的距离和第24分钟离家的距离相等；④他在第33分钟离家的距离是720米．其中正确的序号为．课堂总结：思维导图分层训练：课堂知识巩固1．（2022•鄂州模拟）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于的不等式的解集是A． B． C． D．2．（2022•安徽）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象可能是A．B．C． D．3．（2022•乐昌市一模）如图，一次函数的图象过点，则不等式的解集是A． B． C． D．4．（2022•佛山二模）若一次函数的图象过点、，则不等式的解集是A． B． C． D．5．（2022•于洪区二模）如图，若，且，则一次函数的大致图象是A． B． C． D．6．（2022•兰州模拟）已知关于，的方程组的解是，则直线与的交点在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．（2022•重庆模拟）一辆货车从甲地到乙地，一辆轿车从乙地到甲地，两车沿同一条笔直的公路分别从甲、乙两地同时出发，匀速行驶．两车离乙地的距离（单位：和两车行驶时间（单位：之间的关系如图所示．下列说法错误的是A．两车出发时相遇 B．甲、乙两地之间的距离是 C．货车的速度是 D．时，两车之间的距离是8．（2022•开州区模拟），两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地．甲、乙两人离开地的距离（单位：与时间（单位：间的关系如图所示，下列说法错误的是A．乙比甲提前出发 B．甲行驶的速度为 C．时，甲、乙两人相距 D．或时，乙比甲多行驶9．（2022•雁塔区校级模拟）一次函数的图象经过点，每当增加1个单位时，增加3个单位，则此时函数图象向上平移2个单位长度的表达式是A． B． C． D．10．（2021•德州）小亮从学校步行回家，图中的折线反映了小亮离家的距离（米与时间（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，给出以下结论：①他在前12分钟的平均速度是70米分钟；②他在第19分钟到家；③他在第15分钟离家的距离和第24分钟离家的距离相等；④他在第33分钟离家的距离是720米．其中正确的序号为．11．（2021•铁西区模拟）一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量与时间之间的关系如图所示，则每分钟的出水量为．12．（2020•南京）将一次函数的图象绕原点逆时针旋转，所得到的图象对应的函数表达式是．13．（2020•黔东南州）把直线向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后所得直线的解析式为．1．（2022•恩施州）如图1是我国青海湖最深处的某一截面图，青海湖水面下任意一点的压强（单位：与其离水面的深度（单位：的函数解析式为，其图象如图2所示，其中为青海湖水面大气压强，为常数且．根据图中信息分析（结果保留一位小数），下列结论正确的是A．青海湖水深处的压强为 B．青海湖水面大气压强为 C．函数解析式中自变量的取值范围是 D．与的函数解析式为2．（2022•玉林）龟兔赛跑之后，输了比赛的兔子决定和乌龟再赛一场．图中的函数图象表示了龟兔再次赛跑的过程表示兔子和乌龟从起点出发所走的时间，，分别表示兔子与乌龟所走的路程）．下列说法错误的是A．兔子和乌龟比赛路程是500米 B．中途，兔子比乌龟多休息了35分钟 C．兔子比乌龟多走了50米 D．比赛结果，兔子比乌龟早5分钟到达终点3．（2022•东莞市校级一模）如图，直线分别与轴、轴交于点和点，点，分别为线段，的中点，点为上一动点，当值最小时，点的坐标为A． B． C． D．4．（2022•周村区一模）如图，点的坐标是，点是以为直径的上的一动点，点关于点的对称点为点．当点在上运动时，所有这样的点组成的图形与直线有且只有一个公共点，则的值为A． B． C． D．5．（2022•靖西市模拟）对于实数，，我们定义符号，的意义为：当时，，；当时，，；如：，，，，若关于的函数为，，则该函数的最小值是A．2 B．1 C．0 D．6．（2022•长垣市一模）如图，在菱形中，，，点，在直线上，且点的坐标为，．将菱形绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第85次旋转结束时，点的坐标为A．， B． C． D．，7．（2022•增城区一模）如图所示，直线分别与轴、轴交于点、，以线段为边，在第二象限内作等腰直角，，则过、两点直线的解析式为A． B． C． D．8．（2022•三明模拟）在平面直角坐标系中，一次函数的图象为直线，在下列结论中：①无论取何值，直线一定经过某个定点；②过点作，垂足为，则的最大值是；③若与轴交于点，与轴交于点，为等腰三角形，则；④对于一次函数，无论取何值，始终有，则或．其中正确的是（填写所有正确结论的序号）．9．（2021•桐乡市一模）如图，已知一次函数的图象分别与轴，轴相交于点，，是直线上一点．当时，点的坐标是．10．（2022•沂源县一模）如图，四边形的顶点坐标分别为，，，，当过点的直线将四边形分成面积相等的两部分时，则直线的函数表达式为．11．（2022•昭化区模拟）2022年冬奥会已经圆满结束，但是人们对冬奥会吉祥物冰墩墩和冬残奥会吉祥物雪容融的喜爱只增不减．2022年1月初，某冬奥会吉祥物特许商品零售店销售冰墩墩和雪容融这两款毛绒玩具，当月售出了200个冰墩墩和100个雪容融，销售总额为28000元．2月售出了300个冰墩墩和200个雪容融，销售总额为46000元．（1）求冰墩墩和雪容融毛绒玩具的销售单价．（2）已知冰墩墩和雪容融毛绒玩具的成本分别为80元个和50元个．进入2022年3月后，这两款毛绒玩具持续热销，于是该特许商品零售店再次购进了这两款毛绒玩具共600个，其中雪容融毛绒玩具的数量不超过冰墩墩毛绒玩具的2倍，且购进总价不超过37200元．为回馈新老客户，该特许商品零售店决定对雪容融毛绒玩具降价后再销售，若3月购进的这两款毛绒玩具全部售出，当冰墩墩毛绒玩具购进多少个时，该特许商品零售店当月的销售利润最大？并求出最大利润．1．（2022•攀枝花）中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅西高速是连接雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高的山区高速公路之一，全长．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，线段表示货车离西昌距离与时间之间的函数关系：折线表示轿车离西昌距离与时间之间的函数关系，则以下结论错误的是A．货车出发1.8小时后与轿车相遇 B．货车从西昌到雅安的速度为 C．轿车从西昌到雅安的速度为 D．轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有2．（2022•钦州一模）定义一种运算：则函数的图象大致是A． B． C． D．3．（2022•定远县模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于、两点，以线段为边在右侧作等边三角形，边与轴交于点，边与轴交于点，点是轴上的一个动点，连接，，．下面的结论中，正确的是①；②；③当时，；④点的坐标为；⑤当时，；A．①③ B．②④⑤ C．①②③ D．①②③④⑤4．（2021•扬州）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，把直线绕点顺时针旋转交轴于点，则线段长为A． B． C． D．5．（2021•台儿庄区模拟）如图，已知点的坐标为，点的坐标为，，点在直线上运动，当最大时点的坐标为A． B． C．， D．6．（2022•竹山县模拟）一次函数的图象于轴、轴分别交于点，，点，分别是，的中点，是上一动点．当周长最小时，点的坐标为．7．（2022•岚山区一模）【探究发现】正方形的对角线长与它的周长及面积之间存在一定的数量关系．已知正方形的对角线长为，则正方形的周长为，面积为（都用含的代数式表示）．【拓展综合】如图1，若点、是某个正