专题13因式分解压轴题五种模型全

专题13因式分解压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"13"\h\u【典型例题】 1【考点一判断是否是因式分解】 1【考点二公因式及提提公因式分解因式】 2【考点三已知因式分解的结果求参数】 3【考点四运用公式法分解因式】 4【考点五运用分解因式求值】 7【过关检测】 8【典型例题】【考点一判断是否是因式分解】例题：（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据因式分解的定义是把一个多项式化为几个整式的积的形式的变形，可得答案．【详解】解：A．把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；B．没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；C．是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；D．是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式的变形是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·四川巴中·八年级统考期末）下列因式分解正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】依据因式分解的定义以及提公因式法和公式法分解因式，依次判断即可得到正确结论．【详解】解：A.，故原因式分解错误，不符合题意；B.，不能进行因式分解，故不符合题意；C.，故原因式分解错误，不符合题意；D.，因式分解正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了因式分解的知识，解决问题的关键是掌握提公因式法和公式法分解因式．2．（2023秋·河北石家庄·八年级统考期末）下列变形从左到右是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据因式分解的定义，逐一进行判断即可得到答案．【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意，选项错误；B、结果不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意，选项错误；C、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意，选项错误；D、是因式分解，符合题意，选项正确，故选D．【点睛】本题考查了因式分解得定义，解题关键是掌握因式分解是整式的变形，变形前后都是整式，且结果是积的形式．【考点二公因式及提提公因式分解因式】例题：（2022秋·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考阶段练习）把因式分解时，应提取的公因式是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据公因式的概念（多项式各项都含有的相同因式），即可求解．【详解】由题意得应该提取的公因式是：故选：D．【点睛】本题考查因式分解中公因式的概念，解题的关键是掌握公因式的概念．【变式训练】1．（2022秋·河南鹤壁·八年级校考期中）多项式的公因式是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据多项式的公因式的确定方法，即可求解．【详解】解：多项式的公因式是．故选：A．【点睛】本题考查了公因式的定义．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．2．（2023秋·福建宁德·八年级校考阶段练习）和的公因式是_______．【答案】【分析】直接找出公因式进而提取即可．【详解】解：．则公因式是：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．3．（2023秋·湖南长沙·九年级统考期末）分解因式：______．【答案】【分析】先提公因式，然后根据完全平方公式因式分解即可求解．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．【考点三已知因式分解的结果求参数】例题：（2022秋·湖南长沙·八年级湖南师大附中博才实验中学校考期末）分解因式：__________．【答案】【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察分解．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了用提公因式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．【变式训练】1．（2022秋·山东泰安·八年级校考阶段练习）若能分解成，则的值为______．【答案】【分析】根据多项式分解成，所以整式乘法得出的多项式与相同，由此得出一次项系数的值．【详解】解：，∵是由分解成的，∴一次项系数．故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握整式乘法与因式分解为互逆的运算过程是解题的关键．2．（2022·山东淄博·山东省淄博第六中学校考模拟预测）已知多项式分解因式为，则bc的值为______．【答案】24【分析】利用整式的乘法去括号合并同类项后，对比各项系数相等即可．【详解】∵分解因式为∴∴，∴故答案是24【点睛】本题考查多项式乘以多项式，以及多项式相等时对应各项系数相等，正确利用公式计算是关键．3．（2022秋·福建泉州·八年级福建省永春第三中学校联考期中）若多项式可分解为，则的值为______【答案】8【分析】先将的括号展开，求出a和b的值，代入求解即可．【详解】解：，∵，∴，解得：，∴．故答案为：8．【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式的法则．【考点四运用公式法分解因式】例题：（2023秋·山西晋城·八年级统考期末）（1）因式分解：（2）因式分解：【答案】（1）；（2）【分析】（1）先提取公因式，然后利用平方差公式继续进行分解；（2）首先分组，进而利用完全平方公式以及平方差公式分解因式即可得出答案．【详解】解：（1）；（2）．【点睛】本题考查分组分解法分解因式，提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．解题的关键正确分组、熟练掌握完全平方公式和平方差公式．【变式训练】1．（2023秋·湖北荆门·八年级统考期末）因式分解(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用平方差公式因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解；（2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解．