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文档简介
北京市西城区41中2025届高二上数学期末调研试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.甲、乙两名同学同时从教室出发去体育馆打球(路程相等),甲一半时间步行,一半时间跑步;乙一半路程步行,一半路程跑步.如果两人步行速度、跑步速度均相等,则()A.甲先到体育馆 B.乙先到体育馆C.两人同时到体育馆 D.不确定谁先到体育馆2.已知直线为抛物线的准线,直线经过抛物线的焦点,与抛物线交于点,则的最小值为()A. B.C.4 D.83.已知、分别是椭圆的左、右焦点,A是椭圆上一动点,圆C与的延长线、的延长线以及线段相切,若为其中一个切点,则()A. B.C. D.与2的大小关系不确定4.从椭圆的一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点;从双曲线的一个焦点发出的光线,经过双曲线反射后,反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①,一个光学装置由有公共焦点的椭圆与双曲线构成,现一光线从左焦点发出,依次经与反射,又回到了点,历时秒;若将装置中的去掉,如图②,此光线从点发出,经两次反射后又回到了点,历时秒;若,则的长轴长与的实轴长之比为()A. B.C. D.5.如图为学生做手工时画的椭圆(其中网格是由边长为1的正方形组成),它们的离心率分别为,则()A. B.C. D.6.已知直线,,点是抛物线上一点,则点到直线和的距离之和的最小值为()A.2 B.C.3 D.7.已知实数满足,则的取值范围()A.-1m B.-1m<0或0<mC.m或m-1 D.m1或m-18.数列,则是这个数列的第()A.项 B.项C.项 D.项9.如图,直三棱柱的所有棱长均相等,P是侧面内一点,设,若P到平面的距离为2d,则点P的轨迹是()A.圆的一部分 B.椭圆的一部分C.抛物线的一部分 D.双曲线的一部分10.已知集合,则()A. B.C. D.11.已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则下列命题一定为真命题的是()A.∀x∈R,f(-x)≠f(x)B.∀x∈R,f(-x)≠-f(x)C∃x0∈R,f(-x0)≠f(x0)D.∃x0∈R,f(-x0)≠-f(x0)12.已知“”的必要不充分条件是“或”,则实数的最小值为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知,若在区间上有且只有一个极值点,则a的取值范围是______14.数学家华罗庚说:“数缺形时少直观,形少数时难入微”,事实上,很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如:与相关的代数问题,可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点:对于函数,的最小值为______15.已知双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2,则双曲线的离心率为___________.16.桌面排列着100个乒乓球,两个人轮流拿球装入口袋,能拿到第100个乒乓球人为胜利者.条件是:每次拿走球的个数至少要拿1个,但最多又不能超过5个,这个游戏中,先手是有必胜策略的,请问:如果你是最先拿球的人,为了保证最后赢得这个游戏,你第一次该拿走___个球三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某高校自主招生考试分笔试与面试两部分,每部分考试成绩只记“通过”与“不通过”,两部分考试都“通过”者,则考试“通过”,并给予录取.甲、乙两人在笔试中“通过”的概率依次为,在面试中“通过”的概率依次为,笔试和面试是否“通过”是独立的,那么(1)甲、乙两人都参加此高校的自主招生考试,谁获得录取的可能性大?(2)甲、乙两人都参加此高校的自主招生考试,求恰有一人获得录取的概率.18.(12分)三棱锥中,,,,直线与平面所成的角为,点在线段上.