第3讲解三角形(原卷版+解析)

第3讲解三角形高考预测一：三角形中的求值问题类型一：三角恒等变换1．在中，内角、、的对边分别为、、，已知．（1）求的值；（2）若，，求的面积．2．在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的面积．3．的内角，，的对边分别为，，．设．（1）求；（2）若，求．4．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．问题：的内角，，的对边分别为，，，若，___，求和．类型二：几何图形5．在中，，，点在边上，，．（1）求；（2）求的面积．6．如图，在中，，，点在边上，且，．（1）求；（2）求，的长．7．如图，在中，，，点在线段上．（1）若，求的长；（2）若，的面积为，求的值．8．如图，在平面四边形中，，，．（1）求的值；（2）若，，求的长．9．如图，在平面四边形中，，，，．（1）求；（2）若，求．10．在平面四边形中，的面积为2．（1）求的长；（2）求的面积．11．如图，在平面四边形中，，，．（1）当四边形内接于圆时，求四边形的面积；（2）当四边形的面积最大时，求对角线的长．12．如图所示，已知圆内接四边形，记．（1）求证：；（2）若，，，，求的值及四边形的面积．13．如图，角，，，为平面四边形的四个内角，，，．（1）若，，求；（2）若，，求．14．某市欲建一个圆形公园，规划设立，，，四个出入口（在圆周上），并以直路顺次连通，其中，，的位置已确定，，（单位：百米），记，且已知圆的内接四边形对角互补，如图，请你为规划部门解决以下问题．（1）如果，求四边形的区域面积；（2）如果圆形公园的面积为万平方米，求的值．类型三：向量问题15．锐角的内角，，所对的边分别为，，，向量与平行．（1）求角；（2）若，求周长的取值范围．16．在中，内角，，的对边分别为，，，且．已知，，．求：（1）和的值；（2）的值．17．中，、、分别是三内角、、的对边，若．解答下列问题：（1）求证：；（2）求的值；（3）若，求的面积．高考预测二：三角形中的取值范围或最值类型一：化为角的关系18．设是锐角三角形，，，分别是内角，，所对边长，．（1）求角的大小；（2）求的取值范围．19．在中，角、、的对边分别为、、，、、成等差数列．（1）若，，求的值；（2）设，求的最大值．20．在中，角，，所对的边分别为，，，角，，依次成等差数列．（1）若，试判断的形状；（2）若为钝角三角形，且，试求的取值范围．类型二：周长或边长的范围21．在中，角，，所对的边分别是，，，且，，依次成等差数列．（1）求角的大小；（2）若，求周长的取值范围．22．在中，角，，所对的边分别为，，，已知．（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围．23．在中，角，，所对的边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，其外接圆的半径为，求的周长的取值范围．类型三：面积的范围24．在中，角，，的对边分别为，，，且满足．（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值．25．在内角、、的对边分别为，，，已知．（1）求角；（2）若，求面积的最大值．26．的内角、、的对边分别为，，．已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．27．已知圆的半径为为常数），它的内接三角形满足成立，其中，，分别为，，的对边，（1）求角；（2）求三角形面积的最大值．第3讲解三角形高考预测一：三角形中的求值问题类型一：三角恒等变换1．在中，内角、、的对边分别为、、，已知．（1）求的值；（2）若，，求的面积．【解析】解：（1），，，，，；（2）由（1）可得，由余弦定理可得，，解得，则，，，．2．在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的面积．【解析】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）．，分可得：，可得：，分中，，可得，，，可得：分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，，可得：，，分，分，由正弦定理，可得：，分分（注：解法较多，酌情给分，直接的也给分）3．的内角，，的对边分别为，，．设．（1）求；（2）若，求．【解析】解：（1）的内角，，的对边分别为，，．．，由正弦定理得：，，，．（2），，由正弦定理得，解得，，，．4．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．问题：的内角，，的对边分别为，，，若，___，求和．【解析】解：若选①，，由正弦定理可得，则，由余弦定理可得，又，，，，，，，，．若选②，，由正弦定理可得，，，，，，，，，，，，，．若选③，由正弦定理可得，，，或，，，，，，，，．类型二：几何图形5．在中，，，点在边上，，．（1）求；（2）求的面积．【解析】解：（1）由，可得，则．（2）在中，由正弦定理可得，即，解得，所以，所以的面积．6．如图，在中，，，点在边上，且，．（1）求；（2）求，的长．【解析】解：（1）在中，因为，所以，所以．（2）在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得：．所以．7．如图，在中，，，点在线段上．（1）若，求的长；（2）若，的面积为，求的值．【解析】解：（1）中，，．，．