【详解】（1）解：（2）解：【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．2．（2023秋·湖北十堰·八年级统考期末）因式分解：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）提公因式法分解因式即可；（2）先提公因式，再用平方差公式分解因式即可．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题主要考查了分解因式，解题的关键是熟练掌握平方差公式．3．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期末）分解因式：(1)(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）通过添括号，将转化为，再利用平方差公式进行分解因式即可求解．（2）将转化为，先提出公因式，再利用十字相乘法进行分解因式即可求解．【详解】（1）（2）【点睛】本题考查分解因式的方法，解题的关键是掌握提公因式法，公式法和十字相乘法．【考点五运用分解因式求值】例题：（2022·四川成都·八年级期末）已知：a+b=3，ab=2，则_____．【答案】9【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解，将已知等式整体代入计算即可求出值．【详解】解：∵a+b=3，ab=2，∴=9，故答案为：9．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．【变式训练】1．（2023秋·新疆乌鲁木齐·八年级新疆生产建设兵团第一中学校考期末）已知，，则代数式的值为__________．【答案】【分析】原式提取公因式，将已知等式代入计算即可求出值．【详解】解：，，，故答案为：．【点睛】本题考查了提公因式法的运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．2．（2022秋·甘肃酒泉·七年级校考期中）数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．例如，已知：，则代数式．请你根据以上材料解答以下问题：(1)若，则______；(2)当，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据整体思想对分解因式即可得到结果；（2）利用整体思想对加减，再提公因式即可得出结果．【详解】（1）解：∵∴故答案为：2；（2）解：∵∴.【点睛】本题考查了运用整体思想方法求代数式的值，利用因式分解对所求式子进行化简是解题的关键．【过关检测】一、选择题1．（2023春·浙江·七年级专题练习）把多项式分解因式，结果正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】运用提公因式法分解因式即可．【详解】解：，故选：D．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法（常用提公因式，公式法）是解题的关键．2．（2023春·江苏·七年级期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据因式分解的定义解答即可．【详解】A.从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B.从左至右的变形属于整式乘法且计算错误，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C.从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；D.右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查的是因式分解，熟知把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式是解题的关键．3．（2023·河北保定·统考一模）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（

）A．都是乘法运算 B．都是因式分解C．①是乘法运算，②是因式分解 D．①是因式分解，②是乘法运算【答案】C【分析】根据整式的混合运算，结合整式乘法与因式分解定义对题中运算进行判定即可得到答案．【详解】解：①属于整式乘法，是利用平方差公式进行计算；②属于因式分解，是利用提公因式法进行因式分解；故选：C．【点睛】本题考查整式混合运算，涉及平方差公式及提公因式法因式分解，熟练掌握整式乘法及因式分解的定义是解决问题的关键．4．（2023春·浙江·七年级专题练习）若是多项式因式分解的结果，则的值为（

）．A． B．3 C． D．6【答案】C【分析】先计算，由即可求得的值．【详解】解：，由题意得，，，，故选：C．【点睛】本题考查了多项式乘多项式，因式分解的定义，熟练掌握多项式的运算法则是解题的关键．5．（2023春·七年级单元测试）若能分解成两个一次因式的积，则的值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】首先设原式，进而求出即可．【详解】解：原式故，，，解得：，，或，，，∴．故选C．【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确得出等式是解题关键．6．（2023春·浙江·七年级专题练习）下列因式分解：①；②；③；④，其中结果正确的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】根据因式分解逐项分析判断即可求解．【详解】解：①，故①不正确；②，故②正确；③，故③正确；④，故④正确,∴正确的有3个，故选：B．【点睛】本题考查了因式分解，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．二、填空题7．（2023春·浙江·七年级专题练习）单项式与的公因式是___________．【答案】##【分析】根据公因式的确定方法：①系数取最小公倍数②字母取公共的字母③字母指数取最小的，即可写出答案．【详解】解：∵与中都含有，∴与的公因式为．故答案是：．【点睛】本题主要考查了公因式的确定，关键是正确把握公因式的确定方法．8．（2022秋·云南德宏·八年级统考期末）因式分解：______．【答案】【分析】先提出公因式，然后根据，即可．【详解】．【点睛】本题考查因式分解的知识，解题的关键是掌握提因式分解的方法：公式法和提公因式法．9．（2023春·八年级课时练习）已知，，则的值是________．【答案】【分析】对式子进行因式分解，再整体代入求解即可．