(1)求证:;(2)若点在上,满足,点满足,求实数使得二面角的余弦值为.19.(12分)在平面直角坐标系中,圆C:,直线l:(1)若直线l与圆C相切于点N,求切点N的坐标;(2)若,直线l上有且仅有一点A满足:过点A作圆C的两条切线AP、AQ,切点分别为P,Q,且使得四边形APCQ为正方形,求m的值20.(12分)如图,正三棱柱的侧棱长为,底面边长为,点为的中点,点在直线上,且(1)证明:面;(2)求平面和平面夹角的余弦值21.(12分)已知是公差不为零等差数列,,且、、成等比数列(1)求数列的通项公式:(2)设.数列{}的前项和为,求证:22.(10分)求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点坐标为,且经过点;(2)焦点在坐标轴上,经过点.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】设出总路程与步行速度、跑步速度,表示出两人所花时间后比较不等式大小【详解】设总路程为,步行速度,跑步速度对于甲:,得对于乙:,当且仅当时等号成立,而,故,乙花时间多,甲先到体育馆故选:A2、D【解析】先求抛物线的方程,再联立直线方程和抛物线方程,由弦长公式可求的最小值.【详解】因为直线为抛物线的准线,故即,故抛物线方程为:.设直线,则,,而,当且仅当等号成立,故的最小值为8,故选:D.3、A【解析】由题意知,圆C是的旁切圆,点是圆C与轴的切点,设圆C与直线的延长线、分别相切于点、,由切线的性质可知:,,,结合椭圆的定义,即可得出结果.【详解】由题意知,圆C是的旁切圆,点是圆C与轴的切点,设圆C与直线的延长线、分别相切于点、,则由切线的性质可知:,,,所以,所以,所以.故选A【点睛】本题主要考查圆与圆锥曲线的综合,熟记椭圆的定义,以及切线的性质即可,属于常考题型.4、D【解析】在图①和图②中,利用椭圆和双曲线的定义,分别求得和的周长,再根据光速相同,且求解.【详解】在图①中,由椭圆的定义得:,由双曲线的定义得,两式相减得,所以的周长为,在图②中,的周长为,因为光速相同,且,所以,即,所以,即的长轴长与的实轴长之比为,故选:D5、D【解析】根据图知分别得到椭圆、、的半长轴和半短轴,再由求解比较即可.【详解】由图知椭圆的半长轴和半短轴分别为:,椭圆的半长轴和半短轴分别为:,椭圆的半长轴和半短轴分别为:,所以,,,所以,故选:D6、C【解析】由抛物线的定义可知点到直线和的距离之和的最小值即为焦点到直线的距离.【详解】解:由题意,抛物线的焦点为,准线为,所以根据抛物线的定义可得点到直线的距离等于,所以点到直线和的距离之和的最小值即为焦点到直线的距离,故选:C.7、C【解析】把看成动点与所确定的直线的斜率,动点在所给曲线上.【详解】就是点,所确定的直线的斜率,而在上,因为,.故选:C8、A【解析】根据数列的规律,求出通项公式,进而求出是这个数列的第几项【详解】数列为,故通项公式为,是这个数列的第项.故选:A.9、B【解析】取的中点,得出平面,作,在直角中,求得,以为原点,为轴,为轴建立平面直角坐标系,求得点的轨迹方程,即可求解.【详解】如图所示,取的中点,连接,得到平行于平面且过点的平面,如图(1)(2)所示,作,则P1与E重合,则,在直角中,可得,在图(3)中,设直三棱柱的所有棱长均为,且,以为原点,为轴,为轴建立平面直角坐标系,则,所以,即所以,整理得,所以点P的轨迹是椭圆的一部分.故选:B.10、C【解析】解一元二次不等式求集合A,再由集合的交运算求即可.【详解】由题设,,∴.故选:C.11、C【解析】利用偶函数的定义和全称命题的否定分析判断解答.【详解】∵定义域为R的函数f(x)不是偶函数,∴∀x∈R,f(-x)=f(x)为假命题,∴∃x0∈R,f(-x0)≠f(x0)为真命题.故选C【点睛】本题主要考查偶函数的定义和全称命题的否定,意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题.12、A【解析】首先解不等式得到或,根据题意得到,再解不等式组即可.【详解】,解得或,因为“”的必要不充分条件是“或”,所以.实数的最小值为.故选:A二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】求导得,进而根据题意在上有且只有一个变号零点,再根据零点的存在性定理求解.