中，由正弦定理可得，；（2）设，则，，的面积为，，，由正弦定理可得，．，，，．8．如图，在平面四边形中，，，．（1）求的值；（2）若，，求的长．【解析】解：，，（1）在中，由余弦定理，得．；（2）设，则，，在中，由正弦定理，，解得：．即的长为3．9．如图，在平面四边形中，，，，．（1）求；（2）若，求．【解析】解：（1）中，，，，由正弦定理得，即，解得；（2）由，所以，在中，由余弦定理得：，解得．10．在平面四边形中，的面积为2．（1）求的长；（2）求的面积．【解析】解：（1）由已知，所以，又，所以，在中，由余弦定理得：，所以．（2）由，得，所以，又，，所以为等腰三角形，即，在中，由正弦定理得：，所以．11．如图，在平面四边形中，，，．（1）当四边形内接于圆时，求四边形的面积；（2）当四边形的面积最大时，求对角线的长．【解析】（本题满分为14分）解：（1）连接，由余弦定理可得：，，可得：，分又四边形内接于圆，则又，所以：，化简可得：，又，所以，，分所以，分（2）设四边形的面积为，则，可得：，分可得：，可得：，平方后相加，可得：，即：，分又，当时，有最大值，即有最大值．此时，，代入，可得：，又，可得：，分在中，可得：，可得．分12．如图所示，已知圆内接四边形，记．（1）求证：；（2）若，，，，求的值及四边形的面积．【解析】解：（1）．（2）由于：，，，，由题知：，可得：，则，，则，则，．13．如图，角，，，为平面四边形的四个内角，，，．（1）若，，求；（2）若，，求．【解析】解：（1）在中，，，，中，由正弦定理，．（2）在中，，在中，，，，可得：，可得：，可得，则，．14．某市欲建一个圆形公园，规划设立，，，四个出入口（在圆周上），并以直路顺次连通，其中，，的位置已确定，，（单位：百米），记，且已知圆的内接四边形对角互补，如图，请你为规划部门解决以下问题．（1）如果，求四边形的区域面积；（2）如果圆形公园的面积为万平方米，求的值．【解析】解：（1）连结，可得四边形的面积为：，四边形内接于圆，，可得．．在中，由余弦定理可得：，同理可得：在中，，，结合，得，解得，，，代入式，可得四边形面积．（2）设圆形公园的半径为，则面积为万平方米，可得：，可得：，由正弦定理，可得：，由余弦定理可得：，，两边平方，整理可得：，，，整理可得：，解得：，或．类型三：向量问题15．锐角的内角，，所对的边分别为，，，向量与平行．（1）求角；（2）若，求周长的取值范围．【解析】解：（1）因为：，所以：，由正弦定理，得：，又因为：，从而可得：，由于：，所以：．（2）因为：由正弦定理知，可得：三角形周长，又因为：，所以：，因为：为锐角三角形，所以：，，，所以：．16．在中，内角，，的对边分别为，，，且．已知，，．求：（1）和的值；（2）的值．【解析】解：（1），，，可得，即为；，即为，解得，或，，由，可得，；（2）由余弦定理可得，，，则．17．中，、、分别是三内角、、的对边，若．解答下列问题：（1）求证：；（2）求的值；（3）若，求的面积．【解析】证明：（1）因，故，即．由正弦定理，得，故，因为，故，故．（4分）（2）因，故，由余弦定理得，即；又由（1）得，故，故．（10分）（3）由得，即，故，因，故，故是正三角形，故面积．（16分）高考预测二：三角形中的取值范围或最值类型一：化为角的关系18．设是锐角三角形，，，分别是内角，，所对边长，．（1）求角的大小；（2）求的取值范围．【解析】解：（1）由正弦定理得：，为锐角，故，，而为锐角，．（2），，．是锐角三角形，，，，，．．19．在中，角、、的对边分别为、、，、、成等差数列．（1）若，，求的值；（2）设，求的最大值．【解析】解：（1）、、成等差数列，，，，，，，；（2），，，，的最大值是．20．在中，角，，所对的边分别为，，，角，，依次成等差数列．（1）若，试判断的形状；（2）若为钝角三角形，且，试求的取值范围．【解析】解：（1），．，，依次成等差数列，，．由余弦定理，，．为正三角形．（2）要求的式子．，，，故．代数式的取值范围是，．类型二：周长或边长的范围21．在中，角，，所对的边分别是，，，且，，依次成等差数列．（1）求角的大小；（2）若，求周长的取值范围．【解析】解：（1），，成等差数列，．又，；（2）在中，由正弦定理，，的周长．又，．周长的取值范围，．22．在中，角，，所对的边分别为，，，已知．（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围．【解析】解：（1）由已知得：，即，，，即，又为三角形的内角，则；（2），即，，由余弦定理得：，即，，，则．23．在中，角，，所对的边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，其外接圆的半径为，求的周长的取值范围．【解析】解：（1）中，由，得，即；所以；又，所以；（2）由（1）知，且外接圆的半径为，由正弦定理得，；由正弦定理得；所以；，所以；又为锐角三角形，则且，又，则，所以；所以；所以，即周长的取值范围是，．类型三：面积的范围24．在中，角，，的对边分别为，，，且满足．（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值．【解析】解：（1），，由正弦定理，得：．整理得．．在中，．，．（2）由余弦定理，．，当且仅当时取“”．三角形的面积．三角形面积的最大值为．25．在内角、、的对边分别为，，，已知．（1）求角；（2）若，求面积的最大值．【解析】解：（1），根据正弦定理，得①，．②，比较①②，可得，即，结合为三角形的内角，可得；（2）中，，，根据余弦定理，可得，化简可得，即当且仅当时等号成立．面积，综上所述，当且仅当时，面积的最大值为．26．的内角、、