2024-2025学年沪教版初中数学九年级（上）教案 第23章 解直角三角形23.2解直角三角形及其应用（第2课时）

第23章解直角三角形23.2解直角三角形及其应用第2课时仰角、俯角与方位角教学目标比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角、方位角有关的实际问题.教学重难点难点：选用恰当的直角三角形，解题思路分析.教学过程旧知回顾1.什么是解直角三角形？答：在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.2.在下列所给的直角三角形中，不能求出解的是(B)A.已知一直角边和所对的锐角B.已知一直角和斜边C.已知两直角边D.已知斜边和一锐角新知讲解一、仰角与俯角的定义阅读教材第126页的内容，回答以下问题：什么是仰角和俯角？答：在进行高度测量时，由视线与水平线所夹的角中，当视线在水平线上方时叫做仰角，当视线在水平线下方时叫做俯角.巧记：上仰下俯.例如图，一学生要测量校园内一棵水杉树的高度.他站在距离水杉树8m的E处，测得树顶的仰角∠ACD＝52°，已知测角器的架高CE＝1.6m，问树高AB为多少米？(精确到0.1m)解：在Rt△ACD中，∠ACD＝52°，CD＝EB＝8m.由tan∠ACD＝eq\f(AD,CD)，得AD＝CD·tan∠ACD＝8×tan52°＝8×1.2799≈10.2（m）.由DB＝CE＝1.6m，得AB＝AD＋DB＝10.2＋1.6＝11.8（m）.答：树高AB为11.8m.【归纳】利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程：1.将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；2.根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；3.得到数学问题的答案；4.得到实际问题的答案.二、方位角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方位角.认识方位角：如图，（1）正东方向：射线OA正南方向：射线OB正西方向：射线OC正北方向：射线OD（2）西北方向：射线OE西南方向：射线OF东南方向：射线OG东北方向：射线OH（3）如图，南偏西25°：射线OA北偏西70°：射线OB南偏东60°：射线OC（方向角通常都写成：北偏……，南偏……的形式.）在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，那么有没有触礁的危险？解：如图，过点A作BD的垂线交BD的延长线于点F，则∠AFD＝90°.由题意可知∠DAF＝30°.设DF＝x（x>0），则AD＝2x.在Rt△ADF中，根据勾股定理得AF＝.在Rt△ABF中，tan∠ABF＝，即tan30°＝，解得x＝6，∴AF＝∵10.4>8，∴没有触礁危险.课堂练习1.如图，∠C＝∠DEB＝90°，FB∥AC，从A看D的仰角是；从B看D的俯角是；从A看B的角是；从D看B的角是；从B看A的角是.

2.飞机A在目标B正上方1000m处，飞行员测得地面目标C的俯角为30°，则地面目标B，C之间的距离是________.3.如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC＝_________米.4.如图，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为________米.第3题第4题5.如图，A，B两城市相距200km，现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上.已知森林保护区的范围在以P点为圆心100km为半径的圆形区域内.请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：≈1.73，≈1.414).参考答案1.∠2∠FBD仰∠BAC仰∠3俯∠12.1000eq\r(,3)m3.1004.20eq\r(,3)5.解：过点P作PC⊥AB，C为垂足，则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.∵AC+BC＝AB，∴PC·tan30°+PC·tan45°＝200，即PC+PC＝200，解得PC≈126.8km>100km.答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区.师生共同归纳解题方法：解此类问题，先要找到合适的直角三角形，然后根据已