【详解】解:,∵在区间上有且只有一个极值点,∴在上有且只有一个变号零点,∴,解得∴a的取值范围是.故答案为:14、【解析】根据题意得,表示点与点与距离之和的最小值,再找对称点求解即可.【详解】函数,表示点与点与距离之和的最小值,则点在轴上,点关于轴的对称点,所以,所以的最小值为:.故答案为:.15、或2【解析】由圆的方程有圆心,半径为,讨论双曲线的焦点分别在x或y轴上对应的渐近线方程,根据已知及弦长与半径、弦心距的几何关系得到双曲线参数的齐次方程,即可求离心率.【详解】由题设,圆的标准方程为,即圆心,半径为,若双曲线为时,渐近线为且,所以圆心到双曲线渐近线的距离为,由弦长、弦心距、半径的关系知:,故,得:,又,所以,故.若双曲线为时,渐近线为且,所以圆心到双曲线渐近线的距离为,由弦长、弦心距、半径的关系知:,故,得:,又,所以,故.综上,双曲线的离心率为或2.故答案为:或2.16、4【解析】根据题意,由游戏规则,结合余数的性质,分析可得答案【详解】解:根据题意,第一次该拿走4个球,以后的取球过程中,对方取个,自己取个,由于,则自己一定可以取到第100个球.故答案为:4三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)甲获得录取的可能性大;(2)【解析】(1)利用独立事件的乘法公式求出甲、乙两人被录取的概率并比较大小,即得结果.(2)应用对立事件、独立事件的概率求法,结合互斥事件的加法公式求恰有一人获得录取的概率.【小问1详解】记“甲通过笔试”为事件,“甲通过面试”为事件,“甲获得录取”为事件A,“乙通过笔试”为事件,“乙通过面试”为事件,“乙获得录取”为事件B,则,,即,所以甲获得录取的可能性大.【小问2详解】记“甲乙两人恰有一人获得录取”为事件C,则.18、(1)证明见解析;(2).【解析】(1)证明平面,利用线面垂直的性质可证得结论成立;(2)设,以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可得出关于实数的等式,即可解得实数的值.【小问1详解】证明:因为,,则且,,平面,所以为直线与平面所成的线面角,即,,故,,,平面,平面,因此,.【小问2详解】解:设,由(1)可知且,,因为平面,,以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,则、、、、,设平面的法向量为,,,则,取,可得,设平面的法向量为,,,由,取,则,由已知可得,解得.当点为线段的中点时,二面角的平面角为锐角,合乎题意.综上所述,.19、(1)或(2)3.【解析】(1)设切点坐标,由切点和圆心连线与切线垂直以及切点在圆上建立关系式,求解切点坐标即可;(2)由圆的方程可得圆心坐标及半径,由APCQ为正方形,可得|AC|=可得圆心到直线的距离为,可得m的值【小问1详解】解:设切点为,则有,解得:或x0=-2+1y0=-2,所以切点的坐标为或【小问2详解】解:圆C:的圆心(1,0),半径r=2,设,由题意可得,由四边形APCQ为正方形,可得|AC|=,即,由题意直线l⊥AC,圆C:(x﹣1)2+y2=4,则圆心(1,0)到直线的距离,可得,m>0,解得m=3.20、(1)证明见解析(2)【解析】(1)证明平面,可得出,再由结合线面垂直的判定定理可证得结论成立;(2)以点为坐标原点,、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系,利用空间向量法可求得结果.【小问1详解】证明:正中,点为的中点,,因为平面,平面,则,,则平面,平面,则,又,且,平面.【小问2详解】解:因为,以点为坐标原点,、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系,则、、、,设平面的法向量为,,,则,取,可得,平面,平面,则,又因为,,故平面,所以,平面的一个法向量为,则.因此,平面和平面夹角的余弦值为.21、(1);(2)证明见解析.【解析】(1)设等差数列的公差为,则,根据题意可得出关于的方程,求出的值,利用等差数列的通项公式可求
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