杨村第一中学2025届高二数学第一学期期末综合测试试题含解析

杨村第一中学2025届高二数学第一学期期末综合测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．数列的一个通项公式为（）A. B.C. D.2．在正三棱锥中，，且，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的余弦值为（）A. B.C. D.3．椭圆的焦点坐标是（）A.（±4，0） B.（0，±4）C.（±5，0） D.（0，±5）4．直线的倾斜角为（）A.150° B.120°C.60° D.30°5．若圆的半径为，则实数（）A. B.-1C.1 D.6．某商场为了解销售活动中某商品销售量与活动时间之间的关系，随机统计了某次销售活动中的商品销售量与活动时间，并制作了下表：活动时间销售量由表中数据可知，销售量与活动时间之间具有线性相关关系，算得线性回归方程为，据此模型预测当时，的值为（）A B.C. D.7．已知抛物线的方程为，则此抛物线的准线方程为（）A. B.C. D.8．有关椭圆叙述错误的是（）A.长轴长等于4 B.短轴长等于4C.离心率为 D.的取值范围是9．已知，则a，b，c的大小关系为（）A. B.C. D.10．已知、，直线，，且，则的最小值为（）A. B.C. D.11．已知抛物线C：的焦点为F，过点P（-1，0）且斜率为的直线l与抛物线C相交于A，B两点，则（）A. B.14C. D.1512．如图，O是坐标原点，P是双曲线右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QF⊥FR，且，则E的离心率为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知椭圆的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，左、右焦点分别是，，且的面积为，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围是______.14．已知，，，…，为抛物线：上的点，为抛物线的焦点．在等比数列中，，，，…，．则的横坐标为__________15．若，是双曲线与椭圆的共同焦点，点P是两曲线的一个交点，且为等腰三角形，则该双曲线的渐近线为______16．已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知命题p：集合为空集，命题q：不等式恒成立（1）若p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若为真命题，为假命题，求实数a的取值范围18．（12分）已知圆M的方程为.（1）写出圆M的圆心坐标和半径；（2）经过点的直线l被圆M截得弦长为，求l的方程.19．（12分）如图，在梯形中，，，四边形为矩形，且平面，.（1）求证：平面；（2）点在线段含端点上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.20．（12分）设点，动圆P经过点F且和直线相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线W（1）求曲线W的方程；（2）直线与曲线W交于A、B两点，其中O为坐标原点，已知点T的坐标为，记直线TA，TB的斜率分别为，，则是否为定值，若是求出，不是说明理由21．（12分）如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，为的中点.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值.22．（10分）已知各项为正数的等比数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据规律，总结通项公式，即可得答案.【详解】根据规律可知数列的前三项为，所以该数列一个通项公式为故选：A2、B【解析】由题意可得两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解【详解】因为，所以两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为，所以,因为M，N分别为BC，AD的中点，所以，所以，设直线AM和CN所成的角为，则,所以直线AM和CN夹角的余弦值为，故选：B3、A【解析】根据椭圆的方程求得的值，进而求得椭圆的焦点坐标，得到答案.【详解】由椭圆，可得，则，所以椭圆的焦点坐标为和.故选：A.4、D【解析】由斜率得倾斜角【详解】直线的斜率为，所以倾斜角为30°.故选：D5、B【解析】将圆的方程化为标准方程，即可求出半径的表达式，从而可求出的值.【详解】由题意，圆的方程可化为，所以半径为，解得.故选：B.【点睛】本题考查圆的方程，考查学生的计算求解能力，属于基础题.6、C【解析】求出样本中心点的坐标，代入回归直线方程，求出的值，再将代入回归方程即可得解.【详解】由表格中的数据可得，，将样本中心点的坐标代入回归直线方程可得，解得，所以，回归直线方程为，故当时，.故选：C.7、A【解析】由抛物线的方程直接写出其准线方程即可.【详解】由抛物线的方程为，则其准线方程为：故选：A8、A【解析】根据题意求出，进而根据椭圆的性质求得答案.【详解】椭圆方程化为：，则，则长轴长为8，短轴长为4，离心率，x的取值范围是.即A错误，B,C,D正确.故选：A.9、A【解析】根据给定条件构造函数，再探讨其单调性并借助单调性判断作答.