【详解】解：，将，代入可得，原式，故答案为：【点睛】此题考查了因式分解，代数式求值，解题的关键是掌握因式分解的方法，利用整体代入进行求解．10．（2023春·七年级课时练习）下列从左到右的变形中，是因式分解的有___________.①(x＋5)(x－5)＝x2－25②x2－9＝(x＋3)(x－3)③x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)④9x2－6x＋1＝3x(3x－2)＋1⑤x＋1＝x(1＋)⑥3xn＋2＋27xn＝3xn(x2＋9)【答案】②③⑥【详解】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，根据因式分解的定义可得②③⑥属于因式分解.11．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）已知，则的值为___________．【答案】1【分析】先提出前两项的公因式，原式可变形为，再把代入，可得，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解．【详解】解：∵，∴．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，利用整体代入思想解答是解题的关键．12．（2023春·七年级单元测试）甲、乙两个同学分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，则正确的分解结果为_____．【答案】【分析】根据题意分别运算和，确定、的值，然后进行因式分解即可．【详解】解：∵甲看错了，分解结果为，∴由，可知，又∵乙看错了，分解结果为，∴由，可知，∴，∵，∴正确的分解结果为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了整式乘法运算以及因式分解的知识，解决本题的关键是理解题意，求出、的值．三、解答题13．（2023春·浙江·七年级专题练习）下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为什么？（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）从左到右不是因式分解，是整式乘法；（2）是因式分解；（3）不是因式分解，因为最后结果不是几个整式的积的形式；（4）是因式分解．【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式叫做因式分解，也叫分解因式，逐一判断即可．【详解】解：（1），从左到右不是因式分解，是整式乘法；（2），是因式分解；（3），不是因式分解，因为最后结果不是几个整式的积的形式；（4），是因式分解．【点睛】本题考查了多项式的因式分解，属于基础概念题型，熟知因式分解的定义是关键．14．（2023秋·四川眉山·八年级统考期末）分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用完全平方公式进行分解因式即可得到答案；（2）利用完全平方公式进行分解因式即可得到答案．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．【点睛】本题考查了因式分解，完全平方公式，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．15．（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）利用因式分解计算：(1)(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）提取公因数，进行计算即可得；（2）提取公因数，运用平方差公式进行计算即可得．【详解】（1）解：原式．（2）解：原式．【点睛】本题考查了因式分解，平方差公式，解题的关键是掌握这些知识点，正确计算．16．（2023春·江苏·七年级期中）分解因式(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先提取公因式，再套用平方差公式；（2）先用完全平方公式，再用平方差公式．【详解】（1）原式；（2）原式．【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和因式分解法是解决本题的关键．17．（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）因式分解：(1)；(2)；(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）逆用平方差公式进行因式分解．（2）先变形，再运用提公因式法进行因式分解．（3）先提取公因式，再逆用完全平方公式进行因式分解．【详解】（1）；（2）；（3）．【点睛】本题主要考查运用提公因式法、公式法进行因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法是解决本题的关键．18．（2023秋·宁夏石嘴山·八年级统考期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．解：设，原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）回答下列问题：(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______．A．提取公因式；B．平方差公式；C．两数和的完全平方公式；D．两数差的完全平方公式．(2)该同学因式分解的结果是否彻底_______．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_____．(3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．【答案】(1)C(2)不彻底；(3)【分析】（1）完全平方式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差；（2）还可以分解，所以是不彻底；（3）按照例题的分解方法进行分解即可．【详解】（1）解：由是利用了两数和的完全平方公式，故C正确；故选：C．（2）解：∵，∴该同学因式分解的结果不彻底，最后结果为：．故答案为：不彻底；．（3）解：设，原式．【点睛】本题主要考查了运用公式法分解因式和学生的模仿理解能力，按照题干提供的方法和样式解答即可．19．（2023春·浙江·七年级专题练习）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．解：设另一个因式为，得，则，∴，解得：，，∴另一个因式为，m的值为．问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．【答案】另一个因式为，的值为．【分析】根据例题的方法进行计算即可求解．【详解】解：设另一个因式为，得：，则∴解得：，∴另一个因式为，的