【详解】令函数，求导得，当时，，于是得在上单调递减，而，则，即，所以，故选：A10、D【解析】先由，可得，变形得，所以，化简后利用基本不等式求解即可【详解】因为、，直线，，且，所以，即，所以，所以，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为，故选：D11、C【解析】设A、B两点的坐标分别为，，根据抛物线的定义求出，然后将直线的方程代入抛物线方程并化简，进而结合根与系数的关系求得答案.【详解】设A、B两点坐标分别为，，直线的方程为，抛物线的准线方程为：，由抛物线定义可知：.联立方程，消去y后整理为，可得，，.故选：C.12、B【解析】令双曲线E的左焦点为，连线即得，设，借助双曲线定义及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解.【详解】如图，令双曲线E的左焦点为，连接，由对称性可知，点线段中点，则四边形是平行四边形，而QF⊥FR，于是有是矩形，设，则，，，在中，，解得或m＝0（舍去），从而有，中，，整理得，，所以双曲线E的离心率为故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据的面积和短轴长得出a，b，c的值，从而得出的范围，得到关于的函数，从而求出答案【详解】由已知得，故，∵的面积为，∴，∴，又，∴，，∴，又，∴，∴.即的取值范围为.故答案为点睛】本题考查了椭圆的简单性质，函数最值的计算，熟练掌握椭圆的基本性质是解题的关键，属于中档题14、【解析】利用在抛物线上可求得，结合等比数列的公比可求得，利用抛物线的焦半径公式即可求得结果.【详解】在抛物线上，，解得：，抛物线；数列为等比数列，又，，公比，，即，解得：，即的横坐标为.故答案为：.15、【解析】根据给定条件求出两曲线的共同焦点，再由椭圆、双曲线定义求出a，b即可计算作答.【详解】椭圆的焦点，由椭圆、双曲线的对称性不妨令点P在第一象限，因为等腰三角形，由椭圆的定义知：，则，，由双曲线定义知：，即，，，所以双曲线的渐近线为：.故答案为：【点睛】易错点睛：双曲线(a>0,b>0)渐近线方程为，而双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为(即)，应注意其区别与联系.16、（1）；（2）.【解析】（1）根据，且，，成等比数列，利用等比中项由，求得公差即可.（2）由（1）得到，再利用裂项相消法求解.【详解】（1）设数列的公差为d，因为，且，，成等比数列，所以，即，解得或（舍去），所以数列的通项公式；（2）由（1）知：，所以.【点睛】方法点睛：求数列的前n项和的方法(1)公式法：①等差数列的前n项和公式，②等比数列的前n项和公式；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）根据判别式小于0可得；（2）根据复合命题的真假可知，p和q有且只有一个真命题，然后根据相应范围通过集合运算可得.【小问1详解】因为集合为空集，所以无实数根，即，解得，所以p为真命题时，实数a取值范围为.【小问2详解】由解得：，即命题q为真时，实数a的取值范围为，易知p为假时，a的取值范围为，q为假时，a的取值范围为.因为为真命题，为假命题，则p和q有且只有一个真命题，当p为假q为真时，实数a的取值范围为；当p为真q为假时，实数a的取值范围为.综上，实数a的取值范围为18、（1）圆心坐标为，半径为2（2）或【解析】（1）求得圆的标准方程，从而求得圆心和半径.（2）根据直线的斜率存在和不存在进行分类讨论，由此求得的方程.【小问1详解】圆的标准方程为：.所以圆M的圆心坐标为，半径为2.【小问2详解】因为圆M半径为2，直线l被圆M截得弦长为，由垂径定理可知M到直线距离为1.当l不垂直于轴时，设，即，则.解得，于是l的方程为，即.当l垂直于轴时，到点M的距离为1.综上，l的方程为，或.19、（1）证明见解析（2）点与点重合时，二面角的余弦值为【解析】（1）先利用平面几何知识和余弦定理得到及各边长度，利用线面平行的性质和判定定理得到线面垂直，再利用线线平行得到线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，设，写出相关点的坐标，得到相关向量的坐标，利用平面的法向量夹角求出二面角的余弦值，再通过二次函数的最值进行求解.【小问1详解】证明：在梯形中，因为，，又因为，所以,，所以，即，解得，，所以，即.因为平面，平面，所以，而平面平面，所以平面.因为，所以平面.【小问2详解】解：分别以直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系（如图所示），设，则，所以，设为平面的一个法向量，由得，取，则，又是平面的一个法向量，设平面与平面所成锐二面角为，所以因为，所以当时，有最小值为，所以点与点重合时，平面与平面所成二面角最大，此时二面角的余弦值为.20、（1）；（2）是定值，.【解析】(1)根据给定条件结合抛物线定义直接求解作答.(2)联立直线与抛物线方程，借助韦达定理、斜率坐标公式计算作答.【小问1详解】过点P作直线的垂线，垂足为点N，依题意，，则动点P的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线W的方程是.【小问2详解】设，，由消去x并整理得：，则，，因，，则，，因此，所以.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值21、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）利用面面垂直和线面垂直的性质定理可证得；由菱形边长和角度的关系可证得；利用线面垂直的判定定理可证得结论；（2）以为坐标原点建立起空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值.详解】（1）平面平面，平面平面，且平面，平面